湖南省长沙市雅礼洋湖实验中学2023-2024学年中考数学三模试题

这是一份湖南省长沙市雅礼洋湖实验中学2023-2024学年中考数学三模试题，共29页。试卷主要包含了1m，参考数据等内容，欢迎下载使用。

温馨提示：
1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分．
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的. 请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．2024的相反数是（ ）
A．2024B．C．D．
2．下列运算中，结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
5．某单位决定从A，B，C，D四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加某项活动，抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同的不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张卡片，记下名字．按照抽签规则，A，B两名志愿者同时被抽中的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．如图所示，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，，，则的周长为（ ）
A．36B．38C．40D．42
7．如图所示的是记录了某市某周每天最高气温的折线统计图．在下列说法中，错误的是（ ）
A．这周最高气温是B．这组数据的中位数是
C．这组数据的众数是D．这组数据的平均数是
8．如图，已知，B为反比例函数，以为直径的圆的圆心C在y轴上，与y轴正半轴交于，则的值为（ ）
A．4B．5C．6D．8
9．如图，是的中位线，平分交于点D，若，则边的长为（ ）
A．7B．8C．9D．10
10．如图，已知开口向上的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线，则下列结论正确的有（ ）
①；
②函数的最小值为；
③若关于 x 的方程无实数根，则；
④代数式
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．代数式子有意义，则的取值范围是 ．
12．分式方程的解为 ．
13．分解因式： ．
14．对于任意两个非零实数a，b，定义新运算“*”如下：，例如：．若，则的值为 ．
15．赵州桥始建于隋朝，由匠师李春设计建造，屹立千年而不倒，是我国著名的历史文物．如图为某圆弧型石拱桥的侧面图，桥的跨径，拱高，则拱桥的半径为 m．
16．如图，平行于轴的直线与函数和的图象分别相交于两点，分别连接，则的面积为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．计算：．
18．先化简，在求值：，其中．
19．解不等式组，并直接写出它的整数解．
20．为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”．为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出下面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：
(1)本次共调查了________名学生；
(2)将条形统计图补充完整；C组所对应的扇形圆心角为________度；
(3)若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是多少？
21．暴雪过后，校园的两棵风景柏树同时侧倾在一起，如图，较低的正好抵着高树的中点D．救援的小明等想知道高树比低树高多少（即的值），就通过测量得到了以下数据：米，，，应用以上的数据，求高树比低树高多少米（结果精确到0.1m，参考数据：，）．
22．如图，为等腰三角形的外接圆，，延长交于点D，过点C作的垂线，交于点E，交于点F，交于点G，交过点A且与平行的直线于点H，连结．

(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，求和的大小；
(3)若，，求的长．
23．近年来教育部要求学校积极开展素质教育，落实“双减”政策，泸县某中学把足球和篮球列为该校的特色项目．学校准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球．若购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元．
(1)篮球、足球的单价各是多少元？
(2)根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个，要求购买篮球和足球的总费用不超过9200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，请求出最省钱的一种购买方案．
24．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，，（不与，重合），反比例函数的图像经过点，且与交于点，连接，，．
(1)若点的横坐标为．
①求的值；
②点在轴上，当的面积等于的面积时，试求点的坐标；
(2)延长交轴于点，连接，判断四边形的形状
25．【问题呈现】
如图，和是有公共顶点的直角三角形，，点P为射线、的交点．探究，的位置关系．
【问题探究】
（1）如图1，若和是等腰直角三角形，求证：；
（2）如图2，若，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由；
【拓展应用】
（3）在（1）的条件下，，，将绕点A旋转，使点E恰好落在线段上，请直接写出此时的长度．
26．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，顶点为D，直线交y轴于点E．
(1)求抛物线的解析式．
(2)设点P为线段上一点（点P不与B，D两点重合），过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，连接，，求面积的最大值．
(3)连接，在线段上是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了相反数，“只有符号不同的两个数互为相反数”，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据相反数的定义即可求解．
【详解】解：2024的相反数是,
故选：B．
2．D
【分析】根据合并同类项，幂运算法则，依次计算，即可判断，
本题考查了，合并同类项，幂运算法则，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则．
【详解】解：A 、，故A错误，不符合题意，
B、，故B错误，不符合题意，
C、，故C错误，不符合题意，
D、，故D正确，符合题意，
故选：D．
3．A
【分析】本题考查不等式组的解法、不等式组解集在数轴上的表示．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
该解集在数轴上表示为：
．
故选：A
4．C
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，进行判断即可．轴对称图形的关键是找对称轴，中心对称图形的关键是找对称中心．
【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选C．
5．B
【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．
画树状图，共有12种等可能的结果，其中则A，B两名志愿者被选中的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中则A，B两名志愿者被选中的结果有2种，
∴则A，B两名志愿者被选中的概率为，
故选：B．
6．A
【分析】本题主要考查三角形的内切圆与内心及切线长定理，灵活运用切线长定理是解题的关键．由切线长定理可知，，，再根据线段的和差即可求得答案．
【详解】解：∵的内切圆分别与，，AC相切于点D，E，F，
∴，，，
∵，，，
∴，，，
∴，，，
∴的周长．
故选：A．
7．B
【分析】本题考查了折线统计图、一组数据的中位数、众数、平均数等知识，根据折线统计图及中位数、众数、平均数的意义逐项判断即可．
【详解】解：观察折线统计图知，这周最高气温是，故选项A正确，不符合题意；
把一周七天的最高气温按从低到高排列，位于中间的气温是，即中位数为，故选项B错误，符合题意；
的气温在这周中出现了两次，次数最多，即众数是，故选项C正确，不符合题意；
这组数据的平均数为：，故选项D正确，不符合题意；
故选：B．
8．C
【分析】设与x轴的正半轴的为E，连接，根据垂径定理，得到，结合以为直径的圆的圆心C在y轴上，得到是的中位线，设，则，利用勾股定理计算即可，本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形中位线定理，反比例函数的解析式计算，熟练掌握定理和待定系数法是解题的关键．
【详解】设与x轴的正半轴的为E，连接，
∵，，
∴，
∵以为直径的圆的圆心C在y轴上，,
∴，，轴，
∴是的中位线，
设，则，
∵，
∴
解得，
∴，
∴，
∴，
故选C．
．
．
9．B
【分析】本题考查三角形的中位线定理，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
由三角形的中位线定理得到，，利用等腰三角形的判定结合平行线的性质和角平分线的定义求出，可得，即可求出的长．
【详解】解：∵是的中位线，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
10．D
【分析】本题考查二次函数的一般式，二次函数的交点式，二次函数的最值，对称轴，以及交点坐标，由对称轴为，得则可判断①；利用待定系数法求得函数解析式为，故求得函数的最小值为，可判断②；将变形为：，利用根的判别式可判断③；将代入可判断④，结合以上结论可判断正确的项．
【详解】解：由图象可知，图象开口向上，，
对称轴为，故，即，则，故①正确；
由图象可知当时，函数取最小值，
将，代入，中得：，
由图象可知函数与x轴交点为，对称轴为直线，故函数图象与x轴的另一交点为，
设函数解析式为：，
故化简得：，
将，代入可得：，故函数的最小值为，故②正确；
变形为：，
要使方程无实数根，则，
将，代入得：，
因为，则，则，
综上所述，故③正确；
因为，
所以
，
因为，
所以，即，故④正确；
则①②③④正确，
故选：D．
11．且
【分析】本题考查代数式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，分式的分母不为0，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：且，
解得：且；
故答案为：且．
12．
【分析】本题考查解分式方程，将分式方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可．
【详解】解：，
∴，
解得：；
经检验：是原方程的解，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了提公因式和平方差公式，熟练掌握提公因式和平方差公式是分解因式的关键．
首先用提公因式法，再用平方差公式即可求解．
【详解】原式：，
故答案为．
14．1012
【分析】根据定义新运算可得，从而可得，然后代入式子中进行计算即可解答．本题考查了分式的化简求值，理解定义的新运算是解题的关键．
【详解】解：，
，（不为0）
，
∴
故答案为：1012．
15．
【分析】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，设弧所在圆的圆心为，连接，，圆的半径为，由垂径定理得，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
【详解】解：设所在圆的圆心为O，半径为，如图，由已知得，．在中，由勾股定理得，
即，解得，
∴拱桥的半径为．
16．
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，的几何意义，设交轴于点，根据反比例函数的几何意义，得出，即可求解．
【详解】解：如图，设交轴于点，
，，
则，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查实数的运算，解题的关键是先根据零指数幂、负指数幂、特殊角三角函数值、绝对值的运算．
运用零指数幂、负指数幂、特殊角三角函数值、绝对值将原式化简，然后先进行乘法运算，最后进行加减运算即可．
【详解】解：，
．
18．，．
【分析】本题考查分式的化简求值．先通分括号内的式子，再算括号外的除法，再将的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
19．；整数解为，，．
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【详解】解：
由①得：，
由②得：，即，
∴，
∴不等式组的解集为，
它的整数解为，，．
20．(1)40
(2)图形见解析，72
(3)560人
【分析】本题考查数据统计和分析，解题关键是结合条形统计图和扇形统计图，根据已知组别人数和所占百分比求出调查总人数，并掌握用样本数据估计总体数据计算方法．
（1）根据A组调查人数及所占百分比求出调查总人数；
（2）总人数减去已知组别人数可得C组人数，补全统计图即可，计算调查人数中C组人数的占比，乘以即可；
（3）根据用样本数据估计总体数据计算方法即可求解．
【详解】（1）解：本次调查总人数为（名），
故答案为：40；
（2）解：C组人数为（名），
补全图形如图：
，
故答案为：72；
（3）（人），
答：该校喜欢跳绳的学生人数约是为560人．
21．高树比低树高6.6米
【分析】本题考查解直角三角形的应用，以及勾股定理．设米，由正切关系求得，，由列出方程求出，利用勾股定理算出，，进而得到，即可解题．
【详解】解：设米，由题意知，，
（米），（米），
，
，
解得：，
米，米，
在，中，由勾股定理得：（米），（米），
D是的中点，
米，
（米），
即高树比低树高6.6米．
22．(1)与相切，详见解析
(2)，，详见解析
(3)，详见解析
【分析】（1）根据等腰三角形性质得，，再根据得，据此可得与的位置关系；
（2）根据等腰三角形性质得，则，再根据得，然后根据平行线性质及圆周角定理可得和的度数；
（3）设，则，，根据得，再根据，得，进而得，，在中由勾股定理得，在中，由勾股定理得：，则，由此解出，则，设为x，连接，则，然后再由勾股定理构造方程求出x即可．
【详解】（1）与相切，理由如下：
∵为等腰的外接圆，，延长交于点D，
∴，，
∵，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线，
即与相切；
（2）∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）设，则，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
∴，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
∴，
设为，连接，如下图所示：

则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
故的长为．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握圆周角定理，切线的判定，垂径定理，等腰三角形的性质，灵活运用锐角三角函数的定义及勾股定理进行计算是解决问题的关键．
23．(1)篮球的单价是110元，足球的单价是80元．
(2)该校购买34个篮球，则购买66个足球最省钱．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用等知识点，根据题意正确列出方程组和不等式成为解题的关键．
（1）设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，根据等量关系“购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元”列出方程组求解即可；
（2）设该校购买m个篮球，则购买个足球，根据购买的总费用不超过9200元列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，
依题意得：，解得：．
答：篮球的单价是110元，足球的单价是80元．
（2）解：设该校购买m个篮球，则购买个足球，
购买篮球和足球的总费用
依题意得：，
解不等式①得：．
解不等式①得：．
∴m的取值范围为：，
∵购买篮球和足球的总费用，，
∴y随m的增大而增大，
∴当时，最省钱，
∴该校购买34个篮球，则购买66个足球最省钱．
答：该校购买34个篮球，则购买66个足球最省钱．
24．(1)①；②或
(2)四边形是平行四边形，理由见解析
【分析】（1）①根据矩形的性质得到，得，把代入即可得到结论；
②由，都在反比例函数的图像上，得到，根据三角形的面积公式得到，设，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；
（2）连接，根据题意得到，，设的函数解析式为，解方程得到，求得，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．
【详解】（1）解：①∵四边形是矩形，，
∴，，
∵，点的横坐标为，
∴，，
∵反比例函数的图像经过点，
∴，
∴的值为；
②∵，
∴，
∵，都在反比例函数的图像上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点在轴上，的面积等于的面积，
设，
∴，
解得：或，
∴点的坐标为或；
（2）四边形AEFC是平行四边形．
理由：连接，
∵，，，都在反比例函数的图像上，
∴，，
设的函数解析式为：，
∴，
解得：，
∴的函数解析式为：，
当时，得：，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题是反比例函数与几何的综合，考查待定系数法确定解析式，反比例函数图像上的点的坐标的特征，矩形的性质，平行四边形的判定，三角形的面积等知识点．掌握反比例函数图像上的点的坐标的特征，矩形的性质是解题的关键．
25．（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）
【分析】本题主要了考查相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）利用两边对应成比例且夹角相等证明可得，再根据可得，再根据对顶角相等可得，然后运用等量代换即可证明结论；
（2）与第（1）同样的方法证明；
（3）当E恰好落在线段上时，利用（1）的结论和对顶角相等，证明然后分别根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：（1）设交于点O，如图1；
∵和是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中：
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
（2）成立，理由如下：
设、交于点O，如图2，
，，
，
，
，
，
，
在和中：
，
，
，
，
，
，
，即．
（3）如图：当点E在上时，
由（1）的结论可得，
又，
，
∴，
，，
，，
，，
，
．
26．(1)
(2)
(3)存在，点Q的坐标为
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法、等腰三角形的性质、勾股定理，一次函数的图象和性质，数形结合和准确计算是解题的关键．
（1）将，代入抛物线，求出b，c的值，即可得到抛物线的解析式；
（2）先求出点D坐标为，①设点F的坐标为，则点P的坐标为，表示出，根据二次函数的性质即可得到答案；
（3）连接，先推出．再由，得到比例式，进而即可求解
【详解】（1）解：将，代入抛物线，
得，解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）由（1）可得点D的坐标为．
当时，，解得，，
∴点B的坐标为，
∴直线BD的解析式为．
设点F的坐标为，则点P的坐标为，
∴，整理得，
∴当时，．
（3）存在．理由如下：
如图，连接，
则由勾股定理，得，，
，
∴，
∴．
设，过点Q作轴于点M，连接．
∵，
∴∽，
∴，
∴，解得，
此时点Q的坐标为．
∴在线段BD上存在点Q，使得，点Q的坐标为．