2024年湖南省长沙市雅礼实验中学中考二模数学试题（原卷及解析版）

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命题人：雅实初三数学组
考生注意：本试卷共3道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式的乘法，合并同类项，完全平方公式，同底数幂的乘法对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，A．，正确，故符合要求；
B．，错误，故不符合要求；
C．，错误，故不符合要求；
D．，错误，故不符合要求；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，合并同类项，完全平方公式，同底数幂的乘法等知识．熟练掌握二次根式的乘法，合并同类项，完全平方公式，同底数幂的乘法是解题的关键．
2. 中科院国家天文台基于我国郭守敬望远镜和美国巡天的观测数据，精确测量了距离银河系中心1.6万光年至8.1万光年范围内的恒星运动速度，并估算出银河系的“体重”约为8050亿个太阳质量．其中数据“8050亿”用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，将“8050亿”写成的形式即可，其中，n的值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：“8050亿”，
故选D．
3. 将直尺和三角板进行如图摆放，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了直角的定义，平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据直角的定义，可以求得，根据平行线的性质，可以知道，从而求得答案．
【详解】如图所示：

由题意可知，，
故选：C．
4. 不等式组的解集表示在数轴上正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，把解集表示在数轴上；分别解两个不等式，将它们的解集表示在同一数轴上即可求解；带等于号的用实心点，不带等于号的用空心点．
【详解】解：解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集为，
该解集在数轴上表示为：

故选：B
5. 二十四节气是中华民族农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小鹏购买了四张形状、大小、质地均相同的“二十四节气”主题邮票，正面分别印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四种不同的图案，背面完全相同，他将四张邮票洗匀后正面朝下放在桌面上．从中随机抽取两张邮票，恰好抽到“立春”和“立夏”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了列举法求概率．熟练掌握列举法求概率是解题的关键．根据题意列表格，然后求概率即可．
【详解】解：由题意知，列表如下；
由表可知，共有种等可能的结果，其中恰好抽到“立春”和“立夏”共有2种等可能的结果，
∴恰好抽到“立春”和“立夏”的概率为，
故选：C．
6. 若函数的图象在第二、四象限内，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据函数的图象在第二、四象限列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
【详解】解：函数的图象在第二、四象限，
，
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数中，当时，函数的图象在第二、四象限是解答此题的关键．
7. 如图，已知四边形内接于，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆内接四边形对角互补，得到，由圆周角定理即可求解，
本题考查了，圆内接四边形性质，圆周角定理，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．
【详解】解：∵内接于，
∴，
∴，即：，
∴，
故选：D．
8. A，B，C，D，E五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强．A说：“如果我进入，那么B也进入．”B说：“如果我进入，那么C也进入．”C说：“如果我进入，那么D也进入．”D说：“如果我进入，那么E也进入，”大家都没有说错，则进入前三强的三个人是（ ）
A. A，B，CB. B，C，DC. C，D，ED. D，E，A
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了推理与论证，根据每个人所说的进行推理是解题的关键．若A，B进入了前三强，那么B、C、D、E也均能进入，由于前三强只有三个人，显然这是不合理的；因此只有当C进行前三强，那么D、E也进入，这样才符合题意．
【详解】解：若A进入前三强，那么进入前三强的有A、B、C、D、E共5人，显然不合题意，
同理，当B进入前三强时，也不合题意，所以应从C开始进入前三强．即进入前三强的是C，D，E．
故选：C．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】题考查了二次根式有意义的条件，负数没有平方根列出不等式，求出不等式的解集即可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
解得：，
故答案为：．
10. 在平面直角坐标系中，点到y轴的距离是__________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据点到轴距离等于点的横坐标的绝对值即可得．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点到轴的距离是，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离，熟练掌握点到轴的距离等于点的横坐标的绝对值是解题关键．
11. 如图，的弦，半径交于点，是的中点，且，则的长为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】连接OA，先根据垂径定理求出AO的长，再设ON=OA，则MN=ON-OM即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接OA，
∵半径交于点，是的中点，
∴AM=BM==4,∠AMO=90°，
∴在Rt△AMO中
OA= =5.
∵ON=OA，
∴MN=ON-OM=5-3=2.
故答案为2.
【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
12. 若a是一元二次方程的一个根，则的值是___________．
【答案】6
【解析】
【分析】将a代入，即可得出，再把整体代入，即可得出答案．
【详解】∵a是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，整体思想是本题的关键．
13. 将圆心角为，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了圆锥的计算，掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，该扇形的弧长等于圆锥底面的周长是解题的关键．设圆锥的底面圆半径为，根据弧长公式得到，然后解方程即可．
【详解】设圆锥的底面圆半径为，
根据题意得，
解得：，
即这个圆锥的底面圆半径为1．
故答案为：1．
14. 如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点D．则的度数为________．
【答案】##75度
【解析】
【分析】根据基本作图，得到，继而得到，结合根据解答即可．
本题考查了线段垂直平分线的基本作图，等腰三角形的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握作图和三角形外角性质是解题的关键．
【详解】根据基本作图，得到，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分）
15. 计算：．
【答案】0
【解析】
【分析】本考查了特殊角的正切值，零指数幂，负整数指数幂等知识，代入特殊角的正切值，结合相应的运算法则计算即可．
【详解】
．
16. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，5
【解析】
【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握整式混合运算的运算顺序和计算法则是解题的关键，先算乘法，然后算加减，最后代入求值．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
17. 风力发电作为一种清洁能源、可再生能源，已成为我国重要能源结构之一．某研学小组到风力发电厂参观学习，发现一如图所示的风力发电机，在处测得，向前米到达处，测得，其中，，在同一条直线上，点为发电机顶端处．若风轮叶片的长度为米，则风力发电机在旋转过程中，叶片顶端离地面的最小距离是多少？（参考数据：）
【答案】叶片顶端离地面的最小距离约为米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，设，分别解，，得出，，根据题意叶片顶端离地面的最小距离，即可求解．
【详解】解：由题意得：，
在中，，设，
∴，
在中，
∴
∴，
∵风轮叶片的长度为米，
∴叶片顶端离地面的最小距离米，
答：叶片顶端离地面的最小距离约为米．
18. 为了解学生的课外阅读情况，某校随机抽取了部分学生进行调查，对他们每周的课外阅读时间x（单位：小时）进行分组整理并绘制了如图所示的频数分布直方图和扇形图：
（1）请补全频数分布直方图；
（2）扇形图中m的值为________；D等级所对应的扇形圆心角度数为________；
（3）若该校总共有2000名学生，每周的课外阅读时间不多于4小时的学生大约有多少人．
【答案】（1）详见解析
（2），
（3）每周的课外阅读时间不多于4小时的学生大约有620人
【解析】
【分析】对于（1），根据A组的人数和所占百分比求出总人数，再求出D组的人数，并补全统计图；
对于（2），根据C组的人数除以总人数可求m，再求出D组所占的百分比，进而求出答案；；
对于（3），先求出每周课外阅读时间不多于4小时所占的百分比，再乘以总人数，可得答案．
【小问1详解】
解：∵，
∴本次调查共抽取了100名学生，
∴，
∴D组有25人，
补全频数分布直方图如下：
【小问2详解】
∵，
∴.
D等级所对应的扇形圆心角度数为；
故答案为：40，；
【小问3详解】
（人）.
答：每周的课外阅读时间不多于4小时的学生大约有620人.
【点睛】本题主要考查了频数分布直方图，扇形统计图，样本估计总体的思想，从统计图中获取信息是解题的关键．
19. 如图，D，E为中边上两点，过D作交的延长线于点A，．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）详见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质是解题的关键
（1）由，可得，，进而可证．
（2）由，证明，则，即，计算求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，，
又∵，
∴．
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，即，
解得，，
∴的长为．
20. 2023-2024赛季欧洲冠军杯决赛于6月2日在伦敦温布利大球场拉下帷幕，赛前某体育运动专卖店决定采购某款运动T恤，最初用6000元购进一批该款T恤，由于市场供不应求，该专卖店又用15000元购进了第二批该款T恤，所购数量是第一批购进量的2倍，由于供货紧张，每件价格比第一次贵10元．
（1）该专卖店购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是多少元？
（2）如果两批T恤衫按相同的标价销售，要使两批T恤衫全部售完后利润不低于16800元，那么每件T恤衫的标价至少是多少元？
【答案】（1）该店铺购进第一批T恤衫每件的进价是40元，购进第二批T恤衫每件的进价是50元
（2）每件T恤衫的标价至少是84元
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意并找出题中的数量关系并列出方程是解题的关键．
（1）设该店铺购进第一批T恤衫每件的进价是x元，则购进第二批T恤衫每件的进价是元，根据第二批该款T恤所购数量是第一批购进量的2倍，列出方程求解即可；
（2）设每件T恤衫的标价是a元，根据全部售完后利润不低于16800元，列出不等式，再进行求解即可．
【小问1详解】
解：设该店铺购进第一批T恤衫每件进价是x元，则购进第二批T恤衫每件的进价是元，依题意有
，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：该店铺购进第一批T恤衫每件的进价是40元，购进第二批T恤衫每件的进价是50元；
【小问2详解】
件，件，
设每件T恤衫的标价是a元，依题意有：
，
解得．
答：每件T恤衫的标价至少是84元．
21. 如图，平行四边形中，、分别是，的平分线，且E、F分别在边，上，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求平行四边形的面积．
【答案】（1）详见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，结合角平分线的条件得到，由得到，，根据平行线的判定得到，根据平行四边形的判定得到是平行四边形，结合，根据菱形的判定，即可求解，
（2）连接，由平行四边形的性质和角平分线的定义得到，，进而得到，由，得到是等边三角形，根据等边三角形的性质得到三角形的高，结合（1）中结论，四边形是菱形，得到根据面积公式，即可求解，
本题考查了，平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，平行线的性质与判定，角平分线的定义，等边三角形的性质与判定，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．
【小问1详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵分别是、的平分线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
【小问2详解】
解：连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，边上的高为
由（1）知四边形是菱形，
∴，
∴
∴平行四边形的面积为：．
22. 我们不妨约定：在平面直角坐标系中，如果函数图象上至少存在一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则把该函数称之为“开心函数”，其图象上纵坐标是横坐标3倍的点叫做“开心点”．
（1）判断以下函数上是否是“开心函数”，若是，则打√，若不是，则打“×”；
①________ ②________ ③________
（2）关于x的函数（a为常数）是“开心函数”吗？如果是，指出有多少个“开心点”，如果不是，请说明理由；
（3）若抛物线（a、b、c为常数），与x轴分别交于，两点，其中；与y轴交于C点，抛物线顶点为P点，点M为第三象限抛物线上一动点，且点M的横坐标为t，连接，交于N点，连接，，记，，若满足：①抛物线顶点P为“开心点”；②；③是等边三角形；若，的最大值为，求m的值．
【答案】（1）√，×，√
（2）当或时，函数是开心函数，有1个“开心点”；当且时，函数是开心函数，有2个“开心点”；当时，函数不是开心函数
（3）
【解析】
【分析】（1）设“开心点”坐标为，
①把代入得，解得，此时，符合新定义；
②把代入得，无解，不符合新定义；
③把代入得，解得，符合题意，解答即可．
（2）设“开心点”坐标为，代入函数解析式，确定m的解的个数，有解，是；无解，则不是，解答即可；
（3）先求对称轴，再计算顶点，结合等边三角形，确定解析式，过点M作轴，交于点D，过点B作轴，交于点E，故，，利用三角形相似，确定，根据二次函数的增减性计算即可．
本题考查了新定义，待定系数法，三角形相似的判定和性质，根的判别式，二次函数的最值及其增减性，熟练掌握待定系数法，三角形相似的判定和性质，根的判别式，二次函数的最值及其增减性是解题的关键．
【小问1详解】
设“开心点”坐标为，
①把代入得，解得，此时，符合新定义；
②把代入得，无解，不符合新定义；
③把代入得，解得，符合题意．
故答案为：√，×，√．
【小问2详解】
设“开心点”坐标为，
当时，得，
代入解析式得：，
解得，
此时，此时是“开心函数”，有一个“开心点”；
当时，把代入解析式得：
，
整理，得，
此时，
当时，方程有两个不相等实数根，即m有两个值，符合题意，
故当且时，函数是“开心函数”，此时有两个“开心点”；
当时，方程有两个相等实数根，即m有一个值，符合题意，
故当时，函数是“开心函数”，此时有1个“开心点”；
当时，方程无实数根，即不存在实数m，不符合题意，
故当时，函数不是“开心函数”，此时无“开心点”；
综上所述，当或时，函数是开心函数，有1个“开心点”；当且时，函数是开心函数，有2个“开心点”；当时，函数不是开心函数；
【小问3详解】
∵抛物线（a、b、c为常数），与x轴分别交于，两点，其中；与y轴交于C点，抛物线顶点为P点，，
∴抛物线的对称轴为，
∵抛物线顶点P为“开心点”，
∴；
∴，
∵是等边三角形，，
∴，
∵对称轴为，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵点M为第三象限抛物线上一动点，且点M的横坐标为t，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入直线的解析式得：
，
解得，
∴直线的解析式为：．
过点M作轴，交于点D，过点B作轴，交于点E，
故，，
∴，，，
∴，
∴，
根据题意，得，
∴，
∴是t的二次函数，且抛物线开口向下，
∴对称轴，
∵，
∴，
∴，
∴随t的增大而减小，
故当时，取得最大值，
∴，
解得（舍去），
故．
23. 如图，点C在为直径的圆O上，连接，的角平分线交于点E，交圆O于点P．G是上一点，且，连接并延长交的延长线于点F，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的面积．
（3）设，，求y关于x的函数表达式．
【答案】（1）详见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据是的直径，平分可求得，进而得到，由，可知，因此 ，进而可得，即可得证；
（2）连接，可求得的值，根据平分得出，从而求得，可证得，从而得出，，
连接与交于H，求得，，再证明，从而，求得，进而求得结果；
（3）连接，，可求得，根据表示出，从而得出，的值，根据平分，得出，从而表示出，不妨设，则，，从而得出，根据，得出，从而得出，进一步即可得出结果．
【小问1详解】
证明：∵是的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：①如图，
连接，
∵是的直径，
∴，
，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
连接与交于H，
∵是的直径，
∴，
，，
∵，，
∴，
∴，
，
；
【小问3详解】
解：如图，
连接，，
∵平分，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∵平分，
∴，
∴，
不妨设，则，，
∴，
由（2）知：∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
立春
立夏
秋分
大暑
立春
（立春，立夏）
（立春，秋分）
（立春，大暑）
立夏
（立夏，立春）
（立夏，秋分）
（立夏，大暑）
秋分
（秋分，立春）
（秋分，立夏）
（秋分，大暑）
大暑
（大暑，立春）
（大暑，立夏）
（大暑，秋分）