湖南省郴州市嘉禾县塘村镇中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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考生注意：1．本学科作业分试题和答题卡两部分，满分120分
2．请在答题卡上作答，答在试卷上无效．
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．）
1. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的判断，根据共含有2个未知数的一次方程，组成的方程组是二元一次方程组，进行判断即可．
【详解】解：A、含有3个未知数，不是二元一次方程组；
B、不是整式方程，不是二元一次方程组；
C、是二元一次方程组；
D、不是一次方程，不是二元一次方程组；
故选C．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、幂的乘方的运算法则及积的乘方的运算法则依次计算各项后即可解答．
【详解】选项A，根据同底数幂的乘法法则可得，选项A正确；
选项B，根据合并同类项法则可得，选项B错误；
选项C，根据幂的乘方的运算法则可得，选项C错误；
选项D，根据积的乘方的运算法则可得，选项D错误．
故选A．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、幂的乘方的运算法则及积的乘方的运算法则，熟练运用相关法则是解决问题的关键．
3. 下列各式，能用平方差公式计算的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式，进行判断即可．
详解】解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，符合题意；
故选D．
4. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．
【详解】A、右边不是积的形式，不是因式分解，故本选项错误，不符合题意；
B、符合因式分解的定义，故本选项正确，符合题意；
C、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项错误，不符合题意；
D、左边不是多项式，不是因式分解，故本选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解的意义，关键是熟练掌握定义，区别开整式的乘除运算．
5. 对于等式，将y用含x的代数式表示，下列式子正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接通过移项，再将前面的系数化成整数即可．
【详解】解：，
通过移项得：，
两边同时除以得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了解二元一次方程，解题的关键是：掌握相关运算的基本步骤，移项、合并同类项、系数化为1．
6. 已知，，那么的计算结果是（ ）
A. 600B. 625C. 675D. 695
【答案】C
【解析】
【分析】逆用同底数幂的乘法以及积的乘方法则进行化简，再将，代入计算求解即可．
【详解】解：，
将，代入可得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了代数式的求值、同底数幂的乘法以及积的乘方的法则，将进行转化再代入已知代数式的值求解是解题的关键．
7. 已知关于的二元一次方程组的解互为相反数，则的值是（ ）
A. 0B. -1C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由方程组的解互为相反数，得到y＝−x，代入方程组计算即可求出k的值．
【详解】解：把y＝−x代入方程组得：，
解得：k＝-1，
故选B．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
8. 已知能被整除，则的值为（ ）
A. 1B. C. 0D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查因式分解，设，则当时，，求出值即可．
【详解】解：∵能被整除，
∴设，
∴当时，，
∴；
故选D．
9. 已知a﹣b=3，b+c=﹣5，则代数式ac﹣bc+a2﹣ab的值为（ ）
A. ﹣15B. ﹣2C. ﹣6D. 6
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：首先将a﹣b=3、b+c=﹣5两式等号左右两边分别相加，得到a+c的值；再将代数式ac﹣bc+a2﹣ab分解因式转化为（a﹣b）（a+c）；最后将a﹣b、a+c作为一个整体代入求得代数式的结果．
解：∵a﹣b=3，b+c=﹣5
∴a﹣b+b+c=3﹣5，解a+c=﹣2
∴ac﹣bc+a2﹣ab=c（a﹣b）+a（a﹣b）=（a﹣b）（a+c）=3×（﹣2）=﹣6
故选C
考点：因式分解的应用；代数式求值．
10. 如图，已知正方形与正方形的边长分别为、，如果，，则阴影部分的面积为（ ）
A. 38B. 39C. 40D. 41
【答案】A
【解析】
【分析】先根据完全平方公式的变形求出，再根据进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴
，
∴
，
故选A．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，正确推出是解题的关键．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分．）
11. 计算：_________________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查积的乘方的逆用，逆用积的乘方进行计算即可．
【详解】解：；
故答案为：3．
12. 请写出一个可以与图中已有图形的面积有关系的等式：_______．

【答案】
【解析】
【分析】此题考查多项式乘多项式与图形面积，根据大正方形的面积=2个小正方形的面积+2个小长方形的面积列式即可， 正确理解图形面积的构成是解题的关键．
【详解】解：由题意得：，
故答案为：．
13. 因式分解：__________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式a，再利用公式法继续分解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题的关键．在分解因式时，要注意分解彻底．
14. 若(1+x)(2x2+mx+5)计算结果中x2项的系数为-3,则m=________
【答案】-5
【解析】
【详解】解：∵（1+x）（2x2+mx+5）=2x3+（2+m）x2+（5+m）x+5．又∵结果中x2项的系数为﹣3，∴2+m=﹣3，解得：m=﹣5．故答案为﹣5．
点睛：本题考查了多项式乘多项式法则，合并同类项时要注意项中的指数及字母是否相同．
15. 若是完全平方式，则______．
【答案】##30和##和30
【解析】
【分析】根据完全平方公式，逆用公式即可得到答案．
【详解】解：完全平方公式，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查利用完全平方公式求参数，熟记完全平方公式是解决问题的关键．
16. 在《九章算术》的“方程”一章中，一次方程组是由算筹布置而成的，若图1所示的算筹图表示的方程组为，则图2所表示的方程组的解为__________．
【答案】
【解析】
【分析】类比图1所示的算筹的表示方法解答即可．
【详解】解：根据图1所示的算筹的表示方法，可推出图2所示的算筹的表示的方程组为

解得:
故答案为:
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意、正确列出方程组是关键．
17. 推理是数学的基本思维方式，若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．
例如，有人声称可以证明“任意一个有理数都等于0”，并证明如下：
设任意一个有理数为，令，
等式两边都乘以，得①
等式两边都减，得②
等式两边分别分解因式，得③
等式两边都除以，得④
等式两边都减，得⑤
所以任意一个有理数都等于0．
以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是_________________．
【答案】④
【解析】
【分析】本题考查因式分解的应用，等式的性质，根据等式的性质，等式两边同时除以一个不为0的数，等式仍然成立，得到第④步出现错误．
【详解】解：∵，
∴，
∴的两边不能除以；
故出现错误的是第④步；
故答案为：④
18. 餐馆里把塑料凳整齐地叠放在一起（如图），根据图中的信息可知20张同样的塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是_________________．

【答案】80
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设塑料凳的凳子腿长，凳子面厚，由图中信息，列出二元一次方程组，求出的值，进一步求解即可．
【详解】解：设塑料凳的凳子腿长，凳子面厚，由图可知：
，解得：，
∴20张同样的塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是；
故答案为：80．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 先化简，再求值:，其中．
【答案】，8．
【解析】
【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握平方差公式、完全平方公式以及单项式乘以多项式的法则是解题的关键．
先利用平方差公式、完全平方公式以及单项式乘以多项式的法则进行化简，再代入求值．
【详解】解：
=
=，
当时，原式=．
20. 因式分解
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查因式分解：
（1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可；
（2）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可．
【小问1详解】
解：原式；
【小问2详解】
原式．
21. 已知方程组与有相同的解，求m，n的值．
【答案】
【解析】
【分析】先解不含m、n的方程组，解得x、y的值，再代入含有m、n的方程组求解即可．
【详解】解：∵与有相同的解，
∴和也有相同的解，
∴解方程组，
得，
代入中得，
∴解方程组得．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了与二元一次方程组的解有关的知识点，解题的关键是是准确理解方程组有相同解的情况，组成新的二元一次方程组求解．
22. 已知,．求:
（1）的值;
（2）的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式的应用,有理数的计算．
（1）根据题意可知,代入条件即可得到本题答案;
（2）根据题意将（1）中结果代入得到数值,即可算出本题答案．
【小问1详解】
解:∵,,
∴,
∴,
故答案为:;
【小问2详解】
解:∵,
∴,
∴,
∴,
故答案为:．
23. 我国传统数学名著九章算术记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？
（2）某商人准备用两银子买牛和羊要求既有羊又有牛，且银两须全部用完，且羊的数量不少于牛数量的倍，请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
【答案】（1）每头牛值两银子，每只羊值两银子
（2）购买头牛，只羊；购买头牛，只羊．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准数量关系，正确列出二元一次方程．
（1）设每头牛值两银子，每只羊值两银子，根据“头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买头牛，只羊，根据某商人准备用两银子买牛和羊，列出二元一次方程，再根据羊的数量不少于牛数量的倍，得，然后求出满足条件的正整数解即可．
【小问1详解】
解：设每头牛值两银子，每只羊值两银子，
依题意得：，
解得：，
答：每头牛值两银子，每只羊值两银子；
【小问2详解】
设购买头牛，只羊，
依题意得：，
整理得：，
、均为正整数，
为的倍数，
羊的数量不少于牛数量的倍，
，
或，
商人有种购买方法：
购买头牛，只羊；
购买头牛，只羊．
24. 为了让学生们能更直观地理解乘法公式，李老师上了一节拼图实验课，她用四张长为，宽为的小长方形（如图①所示）拼成了一个边长为的正方形（如图②所示），观察图形，回答下列问题：

（1）图②中，阴影部分的面积是________．
（2）观察图①②，请你写出三个式子：，，之间的关系：________．
（3）应用：已知，，求，．
【答案】（1）
（2）
（3），
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是掌握完全平方公式．
（1）表示出阴影部分的边长即可得答案；
（2）用两种方法表示四个长方形面积可得答案；
（3）应用（2）的结论，可得答案．
【小问1详解】
阴影部分是边长为的正方形，
阴影部分的面积是；
故答案为：；
【小问2详解】
由图可得，
故答案为：；
【小问3详解】
，，
，
．
25. 利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如：．
根据以上材料，解答下列问题．
（1）仿照例题分解因式：；
（2）求多项式的最小值；
（3）已知是的三边长，且满足，求的周长．
【答案】（1）
（2）
（3）12
【解析】
【分析】（1）读懂题意，按题目给出的方法因式分解即可；
（2）设多项式等于，变成一个一元二次函数，写成一元二次函数的顶点式，可以得出多项式的最值；
（3）把等式的项都移到一边，配方，正好出现非负数相加等于0，然后非负数等于0，求出各条边长，再求周长即可．
本题考查因式分解的应用，做题关键是掌握因式分解．
小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：设，
，
，
多项式的最小值是．
【小问3详解】
解：，
即，
，
，
，，，
的周长为．
26. 我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：(p，q是正整数，且)，在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称是n的最佳分解，并规定： ．例如：12可以分解成或，因为，所以是12的最佳分解，所以．如果一个两位正整数t，(，x，y为自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，根据以上新定义，计算下列问题：
（1）求的值；
（2）判断15和26是否为“吉祥数”并直接写出所有满足条件的“吉祥数”；
（3）求“吉祥数”中，的最大值．
【答案】（1）
（2）数字15和26是“吉祥数”， 满足条件的“吉祥数”的有：
（3）的最大值是
【解析】
【分析】（1），由题意可知；
（2）根据“吉祥数”的定义，判断15和26是否为“吉祥数”，由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：，则，可求t为；
（3）利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出的最大值．
【小问1详解】
解：，
，
∴是的最佳分解
；
【小问2详解】
由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：，
数字15满足，数字26满足，
数字15和26是“吉祥数”，
根据题意得：，
，
或或或或，
满足条件的“吉祥数”的有：；
【小问3详解】
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的最大值是．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，新定义的理解和应用，掌握因式分解的方法，再由数的特点求解是解题的关键．