北京市第一六一中学分校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1．本试题共4页，共两部分，四道大题，30道小题．其中第一大题至第三大题为必做题，满分100分．第四大题为选做题，满分10分，计入总分，但卷面总分不超过100分．考试时间100分钟．
2．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，试卷上作答无效．
3．在答题纸上，选择题用2B铅笔填涂，其他试题用黑色字迹钢笔或签字笔作答．
4．考试结束后，将答题纸交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
1. 4的算术平方根是（ ）
A. -2B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】4的算术平方根是2．
故选B．
【点睛】本题考查求一个数的算术平方根．掌握算术平方根的定义是解题关键．
2. 如图，直线a、b被直线c所截，，，则度数是（ ）
A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°
【答案】B
【解析】
【分析】先根据邻补角相等求得∠3，然后再根据两直线平行、内错角相等即可解答．
【详解】解：∵∠1+∠3=180°，
∴∠3=180°-∠1=180°-140°=40°
∵
∴∠2=∠3=40°．
故答案为B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握“两直线平行、内错角相等”是解答本题的关键．
3. 若不等式的解集为，在数轴上表示此解集，下列图形中正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
【详解】解：不等式的解集为，在数轴上表示如下：
；
故选：B．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
4. 已知，则下列不等式中，不成立的是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由不等式的性质进行计算并作出正确的判断．
【详解】A、由，可得，成立；
B、由，可得，成立；
C、由，可得，此选项不成立；
D、由，可得，成立；
故选C．
【点睛】考查了不等式的性质应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以或除以同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以或除以含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
5. 下列各数中，，，，，，，无理数的个数为（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查无理数的识别，涉及实数分类、有理数与无理数定义及常见无理数，根据常见无理数及有理数定义逐项验证即可得到答案，熟记无理数定义是解决问题的关键．
【详解】解：，，，
，，，，，中，无理数有，，即无理数的个数为2，
故选：B．
6. 下列命题中是真命题的是（ ）
①相等的角是对顶角．
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
③两条直线被第三条直线所截，同位角相等．
④如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
A. ①④B. ②③C. ①③D. ②④
【答案】D
【解析】
【分析】根据对顶角的定义，平行线的判定和性质以及垂线公理一一判断即可．
【详解】解：①相等的角是对顶角．是假命题．
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．真命题．
③两条直线被第三条直线所截，同位角相等．假命题．
④如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．真命题．
故选：D．
【点睛】本题考查对顶角的定义，平行线的判定和性质以及垂线公理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7. 某品牌手机的成本为每部2000元，售价为每部2800元，该商店准备举行打折促销活动，要求利润率不低于12%，如果将这种品牌的手机打x折销售，则下列不等式中能正确表示该商店的促销方式的是（ ）．
A. 2800x≥2000×12%
B. 2800×-2000≥2000×12%
C. 2800×≥2000×12%
D. 2800x-2000≥2000×12%
【答案】B
【解析】
【分析】结合题意，根据一元一次不等式的性质分析，即可得到答案．
【详解】如果将这种品牌手机打x折销售，
根据题意得：2800×-2000≥2000×12%
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的性质，从而完成求解．
8. 如图，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为（ ）
A. 80°B. 50°C. 30°D. 20°
【答案】D
【解析】
【分析】根据两直线平行，同位角相等求出∠2的同位角，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解．
【详解】如图，∵∠2＝50°，纸条的两边互相平行，
∴∠4＝∠2＝50°，
∵∠1＝30°，
∴∠3＝∠4−∠1＝50°−30°＝20°．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
9. 如图所示的是天安门周围的景点分布示意图．若以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立坐标系，表示电报大楼的点的坐标为(－4，0)，表示王府井的点的坐标为(3，2)，则表示博物馆的点的坐标为( )
A. (1，0)B. (2，0)C. (1，－2)D. (1，－1)
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面直角坐标系，找出相应的位置，然后写出坐标即可．
【详解】表示电报大楼的点的坐标为（-4，0），表示王府井的点的坐标为（3，2），可得：原点是天安门，
所以可得博物馆的点的坐标是（1，-1）
故选D．
【点睛】此题考查坐标确定位置，本题解题的关键就是确定坐标原点和x，y轴的位置及方向．
10. 已知关于x的不等式组仅有三个整数解，则a的取值范围是（ ）.
A. ≤a＜1B. ≤a≤1C. ＜a≤1D. a＜1
【答案】A
【解析】
【分析】根据解不等式组，可得不等式组的解，根据不等式组的解是整数，可得答案．
【详解】由2x＞3（x-2）+5，解得：x≤1，
由关于x的不等式组仅有三个整数：
解得-2≤2a-3＜-1，
解得≤a＜1，
故选A．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组，利用不等式的解得出关于a的不等式是解题关键．
二、填空题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
11. 的立方根是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据立方根的定义即可求解．
【详解】解：∵，
∴的立方根是；
故答案为：．
【点睛】本题考查了求一个数的立方根，清楚立方根的定义是解题的关键．
12. x的2倍与5的差大于13，用不等式表示为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列不等式，根据“x的2倍与5的差大于13”进行列式，即可作答．
【详解】解：∵x的2倍与5的差大于13，
∴用不等式表示为，
故答案为：．
13. 举例说明命题“如果，那么．”是假命题，______，______，______．
【答案】 ①. 1 ②. 2 ③. -2
【解析】
【分析】根据不等式的性质举反例说明即可．
【详解】解：a=1，b=2，c=-2，
则ac＞bc，a＜b，
故答案为：1，2，-2（答案不唯一）．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是学会举例说明是假命题．
14. 如图，由可以判定________________，其理由是________．
【答案】 ①. ②. ③. 同位角相等，两直线平行
【解析】
【分析】根据平行线的判定即可．
【详解】解：，
，理由是：同位角相等，两直线平行．
故答案为：，同位角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定：同位角相等，两直线平行是本题的关键．
15. 已知，则________．
【答案】0.4472
【解析】
【分析】首先把化为即，代入的值即可．
【详解】解：．
故答案为：0.4472．
【点睛】本题主要考查算术平方根的定义，关键在于根据已知推出0.2的算术平方根．
16. 若，则_______________________．
【答案】
【解析】
【分析】先由二次根式有意义可得从而依次求解的值，可得答案．
【详解】解：

解得：


故答案为：
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，一元一次不等式组的解法，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
17. 如图，已知AB∥DE，∠ABC＝75°，∠CDE＝150°，则∠BCD的度数为_____．
【答案】45°##45度
【解析】
【分析】反向延长DE交BC于M，如图，先根据平行线的性质求出∠BMD的度数，进而可得∠CMD的度数，然后利用三角形的外角定理解答即可．
【详解】解：反向延长DE交BC于M，如图，
∵AB∥DE，
∴∠BMD＝∠ABC＝75°，
∴∠CMD＝180°﹣∠BMD＝105°；
又∵∠CDE＝∠CMD+∠BCD，
∴∠BCD＝∠CDE﹣∠CMD＝150°﹣105°＝45°．
故答案为：45°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的外角定理，属于基本题型，熟练掌握上述基础知识是解题的关键．
18. 如图，已知 ，，，，…，则点的坐标为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得各个点分别位于象限角平分线上（和第四象限内的点除外），逐步探索出下标和各点坐标之间的关系，总结出规律，根据规律推理点的坐标．
【详解】解：由图象得，点A的坐标有4种情况，依次在四个象限，
∵，
∴点在第三象限，且转动了506圈上，
∴的坐标为．
故答案为：．
三、解答题：（19题、20题、23题每题5分；21题、22题每题8分；24题—26题每题6分；27题7分；28题8分，共64分）
19. 如图，已知点P在的边上．

（1）过点P作边的垂线l；
（2）过点P作边的垂线段；
（3）过点O作的平行线交l于点E，比较三条线段的大小，并用“>”连接得 ，得此结论的依据是 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3），垂线段最短
【解析】
【分析】此题考查了垂直的定义，垂线段最短的性质，
（1）根据垂直的定义作图即可；
（2）根据垂直的定义作图即可；
（3）根据垂线段最短判断三条线段的大小即可．
【小问1详解】
如图，直线l即为所求；
【小问2详解】
如图，即为所求；
【小问3详解】
过点O作，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
理由是：垂线段最短．
20. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】直接利用立方根的性质以及二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【详解】解：
=
=
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
21. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】本题考查了利用平方根和立方根解方程，能把方程利用平方根和立方根转化成一元一次方程是解此题的关键．
（1）根据平方根的性质求解即可；
（2）根据立方根的性质求解即可．
【小问1详解】
∴或
解得或；
【小问2详解】
解得．
22. 按要求解下列不等式（组）．
（1）解关于x的不等式，并将解集用数轴表示出来．
（2）解不等式组，将解集用数轴表示出来，并写出它的所有整数解．
【答案】（1）x≥，数轴见解析；（2）-3＜x≤1，数轴见解析，整数解-2，-1，0，1
【解析】
【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【详解】解：（1），
去分母得：6-2（2x-1）≤3（1+x），
去括号得：6-4x+2≤3+3x，
移项得：-4x-3x≤3-6-2，
合并同类项得：-7x≤-5，
系数化成1得：x≥，
在数轴上表示为：
（2），
解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x＞-3，
所以不等式组的解集是-3＜x≤1，
在数轴上表示不等式组的解集为：
所以不等式组的整数解是-2，-1，0，1．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式（组）的解集，不等式组的整数解等知识点，能求出不等式或不等式组的解集是解此题的关键．
23. 已知正实数的两个平方根分别是和．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据平方根的定义，得，再化简即可；
（2）联立，再解二元一次方程组，求出解，再根据平方根的定义即可．
【小问1详解】
解：正实数的两个平方根分别是和，
，
，
若，则；
【小问2详解】
解：联立，得，
．
【点睛】此题主要考查了平方根的性质和应用，解二元一次方程组，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
24. 完成下面的解题过程．
已知：如图，，平分，求．
解：∵（对顶角相等）
又∵
∴
∴（ ）
∴（ ）
∵
∴
∵平分
∴_____=_____
∴______．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行线的性质与判定，先由同位角相等，两直线平行证AB∥CD，再由两直线平行，同旁内角互补得∠BMN+∠3=180°，再根据角平分线的定义进行推理即可求出∠3．
【详解】解：∵∠1=∠AME（对顶角相等），
又∵∠1=∠2=40°，
∴∠2=∠AME．
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），
∴∠BMN+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠1+∠BME=180°，
∴∠BME=140°．
∵MN平分∠BME，
∴∠BMN=∠BME=70°，
∴∠3=110°．
【点睛】本题考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定定理，认真推敲，逐步推理是解题关键．
25. 如图，点在线段上，点，在线段上，，．
（1）求证：；
（2）若于点，平分，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质与判定及角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．（1）由，得，可得，即可求证；（2）由得，可得，根据角平分线的定义得，再由，即可求解．
【小问1详解】
解：证明：，
，
，
，
；
【小问2详解】
，
，
，
，
平分，
，
，
，
．
26. 已知关于x，y的方程组的解，x，y均为负数．
（1）求m的取值范围；
（2）化简：|m-5|+|m+1|
【答案】（1）﹣1＜m＜1；（2）6
【解析】
【分析】（1）先利用加减消元法求出方程组的解，再根据x，y均为负数列出关于m的不等式组，再解不等式组即可；
（2）根据﹣1＜m＜1可得m﹣5＜0，m+1＞0，由此即可化简|m-5|+|m+1|得到答案．
【详解】解：（1）
①+②得：3x＝3m﹣3
解得x＝m﹣1，
把x＝m﹣1，代入②得：
y＝﹣m﹣1
∵x，y均为负数，
∴
由③得m＜1，
由④得m＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜m＜1，
∴m的取值范围为﹣1＜m＜1；
（2）∵﹣1＜m＜1，
∴m﹣5＜0，m+1＞0，
∴|m﹣5|+|m+1|＝5﹣m+m+1
＝6．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法和一元一次不等式组的解法以及绝对值的化简，熟练掌握二元一次方程组及一元一次不等式组的解法是解决本题的关键．
27. 快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需14万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需24万元；两种机器人的单价与每小时分拣快递的数量如下表：
（1）求购买甲、乙两种型号的机器人所需的单价m和n分别为多少万元/台？
（2）若该公司计划购买这两种型号的机器人共8台，购买总费用不超过41万元，并且使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8300件，则该公司有几种购买方案？哪种方案费用最低，最低费用是多少万元？
【答案】（1）甲、乙两种型号的机器人每台价格分别是6万元、4万元；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需14万元和购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需24万元，列出方程组，进行求解即可；
（2）设该公可购买甲型机器人a台，乙型机器人（8-a）台，根据两种型号的机器人共8台，购买总费用不超过41万元和总和不少于8300件，列出不等式组，求出a的取值范围，再利用一次函数找到费用最低值．
详解】解：（1）根据题意得：
，
解得：，
答：甲、乙两种型号的机器人每台价格分别是6万元、4万元．
（2）设该公可购买甲型机器人台，乙型机器人台，根据题意得：
，
解得：，
为正整数，
的取值为2，3，4，
该公司有3种购买方案，分别是
购买甲型机器人2台，乙型机器人6台，
购买甲型机器人3台，乙型机器人5台，
购买甲型机器人4台，乙型机器人4台，
当a=2时，费用为2×6+6×4=36万元，
当a=3时，费用为3×6+5×4=38万元，
当a=4时，费用为4×6+4×4=40万元，
∴当时，费用最小，且为36万元，
该公司购买甲型机器人2台，乙型机器人6台这个方案费用最低，最低费用是36万元．
【点睛】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的关系是解决问题的关键．
28. 在数学实践课上，老师让同学们借助“两条平行线和一副直角三角尺”开展数学活动．

（1）如图①，小明把三角尺角的顶点G放在直线上，．若，则______°；
（2）如图②，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在直线上，请用等式表示与之间满足的数量关系_________________（不用证明）；
（3）在图②的基础上，小亮把三角尺角的顶点放在点F处，即． 如图③，平分交直线于点M，平分交直线于点N． 将含角的三角尺绕着点F转动，且使始终在的内部，请问的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）不变，
【解析】
【分析】本题考查平行线性质与判定，解题关键是熟练掌握并灵活运用平行线的性质．
（1）根据两直线平行，同位角相等证出，即，又因为，得到，再等量代换，得出，即可解答；
（2）过点F作，根据两直线平行，内错角相等即可解答，也是平行线+折线（一个折点）模型问题；
（3）由（2）方法二证明，设，再根据共顶点的，角，用含α的式子表示出，，再根据即可解答．
【小问1详解】
如图①∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴．
故答案为：80；
【小问2详解】
过点F作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：；
【小问3详解】
不变，，
理由如下：
∵分别平分，
∴，，
设，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
由②方法可得，
即．
四、选做题（共2小题，满分10分）
29. 若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“友好方程”，例如：方程的解为．不等式组的解集为．因为．所以称方程为不等式组，的“友好方程”．
（1）请你写出一个方程 ，使它和不等式组为“友好方程”；
（2）若关于方程是不等式组的“友好方程”，求的取值范围；
（3）若关于的方程是关于的不等式组的“友好方程”，且此时不等式组有3个整数解，试求的取值范围．
【答案】（1）（答案不唯一）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）分别解每一个不等式，得到不等式组的解集，再根据“友好方程”的定义即可得到答案；
（2）分别解每一个不等式，得到不等式组的解集，再求出方程的解，根据“友好方程”的定义即可得到关于的不等式组，解不等式组即可得到答案；
（3）分别解每一个不等式，得到不等式组的解集，再求出方程的解，最后根据不等式组有3个整数解，以及“友好方程”的定义进行计算即可得到答案．
【小问1详解】
解：解不等式，
得，
解不等式，
得，
不等式组的解集为：，
的解为，且，
是不等式组的“友好方程”，
故答案为：（答案不唯一）；
【小问2详解】
解：解不等式，
得，
解不等式，
得，
∴的解集为：，
关于的方程的解为：，
∵关于的方程是不等式组的“友好方程”，
∴在范围内，
∴，
解得：；
【小问3详解】
解：解不等式，
得，
解不等式，
得，
∴的解集为：，
∵此时不等式组有3个整数解，
∴，
解得：
关于的方程的解为，
∵关于的方程是不等式组的“友好方程”，
∴在范围内，
∴，
解得：，
综上所述，．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程、解不等式组，熟练掌握一元一次方程及不等式组的解法，读懂题意，理解“友好方程”的定义，是解题的关键．
30. 在中，，，点是直线上一动点（与点，不重合），连接．过点作于点，交直线于点，设．
（1），，根据题意补全图形，求的度数；（若有多种情况，请在不同的备用图中分别画出）；
（2）若点在射线上运动，直接写出的大小．（用含，的式子表示）．
【答案】（1）或
（2）或或
【解析】
【分析】本题考查作图复杂作图，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
（1）分两种情形：如图1中，当点在的左侧时，如图2中，当点在的右侧时，分别求解即可；
（2）分三种情形：分别画出图形解决问题即可．
【小问1详解】
解：如图1中，当点在的左侧时，
，，，
，，
，
，
，
．
如图2中，当点在的右侧时，
同法可得，考点；
综上所述，的度数为或；
【小问2详解】
解：如图中，
，，
，
，
；
如图中，

，
；，
，
，，，
，，
，
；
如图中，
，，
，
，
；
综上所述，或或．
甲型机器人
乙型机器人
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