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08，2023年河南省南阳第二十一学校中考数学模拟预测题
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这是一份08，2023年河南省南阳第二十一学校中考数学模拟预测题，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 的绝对值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，绝对值：数轴上的数离原点之间的距离叫做这个数的绝对值，根据 即可得出答案．
【详解】解：，
绝对值：3．
故选：B．
2. 年，阳城县完成生产总值亿元，同比增长，数据亿元用科学记数法可表示为（ ）
A. 元B. 元C. 元D. 元
【答案】D
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
【详解】解：亿元元元．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
3. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是( )
试卷源自 每日更新，汇集全国各地小初高最新试卷。A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据几何体的三视图可进行求解．
【详解】解：由题意可知该几何体的主视图为 ；
故选B．
【点睛】本题主要考查三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．
4. 如图，，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠2的度数为（ ）
A. 45°B. 50°C. 57.5°D. 65°
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线及角平分线的性质即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴∠AEC=∠1（两直线平行，内错角相等），
∵EC平分∠AED，
∴∠AEC=∠CED=∠1，
∵∠1=65°，
∴∠CED =∠1=65°，
∴∠2=180°-∠CED -∠1=180°-65°-65°=50°．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题关键根据直线平行和角平分线的性质得出角度之间的关系即可得出答案．
5. 下列各项调查中，最适合用全面调查（普查）的是（ ）
A. 了解国外观众对电影《少年的你》的观影感受
B. 了解毕节市七年级学生每日睡眠时间
C. “长征火箭”发射前，检查其各零部件的合格情况
D. 检测一批新出厂的手机的使用寿命
【答案】C
【解析】
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【详解】解：A、了解国内外观众对电影《流浪地球》的观影感受，适合抽样调查；
B、了解毕节市七年级学生每日睡眠时间，适合抽样调查；
C、“长征-3B火箭”发射前，检查其各零部件的合格情况，适合全面调查；
D、检测一批新出厂的手机的使用寿命，适合抽样调查；
故选：C．
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根的判定方法结合具体的数值列式解答即可．
【详解】一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
，
该方程是一元二次方程，
，
的取值范围是且，故D正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查学生对一元二次方程实数根判别式的理解，掌握一元二次方程的判别式是解题的关键．
7. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到抛物线，则b，c的值为（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】先将关系式化为顶点式，再根据平移规律解答即可．
【详解】解：二次函数的图象向上平移2个单位，再向左平移3个单位，
∴平移后解析式为：，
则，．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，掌握平移规律是解题的关键．
8. 如图，在菱形中，在对角线上取一点E，使得，连接，若，，则的长为（ ）
A. 4B. 5C. 6D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图所示，连接交于O，利用菱形的性质得到，，设，则，利用勾股定理得到，即，解方程即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接交于O，
∵四边形是菱形，
∴，，
设，则，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，解一元二次方程，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
9. 如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，分别以点A、O为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交x轴于点B，C是MN上一点，连接AC、OC，将OC绕点O逆时针旋转60°，点C落到点D处，CD交y轴于点E.若，点A的坐标是（6，0），则点D关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由尺规作图的步骤可判断MN为线段OA的垂直平分线，借助可证明为等边三角形，由旋转可知，过点D作轴，垂足为H，利用三角函数解直角三角形确定DH、OH的长度即可得到D点坐标，最后确定点D关于x轴对称的点的坐标即可．
【详解】解：由题意可知，MN为线段OA的垂直平分线，即，，
∴，
∵，
∴为等边三角形，，
∵点A坐标是（6，0），即，
∴，
∵OD由OC旋转60°得到，过点D作轴，垂足为H，
则，，
在中，
，
，
∴点D的坐标为，
其关于x轴对称的点的坐标是．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的作法、等边三角形的性质、几何图形的旋转及三角函数解直角三角形等知识，综合性强，解题关键是根据题意弄清几何图形的变化，灵活运用相关知识进行解答．
10. 近视眼镜是一种为了矫正视力，让人们可以清晰看到远距离物体的凹透镜片．研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A. 当x的值增大时，y的值随之减小
B. 当焦距x为时，近视眼镜的度数y为500度
C. 当焦距x为时，近视眼镜的度数y约300度
D. 某人近视度数400度，镜片焦距应该调试为
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质可以判断A；利用已知解析式代入相关数据可以判断B，C，D．
【详解】∵近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距的关系式为，
∴当x的值增大时，y的值随之减小，故A正确，不符合题意；
将代入，y值为500，故B正确，不符合题意；
将．代入，y值约为333，故C正确，不符合题意；
将代入，x值为0.25，故D错误，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，正确利用反比例函数的性质是解题关键．
二、填空题（每题3分，共15分）
11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是____________．
【答案】x⩾5
【解析】
【分析】直接利用二次根式的概念，形如(a⩾0)的式子叫做二次根式，进而得出答案．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴x−5⩾0，
解得：x⩾5，
则实数x的取值范围是：x⩾5
故答案为：x⩾5．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
12. 如图，内接于，是的直径，，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据是的直径，则，从而有,从而求得，再根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵是的直径，，
∴，
∴,
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，直角三角形的两锐角互余等知识，熟练掌握直径所对的圆周角为直角是解题的关键．
13. 如图，随机闭合开关中的两个，灯泡不能够发光的概率是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查列表法与画树状图法求概率，熟练掌握画树形图法和列表法求概率的应用情境是解题的关键，列表法是当一个事件涉及三个或三个以下元素时，列举出所有可能的结果，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用画树形图法列出所有情况，根据题意利用列表法列出不能让灯泡发光的情况利用概率公式进行计算即可求解．
【详解】解：根据题意列表如下：
共有6种等可能的情况数，其中灯泡不发光的有2种，
∴能让灯泡发光的概率是．
故答案为：．
14. 如图，以为直径作半圆O，C为的中点，连接，以为直径作半圆P，交于点D．若，则图中阴影部分的面积为 _____．
【答案】##
【解析】
【分析】如图，连接，先由垂径定理的推理得到，再由圆周角定理得到，则由垂径定理可得，利用勾股定理求出的长，进而求出，再根据进行求解即可．
【详解】解：如图，连接．
∵C为的中点，
∴，
∵是小圆的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求不规则图形的面积，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，垂径定理的推理等等，熟知垂径定理和垂径定理的推论是解题的关键．
15. 如图所示，在中，，，为斜边中线，点P为线段上一动点，将线段绕点P逆时针旋转得线段，连接，，当垂直于的一边时，线段的值为 _________．
【答案】或
【解析】
【分析】根据和两种情况进行讨论，当时，根据得到，在中根据直角三角函数计算出和，从而计算出，当时，证明，得到，得到，再根据勾股定理计算出．
【详解】解：①当时，如图1所示，
，，
，
．
为斜边中线，
，
．
在中，，，
，，
，，
；
②当时；如图2所示，过点Q作于点D．
，，
．
．
，．
．
在中，．
综上，线段的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查直角三角形的性质和解直角三角形，勾股定理，旋转的性质，解题的关键是掌握解直角三角形的相关知识．
三、解答题（共75分）
16. 计算：
（1）；
（2）化简：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算以及整式的除法运算、多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
（1）直接利用特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案；
（2）直接利用多项式乘多项式以及整式的除法运算法则计算，进而得出答案．
小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
17. 为落实国家“双减”政策，某中学在课后托管时间里开展了围棋社团、书法社团、合唱社团、剪纸社团活动．该校从全校名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪 种社团活动(每人必选且只选一种)”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的 统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）你最喜欢社团活动问卷调查中，众数是______，条形统计图中的值为______；
（2）求扇形统计图中的度数；
（3）根据调查结果，可估计该校名学生中最喜欢“书法社团”的约有多少人？
【答案】（1）(书法社团)；
（2）扇形统计图中的度数
（3）估计该校名学生中最喜欢“书法社团”的约有人
【解析】
【分析】（1）根据众数的定义，结合统计图即可求解；根据(或书法社团)的人数的占比求得样本的容量，进而求得的值；
（2）根据合唱社团的人数除以样本的容量，乘以度，即可求解；
（3）样乘以，即可求解．
【小问1详解】
解：你最喜欢社团活动问卷调查中，众数是B(或书法社团)；
样本容量为：，
故．
故答案为：书法社团；；
【小问2详解】
解：由题意得，；
【小问3详解】
解：名)，
答：估计该校名学生中最喜欢“书法社团”的约有人．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
18. 春天是放风筝的好季节，如图，小张同学在花雨广场处放风筝，风筝位于处，风筝线长为，从处看风筝的仰角为，小张的父母从处看风筝的仰角为．
（1）风筝离地面多少米？
（2）小张和父母的直线距离是多少米？（结果精确到，参考数据：，，，，）
【答案】（1）风筝离地面约米
（2）
【解析】
【分析】（1）过点作于点，根据，解出，即可；
（2）由（1）得，，根据，；根据，即可．
【小问1详解】
如图，所示：
过点作于点，
∵，
∴，
∴风筝离地面米．
【小问2详解】
由（1）得，，
∵，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴（米）．
【点睛】本题考查锐角三角函数的知识，解题的关键是掌握锐角三角函数的关系．
19. 如图，一次函数y＝－x＋5的图象与反比例函数 （k≠0）在第一象限的图象交于A（1，n）和B两点．
（1）求反比例函数的表达式与点B的坐标；
（2）在第一象限内，当一次函数y＝－x＋5的值小于反比例函数 （k≠0）的值时，直接写出自变量x的取值范围 ．
【答案】（1）反比例函数的表达式为，B的坐标为（4，1）；
（2）或
【解析】
【分析】（1）将点A 的横坐标代入直线的解析式求出点A的坐标，然后将的A的坐标代入反比例函数的解析式即可；
（2）一次函数y＝−x＋5的值大于反比例函数（k≠0）的值时，双曲线便在直线的下方，所以求出直线与双曲线及x轴的交点后可由图象直接写出其对应的x取值范围．
【小问1详解】
解：∵一次函数y＝－x＋5的图象过点A（1，n），
∴n＝－1＋5＝4
∴点A坐标为（1，4），
∵反比例函数 （k≠0）过点A（1，4），
∴k＝4，
∴反比例函数的表达式为
联立，解得，，
即点B坐标为（4，1）
【小问2详解】
解：如图：
由图象可知：当或时一次函数y＝−x＋5的值小于反比例函数的值．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握反比例函数与一次函数的交点与它们的解析式的关系．
20. 如图1，独轮车俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，是交通运输工具史上的一项重要发明，至今在我国农村和一些边远地区仍然广泛使用．如图2所示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在中，以的边为直径作，交于点P，是的切线，且，垂足为点D．
（1）求证：；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）5
【解析】
【分析】（1）连接，如图2，先根据切线的性质得到，则可判断，所以，然后利用可得到结论；
（2）连接，如图2，先利用勾股定理计算出，再根据圆周角定理得到，接着证明，则利用相似比可计算出，然后利用得到，从而得到的半径．
【小问1详解】
解：证明：连接，如图，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
连接，如图2，
在中，，
，
为直径，
，
，，
，
，即，
解得，
，
，
的半径为5．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
21. 为了响应“足球进校园”的号召，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买6个A品牌足球和4个B品牌足球共需960元；购买5个A品牌足球和2个B品牌足球共需640元．
（1）求A，B两种品牌足球的单价．
（2）若该校计划从某商城网购A，B两种品牌的足球共20个，其中购买A品牌的足球不少于3个且不多于7个，则该校购买这些足球最少需要多少钱？
【答案】（1）A种品牌的足球单价为80元，B种品牌的足球单价为120元
（2）学校最少需要花费2120元
【解析】
【分析】（1）根据购买6个品牌的足球和4个品牌的足球共需960元；购买5个品牌的足球和2个品牌的足球共需640元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）设购买种品牌的足球个，则两种品牌的足球个，然后根据购买品牌的足球不少于3个且不多于7个，可以得到的取值范围，再依次代入计算可得结果．
【小问1详解】
解：设种品牌的足球单价为元，种品牌的足球单价为元，
由题意可得：，
解得，
答：种品牌的足球单价为80元，种品牌的足球单价为120元；
【小问2详解】
若购品牌的足球个，则购买品牌的足球个，
则共需要元，
购买品牌的足球不少于3个且不多于7个，
购买品牌的足球有3个或4个或5个或6个或7个，
分别代入可得：当购买品牌足球7个时，式子取得最小值，原式，
答：学校最少需要花费2120元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、列代数式以及求值，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的代数式．
22. 如图，已知抛物线（为常数，）交轴于、两点，交轴于，将该抛物线位于直线（为常数，）下方的部分沿直线翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象”．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若时，直线与图象有三个交点，求的值；
（3）若直线与图象有四个交点，直接写出的取值范围．
【答案】（1）；
（2）或；
（3）．
【解析】
【分析】（）利用待定系数法即可求得；
（）利用数形结合找出当经过点或者与相切时，直线与新图象恰好有三个不同的交点，当直线经过点时，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出值；当与相切时，联立一次函数解析式和抛物线解析式，利用根的判别式，即可求出值．综上即可得出结论；
（）求得直线与的交点，以及当与相切时的值，即可求得的取值范围．
【小问1详解】
解：由题意得，解得，
∴该抛物线的表达式为；
【小问2详解】
解：时，由图象得直线与图象有三个交点时，存在两种情况：
当直线过点时，与图象有三个交点，此时；
当直线与图象位于线段上方部分对应的函数图象相切时，
，
∴，
由，
解得；
综上，的值是或；
【小问3详解】
解：将该抛物线位于直线（为常数，）下方的部分沿直线翻折，得到，
令，则，
由，
∴，
由，解得，
∴若直线与图象有四个交点，的取值范围是．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，翻折的性质，两函数交点问题以及根的判别式，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
23. 综合与实践
问题情境：
在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
操作发现：
某数学小组对图1的矩形纸片ABCD进行如下折叠操作∶
第一步∶如图2，把矩形纸片ABCD对折，使AD与 BC重合，得到折痕MN，然后把纸片展开；
第二步∶如图3，将图 2中的矩形纸片沿过点B的直线折叠，使得点A落在MN上的点处，折痕与 AD交于点E，然后展开纸片，连接，，．
问题解决：
（1）请在图 2中利用尺规作图，作出折痕 BE；（保留作图痕迹）
（2）请你判断图3中△ ABA'的形状，并说明理由；
（3）如图4，折痕BE与MN交于点F，BA'的延长线交直线CD于点P，若MF＝1，BC＝7，请你直接写出PD的长．
【答案】（1）见解析 （2）是等边三角形，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）以点B为圆心，BA的长为半径作弧交MN于点A’，连接BA’，作∠ABA'的角平分线交AD于点E；
（2）由折叠可知，，，，
可得，推出，进而可得是等边三角形；
（3）由等边三角形的性质可求得MF为的中位线，得到进而求得再根据矩形的性质及平行线的性质求得最后求得PD的长．
【小问1详解】
如图，线段BE即为所求．
【小问2详解】
是等边三角形．
证明：由折叠可知，，，，
∴，
∴，
∴．
在中，．
∵，，
∴是等边三角形．
【小问3详解】
∵是等边三角形，
∴
∵MN//AD//BC，
∴M为AB的中点，MF=1，
∴MF为的中位线，
∵矩形纸片沿过点B的直线折叠，使得点A落在MN上的点处，
∵四边形ABCD为矩形，BC=7，
∴
AD//BC，
∵AD//BC，
∴在Rt△HDP中，
∴PD=
【点睛】本题考查四边形的综合问题、动点问题及锐角三角函数的定义．解题的关键在与分析动点的运动状态，特别是要准确地判断零界点发生的条件，并计算位置．
S1
S2
S3
S1
S1，S2
S1，S3
S2
S2，S1
S2，S3
S3
S3，S1
S3，S2
1. 的绝对值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，绝对值：数轴上的数离原点之间的距离叫做这个数的绝对值，根据 即可得出答案．
【详解】解：，
绝对值：3．
故选：B．
2. 年，阳城县完成生产总值亿元，同比增长，数据亿元用科学记数法可表示为（ ）
A. 元B. 元C. 元D. 元
【答案】D
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
【详解】解：亿元元元．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
3. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是( )
试卷源自 每日更新，汇集全国各地小初高最新试卷。A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据几何体的三视图可进行求解．
【详解】解：由题意可知该几何体的主视图为 ；
故选B．
【点睛】本题主要考查三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．
4. 如图，，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠2的度数为（ ）
A. 45°B. 50°C. 57.5°D. 65°
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线及角平分线的性质即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴∠AEC=∠1（两直线平行，内错角相等），
∵EC平分∠AED，
∴∠AEC=∠CED=∠1，
∵∠1=65°，
∴∠CED =∠1=65°，
∴∠2=180°-∠CED -∠1=180°-65°-65°=50°．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题关键根据直线平行和角平分线的性质得出角度之间的关系即可得出答案．
5. 下列各项调查中，最适合用全面调查（普查）的是（ ）
A. 了解国外观众对电影《少年的你》的观影感受
B. 了解毕节市七年级学生每日睡眠时间
C. “长征火箭”发射前，检查其各零部件的合格情况
D. 检测一批新出厂的手机的使用寿命
【答案】C
【解析】
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【详解】解：A、了解国内外观众对电影《流浪地球》的观影感受，适合抽样调查；
B、了解毕节市七年级学生每日睡眠时间，适合抽样调查；
C、“长征-3B火箭”发射前，检查其各零部件的合格情况，适合全面调查；
D、检测一批新出厂的手机的使用寿命，适合抽样调查；
故选：C．
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根的判定方法结合具体的数值列式解答即可．
【详解】一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
，
该方程是一元二次方程，
，
的取值范围是且，故D正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查学生对一元二次方程实数根判别式的理解，掌握一元二次方程的判别式是解题的关键．
7. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到抛物线，则b，c的值为（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】先将关系式化为顶点式，再根据平移规律解答即可．
【详解】解：二次函数的图象向上平移2个单位，再向左平移3个单位，
∴平移后解析式为：，
则，．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，掌握平移规律是解题的关键．
8. 如图，在菱形中，在对角线上取一点E，使得，连接，若，，则的长为（ ）
A. 4B. 5C. 6D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图所示，连接交于O，利用菱形的性质得到，，设，则，利用勾股定理得到，即，解方程即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接交于O，
∵四边形是菱形，
∴，，
设，则，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，解一元二次方程，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
9. 如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，分别以点A、O为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交x轴于点B，C是MN上一点，连接AC、OC，将OC绕点O逆时针旋转60°，点C落到点D处，CD交y轴于点E.若，点A的坐标是（6，0），则点D关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由尺规作图的步骤可判断MN为线段OA的垂直平分线，借助可证明为等边三角形，由旋转可知，过点D作轴，垂足为H，利用三角函数解直角三角形确定DH、OH的长度即可得到D点坐标，最后确定点D关于x轴对称的点的坐标即可．
【详解】解：由题意可知，MN为线段OA的垂直平分线，即，，
∴，
∵，
∴为等边三角形，，
∵点A坐标是（6，0），即，
∴，
∵OD由OC旋转60°得到，过点D作轴，垂足为H，
则，，
在中，
，
，
∴点D的坐标为，
其关于x轴对称的点的坐标是．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的作法、等边三角形的性质、几何图形的旋转及三角函数解直角三角形等知识，综合性强，解题关键是根据题意弄清几何图形的变化，灵活运用相关知识进行解答．
10. 近视眼镜是一种为了矫正视力，让人们可以清晰看到远距离物体的凹透镜片．研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A. 当x的值增大时，y的值随之减小
B. 当焦距x为时，近视眼镜的度数y为500度
C. 当焦距x为时，近视眼镜的度数y约300度
D. 某人近视度数400度，镜片焦距应该调试为
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质可以判断A；利用已知解析式代入相关数据可以判断B，C，D．
【详解】∵近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距的关系式为，
∴当x的值增大时，y的值随之减小，故A正确，不符合题意；
将代入，y值为500，故B正确，不符合题意；
将．代入，y值约为333，故C正确，不符合题意；
将代入，x值为0.25，故D错误，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，正确利用反比例函数的性质是解题关键．
二、填空题（每题3分，共15分）
11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是____________．
【答案】x⩾5
【解析】
【分析】直接利用二次根式的概念，形如(a⩾0)的式子叫做二次根式，进而得出答案．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴x−5⩾0，
解得：x⩾5，
则实数x的取值范围是：x⩾5
故答案为：x⩾5．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
12. 如图，内接于，是的直径，，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据是的直径，则，从而有,从而求得，再根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵是的直径，，
∴，
∴,
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，直角三角形的两锐角互余等知识，熟练掌握直径所对的圆周角为直角是解题的关键．
13. 如图，随机闭合开关中的两个，灯泡不能够发光的概率是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查列表法与画树状图法求概率，熟练掌握画树形图法和列表法求概率的应用情境是解题的关键，列表法是当一个事件涉及三个或三个以下元素时，列举出所有可能的结果，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用画树形图法列出所有情况，根据题意利用列表法列出不能让灯泡发光的情况利用概率公式进行计算即可求解．
【详解】解：根据题意列表如下：
共有6种等可能的情况数，其中灯泡不发光的有2种，
∴能让灯泡发光的概率是．
故答案为：．
14. 如图，以为直径作半圆O，C为的中点，连接，以为直径作半圆P，交于点D．若，则图中阴影部分的面积为 _____．
【答案】##
【解析】
【分析】如图，连接，先由垂径定理的推理得到，再由圆周角定理得到，则由垂径定理可得，利用勾股定理求出的长，进而求出，再根据进行求解即可．
【详解】解：如图，连接．
∵C为的中点，
∴，
∵是小圆的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求不规则图形的面积，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，垂径定理的推理等等，熟知垂径定理和垂径定理的推论是解题的关键．
15. 如图所示，在中，，，为斜边中线，点P为线段上一动点，将线段绕点P逆时针旋转得线段，连接，，当垂直于的一边时，线段的值为 _________．
【答案】或
【解析】
【分析】根据和两种情况进行讨论，当时，根据得到，在中根据直角三角函数计算出和，从而计算出，当时，证明，得到，得到，再根据勾股定理计算出．
【详解】解：①当时，如图1所示，
，，
，
．
为斜边中线，
，
．
在中，，，
，，
，，
；
②当时；如图2所示，过点Q作于点D．
，，
．
．
，．
．
在中，．
综上，线段的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查直角三角形的性质和解直角三角形，勾股定理，旋转的性质，解题的关键是掌握解直角三角形的相关知识．
三、解答题（共75分）
16. 计算：
（1）；
（2）化简：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算以及整式的除法运算、多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
（1）直接利用特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案；
（2）直接利用多项式乘多项式以及整式的除法运算法则计算，进而得出答案．
小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
17. 为落实国家“双减”政策，某中学在课后托管时间里开展了围棋社团、书法社团、合唱社团、剪纸社团活动．该校从全校名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪 种社团活动(每人必选且只选一种)”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的 统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）你最喜欢社团活动问卷调查中，众数是______，条形统计图中的值为______；
（2）求扇形统计图中的度数；
（3）根据调查结果，可估计该校名学生中最喜欢“书法社团”的约有多少人？
【答案】（1）(书法社团)；
（2）扇形统计图中的度数
（3）估计该校名学生中最喜欢“书法社团”的约有人
【解析】
【分析】（1）根据众数的定义，结合统计图即可求解；根据(或书法社团)的人数的占比求得样本的容量，进而求得的值；
（2）根据合唱社团的人数除以样本的容量，乘以度，即可求解；
（3）样乘以，即可求解．
【小问1详解】
解：你最喜欢社团活动问卷调查中，众数是B(或书法社团)；
样本容量为：，
故．
故答案为：书法社团；；
【小问2详解】
解：由题意得，；
【小问3详解】
解：名)，
答：估计该校名学生中最喜欢“书法社团”的约有人．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
18. 春天是放风筝的好季节，如图，小张同学在花雨广场处放风筝，风筝位于处，风筝线长为，从处看风筝的仰角为，小张的父母从处看风筝的仰角为．
（1）风筝离地面多少米？
（2）小张和父母的直线距离是多少米？（结果精确到，参考数据：，，，，）
【答案】（1）风筝离地面约米
（2）
【解析】
【分析】（1）过点作于点，根据，解出，即可；
（2）由（1）得，，根据，；根据，即可．
【小问1详解】
如图，所示：
过点作于点，
∵，
∴，
∴风筝离地面米．
【小问2详解】
由（1）得，，
∵，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴（米）．
【点睛】本题考查锐角三角函数的知识，解题的关键是掌握锐角三角函数的关系．
19. 如图，一次函数y＝－x＋5的图象与反比例函数 （k≠0）在第一象限的图象交于A（1，n）和B两点．
（1）求反比例函数的表达式与点B的坐标；
（2）在第一象限内，当一次函数y＝－x＋5的值小于反比例函数 （k≠0）的值时，直接写出自变量x的取值范围 ．
【答案】（1）反比例函数的表达式为，B的坐标为（4，1）；
（2）或
【解析】
【分析】（1）将点A 的横坐标代入直线的解析式求出点A的坐标，然后将的A的坐标代入反比例函数的解析式即可；
（2）一次函数y＝−x＋5的值大于反比例函数（k≠0）的值时，双曲线便在直线的下方，所以求出直线与双曲线及x轴的交点后可由图象直接写出其对应的x取值范围．
【小问1详解】
解：∵一次函数y＝－x＋5的图象过点A（1，n），
∴n＝－1＋5＝4
∴点A坐标为（1，4），
∵反比例函数 （k≠0）过点A（1，4），
∴k＝4，
∴反比例函数的表达式为
联立，解得，，
即点B坐标为（4，1）
【小问2详解】
解：如图：
由图象可知：当或时一次函数y＝−x＋5的值小于反比例函数的值．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握反比例函数与一次函数的交点与它们的解析式的关系．
20. 如图1，独轮车俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，是交通运输工具史上的一项重要发明，至今在我国农村和一些边远地区仍然广泛使用．如图2所示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在中，以的边为直径作，交于点P，是的切线，且，垂足为点D．
（1）求证：；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）5
【解析】
【分析】（1）连接，如图2，先根据切线的性质得到，则可判断，所以，然后利用可得到结论；
（2）连接，如图2，先利用勾股定理计算出，再根据圆周角定理得到，接着证明，则利用相似比可计算出，然后利用得到，从而得到的半径．
【小问1详解】
解：证明：连接，如图，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
连接，如图2，
在中，，
，
为直径，
，
，，
，
，即，
解得，
，
，
的半径为5．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
21. 为了响应“足球进校园”的号召，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买6个A品牌足球和4个B品牌足球共需960元；购买5个A品牌足球和2个B品牌足球共需640元．
（1）求A，B两种品牌足球的单价．
（2）若该校计划从某商城网购A，B两种品牌的足球共20个，其中购买A品牌的足球不少于3个且不多于7个，则该校购买这些足球最少需要多少钱？
【答案】（1）A种品牌的足球单价为80元，B种品牌的足球单价为120元
（2）学校最少需要花费2120元
【解析】
【分析】（1）根据购买6个品牌的足球和4个品牌的足球共需960元；购买5个品牌的足球和2个品牌的足球共需640元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）设购买种品牌的足球个，则两种品牌的足球个，然后根据购买品牌的足球不少于3个且不多于7个，可以得到的取值范围，再依次代入计算可得结果．
【小问1详解】
解：设种品牌的足球单价为元，种品牌的足球单价为元，
由题意可得：，
解得，
答：种品牌的足球单价为80元，种品牌的足球单价为120元；
【小问2详解】
若购品牌的足球个，则购买品牌的足球个，
则共需要元，
购买品牌的足球不少于3个且不多于7个，
购买品牌的足球有3个或4个或5个或6个或7个，
分别代入可得：当购买品牌足球7个时，式子取得最小值，原式，
答：学校最少需要花费2120元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、列代数式以及求值，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的代数式．
22. 如图，已知抛物线（为常数，）交轴于、两点，交轴于，将该抛物线位于直线（为常数，）下方的部分沿直线翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象”．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若时，直线与图象有三个交点，求的值；
（3）若直线与图象有四个交点，直接写出的取值范围．
【答案】（1）；
（2）或；
（3）．
【解析】
【分析】（）利用待定系数法即可求得；
（）利用数形结合找出当经过点或者与相切时，直线与新图象恰好有三个不同的交点，当直线经过点时，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出值；当与相切时，联立一次函数解析式和抛物线解析式，利用根的判别式，即可求出值．综上即可得出结论；
（）求得直线与的交点，以及当与相切时的值，即可求得的取值范围．
【小问1详解】
解：由题意得，解得，
∴该抛物线的表达式为；
【小问2详解】
解：时，由图象得直线与图象有三个交点时，存在两种情况：
当直线过点时，与图象有三个交点，此时；
当直线与图象位于线段上方部分对应的函数图象相切时，
，
∴，
由，
解得；
综上，的值是或；
【小问3详解】
解：将该抛物线位于直线（为常数，）下方的部分沿直线翻折，得到，
令，则，
由，
∴，
由，解得，
∴若直线与图象有四个交点，的取值范围是．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，翻折的性质，两函数交点问题以及根的判别式，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
23. 综合与实践
问题情境：
在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
操作发现：
某数学小组对图1的矩形纸片ABCD进行如下折叠操作∶
第一步∶如图2，把矩形纸片ABCD对折，使AD与 BC重合，得到折痕MN，然后把纸片展开；
第二步∶如图3，将图 2中的矩形纸片沿过点B的直线折叠，使得点A落在MN上的点处，折痕与 AD交于点E，然后展开纸片，连接，，．
问题解决：
（1）请在图 2中利用尺规作图，作出折痕 BE；（保留作图痕迹）
（2）请你判断图3中△ ABA'的形状，并说明理由；
（3）如图4，折痕BE与MN交于点F，BA'的延长线交直线CD于点P，若MF＝1，BC＝7，请你直接写出PD的长．
【答案】（1）见解析 （2）是等边三角形，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）以点B为圆心，BA的长为半径作弧交MN于点A’，连接BA’，作∠ABA'的角平分线交AD于点E；
（2）由折叠可知，，，，
可得，推出，进而可得是等边三角形；
（3）由等边三角形的性质可求得MF为的中位线，得到进而求得再根据矩形的性质及平行线的性质求得最后求得PD的长．
【小问1详解】
如图，线段BE即为所求．
【小问2详解】
是等边三角形．
证明：由折叠可知，，，，
∴，
∴，
∴．
在中，．
∵，，
∴是等边三角形．
【小问3详解】
∵是等边三角形，
∴
∵MN//AD//BC，
∴M为AB的中点，MF=1，
∴MF为的中位线，
∵矩形纸片沿过点B的直线折叠，使得点A落在MN上的点处，
∵四边形ABCD为矩形，BC=7，
∴
AD//BC，
∵AD//BC，
∴在Rt△HDP中，
∴PD=
【点睛】本题考查四边形的综合问题、动点问题及锐角三角函数的定义．解题的关键在与分析动点的运动状态，特别是要准确地判断零界点发生的条件，并计算位置．
S1
S2
S3
S1
S1，S2
S1，S3
S2
S2，S1
S2，S3
S3
S3，S1
S3，S2
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