2023年河南省开封市中考数学模拟预测题（原卷版+解析版）

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1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用倒数的定义，即若两个不为零的数的积为1，则这两个数互为倒数，即可一一判定．
【详解】解：的倒数为．
故选C．
【点睛】此题主要考查了倒数的定义，熟练掌握和运用倒数的求法是解决本题的关键．
2. 花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为0.000000037克，0.000000037用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据科学记数法的一般形式a×10n（1≤∣a∣＜10，n为整数），确定a和n值即可求解．
【详解】解：0.000000037=，
故选：C．
【点睛】本题考查科学记数法，熟知科学记数法的一般形式，正确确定a和n值是解答的关键．
3. 如图，一个几何体由5个大小相同的正方体搭成，则这个立体图形的俯视图是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图．
【详解】解：从上边看第一列是两个小正方形，第二列上层是一个小正方形，第三列上层是一个小正方形，
故选：D．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
4. 已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中斜边与直线交于点．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出∠AED=∠1+∠B=20°+45°=65°，再根据平行线的性质可知∠2=∠AED=65°．
【详解】解：设AB与直线n交于点E，
则∠AED=∠1+∠B=20°+45°=65°．
又直线m∥n，
∴∠2=∠AED=65°．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和三角形的外角性质．
5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别求出两个不等式的解集，进行判断即可．
【详解】，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
故选：A．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练求解一元一次不等式、掌握不等式组的解集在数轴上的表示方法．
6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A. k<1B. k≤1C. k>-1D. k>1
【答案】A
【解析】
【详解】∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：.
故选A.
7. 小红根据去年4~10月本班同学去孔子学堂听中国传统文化讲座的人数，绘制了如图所示的折线统计图，图中统计数据的众数和中位数是（ ）
A. 46，42B. 32，42C. 32，32D. 42，27
【答案】C
【解析】
【分析】先利用折线统计图得到7个数据，将这7个数按大小顺序排列，找到最中间的数即为中位数，根据众数的定义求得众数．
【详解】解：这组数据从大到小为：27，32，32，32，42，42，46，
故这组数据的中位数32．
32出现了3次，出现的次数最多，所以这组数据的众数为32人．
故选：C．
【点睛】本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示一定数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．也考查了众数和中位数的定义．
8. 小强上山和下山的路程都是千米，上山的速度为千米时，下山的速度为千米时，则小强上山和下山的平均速度为（ ）
A. 千米/时B. 千垙时
C. 千时D. 千米/时
【答案】D
【解析】
【分析】先表示出上山时间与下山时间，然后根据总路程除以总时间，即可求解．
【详解】解：依题意，上山所用时间为：，下山所用时间为：，
∴小强上山和下山的平均速度为，
故选：D．
【点睛】本题考查了列代数式，分式的加减运算，根据题意列出代数式是解题的关键．
9. 函数与（）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数与一次函数的图象特点解答即可．
【详解】时，，在一、二、四象限，在一、三象限，无选项符合．
时，，在一、三、四象限，（）在二、四象限，只有D符合；
故选D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由的取值确定函数所在的象限．
10. 如图1，在中，于点．动点从点出发，沿折线方向运动，运动到点停止．设点的运动路程为的面积为与的函数图象如图2，则的长为（ ）
A. 3B. 6C. 8D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】从图象可知，，点M运动到点 B位置时， 的面积达到最大值y=3，结合等腰三角形的“三线合一”的性质、三角形的面积公式和勾股定理可求得 AC的长．
【详解】解：根据函数图象可知，点M的运动路程，点 M运动到点B的位置时，的面积y达到最大值3，即的面积为3．
∵
∴
∴．
∴，即： ，
，即： ．
∵，
∴．
两式相加，得，2AD=6．
∴AC=2AD=6．
故选：B
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、等式的性质与恒等变形、函数图象等知识点，从函数图象中获取相应的信息，利用勾股定理和三角形的面积公式，进行等式的恒等变形是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 计算： _______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算等知识点，根据负指数次幂、算术平方根性质计算即可，熟练掌握其运算性质是解决此题的关键．
【详解】
，
故答案为：．
12. 如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60°，90°，210°．让转盘自由转动，则指针停止后落在黄色区域的概率是_____．
【答案】
【解析】
【分析】求出黄区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率．
【详解】解：∵黄扇形区域的圆心角为90°，
所以黄区域所占的面积比例为，
即转动圆盘一次，指针停在黄区域的概率是.
【点睛】此题考查几何概率的求法，事件（A）所表示的区域的面积与总面积的值，就是事件（A）发生的概率．
13. 若代数式与的值相等，则_________.
【答案】4
【解析】
【分析】根据代数式与的值相等，列出等式，解方程即可．
【详解】解：根据题意得：，
去分母得：，
移项合并同类项得：，
解得：．
经检验，x=4是原方程的解，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键在于根据题意列出方程，解方程时注意按步骤进行，并且需要验根．
14. 某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格．图中、分别表示去年、今年水费（元）与用水量（）之间的关系．小雨家去年用水量为150，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多_____元．
【答案】210．
【解析】
【分析】根据函数图象中的数据可以求得时，对应的函数解析式，从而可以求得时对应的函数值，由的的图象可以求得时对应的函数值，从而可以计算出题目中所求问题的答案，本题得以解决．
【详解】设当时，对应的函数解析式为，
，得，
即当时，对应的函数解析式为，
当时，，
由图象可知，去年的水价是（元/），故小雨家去年用水量为150，需要缴费：（元），
（元），
即小雨家去年用水量为150，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多210元，
故答案为210．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
15. 如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段FM的长度为______cm．
【答案】1
【解析】
【分析】根据翻折的性质，以勾股定理作方程，在△ENC中求出NC和EN，根据△NEC∽△EGB，利用比例求出GE，根据△FMG∽△BEG，利用比例求出FM．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC=CD=DA=8，
设NC＝a，
∵CD=8
∴DN=8-a
由折叠得，
在Rt△ENC中， EN2＝EC2+NC2
∴（8﹣a）2＝a2+42，解得a＝3
∴NC＝3，EN＝5
由折叠得
∴
而
∴
又
∴△NEC∽△EGB
∴
∴GE＝
∴FG＝8﹣＝
∵，
∴△FMG∽△BEG
∴
∴FM＝1
故答案为1
【点睛】本题考查翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. 计算：
（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）2 （2），6
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，实数的运算，求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂：
（1）先计算特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，再根据实数的运算法则求解即可得到答案；
（2）先利用完全平方公式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案．
【小问1详解】
解：


．
【小问2详解】
解：
，
当时，原式．
17. 为了丰富学生的体育活动，学校利用下午大课间开设了五门体育活动课，分别为：A“跳绳”、B“足球”、C“乒乓球”、D“篮球”、E“羽毛球”．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的学生共有_______人；统计图中的_________；
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，C“乒乓球”对应的圆心角的度数是_____________；
（4）如果每人只能参加一种活动课，小明和小刚恰好参加同一种活动课的概率是多少？
【答案】（1）120，12；（2）见解析；（3）；（4）
【解析】
【分析】（1）由A的人数和所占百分比求出本次调查的学生人数，即可解决问题；
（2）求出E的人数，补全条形统计图即可；
（3）列表得出共25种等可能的情况，小明和小刚恰好参加同一种活动课的有5种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：（1）本次调查的学生共有：18÷15%＝120（人），
则b＝120×10%＝12（人），
故答案为：120，12；
（2）E的人数为：120﹣18﹣12﹣30﹣36＝24（人），
补全条形统计图如下：
（3）在扇形统计图中，C“乒乓球”对应的圆心角的度数为：360°90°，
故答案为：90°；
（4）列表如下：
共25种等可能的情况，小明和小刚恰好参加同一种活动课的有5种，
∴小明和小刚恰好参加同一种活动课的概率为：．
【点睛】此题考查的是用列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图．
18. 如图，在矩形ABCD中，直线l经过对角线AC的中点O(直线l不与线段AC重合)，与AB、CD交于点E、F．
(1)求证：BE = DF；
(2)当直线l⊥AC时，若AD = 4，AB = 6，求CF的长．
【答案】(1)证明见解析；(2)CF=.
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形ABCD的性质，先证明△AEO≌△CFO（ASA），根据全等三角形的性质得到EA=FC，进而得出结论；
（2）连接AF、CE，证明四边形AFCE为菱形设AF = CF= x在直角三角形ADF中，∠D=90°，根据勾股定理列出方程x2= 42 + (6-x)2，解方程即可．
【详解】(1)证明：在矩形ABCD中，AB∥CD，AB=CD
∴∠EAO = ∠FCO
又∵∠AOE =∠COF，AO = CO
∴△AEO≌△CFO
∴EA = FC
∴BE=DF
(2)连接AF、CE
∵ EA = FC，EA ∥ FC
∴四边形AFCE为平行四边形
∵EF⊥AC，
∴□AFCE为菱形
∴设AF = CF = x，则DF=6-x
在直角三角形ADF中，∠D=90°，x2= 42 + (6-x)2
即
【点睛】考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理等，掌握菱形的判定定理是解题的关键．
19. 如图，是的直径，是的弦，过点作的切线，交的延长线于点，过点作于点，交的延长线于点．
（1）求证：；（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析；（2）的半径为6．
【解析】
【分析】(1)连接，根据切线的性质得到，推出，得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据三角形的外角的性质即可得到结论；
(2)根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】(1)连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
(2)∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的半径为6．
【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
20. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元．
（1）求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价；
（2）在销售中，某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时，每天可售出100盒，若每盒售价提高1元，则每天少售出2盒．设每盒猪肉粽售价为元，销售猪肉粽的利润为元，求该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润．
【答案】（1）每盒猪肉粽的进价为40元，每盒豆沙粽进价为30元
（2）1800元
【解析】
【分析】（1）设每盒猪肉粽的进价为元，每盒豆沙粽的进价为元，根据猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元列出方程组，解出即可．
（2）根据当时，每天可售出100盒，每盒猪肉粽售价为a元时，每天可售出猪肉粽盒，列出二次函数关系式，再化成顶点式即可得解．
【小问1详解】
设每盒猪肉粽的进价为元，每盒豆沙粽的进价为元，由题意得：
解得：
每盒猪肉粽的进价为40元，每盒豆沙粽进价为30元．
【小问2详解】
．
当时，w最大值为1800元．
∴该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润为1800元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用以及二次函数的实际应用，根据题意列出相应的函数关系式是解此题的关键．
21. 如图，点和是一次函数图像与反比例函数的图像的两个交点．
（1）求m、n的值；
（2）求一次函数的表达式；
（3）设点P是y轴上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标；
（4）在（3）的条件下，设点D是坐标平面内一个动点，当以点A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的所有点D的坐标．
【答案】（1），
（2）
（3）
（4），或，或
【解析】
【分析】（1）点和分别代入反比例函数，即可求得m、n值；
（2）将点和分别代入一次函数，解方程组求出k、b的值即得；
（3）作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则点P为所求点，设的表达式为，将点、分别代入求得，得到的表达式为，当时，，即得点P的坐标；
（4）设点D的坐标为，根据点A、B、P的坐标分别为、、，当是边时，则点A向右平移2个单位向下平移4个单位得到B，同样点向右平移2个单位向下平移4个单位得到，得到或；当AB是对角线时，根据中点公式得到；得到点D的坐标为，或，或．
【小问1详解】
将点代入反比例函数，
得，，，
∴，
将代入，
得，，，
∴，；
【小问2详解】
将点和分别代入一次函数，
得，，
解得，，
∴；
【小问3详解】
作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则点P为所求点，
理由：的周长为最小，
设的表达式为
∵点、，
∴，
解得，，
∴的表达式为，
∴时，，
故点P的坐标为；
【小问4详解】
D的坐标为，或，或．理由：
由（1）（2）知，点A、B、P的坐标分别为、、，
设点D的坐标为，
①当是边时，
则点A向右平移2个单位向下平移4个单位得到B，同样点向右平移2个单位向下平移4个单位得到，
则0+2=s，5﹣4=t或0﹣2=s，5+4=t，
解得或；
②当AB是对角线时，
由中点公式得：， ，
解得；
故点D的坐标为，或，或．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合，轴对称，平行四边形等，解决问题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，轴对称产生最小值，平行四边形的性质．
22. 如图，直线分别交轴、轴于点A，B，过点A的抛物线与轴的另一交点为C，与轴交于点，抛物线的对称轴交于E，连接交于点F．
（1）求抛物线解析式；
（2）求证：；
（3）P为抛物线上的一动点，直线交于点M，是否存在这样的点P，使以A，O，M为顶点的三角形与相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）存在，点P 的横坐标为或±．
【解析】
【分析】（1）先求出点A、B的坐标，然后再利用待定系数法求解即可；
（2）先求出直线AD的解析式为y=-x+3，进而得到点E的坐标为（1，2），运用三角函数定义可得即∠OAB=∠OEG=90°即可证得结论；
（3）先求出直线CD解析式为y=3x+3，再根据以A，O，M为顶点的三角形与△ACD相似，分两种情况：①当△AOM ∽△ACD时，∠AOM=∠ACD，从而得出OM//CD，进而得出直线OM的解析式为y=3x，再结合抛物线的解析式即可确定点P的横坐标；②当△AMO∽△ACD时，利用，求出AM，进而求得点M的坐标，求得直线AM的解析式，进而完成解答．
【详解】解：（1）∵直线分别交轴、轴于点A，B
∴A（3,0），B（0，），
∵抛物线经过A（3，0），D（0，3），
∴，解得
∴该抛物线的解析式为；
（2）∵，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
设直线AD的解析式为y=kx+a，
将A（3，0），D（0，3）代入得： ，解得
∴直线AD的解析式为y=-x+3，
∴E（1，2），G（1，0），
∵∠EGO=90°，
∴
∵OA=3，OB=，∠A0B=90°，
∴
∴
∴∠OAB=∠OEG，
∵∠OEG+∠EOG=90°，
∴∠OAB+∠EOG=90°，
∴∠AFO=90°，
∴OE⊥AB；
（3）存在.
∵A（3，0），抛物线的对称轴为直线x=1，
∴C（-1，0），
∴AC=3-（-1）=4，
∵OA=OD=3，∠AOD=90°，
∴，
设直线CD解析式为y=mx+n，则：
，解得
∴直线CD解析式y=3x+3，
①当△AOM∽△ACD时，∠AOM=∠ACD，如图2所示，
∴OM//CD，
∴直线OM的解析式为y=3x，
∵抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，
∴3x=-x2+2x+3，解得：；
②当△AMO∽△ACD时，如图3所示，
∴
∴，
过点M作MG⊥x轴于点G，则∠AGM=90°，
∵∠OAD=45°，
∴
∴OG=OA-AG=3-2=1，
∴M（1，2），
设直线OM解析式为y=m1x，将M（1，2）代入，得：m1=2，
∴直线OM解析式为y=2x，
∵抛物线的解析式为y=-x2+2x+3
∴2x=-x2+2x+3，解得：x=±．
综上，点P的横坐标为或±．
【点睛】本题属于二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象和性质、待定系数法求函数解析式、三角函数定义、相似三角形的判定和性质等知识点，考查知识点较多、综合性较强、难度较大，灵活运用待定系数法、相似三角形的判定和性质以及数形结合思想成为解答本题的关键．
23. 如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．
（1）判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
（2）延长ED交直线BC于点F．
①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．
【答案】（1），理由见解析
（2）①；②，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用等边三角形的性质和旋转的性质易得到，再由全等三角形的性质求解；
（2）①根据线段绕点A按逆时针方向旋转得到得到是等边三角形，
由等边三角形的性质和（1）的结论来求解；②过点A作于点G，连接AF，根据等边三角形的性质和锐角三角函数求值得到，，进而得到，进而求出，结合，ED＝EC得到，再用等腰直角三角形的性质求解．
【小问1详解】
解：．
证明：∵是等边三角形，
∴，．
∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
即．
在和中
，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：①
理由：∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到，
∴是等边三角形，
∴，
由（1）得，
∴；
②过点A作于点G，连接AF，如下图．
∵是等边三角形，，
∴，
∴．
∵是等边三角形，点F为线段BC中点，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴．
∵，，
∴，
即是等腰直角三角形，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，理解相关知识是解答关键．A
B
C
D
E
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
（A，D）
（A，E）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
（B，D）
（B，E）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
（C，D）
（C，E）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
（D，D）
（D，E）
E
（E，A）
（E，B）
（E，C）
（E，D）
（E，E）