07，河南省三门峡市灵宝市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份07，河南省三门峡市灵宝市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答下列各题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列根式是最简二次根式的（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】当二次根式满足：①被开方数不含开的尽方的数或式；②根号内面没有分母．即为最简二次根式，由此即可求解．
【详解】解：A选项：，是最简二次根式，故该选项符合题意；
B选项：，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
C选项：，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
D选项：，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
故选:A．
【点睛】此题考查最简二次根式，解题关键在于掌握最简二次根式的性质．
2. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的条件，掌握二次根式的条件是解题的关键．根据二次根式的条件即可得到答案．
【详解】解：由题意可知：，
解得，
故选D．
3. 下列变形正确的是（ ）试卷源自 每日更新，汇集全国各地小初高最新试卷。A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的性质进行化简判断即可．
【详解】解：，错误，故A不符合要求；
，错误，故B不符合要求；
，错误，故C不符合要求；
，正确，故D符合要求；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
4. 菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（ ）
A. 3：1B. 4：1C. 5：1D. 6：1
【答案】C
【解析】
【详解】如图所示，
∵菱形的周长为8cm，
∴菱形的边长为2cm，
∵菱形的高为1cm，
∴sinB=
∴∠B=30°，
∴∠C=150°，
则该菱形两邻角度数比为5：1，
故选C．
5. 若△ABC三边长a，b，c满足（a－5）2＋＋＝0，则△ABC是（ ）
A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知等式，利用非负数的和等于0求得，，的值，根据三边的长即可判定三角形的形状．
【详解】解：∵，，，（a－5）2＋＋＝0，
∴ 即，解得 ，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，
故选：C
【点睛】本题考查了非负数性质及勾股定理逆定理的运用，利用非负数的和等于0求得，，的值是解题的关键．
6. 如图，口ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且，若△BCO的周长为14，则AD的长为（ ）
A. 12B. 9C. 8D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】由平行四边形的性质可得，，由的周长为14，可求．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
的周长为14，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分．
7. 小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（ ）

A. 20cmB. 30cmC. 40cmD. 20cm
【答案】D
【解析】
【分析】如图1，图2中，连接AC．在图1中，证△ABC是等边三角形，得出AB=BC=AC=20cm．在图2中，由勾股定理求出AC即可．
【详解】解：如图1，图2中，连接AC．

图1中，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝20cm，
在图2中，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝AB＝20cm；
故选：D．
【点睛】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质，属于中考常考题型．
8. 如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（ ）
A. 四边形周长不变B.
C. 四边形面积不变D.
【答案】D
【解析】
【分析】由平行四边形的性质进行判断，即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴；故D符合题意；
随着一张纸条在转动过程中，不一定等于，四边形周长、面积都会改变；故A、B、C不符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形对边相等．
9. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为（ ）
A. 0.7米B. 1.5米C. 2.2米D. 2.4米
【答案】C
【解析】
【分析】在直角三角形中利用勾股定理计算出直角边，即可求出小巷宽度.
【详解】在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2，
∴BD2+22=6.25，
∴BD2=2.25，
∵BD＞0，
∴BD=1.5米，
∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理的运用，利用梯子长度不变找到斜边是关键.
10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（ ）
A. 2B. 2.5C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用勾股定理求得AB=10；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BF=CD．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10．
又∵CD为中线，
∴CD＝AB＝5．
∵F为DE中点，BE＝BC，即点B是EC的中点，
∴BF是△CDE的中位线，则BF＝CD＝2.5．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，此题的突破口是推知线段CD的长度和线段BF是△CDE的中位线．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 化简：_____．（其中＞0，＞0）
【答案】
【解析】
【分析】运用二次根式的性质化简即可．
【详解】，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质的应用，熟练掌握性质是解题的关键．
12. “矩形的对角线相等”的逆命题是_____命题（填“真”或“假”）．
【答案】假
【解析】
【详解】试题分析：根据互逆命题的关系，可知其逆命题为“对角线相等的四边形为矩形”，而对角线互相平分且相等的四边形是矩形，可知是假命题.
故答案为假.
13. 已知菱形的两条对角线长为和，那么这个菱形的面积是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据菱形面积的计算公式：菱形的面积等于对角线的乘积的一半可解答．
【详解】∵菱形的面积等于对角线的积的一半，
那么这个菱形的面积为.
故答案为：.
【点睛】本题考查的知识点是菱形的性质，解题的关键是熟练的掌握菱形的性质.
14. 在中，斜边，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理可得，代入数据，即可求解．
【详解】解：在中，斜边，

∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
15. 如图，在菱形中，点是对角线上一点，连接，若，且， ，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握菱形的性质．连接交于，由勾股定理求出的长，由三角形面积公式求出的长，由勾股定理求出的长，由菱形的性质即可求出的长．
【详解】解：连接交于，
，
，
，，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
三、解答下列各题（共75分）
16. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）0 （2）15
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
（1）利用二次根式的性质先化简，再进行加减运算即可；
（2）利用二次根式的性质先化简，再算乘除法即可；
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
17. 已知中，，，，为边上的高线．

（1）计算的长；
（2）计算的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，可得等腰直角三角形，根据勾股定理求得；
（2）根据勾股定理求得，进而根据，即可求解．
【小问1详解】
∵为边上的高线．
∴
在中，，
∴
∴
∵，，
∴，
【小问2详解】
在中，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
18. 如图为单位长度为1的的网格，请用无刻度的直尺在正方形网格中选择三个格点，使之构成直角三角形．要求如下：

（1）三边为有理数；
（2）两边是无理数，一边是有理数．
【答案】（1）作图见解析
（2）作图见解析
【解析】
【分析】（1）构造边长为的直角三角形即可得到答案；
（2）构造边长为的直角三角形即可得到答案．
【小问1详解】
解：如图所示：

即为所求；
小问2详解】
解：如图所示：

即为所求．
【点睛】本题考查利用勾股定理及其逆定理作图，灵活运用勾股定理及其逆定理在网格中构造直角三角形是解决问题关键．
19. 荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．小亮想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索的长度．如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度米，将踏板往前推送，使秋千绳索到达D的位置，测得推送的水平距离为6米，即米．此时秋千踏板离地面的垂直高度米．那么，绳索的长度为多少米？
【答案】10米
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键．设绳索的长度为，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：由题意得：，
在中，由勾股定理得：，
设绳索的长度为，则，
∴，
解得：．
答：绳索的长度是10米．
20. 如图，每个小正方形的边长都为1．
（1）四边形的周长=________；
（2）四边形的面积=________；
（3）是直角吗？判断并说明理由．
【答案】（1）
（2）13 （3）是，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理求出、、长，再求出周长即可；
（2）根据图形得知的面积等于矩形的面积减去3个直角三角形的面积，根据面积公式求出即可；
（3）根据勾股定理的逆定理可判断的形状．
【小问1详解】
由勾股定理得：，，，
∵，
∴四边形的周长
，
故答案为：；
【小问2详解】
四边形的面积，
故答案为：9；
【小问3详解】
是直角，
理由是：连接，由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
即是直角．
【点睛】本题考查了勾股定理以及其逆定理的运用，解题的关键是善于把不规则图形的面积转化为规则图形的面积．
21. 如图所示，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
【答案】西北方向
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的逆定理、方位角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
根据路程速度时间分别求得、的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形是直角三角形，从而求解．
【详解】解：根据题意，得
（海里），
（海里），
（海里），
，
即，
．
由“远航号”沿东北方向航行可知，，则，
即“海天”号沿西北方向航行．
22. 如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E．延长到点F，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形：
（2）连接，若．求的长度．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由菱形的性质得且，再证，则四边形是平行四边形，然后由矩形的判定定理即可得到结论；
（2）由菱形的性质得，再由勾股定理求出，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．
【小问1详解】
证明：∵四边形是菱形，
∴且，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形；
【小问2详解】
解：∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
在中，，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
23. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC于点Q．
（1）试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；
（2）当△ABQ的面积是正方形ABCD面积的时，求DQ的长；
（3）若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）当CP＝－4时，△ADQ是等腰三角形
【解析】
【分析】（1）两边一角 AQ=AQ，AB=AD，∠DAQ=∠BAQ=45°， 所以两个三角形全等；
（2）作 QE⊥AD于E ，根据（1）的△ADQ△ABQ可得，进而可得AD×QE＝S正方形ABCD＝，得出QE的值，最后通过勾股定理计算可得；
（3）假设△ADQ恰好为等腰三角形，则有QD＝QA或DA＝DQ或AQ＝AD，在进行分类讨论计算可得出结果．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是正方形
∴AD=AB，∠DAQ= ∠BAQ=45°
又AQ=AQ
∴△ADQ△ABQ
即 无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ△ABQ
【小问2详解】
如图，作QE⊥AD于E，由（1）得△ADQ△ABQ，
∴，
∵△ABQ的面积是正方形ABCD面积的，
∴AD×QE＝S正方形ABCD＝，
∴QE＝
又∵QE⊥AD，∠DAQ= 45°，
∴∠AQE =∠DAQ= 45°，
∴ AE=QE= ，
∴DE=，
∴在Rt△DEQ中，．
【小问3详解】
若△ADQ是等腰三角形，则有QD＝QA或DA＝DQ或AQ＝AD
①当点P运动到与点B重合时，由正方形知QD＝QA此时△ADQ是等腰三角形；
②当点P与点C重合时，点Q与点C重合，此时DA＝DQ，△ADQ是等腰三角形；
③如图，
设点P在BC边上运动到CP＝时，有AD＝AQ
∵ADBC
∴∠ADQ＝∠CPQ．
又∵∠AQD＝∠CQP，∠ADQ＝∠AQD，
∴∠CQP＝∠CPQ．
∴CQ＝CP＝．
∵AC＝，AQ＝AD＝4．
∴＝CQ＝AC－AQ＝－4．
即当CP＝－4时，△ADQ是等腰三角形．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定，勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是（3）中要注意分类讨论的思想．