2024年山西省大同市新荣区三校联考中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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1．本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）．
1. 实数的倒数为（ ）
A. B. 2C. D.
2. 设计师石昌鸿耗时两年，将34个省市的风土人情、历史典故转化为形象生动的符号，别具一格．石昌鸿设计的以下省市的简称标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 2024年3月8日，我国在南海珠江口盆地发现首个深水深层大油田——开平南油田，探明油气地质储量1.02亿吨油当量．该油田是全球核杂岩型凹陷最大的商业发现．数据“1.02亿吨”用科学记数法表示为（ ）
A. 吨B. 吨C. 吨D. 吨
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图，以的顶点为圆心，以长为半径作弧；再以顶点为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点，则四边形是平行四边形的理由是（ ）
A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
6. 第十四届全国冬季运动会已成功举办，山西某运动俱乐部赛前预备在三位短道速滑运动员中选取一名发挥优秀且稳定的运动员参赛．他们的训练成绩如下表所示，那么派出的队员应为（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
7. 解二元一次方程组时可以通过“消元”将二元一次方程组化为一元一次方程进行求解；解一元二次方程可以通过“降次”将一元二次方程化为一元一次方程进行求解．以上两种方法体现了一种重要的数学思想是（ ）
A. 转化思想B. 数形结合思想C. 类比思想D. 分类讨论思想
8. 如图，小明和爸爸在玩跷跷板．已知小明的体重为，距离跷跷板支点的距离为，设爸爸的体重为，距离跷跷板支点的距离为．若要使跷跷板保持平衡，则与应满足的关系式为（ ）．
A. B. C. D.
9. C919是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机．2024年3月，C919开始执行第三条定期商业航线——“上海虹桥一西安咸阳”．已知两地的航线距离约为1350km，C919的平均速度与普通客机的平均速度相比提高了约300km/h，航行时间节约了约．设C919客机的平均速度为km/h，则根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，是的直径，为延长线上一点，切于点，平分，与的延长线交于点，，，则的长为（ ）
A. 2.5B. 2.4C. 3D. 1.5
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 分解因式： ______________．
12. 太原某商场开业时入驻的商店为吸引顾客，推出了各种优惠活动．某商店购进一批饰品，进价为200元，该商店决定在开业期间将商品按七五折售出．为保证这批饰品获利不低于，那么该商店至少应将其标价定为______元．
13. 2024年电影市场迎来开门红．截至2024年2月17日23时59分，春节档档期总票房突破80.51亿，刷新中国影史春节档票房、场次、人次纪录．票房榜前四名分别是《热辣滚烫》，《飞驰人生2》，《熊出没·逆转时空》，《第二十条》．小明打算从《热辣滚烫》和《飞驰人生2》这两部电影中随机选择一部观看，询问同学小丽，得知小丽正巧打算从这四部电影中随机选择一部观看，则他们二人恰好选择观看同一部电影的概率为______．
14. 如图是同学们设计的“心”形图案，正方形的边长为，以为圆心，长为半径作扇形，又分别以和的长为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为______．
15. 如图，在中，，，的平分线交于点，交的延长线于点，，垂足为．，则_______．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：；
（2）下面是小李解不等式组，的部分过程，请认真阅读并完成相应任务．
任务一：
上述解不等式①的过程第______步出现了错误，其原因是______；
任务二：请你写出解此不等式组的正确过程．
17. 中国最早的箭头，出自山西朔县峙峪旧石器遗址．它是一枚由燧石打造成的石制箭头，距今已28000年之久，如图1所示．历史爱好小组的同学发现，箭头的双翼箭镞可以利用实践课的剩余材料制作出模型，如图2，将全等的与粘合，过点B作交于点E，连接，沿，剪开，即可作出箭镞的形状．请你判断制作过程中剪下的四边形的形状，并说明理由．
18. 2023年12月6日，中央广播电视总台2024龙年春晚吉祥物“龙辰辰”正式发布亮相．其从我国历史出土文物中提取“龙”的要素作为设计特色，精美别致，充满了趣味和古韵．某批发商场在春节前以60元的进价购进了一批龙辰辰玩偶，计划以每个80元销售．春节来临之际，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售．已知玩偶销售量（单位：个）与每个玩偶的降价（单位：元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）设商场销售个玩偶所获利润为（单位：元），请直接写出与之间的函数关系式：_____；
（3）若商场要想获利2600元，且让顾客获得更大实惠，这种玩偶每个应降价多少元？
19. 为了增强青少年的法律意识，呵护未成年人健康成长，某学校展开了法律知识竞赛活动，并从七、八年级分别随机抽取了40名参赛学生，对他们的成绩进行了整理、描述和分析．
①抽取七、八年级参赛学生的成绩统计图如下（不完整）：
说明：A：；B：；C：；D：；
②抽取八年级参赛学生成绩等级为“C”的分数为：
70，71，71，72，73，74，75，76，77，77，78，80，81，82，84．
③抽取七、八年级参赛学生成绩平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）八年级这40名学生成绩的中位数是_______；
（3）在这次竞赛中，小明和小亮均得了75分，但小明成绩在其所在年级排名更靠前，可知小明是_______（填“七”或“八”）年级的学生；
（4）该校七年级有720名学生，八年级有800名学生，若该校决定对于竞赛成绩不低于85分的学生授予“法治先锋”称号，则请估计七、八年级获得“法治先锋”称号的学生共有多少人？
20. 工人师傅在用绳子拖着一块水泥板横穿表面粗糙的柏油马路，为保证牵引效率更高，工人师傅调整绳长，使得绳子与水平方向的夹角为，其示意图如图1（图中绳子未画出）．
（1）请你用尺规在图1中作出绳子所在的射线（水泥板表面水平）；
（2）工人师傅在横穿马路后，来到了一块表面较为光滑的大理石板地面．为加快速度，工人师傅将绳子调长了，使得绳子与水平方向的夹角为，其示意图如图2．点，分别表示工人师傅调整前后牵引绳子的位置，与水平方向的夹角为，与水平方向的夹角为．假设工人师傅牵引绳子的位置距离地面的高度始终保持不变，请你求出这个高度．（结果精确到．参考数据：）
21. 小明在学习矩形性质之后，对直角三角形的性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明思路做了深入的思考与总结．阅读小明的笔记，并完成相应任务．
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
如图1，在中，，是斜边上的中线．
求证：．
分析：要证明等于的一半，可以用“倍长法”将延长一倍，如图2，延长到点，使得，连接，只需通过证明三角形全等即可证明．
证明：延长到点，使得，连接，如图2所示．
……
【问题解决】请根据小明的分析过程，在不添加其他辅助线的情况下，完成该定理的证明；
【问题再探】如图3，在中，于点，是边的中线，垂直平分，若，则的度数为________；
【拓展提升】如图4，，是的两条高，，分别是，的中点，若，，试求线段的长．
22. 综合与实践
数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“正方形折叠”为主题开展活动，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．
【动手操作】如图1，将边长为5的正方形纸片对折，使点与点重合，点与点重合，再将正方形纸片展开，得到折痕；
【证明体验】勤学小组对正方形纸片做了如下操作，如图2，为边上的一个动点，将正方形展平后沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕为，连接，则的形状为______（填三角形的形状），______；
【思考探究】善思小组继续深入思考，将正方形展开，当动点与点重合时，沿折叠，得到点的对应点，延长交于点，如图3，试判断与的数量关系，并加以证明；
【拓展延伸】明辨小组在善思小组的基础上展开思考，将沿继续折叠，点的对应点为，当点的位置不同时点的位置也随之改变，连接，若点恰好落在的边上，请直接写出的长．
23 综合与探究
羽毛球是一项广受欢迎的运动．小明在网上查阅与这项运动相关的资料时，意外发现其中蕴含的数学原理．羽毛球在飞行过程中的运动轨迹可看作抛物线，因此运动员可以通过击球时的用力方向和大小控制球的落地点，这引起了小明的强烈兴趣．于是小明和同学小华来到附近的羽毛球场地，打算用所学二次函数的知识来描述羽毛球在飞行过程中的轨迹，并利用其解决相关的实际问题．
小华从场地左侧点距地面处发球，球飞行过程中在点处到达最高点，并落在了场地右侧的点处，如图1所示（，，三点共线）．通过测量得知，，两点距离为，，两点距离为．
（1）小明根据测量数据建立了如图2所示的平面直角坐标系，并描绘了相应的抛物线轨迹，求出此抛物线的解析式；
（2）小明和小华所在的羽毛球场地并未设置球网，查阅资料可知标准羽毛球网高度为1.5m．小明又通过测量得到点和点距离球场中线（球网所在位置）的距离分别为和，判断在球网存在的情况下小华此次击球是否能飞过球网，并说明理由；
（3）小明通过测量得知场地内边线与场地中线的距离为，假设小华站在点处发球，且击球时的用力方向和大小不变，为使球越过球网并且落在球场内边线内，求出小华发球时高度的取值范围．甲
乙
丙
丁
平均时间（s）
50.1
51.3
501
50.0
方差
0.9
0.9
1.3
57.8
解：令
解不等式①，得．
去分母，得． 第一步
移项、合并同类项，得． 第二步
系数化为1，得． 第三步
……
年级
平均数
中位数
众数
七
73.5
74
84
八
73.5
_______
85