2024年山西省大同市新荣区三校联考中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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1. 如图，□ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF:FC等于（ ）
A. 3:2B. 3:1C. 1:1D. 1:2
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得出△DEF∽△BCF，进而得出，利用点E是边AD的中点得出答案即可．
【详解】解：∵▱ABCD，故AD∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴ ，
∵点E是边AD的中点，
∴AE=DE=AD，
∴．
故选D．
2. 在反比例函数的图象的每一个分支上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A. k＞1B. k＞0C. k≥1D. k＜1
【答案】A
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质，当反比例函数的系数大于0时，在每一支曲线上，y都随x的增大而减小，可得k﹣1＞0，解可得k的取值范围．
【详解】解：根据题意，在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，
即可得k﹣1＞0，
解得k＞1．
故选A．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质：①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
3. 下列四个函数图像中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】A、错误，此函数为减函数，y随x的增大而减小；
B、错误，此函数为反比例函数，x＞0时，y随x的增大而减小；
C、正确，此函数为二次函数，x＞0时，y随x增大而增大；
D、错误，此函数为二次函数，x＞0时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大．
故选C．
4. 若，，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理先求出，再根据相似三角形对应角相等即可得到．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
5. 关于反比例函数y=的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 图象经过点（1，1）B. 两个分支分布在第二、四象限
C. 两个分支关于x轴成轴对称D. 当x＜0时，y随x的增大而减小
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：图象经过点(1,1)为y=，则A错误；k＞0时，反比例函数处于一、三象限，则B错误；反比例函数关于原点成中心对称，则C错误；D正确.
考点：反比例函数的性质.
6. 如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD．若B（1，0），则点C的坐标为（ ）
A. （1，2）B. （1，1）C. （，）D. （2，1）
【答案】B
【解析】
【详解】解：连接CB，
∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，
∴A为OC的中点，
∵∠OCD＝90°，
∴∠OAB＝90°，
∴AB∥CD，
∴OB＝BD，
∵∠OCD＝90°，CO＝CD，
∴CB⊥OD，OB＝BC＝1，
∴点C的坐标为（1，1），
故选：B．
【点睛】此题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．
7. 已知点A（1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A. y3＜y1＜y2B. y1＜y2＜y3C. y2＜y1＜y3D. y3＜y2＜y1
【答案】D
【解析】
【分析】分别把各点代入反比例函数 求出y1、y2、y3的值，再比较出其大小即可．也可以画出函数的大致图像，根据函数的增减性来判断．
【详解】解：∵点A（1，y1）、B（2，y2）、C（-3，y3）都在反比例函数的图象上，
∴，
∵-2<3<6，
∴y3< y2< y1．
故选D．
8. 函数的图象如图所示，则结论：①两函数图象的交点的坐标为（2，2）；②当x>2时，；③当x=1时，BC=3；④当x逐渐增大时，随着的增大而增大，随着的增大而减小．则其中正确结论的序号是( )
A. ①②B. ①③C. ②④D. ①③④
【答案】D
【解析】
【分析】一次函数和反比例函数的交点坐标就是一次函数与反比例函数组成的方程组的解；根据图象可求得x＞2时y1＞y2；根据x＝1时求出点B点C的坐标从而求出BC的值；根据图像可确定一次函数和反比例函数在第一象限的增减性．
【详解】解：①联立一次函数与反比例函数的解析式，
解得，，
∴A（2，2），故①正确；
②由图象得x＞2时，y1＞y2，故②错误；
③当x＝1时，B（1，4），C（1，1），∴BC＝3，故③正确；
④一次函数y随x的增大而增大，反比例函数k＞0，y随x的增大而减小．故④正确．
∴①③④正确．
故选D．
【点睛】本题主要是考查学生对两个函数图象性质的理解．这是一道常见的一次函数与反比例函数结合的题目，需要学生充分掌握一次函数和反比例函数的图象特征．理解一次函数和反比例函数的交点坐标就是一次函数与反比例函数组成的方程组的解．
9. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，与相交于点E，连接，则与的周长比为（ ）
A. 1：4B. 4：1C. 1：2D. 2：1
【答案】D
【解析】
【分析】运用网格图中隐藏的条件证明四边形DCBM为平行四边形，接着证明，最后利相似三角形周长的比等于相似比即可求出．
【详解】如图：由题意可知，，，
∴，
而，
∴四边形DCBM为平行四边形，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关知识并正确计算是解题关键．
10. 在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC＝4，AB//CD，DH垂直平分AC，点H为垂足，设AB＝x，AD＝y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】∵DH垂直平分AC，
∴DA=DC，AH=HC=2，
∴∠DAC=∠DCH，
∵CD∥AB，
∴∠DCA=∠BAC，
∴∠DAN=∠BAC，
∵∠DHA=∠B=90°，
∴△DAH∽△CAB，
∴，
∴，
∴y=，
∵AB∴x<4，
∴图象是D．
故选：D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．请把答案填在题中的横线上）
11. 已知反比例函数的图像经过A（-2，3），则当时，y的值是_______.
【答案】2.
【解析】
【详解】试题分析：∵反比例函数的图像经过A（-2，3），∴.
∴反比例函数的解析式为.
∴当时，.
考点：曲线上点的坐标与方程的关系.
12. 如图，菱形OABC的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4，反比例函数的图象经过点C，则k的值为_____．
【答案】-6
【解析】
【详解】∵菱形的两条对角线的长分别是6和4，
∴C（﹣3，2）.
∵点C在反比例函数的图象上，
∴，
解得：k=-6.
故答案为：-6
13. 将一副三角板按图叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于
【答案】1：3．
【解析】
【分析】一副三角板按图叠放，则得到两个相似三角形，且相似比等于1：，相似三角形的性质相似三角形面积的比等于相似比的平方得到△AOB与△DOC的面积之比等于1：3．
【详解】解：∵∠ABC=90°，∠DCB=90°
∴AB∥CD，
∴∠OCD=∠A，∠D=∠ABO，
∴△AOB∽△COD
又∵AB：CD=BC：CD=tan30°=1：
∴△AOB与△DOC的面积之比等于1：3．
故答案为1：3．
考点：相似三角形的判定与性质．
14. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CM是∠BCD的平分线，且CM⊥AB，M为垂足，AM=AB．若四边形ABCD的面积为，则四边形AMCD的面积是_____．
【答案】1
【解析】
【详解】试题分析：如图所示：延长BA、CD，交点为E．
∵CM平分∠BCD，CM⊥AB，∴MB=ME．
又∵AM=AB，∴AE=AB，∴AE=BE．
∵AD∥BC，∴△EAD∽△EBC，∴，∴S四边形ADBC=S△EBC=，∴S△EBC=，∴S△EAD=× =，∴S四边形AMCD=S△EBC﹣S△EAD=﹣=1．故答案为1．
考点：相似三角形判定与性质；等腰三角形的判定与性质．
15. 如图，是反比例函数（）图像上一点，点、在轴正半轴上，是关于点的位似图形，且与的位似比是1：3，的面积为1，则该反比例函数的表达式为______．
【答案】
【解析】
【分析】设点A的坐标为（a，），根据位似比即可得出BD的长度，根据的面积为1，即可求出k的值．
【详解】解：设点A的横坐标为a，
∵点A在反比例函数图像上，
∴点A的纵坐标为反比例函数，即A（a，），
∴B（0，），则OB=，AB=a，
∵与的位似比是1：3，
∴，
∴BD==，
∵的面积为1，
∴，则：，解得：k=8．
∴该反比例函数的表达式为：，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了三角形的位似以及反比例函数的图像和性质，熟练掌握相关内容，通过位似比和三角形的面积求出k的值是解题的关键．
16. 如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是_________．
【答案】1：2
【解析】
【分析】由五边形与五边形位似，可得五边形五边形，又由，，即可求得其相似比，根据相似多边形的周长的比等于其相似比，即可求得答案．
【详解】解：五边形与五边形位似，，，
五边形五边形，且相似比为：，
五边形的周长与五边形的周长的比为：．
故答案为：1：2．
【点睛】本题考查了多边形位似的知识．解题的关键是注意位似是相似的特殊形式与相似多边形的周长的比等于其相似比知识的应用．
17. 若，两点在函数的图象上，则当，满足________时，．（只需填一个你认为正确的条件）
【答案】或或（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的增减性，进行作答即可．
【详解】解：∵，，
∴双曲线过一，三象限，且在每一个象限内，随着的增大而减小，
∴当或或时：；
故答案为：或或（答案不唯一）．
18. 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE=2cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为____________cm．
【答案】
【解析】
【分析】根据矩形的性质可得AB=CD=6cm，∠ABC=∠C=90°，AB∥CD，从而可得∠ABD=∠BDC，然后利用直角三角形斜边上的中线可得EG=BG，从而可得∠BEG=∠ABD，进而可得∠BEG=∠BDC，再证明△EBF∽△DCB，利用相似三角形的性质可求出BF的长，最后在Rt△BEF中，利用勾股定理求出EF的长，即可解答．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=6cm，∠ABC=∠C=90°，AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∵AE=2cm，
∴BE=AB-AE=6-2=4（cm），
∵G是EF的中点，
∴EG=BG=EF，
∴∠BEG=∠ABD，
∴∠BEG=∠BDC，
∴△EBF∽△DCB，
∴，
∴，
∴BF=6，
∴EF=（cm），
∴BG=EF=（cm），
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共7个小题，共56分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数＝的图象经过点A（1，0），与反比例函数＝（＞0）的图象相交于点B（2，1）．
（1）求的值和一次函数的解析式；
（2）结合图象直接写出：当＞0时，不等式＞的解集．
【答案】（1）m=2，y=x-1；（2）x＞2．
【解析】
【分析】（1）将B的坐标代入反比例函数解析式中，求出m的值，将A和B的坐标分别代入一次函数解析式中，得到关于k与b的方程组，求出方程组的解集得到k与b的值，确定出一次函数解析式；
（2）由B的横坐标为2，将x轴正半轴分为两部分，找出一次函数在反比例函数图象上方时x的范围，即为所求不等式的解集．
详解】解：（1）把点B（2，1）代入y＝，得1＝，
∴m＝2．
把A（1，0）和B（2，1）代入y＝，得
，解得，
∴一次函数的解析式为y＝．
（2）x＞2．
20. 如图，在中，，平分，交于点D，，交于点E．
（1）若，，求的长；
（2）试探究是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2），是定值，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等角对等边，三角形外角的性质，平行线的性质等等：
（1）先证明得到，再由平行线的性质推出，进而可证明，则， 据此代值计算即可；
（2）先证明，得到，再由，得到，即．
【小问1详解】
解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
【小问2详解】
解：，是定值，理由如下：
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
21. 如图，在中，，，，线段由线段绕点A按逆时针方向旋转得到，由沿方向平移得到，且直线过点D．求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平移的性质，旋转的性质，由旋转的性质可得，，可得，由平移的性质可得，则，即可得到，通过证明．可得，据此求出的长即可求解．
【详解】解：线段由线段绕点A按逆时针方向旋转得到，
，，
，
根据平移的性质可知，，
．
∴，
，
又，，
，
，
，即，
解得，
∴．
22. 如图，小东用长为3.2m的竹竿（）做测量工具测量学校旗杆（）的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面上的同一点（A），此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，求旗杆的高度．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，要求旗杆高度，易证，根据对应线段成比例，列出式子即可求出．
【详解】解：如图，，
，
，
，
，，，
旗杆的高为．
23. 已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是_______；
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是_______；
（3）△A2B2C2面积是_______平方单位．
【答案】（1）（2，﹣2）；
（2）（1，0）；
（3）10．
【解析】
【分析】（1）根据平移的性质得出平移后的图从而得到点的坐标；
（2）根据位似图形的性质得出对应点位置，从而得到点的坐标；
（3）利用等腰直角三角形的性质得出△A2B2C2的面积．
【详解】（1）如图所示：C1（2，﹣2）；
故答案为（2，﹣2）；
（2）如图所示：C2（1，0）；
故答案为（1，0）；
（3）∵，，，
∴△A2B2C2是等腰直角三角形，
∴△A2B2C2的面积是：（平方单位）．
故答案10．
【点睛】本题主要考查作图一平移变换和位似变换，解题的关键是掌握平移变换和位似变换的定义和性质．
24. 如图，点A（m，6），B（n，1）在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC=5．
（1）求m，n的值并写出反比例函数的表达式；
（2）连结AB，在线段DC上是否存在一点E，使△ABE的面积等于5？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2）（5，0）
【解析】
【分析】（1）由反比例函数定义可知6m=n，m+5=n，联立可求解m和n的值，设反比例函数表达式为，代入A点坐标即可求解表达式；
（2）设E（x，0），则DE=x﹣1，CE=6﹣x，则可分别计算或表示出S四边形ABCD、S△ADE、S△BCE的面积，再由S△ABE=S四边形ABCD﹣S△ADE﹣S△BCE=5即可求解x的值.
【详解】（1）由题意得：，解得：，
∴A（1，6），B（6，1），
设反比例函数表达式为，
将A（1，6）代入得：k=6，
则反比例表达式为y=；
（2）存在，
设E（x，0），则DE=x﹣1，CE=6﹣x，
∵AD⊥x轴，BC⊥x轴，
∴∠ADE=∠BCE=90°，
连结AE，BE，
则S△ABE=S四边形ABCD﹣S△ADE﹣S△BCE
=（BC+AD）•DC﹣DE•AD﹣CE•BC
=×（1+6）×5﹣（x﹣1）×6﹣（6﹣x）×1
=﹣x=5，
解得：x=5，
则E（5，0）．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的基本定义，第2问中建立S△ABE=S四边形ABCD﹣S△ADE﹣S△BCE等量关系是关键.
25. 如图，△ABC与 △ADE中，∠ACB=∠AED=90°，连接BD、CE，∠EAC=∠DAB.
（1）求证：△ABC ∽△ADE；
（2）求证：△BAD ∽△CAE；
（3）已知BC=4，AC=3，AE=．将△AED绕点A旋转，当点E落在线段CD上时，求 BD的长．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）BD=．
【解析】
【分析】（1）由已知可得∠CAB=∠EAD，∠ACB=∠AED=90°，则结论得证；
（2）由（1）知，∠EAC=∠DAB，则结论得证；
（3）先证△ABC∽△ADE，求出AE、AD的长，则BD可求．
【详解】证明：（1）∵∠EAC=∠DAB，
∴∠CAB=∠EAD，
∵∠ACB=∠AED=90°，
∴△ABC∽△ADE；
（2）由（1）知△ABC∽△ADE，
∴，
∵∠EAC=∠BAD，
∴△BAD∽△CAE；
（3）∵∠ACB=90°，BC=4，AC=3，
∴AB==5，
∵△ABC∽△ADE，
∴，
∴AD=，
如图，将△AED绕点A旋转，当点E落在线段CD上时，∠AEC=∠ADB=90°，
∴BD=．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、旋转的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．