2024年浙江省杭州市上城区九年级中考一模数学试卷

这是一份2024年浙江省杭州市上城区九年级中考一模数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列各数中，最小的数是（ ）
A．﹣3B．﹣1C．0D．3
2．（3分）杭州亚运会主会场莲花体育场有固定座位80800个，其中数字80800用科学记数法表示为（ ）
A．8.08×104B．80.8×103C．808×102D．0.808×105
3．（3分）如图所示的几何体是由6个大小相同的小正方体组成，则该物体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a4＝a8B．2a3﹣a3＝a
C．（ab2）3＝a3b6D．
5．（3分）如图，转盘中8个扇形的面积都相等，涂色的为灰色部分，其余为白色部分，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）《孙子算经》中有这样一道题，大意为：今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有剩余，将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完，问：有多少户人家？若设有x户人家，则下列方程正确的是（ ）
A．x+3＝100B．C．x+3x＝100D．
7．（3分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+a（a≠0）的图象如图所示，若y＝ax+1的图象与x轴交于（m，0），则下列判断正确的是（ ）
A．m＜﹣1B．﹣1＜m＜0C．0＜m＜1D．m＞1
8．（3分）如图，在△ABC中，点D为BC边上的中点，点E为AC边上的三等分点（AE＜EC），连结AD，BE，交点为F，过D作DG∥EF，已知△AEF的面积为4，则S△ABC 为（ ）
A．144B．120C．60D．48
9．（3分）二次函数y1＝x2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）过（﹣2，0），（m，0）两个不重合的点，一次函数y2＝x+d过（m，0）和二次函数的顶点，则m的值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
10．（3分）如图，在⊙O中，将沿弦AB翻折，使恰好经过圆心O，C是劣弧AB上一点．已知AE＝2，tan∠CBA＝，则AB的长为（ ）
A．B．6C．D．
二、填空题：本大题有6小题，每题3分，共18分．
11．（3分）在实数范围内分解因式：2x2﹣8＝ ．
12．（3分）不等式2x+2≤4的最大整数解是 ．
13．（3分）如图，在菱形ABCD中，AC、BD为对角线，AE平分∠CAB，若∠CAE＝32°，则∠ABC的度数为 °．
14．（3分）第19届杭州亚运会会徽如图1所示，名为“潮涌”，象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．其主体部分可以看成如图2的几何图形，小明测量得OB＝2cm，OA＝5cm，∠BOC＝120°．则图2中的阴影部分的面积为 cm2.（结果保留π）
15．（3分）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．
（1）连接BF，若F恰为AG中点，则∠BFG的度数为 °；
（2）连接CF，若△ABF与△FEC的面积相等，DF＝2，则AF的长为 ．
16．（3分）如图，在△OAB中，边OA在y轴上．反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过点B，与边AB交于点C．若BC＝3AC，S△OAB＝10．则k的值为 ．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）先化简，再求值：（2a﹣b）2﹣（b2﹣3ab），其中a＝﹣1，b＝2．
18．（6分）今年是农历龙年，假期里学校组织学生进行龙灯制作活动，每班精选一项进行年级评选，校学生会组织对同学的作品按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．对每个班的成绩进行整理，并绘制统计表，信息如表：
八年级10个班成绩统计表
已知八年级各班成绩只有一个众数为9分，且a、b均为正整数．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）八年级成绩的中位数为 分；
（3）若年级均分高于8.5分，则认定该年级在活动中荣获“优秀组织奖”，请判断本次活动八年级能否获得“优秀组织奖”．
19．（8分）光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把称为折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）．明明制作了一个测算液体折射率的装置．光线从点A按固定角度从空气射入液面（介质），如图2，装入某液体（介质），使光线折射后恰好落到点C，直线GH为法线．已知∠1＝53°，液面高度CF为12cm，正方形ABCD的边长为30cm．
（参考数据：，，，，，
（1）求PE的长；
（2）求该液体（介质）的折射率n．
20．（8分）如图，反比例函数的图象与直线y＝ax交于点D（1，4），点A是线段OD上的一个动点，过点A作y轴的垂线分别交反比例函数图象和y轴于点B和点C．
（1）求k和a的值；
（2）根据图象直接写出的自变量x的取值范围；
（3）当AB长为时，求点A的坐标．
21．（10分）如图，点D为△ABC的边AC上一点，延长BD至点F，使得CF∥AB，点E在线段BC上，且DE∥AB，AB＝4，CF＝6．
（1）若AD＝3，求CD的长．
（2）若∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，求BD的长．
22．（10分）某校开展劳动实践活动，九（1）班分配得到一块如图所示的边长为8米的正方形菜地ABCD，由于场地调整，现将菜地改成周长不变的长方形菜地AEGH，两块菜地的重叠部分为矩形ABFE，不重叠两块是矩形CDEF和矩形BHGF，设AE长为x米，EG长为y米．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）求矩形BHGF面积的最大值；
（3）九（1）班的亮亮同学说：“矩形CDEF面积一定不小于矩形BHGF的面积”，请你判断他的说法是否正确，并说明理由．
23．（12分）综合与实践
24．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，点D为弦AB的中点，连接DO、OB，延长DO交弦AC的延长线于点E，DE与弦BC交于点F，DE与⊙O交于点G，已知AB＝6，DG＝9．
（1）求⊙O的半径；
（2）求证：∠E＝∠OBC；
（3）若OF＝3，求CF的长．
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）下列各数中，最小的数是（ ）
A．﹣3B．﹣1C．0D．3
【解答】解：∵﹣3＜﹣1＜0＜3，
∴最小的数为﹣3．
故选：A．
2．（3分）杭州亚运会主会场莲花体育场有固定座位80800个，其中数字80800用科学记数法表示为（ ）
A．8.08×104B．80.8×103C．808×102D．0.808×105
【解答】解：80800＝8.08×104．
故选：A．
3．（3分）如图所示的几何体是由6个大小相同的小正方体组成，则该物体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：从上边看，底层靠左侧是一个小正方形，上层是四个小正方形．
故选：C．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a4＝a8B．2a3﹣a3＝a
C．（ab2）3＝a3b6D．
【解答】解：A．a2•a4＝a6，故本选项不符合题意；
B.2a3﹣a3＝a3，故本选项不符合题意；
C．（ab2）3＝a3b6，故本选项符合题意；
D.1÷（a+b）＝，故本选项不符合题意．
故选：C．
5．（3分）如图，转盘中8个扇形的面积都相等，涂色的为灰色部分，其余为白色部分，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵圆被等分成8份，其中灰色区域占2份，
∴指针落在灰色区域的概率为．
故选：B．
6．（3分）《孙子算经》中有这样一道题，大意为：今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有剩余，将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完，问：有多少户人家？若设有x户人家，则下列方程正确的是（ ）
A．x+3＝100B．C．x+3x＝100D．
【解答】解：根据题意得：x+x＝100．
故选：D．
7．（3分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+a（a≠0）的图象如图所示，若y＝ax+1的图象与x轴交于（m，0），则下列判断正确的是（ ）
A．m＜﹣1B．﹣1＜m＜0C．0＜m＜1D．m＞1
【解答】解：由函数图象可知，﹣1＜a＜0，
∵y＝ax+1的图象与x轴交于（m，0），
∴当y＝0时，ax+1＝0，
∴x＝﹣，
∴m＝﹣，
令a＝﹣0.5，则﹣a＝0.5，
∴﹣＝＝2＞1，
∴m＞1．
故选：D．
8．（3分）如图，在△ABC中，点D为BC边上的中点，点E为AC边上的三等分点（AE＜EC），连结AD，BE，交点为F，过D作DG∥EF，已知△AEF的面积为4，则S△ABC 为（ ）
A．144B．120C．60D．48
【解答】解：∵点D为BC边上的中点，
∴S△ABC＝2S△ACD，
∵DG∥EF，BD＝CD，
∴CG＝EG，
∵E为AC边上的三等分点（AE＜EC），
∴CE＝2AE，
∴AE＝EG＝CG，
∵EF∥DG，
∴AF＝FD，
∴EF是△ADG的中位线，
∴EF＝DG，
∵FE∥DG，
∴△AFE∽△ADG，
∴＝＝，
∵△AEF的面积为4，
∴S△ADG＝4S△AFE＝16，
∵AG＝AC，
∴S△ADG＝S△ACD，
∴△ACD的面积＝24，
∴S△ABC＝2S△ACD＝48．
故选：D．
9．（3分）二次函数y1＝x2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）过（﹣2，0），（m，0）两个不重合的点，一次函数y2＝x+d过（m，0）和二次函数的顶点，则m的值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【解答】解：由题意，∵抛物线过（﹣2，0），（m，0），
∴抛物线的对称轴是直线x＝﹣＝，4﹣2b+c＝0．
∴b＝2﹣m．
∴c＝2b﹣4＝﹣2m．
∴顶点为（，）．
又一次函数y2＝x+d过（m，0）和二次函数的顶点，
∴m+d＝0，且+d＝．
∴﹣m＝﹣．
∴m＝0或m＝﹣2（舍去）．
∴m＝0．
故选：B．
10．（3分）如图，在⊙O中，将沿弦AB翻折，使恰好经过圆心O，C是劣弧AB上一点．已知AE＝2，tan∠CBA＝，则AB的长为（ ）
A．B．6C．D．
【解答】解：连接EO并延长交⊙O于点H，连接AH，过点O作OF⊥AB于F，延长OF交⊙O于点G，连接OB，
∵EH是⊙O的直径，
∴∠EAH＝90°，
∴tan∠AHE＝，
∵∠AHE＝∠CBA，tan∠CBA＝，
∴tan∠AHE＝tan∠CBA＝，
∴＝，
∵AE＝2，
∴AH＝4，
∴EH＝＝2，
∴⊙O的半径为，
∴OG＝OB＝，
∵OG⊥AB于F，
∴AB＝2BF，
根据折叠的性质得，OF＝GF，
∴OF＝OG＝，
∴BF＝＝，
∴AB＝，
故选：C．
二、填空题：本大题有6小题，每题3分，共18分．
11．（3分）在实数范围内分解因式：2x2﹣8＝ 2（x+2）（x﹣2） ．
【解答】解：2x2﹣8
＝2（x2﹣4）
＝2（x+2）（x﹣2）．
故答案为：2（x+2）（x﹣2）．
12．（3分）不等式2x+2≤4的最大整数解是 1 ．
【解答】解：移项、合并，得：2x≤2，
系数化为1，得：x≤1，
∴不等式的最大整数解为1，
故答案为：1．
13．（3分）如图，在菱形ABCD中，AC、BD为对角线，AE平分∠CAB，若∠CAE＝32°，则∠ABC的度数为 52 °．
【解答】解：∵AE平分∠CAB，
∴∠CAB＝2∠CAE＝2×32°＝64°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∴∠ACB＝∠CAB＝64°，
∴∠ABC＝180°﹣64°×2＝52°．
故答案为：52．
14．（3分）第19届杭州亚运会会徽如图1所示，名为“潮涌”，象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．其主体部分可以看成如图2的几何图形，小明测量得OB＝2cm，OA＝5cm，∠BOC＝120°．则图2中的阴影部分的面积为 7π cm2.（结果保留π）
【解答】解：S阴影部分＝S扇形AOD﹣S扇形BOC＝﹣＝7π（cm2）
故答案为：7π．
15．（3分）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．
（1）连接BF，若F恰为AG中点，则∠BFG的度数为 45 °；
（2）连接CF，若△ABF与△FEC的面积相等，DF＝2，则AF的长为 ﹣1 ．
【解答】解：（1）由题意得，△ADF≌BAG，
∴AF＝BG，
∵F恰为AG中点，
∴AF＝FG，
∴BG＝FG，
∴△BGF是等腰直角三角形，
∴∠BFG＝45°，
故答案为：45；
（2）∵四边形EFGH是正方形，
∴FG＝HG＝EF＝EH，
设FG＝HG＝EF＝EH＝x，
由题意得，AG＝CE＝DF＝BH＝2，
∴AF＝BG＝2﹣x，
∵若△ABF与△FEC的面积相等，
∴，
∴（2﹣x）2＝2x，
∴x＝3﹣或x＝3+（不合题意舍去），
∴FG＝3﹣，
∴AF＝2﹣（3﹣）＝﹣1，
故答案为：﹣1．
16．（3分）如图，在△OAB中，边OA在y轴上．反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过点B，与边AB交于点C．若BC＝3AC，S△OAB＝10．则k的值为 4 ．
【解答】解：∵BC＝3AC，S△OAB＝10．
∴S△COB＝＝，
设点C（m，），则B（4m，），
∵S△COB＝S梯形BCDE＝，
∴，
解得：k＝4．
故答案为：4．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）先化简，再求值：（2a﹣b）2﹣（b2﹣3ab），其中a＝﹣1，b＝2．
【解答】解：（2a﹣b）2﹣（b2﹣3ab）
＝4a2﹣4ab+b2﹣b2+3ab
＝4a2﹣ab，
当a＝﹣1，b＝2时，
原式＝4×（﹣1）2﹣（﹣1）×2
＝4+2
＝6．
18．（6分）今年是农历龙年，假期里学校组织学生进行龙灯制作活动，每班精选一项进行年级评选，校学生会组织对同学的作品按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．对每个班的成绩进行整理，并绘制统计表，信息如表：
八年级10个班成绩统计表
已知八年级各班成绩只有一个众数为9分，且a、b均为正整数．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）a＝ 1 ，b＝ 4 ；
（2）八年级成绩的中位数为 8.5 分；
（3）若年级均分高于8.5分，则认定该年级在活动中荣获“优秀组织奖”，请判断本次活动八年级能否获得“优秀组织奖”．
【解答】解：（1）∵八年级各班成绩只有一个众数为9分，且a、b均为正整数，
∴b＝4，则a＝10﹣1﹣3﹣4﹣1＝1，
故答案为：1，4；
（2）由表格可得，
八年级的中位数为：（8+9）÷2＝17÷2＝8.5（分），
故答案为：8.5；
（3）由表格可得，
八年级的平均分为：（6×1+7×3+8×1+9×4+10×1）÷10＝8.1（分），
∵8.1＜8.5，
∴本次活动八年级不能获得“优秀组织奖”．
19．（8分）光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把称为折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）．明明制作了一个测算液体折射率的装置．光线从点A按固定角度从空气射入液面（介质），如图2，装入某液体（介质），使光线折射后恰好落到点C，直线GH为法线．已知∠1＝53°，液面高度CF为12cm，正方形ABCD的边长为30cm．
（参考数据：，，，，，
（1）求PE的长；
（2）求该液体（介质）的折射率n．
【解答】解：∵正方形ABCD的边长为30cm，
∴AD＝CD＝30cm．
由题意知：液面平行于底垂直于AB、CD两边，法线垂直于液面，
∴四边形AEGP、DGPF、CFPH、EPHB都是矩形．
∴PE＝AG，GP＝CD﹣CF＝30﹣12＝18（cm）．
（1）在Rt△AGP中，
∵tan∠APG＝，
∴PE＝AG＝tan∠APG•GP
＝tan53°•18
≈×18
＝24（cm）．
（2）∵四边形AEGP、DGPF、CFPH、EPHB都是矩形，
∴CH＝GD＝AD﹣AG＝6（cm），
在Rt△PCH中，
∵CP＝
＝
＝6．
∴sin∠2＝
＝
＝．
∴n＝
≈
＝．
20．（8分）如图，反比例函数的图象与直线y＝ax交于点D（1，4），点A是线段OD上的一个动点，过点A作y轴的垂线分别交反比例函数图象和y轴于点B和点C．
（1）求k和a的值；
（2）根据图象直接写出的自变量x的取值范围；
（3）当AB长为时，求点A的坐标．
【解答】解：（1）∵反比例函数的图象与直线y＝ax交于点D（1，4），
∴k＝4，a＝4，
（2）根据图像可知，的自变量x的取值范围为：0＜x＜1．
（3）由（1）可知，反比例函数解析式为y＝，正比例函数解析式为：y＝4x，
设A（m，4m）则B（m+，4m），
∵点B在反比例函数图象上，
∴4m（m+）＝4，
解得m＝或m＝﹣2（舍去），
∴A（，2）．
21．（10分）如图，点D为△ABC的边AC上一点，延长BD至点F，使得CF∥AB，点E在线段BC上，且DE∥AB，AB＝4，CF＝6．
（1）若AD＝3，求CD的长．
（2）若∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，求BD的长．
【解答】解：（1）∵AB∥CF，
∴△ABD∽△CFD，
∴AD：CD＝AB：CF，
∴3：CD＝4：6，
∴CD＝4.5．
（2）过E作EH⊥BD于H，
∵DE∥AB，
∴∠BDE＝∠ABD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝×60°＝30°，
∴∠BDE＝∠DBE＝30°，
∴DE＝BE，
∴BD＝2DH，
∵cs∠EDH＝cs30°＝＝，
∴DH＝DE，
∴BD＝2DH＝DE，
∵CF∥AB，DE∥AB，
∴DE∥CF，
∴△CDE∽△CAB，△BDE∽△BFC，
∴＝，＝，
∴+＝+＝1，
∵AB＝4，CF＝6，
∴DE＝，
∴BD＝DE＝．
22．（10分）某校开展劳动实践活动，九（1）班分配得到一块如图所示的边长为8米的正方形菜地ABCD，由于场地调整，现将菜地改成周长不变的长方形菜地AEGH，两块菜地的重叠部分为矩形ABFE，不重叠两块是矩形CDEF和矩形BHGF，设AE长为x米，EG长为y米．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）求矩形BHGF面积的最大值；
（3）九（1）班的亮亮同学说：“矩形CDEF面积一定不小于矩形BHGF的面积”，请你判断他的说法是否正确，并说明理由．
【解答】解：（1）根据长方形的周长公式，得2（x+y）＝8×4，即y＝﹣x+16，
∴y关于x的函数表达式为y＝﹣x+16．
（2）∵EF＝8，
∴FG＝y﹣8＝﹣x+8，
∴S矩形BHGF＝FG•BF＝（﹣x+8）x＝﹣（x﹣4）2+16，
∴当x＝4时，矩形BHGF面积最大，最大值为16米2．
（3）他的说法正确．理由如下：
∵CD＝8，DE＝8﹣x，
∴S矩形CDEF＝CD•DE＝8（8﹣x）＝64﹣8x，
∴S矩形CDEF﹣S矩形BHGF＝64﹣8x﹣（﹣x+8）x＝（x﹣8）2≥0，
∴S矩形CDEF≥S矩形BHGF．
23．（12分）综合与实践
【解答】解：（1）如图1，
∵S甲＝40×31﹣（40﹣x）（31﹣x）＝71x﹣x2，S乙＝40×31﹣（40﹣x）（31﹣x）＝71x﹣x2，S丙＝40×31﹣（40﹣x）（31﹣x）＝71x﹣x2，
∴S甲＝S乙＝S丙，
故答案为：相等，相等；
（2）S甲＝40x+31x﹣x2＝71x﹣x2（平方米），
故答案为：（71x﹣x2）平方米；
（3）由题意得：（40﹣x）（31﹣x）＝1170，
解得：x1＝1，x2＝70（不符合题意，舍去），
答：两条小路的宽度是1米；
（4）如图2，连接FH，过点F作FM∥AD，交KH于M，
∵∠BGF＝∠AEF＝θ＝60°，∠BGF+∠AGF＝180°，
∴∠AEF+∠AGF＝180°，
∴四边形AEFG是圆内接四边形，
∴∠A+∠EFG＝180°，
∵∠A＝90°，
∴∠EFG＝90°，
∵EF∥KH，
∴∠FHM＝∠EFG＝90°，
∵FM∥AD，
∴∠EFM＝∠AEF，
∵EF∥KH，
∴∠FMH＝∠EFM，四边形EFMK是平行四边形，
∴∠FMH＝∠AEF＝60°，FM＝EK＝x，
∴FH＝FM•sin∠FMH＝x•sin60°＝x（米）；
（5）如图3，连接FM、PM、PQ、FQ，过点F作FM∥AD，交KH于M，
则四边形EFMK是平行四边形，
∴FM＝EK＝1，∠FMH＝∠AEF＝θ，
∵FH∥PQ，FQ∥PH，
∴四边形FHPQ是平行四边形，
由（4）知：∠AFE＝90°，
∴∠QFH＝90°，
∴四边形FHPQ是矩形，
在Rt△FMH中，FH＝FM•sinθ＝sinθ，
同理可得FQ＝sinθ，
∴FH＝FQ，
∴四边形FHPQ是正方形，
∴两条路重叠部分四边形FHPQ的面积为sin2θ平方米；
如图4，当G与A重合时，
∵∠DAR+∠ARD＝90°，∠DAR+∠AEF＝90°，
∴∠ARD＝∠AEF＝θ，
此时θ最小，即sinθ的值最小，
∵CR＝1，
∴DR＝31﹣1＝30，
在Rt△ADR中，AR＝＝＝50，
∴sinθ＝＝＝，
∴≤sinθ≤1．
24．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，点D为弦AB的中点，连接DO、OB，延长DO交弦AC的延长线于点E，DE与弦BC交于点F，DE与⊙O交于点G，已知AB＝6，DG＝9．
（1）求⊙O的半径；
（2）求证：∠E＝∠OBC；
（3）若OF＝3，求CF的长．
【解答】（1）解：∵点D为弦AB的中点，O为圆心，AB＝6，
∴OD⊥AB，AD＝DB＝3，
设⊙O的半径为r，则OB＝OG＝r，OD＝DG﹣OG＝9﹣r，
∵BD2+OD2＝OB2，
∴32+（9﹣r）2＝r2，
∴r＝5．
∴⊙O的半径为5；
（2）证明：延长BO交⊙O于点K，连接CK，如图，
∵BK为⊙O的直径，
∴∠BCK＝90°，
∴∠OBC+∠K＝90°．
∵OD⊥AB，
∴∠E+∠A＝90°．
∵∠A＝∠K，
∴∠E＝∠OBC；
（3）解：连接OC，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵∠E＝∠OBC，
∴∠OCB＝∠E．
∵∠COF＝∠EOC，
∴△COF∽△EOC，
∴，
∴，
∴OE＝．
∴EF＝OE﹣OF＝．
由（1）知：OB＝OC＝5，OD＝4，
∴DF＝OD+OF＝7，
∴BF＝＝．
∵∠E＝∠OBC，∠CFE＝∠OFB，
∴△CFE∽△OFB，
∴，
∴，
∴CF＝．
成绩/分
6
7
8
9
10
班级个数
1
3
a
b
1
主题任务
“我的校园我做主”草坪设计
入项探究环节
任务背景
学校举办“迎五一，爱劳动”主题实践活动，九（2）班参加校园美化设计任务：
校园内有一块宽为31米，长为40米的矩形草坪，在草坪上设计两条小路，
具体要求：
（1）矩形草坪每条边上必须有一个口宽相等的路口；
（2）两条小路必须设计成平行四边形；
驱动任务一
九（2）班各个实践小组的设计方案汇总后，主要有甲、乙、丙三种不同的方案（如图1）：
（1）直观猜想：方案中小路的总面积大小关系：S甲 S乙，S甲 S丙；（请填“相等”或“不相等”）
深入探究
驱动任务二
验证猜想：各个实践小组用如表格进行研究：
方案
纵向小路面积
横向小路面积
纵横交叉面积
小路总面积
乙方案
31x
40x
甲方案
31x
40x
丙方案
31x
40x
（2）请用含x的代数式表示甲方案中小路总面积： ；
驱动任务三
（3）如果甲种方案除小路后草坪总面积约为1170平方米．请计算两条小路的宽度是多少？
拓展探究
驱动任务四
为了深入研究，各个小组选择丙方案（如图2）进行研究．若两条小路与矩形两组对边所夹锐角∠BGF＝∠AEF＝θ．
（4）若θ＝60°时，用含x的代数式拓表示四边形FHPQ的边长FH；
（5）若x＝1时，请用含θ的三角函数表示两条路重叠部分四边形FHPQ的面积，并写出sinθ取值范围．
成绩/分
6
7
8
9
10
班级个数
1
3
a
b
1
主题任务
“我的校园我做主”草坪设计
入项探究环节
任务背景
学校举办“迎五一，爱劳动”主题实践活动，九（2）班参加校园美化设计任务：
校园内有一块宽为31米，长为40米的矩形草坪，在草坪上设计两条小路，
具体要求：
（1）矩形草坪每条边上必须有一个口宽相等的路口；
（2）两条小路必须设计成平行四边形；
驱动任务一
九（2）班各个实践小组的设计方案汇总后，主要有甲、乙、丙三种不同的方案（如图1）：
（1）直观猜想：方案中小路的总面积大小关系：S甲 相等 S乙，S甲 相等 S丙；（请填“相等”或“不相等”）
深入探究
驱动任务二
验证猜想：各个实践小组用如表格进行研究：
方案
纵向小路面积
横向小路面积
纵横交叉面积
小路总面积
乙方案
31x
40x
甲方案
31x
40x
丙方案
31x
40x
（2）请用含x的代数式表示甲方案中小路总面积： （71x﹣x2）平方米 ；
驱动任务三
（3）如果甲种方案除小路后草坪总面积约为1170平方米．请计算两条小路的宽度是多少？
拓展探究
驱动任务四
为了深入研究，各个小组选择丙方案（如图2）进行研究．若两条小路与矩形两组对边所夹锐角∠BGF＝∠AEF＝θ．
（4）若θ＝60°时，用含x的代数式拓表示四边形FHPQ的边长FH；
（5）若x＝1时，请用含θ的三角函数表示两条路重叠部分四边形FHPQ的面积，并写出sinθ取值范围．