山东省聊城市临清市2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1. 在，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加），其中无理数的个数为（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了无理数的定义，无理数是无限不循环小数．根据定义回答即可找到答案．
【详解】解：，，这三个无理数．
故选：A．
2. 已知，则下列各式中一定成立的是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质依次判断即可．
本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
【详解】A、∵，
∴，
故A选项错误；
B、当时，，
故B选项是错误；
C、∵
，
∴，
故C选项错误；
D、∵，
∴，
故D选项正确；
故选：D．
3. 在中，对角线、交于点O，若，，，的周长为（ ）
A. 13B. 16C. 18D. 21
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，利用平行四边形的性质对角线互相平分，进而得出，的长，即可得出的周长．
【详解】解：∵的两条对角线交于点O，，，，
∴，，，
∴的周长为：．
故选：A．
4. 在中，，则不能作为判定是直角三角形的条件的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理逆定理和三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
根据三角形内角和及勾股定理可进行求解．
【详解】解：A、∵，能判定是直角三角形，故不符合题意；
B、∵，即，根据勾股定理逆定理可判定是直角三角形，故不符合题意；
C、由可设，则有，所以不能构成三角形，更不能判定是直角三角形，故符合题意；
D、由可设，所以，解得，能判定是直角三角形，故不符合题意；
故选：C．
5. 如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．连接，根据勾股定理求得，然后根据矩形的性质得出．
【详解】解：连接，
四边形是矩形，
，
点的坐标是，
，
，
故选：B．
6. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程求出，再利用三角形面积计算公式求解即可．
【详解】解：由折叠的性质可得，
设，则，
由长方形的性质可得，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴，
故选：C．
7. 近几年，临清胡同游让更多百姓了解了临清运河文化，也成为外地朋友了解临清运河文化的一扇窗口．五一期间胡同游计划全程4000米，途经多个景点．刘爷爷为熟悉活动路线，沿活动路线先以55米/分的平均速度行走了半小时，路过某景点后，加快了速度．若刘爷爷走完全程的时间少于60分钟，则他后半程的平均速度x（米/分）满足的不等式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查根据实际问题列不等式，根据刘爷爷走完全程的时间少于60分钟，得到60分钟行走的路程大于，列出不等式即可．
【详解】解：设刘爷爷后半程的平均速度为x（米/分），由题意，得：
；
故选D．
8. 如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（ ）
A. 75°B. 60°C. 54°D. 67.5°
【答案】B
【解析】
【详解】如图，连接BD，
由已知条件可得；∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°，BC=EC，
∴∠EBC=∠BEC=（180°-∠BCE）=15°，
∵∠BCM=∠BCD=45°，
∴∠BMC=180°-（∠BCM+∠EBC）=120°，
∴∠AMB=180°-∠BMC=60°，
∵正方形ABCD是关于AC对称的，M在AC上，
∴BM=DM，
∴∠AMD=∠AMB=60°，
故选B．
9. 定义：对于实数，符号表示不大于的最大整数．例如：如果，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由新定义得出3≤＜4，再进一步求解即可．
【详解】∵符号[a]表示不大于a的最大整数，[]＝3，
∴3≤＜4，
解得：5≤x＜7，
∴x的取值范围是5≤x＜7．
故选：A
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组，正确解不等式组是基础，根据题意正确列出不等式组是解答此题的关键．
10. 如图，中，，为的外角平分线，且于点D，E为的中点，若，则的长为（ ）

A. 12B. 14C. 16D. 18
【答案】A
【解析】
【分析】延长，交于点F，根据题目条件判断，得出，，再根据三角形中位线的性质进行计算即可．
【详解】解：延长，交于点F ，
为的外角平分线，，
，
在和中，
，
，
，，
E为的中点，
，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形全等，三角形中位线的判定及性质，掌握三角形中位线的判定及性质是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 若一个正数的平方根是和，则这个正数是________．
【答案】4
【解析】
【详解】一个正数的平方根是a+1和a-3，
可得a+1+a-3=0，解得a=1，
所以a+1=2，即可得这个正数是4．
故答案为：4．
12. 已知关于x的方程的解是非负数，则k的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查解一元一次方程及一元一次不等式，列出关于k的不等式求出k的取值范围是解题关键．
把k看作已知数表示出方程的解，根据解为非负数，确定出k的范围，即可得出答案．
【详解】解：
解得：，
由题意得：，
解得：，
∴k的最小值为．
故答案为：．
13. 如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为__________．
【答案】8
【解析】
【分析】根据勾股定理的几何意义：S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形D-S正方形C=S正方形E解得即可．
【详解】解：由题意：S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形D-S正方形C=S正方形E，
∴S正方形A+S正方形B=S正方形D-S正方形C，
∵正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，
∴S正方形B+4=18-6，
∴S正方形B=8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
14. 如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是的正方形网格上的格点，以点A为圆心，长为半径画圆交数轴于M，N两点，则M点所表示的数为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数与数轴，正确数形结合分析是解题关键．
直接利用勾股定理得出的长，再利用数轴得出答案．
【详解】解：∵轴，
∴，
∴是直角三角形，
∵，，
∴，
∴，
∴M点所表示的数为：．
故答案为：．
15. 关于x的不等式组 有且只有三个整数解，则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题关键．
解该不等式组可得，结合该不等式组有且只有三个整数解，易知该不等式组的三个整数解为2，3，4，即可获得答案．
【详解】解：
由①得：，
所以，该不等式组的解集为，
若有且只有三个整数解，则整数为2，3，4，
∴，
故答案为：．
16. 如图，以的三边为边在上方分别作等边，，，且点A在内部．给出以下结论：①四边形是平行四边形；
②当时，四边形是菱形；
③当时，四边形是矩形；
④当，且时，四边形是正方形．其中正确结论有______（填上所有正确结论的序号）．
【答案】①②##②①
【解析】
【分析】证明和即可判断；由得到即可判断②；当时，求出即可判断③；综合结论②③即可判断；
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理由，
∴，
∴，
由，即可得出四边形 是平行四边形，故结论正确；
由知，四边形 是平行四边形，
∴当时，，
∴平行四边形是菱形，故结论正确；
当时，
，
由知四边形是平行四边形，
∴平行四边形不是矩形，故结论错误；
根据结论②可知，当时，四边形是菱形，当时，四边形不是矩形，
∴四边形不是正方形，故结论错误；
综上分析可知，正确的结论为①②．
故答案为：①②．
【点睛】本题考查了平行四边形及矩形、菱形、正方形的判定，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的判定方法．
三、解答题：本题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17 按要求解答：
（1）求下列各式中的x：
①；
②．
（2）计算：．
【答案】（1）①；②
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查实数的综合运算能力，是中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握二次根式、立方根、算术平方根、绝对值等考点的计算．
（1）可用直接开平方和开立方进行解答．
（2）根据绝对值、立方根、算术平方根、二次根式化简等考点进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【小问1详解】
解：①∵，
∴，
∴．
故答案为：．
②∵，
∴．
故答案为：．
【小问2详解】
原式
故答案为：．
18. 解不等式（组）：
（1）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
（2）解不等式组：．
【答案】（1）；图见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查求不等式和不等式组的解集，并在数轴上表示出解集：
（1）去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，进而在数轴上表示出解集即可；
（2）先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集．
【小问1详解】
解：，
∴，
∴，
∴，
∴；
数轴表示如图：
【小问2详解】
，
由①，得：，
由②，得：，
故不等式组的解集为：．
19. 为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，且．该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，若每种植花卉需要花费100元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？
【答案】此块空地全部种植花卉共需花费3600元
【解析】
【分析】本题考查三线合一，勾股定理及其逆定理，过A作于点E，三线合一求出的长，勾股定理逆定理，得到是直角三角形，利用等腰三角形的面积减去直角三角形的面积求出阴影部分的面积，再乘以单价即可．
【详解】解：如图，过A作于点E，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴（元）．
答：此块空地全部种植花卉共需花费3600元．
20. 材料1：因为无理数是无限不循环小数，所以无理数的小数部分我们不可能全部写出来，比如：，等，而常用的“…”或者“”的表示方法都不够百分百准确．
材料2：任何一个无理数，都夹在两个相邻的整数之间，如．是因为，所以的整数部分是2，小数部分是．
根据上述材料，回答下列问题：
（1）的整数部分是______，小数部分是______；
（2）若整数部分是a，小数部分是b，求的值．
【答案】（1）4；
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数的运算：
（1）先估算出，据此仿照题意可得答案；
（2）先估算出，进而求出，据此可得a、b的值，最后代值计算即可．
【小问1详解】
解；∵，
∴，
∴的整数部分是4，
∴小数部分是，
故答案为：4；；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴的整数部分，
∴的小数部分，
∴．
21. 如图，已知菱形中，，E，F分别是的中点，连接．求证：四边形是矩形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查菱形性质，等边三角形的判定和性质，矩形的判定，根据先证明为等边三角形，三线合一，得到，证明四边形为平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可得出结论。
【详解】证明：∵四边形是菱形，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴．
∵E，F分别是的中点，
∴，．
∵四边形是菱形，
∴且，
∴且，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形．
22. 某仓库放置若干个A型部件和B型部件．已知1个A型部件和2个B型部件的总质量为吨，2个A型部件和3个B型部件的质量刚好相等．
（1）求1个A型部件和1个B型部件的质量各是多少？
（2）来自工业和信息化部公布的数据，2023年我国汽车出口首次跃居全球第一．现有一种我国自产的卡车，最大额定载重质量为15吨，要用一辆这种卡车运输16个两种部件去往某地，由于其它方面都满足运输要求，只需考虑所载部件的总质量不能超过汽车的最大额定载重量．求这辆卡车最少要运输多少个B型部件？
【答案】（1）1个A型部件的质量吨，1个B型部件的质量是吨；
（2）这辆卡车最少要运输11个B型部件．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一不等式的应用，读懂题意，找出数量关系是解题关键．
（1）设1个A型部件的质量吨，1个B型部件的质量是吨，根据题意列二元一次方程求解即可；
（2）设这辆卡车要运输个B型部件，则运输个A型部件，根据题意列不等式求解，取最小正整数解即可．
【小问1详解】
解：设1个A型部件的质量吨，1个B型部件的质量是吨，
由题意得：，解得：，
答：1个A型部件的质量吨，1个B型部件的质量是吨；
【小问2详解】
解：设这辆卡车要运输个B型部件，则运输个A型部件，
由题意得：，
解得：，
为正整数，
这辆卡车最少要运输11个B型部件．
23. 在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．
（1）证明四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
【答案】（1）证明过程见解析
（2）6
【解析】
【分析】（1）证明，可得，再由D是的中点，即，根据可证四边形是平行四边形，再利用直角三角形的性质可得，即可得出结论；
（2）连接，证明四边形是平行四边形，可得，再利用菱形的面积公式即可计算出结果．
【小问1详解】
证明：∵，
，
∵E是的中点，
∴，
又∵，
在和中，
，
，
，
∵D是的中点，
，
，
又，
∴四边形是平行四边形，
∵，D是的中点，
∴在中，，
∴平行四边形是菱形；
【小问2详解】
解：连接，∵，，
∴四边形是平行四边形，
，
又∵四边形是菱形，，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质及菱形的面积计算，熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
24. 综合与实践
【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为______，就是最短路程．
【变式探究】
（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为______．
【拓展应用】
（3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）
【答案】（1）25；（2）17 cm；（3）B处到内壁A处所爬行的最短路程是10 cm
【解析】
【分析】本题考查勾股定理最短路径问题：
（1）直接利用勾股定理进行求解即可；
（2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可；
（3）将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：（1）由勾股定理，得：；
故答案为：25；
（2）将圆柱体展开，如图，由题意，得：
，，
由勾股定理得：；
故答案为：17 cm．
（3）如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，

由题意得：，
，
∵底面周长为，
，
，
由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为，