2024年陕西省西安市爱知初级中学九年级中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（共8小题，每题3分，计24分，每小题只有一个选项符合题意）
1. 的倒数是（ ）
A B. C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了倒数的定义．直接利用倒数的定义“两个数乘积是1的数互为倒数”得出答案．
【详解】解：的倒数为．
故选：B．
2. 一粒米的质量约千克，数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：
故选D．
3. 如图，，，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，同位角相等．根据平行线的性质，，经过计算可求．
【详解】解：∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
，
故答案为：B．
4. 下列各式中，计算结果等于的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则、除法法则以及幂的乘方法则是解题的关键．根据同底数幂相乘，同底数幂相除，幂的乘方等法则依次判断即可.
【详解】解：A、，故选项符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、不是同类项，不能合并，故选项不符合题意；
D、，故选项不符合题意；
故选：A．
5. 若一次函数与的图象关于直线轴对称，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，坐标与图形变化—轴对称，设是直线上一点，则点关于直线的对称轴为，据此可得一次函数一定经过点和点，利用待定系数法求解即可．
【详解】解：设是直线上一点，则点关于直线的对称轴为，
∵一次函数与的图象关于直线轴对称，
∴一次函数一定经过点和点，
∴，
∴，
故选：A
6. 如图，中，平分，，于，，则的长为（ ）
A. 8B. 10C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理， 角平分线的性质，三线合一定理，过点D作于E，则由角平分线的性质可得，由三线合一定理得到，利用勾股定理求出，则．
【详解】解：如图所示，过点D作于E，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
故选：C．
7. 如图，在内，以弦为边作等边，的延长线交于两点，过作于点，延长交于点，若，则的长为（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，垂径定理．
由等边得到，从而，进而，，根据垂径定理得到，从而，根据等边三角形的性质即可解答．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∵过圆心O，且，
∴，
∴，
∴在等边中，．
故选：C
8. 已知：二次函数，以下对于此二次函数图象的描述中，正确的有（ ）个．
①对称轴为直线；②当时，随的增大而增大；
③图象经过点；④当时，函数图象经过两个象限．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据对称轴计算公式即可判断①；由于不知道开口方向，则无法得知增减性，即可判定②；当时，，即可判断③；求出当时，，则当时，，据此可得顶点在x轴上方，且开口向上，即可判断④．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴对称轴为直线，故①正确；
∵不知道开口方向，
∴无法得到当时，随的增大而增大，故②错误；
在中，当时，，
∴图象经过点，故③正确；
当时，，
当时，，
∴顶点在x轴上方，且开口向上，
∴此时二次函数图象只经过第一、二象限，故④正确，
故选：C．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 分解因式： _______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式因式分解，熟练进行平方差公式因式分解是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
10. 如图，在坡度为的山坡上种树，已知，相邻两树的坡面距离为10米，则两树的水平距离为__________米．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，根据坡度比可得，设，由勾股定理得，解方程即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
设，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴米，
故答案为：．
11. 反比例函数与正比例函数交于两点，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据对称性可得两点关于原点对称，则，据此可得．
【详解】解；∵反比例函数与正比例函数交于两点，
∴两点关于原点对称，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 如图，矩形中，，为上一点，将沿折叠，点恰好落在线段上，若，则长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，平行线的性质，解直角三角形，勾股定理，先推导出，得到，再分别由和可得，，利用勾股定理求出，即可求解，利用解直角三角形求出的长是解题的关键．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，，，，
∴，
∴，
又由折叠可得，，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 如图，四边形中，，，分别平分和，为的中点，若，则的长为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，全等三角形的性质与判定，延长交延长线于H，证明得到，再证明，则可由勾股定理得到，解直角三角形得到，则，即可得到．
【详解】解：如图所示，延长交延长线于H，
∵，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴
∵分别平分和，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
故答案为：．
三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算，特殊角三角函数值，负整数指数幂，先计算特殊角三角函数值，负整数指数幂，再根据实数的运算法则求解即可．
【详解】解：
．
15. 解不等式组：．
【答案】
【解析】
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据夹逼原则求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．
16. 分式化简：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的混合计算，先把除法变成乘法然后约分，再计算分式减法即可．
【详解】解：
17. 如图，线段绕点旋转一定角度后得到线段（两端点分别与对应），请你利用直尺和圆规确定点的位置．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】作图见解析
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，线段垂直平分线的画法和性质，连接，分别作线段的垂直平分线，相交于点，由线段垂直平分线的性质可得，，故点为旋转中心，即为所求，掌握对应点到旋转中心的距离相等是解题的关键．
【详解】解：如图，点即为所求．
18. 已知：中，，于点，平分交于两点，交于点．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判断，等角对等边，平行线的性质与判定，先由角平分线的定义得到，再证明推出，则，再证明，据此可证明结论．
【详解】证明：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴．
19. 如图，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余部分面积为，求原正方形空地的边长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设原正方形空地的边长为，则剩余部分长，宽，根据剩余部分面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设原正方形空地的边长为，则剩余部分长，宽，，
依题意得：
整理得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：原正方形空地的边长为．
20. 某数学小组做摸球实验，在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的白球和红球共5个，将球搅拌均匀后从袋子中随机摸出一个球，记录球的颜色再放回袋中，重复多次试验，经统计发现摸到红球的频率大约为．
（1）用频率估计概率，估计袋子中红球的个数为______________；
（2）从袋子中随机摸出一个球，记录颜色后，再从剩余的球中随机摸出一个球，记录颜色．利用（1）中结果，用树状图或列表的方法，求两次摸出的球恰好都是红球的概率．
【答案】（1）3 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，树状图法或列表法求解概率：
（1）根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到摸到红球的概率大约为，据此利用概率计算公式求出红球的个数即可；
（2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到两次摸出的球恰好都是红球的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵重复多次试验，经统计发现摸到红球的频率大约为．，
∴摸到红球的概率大约为，
∴估计袋子中红球的个数为，
故答案为：3；
【小问2详解】
解：设用A、B、C表示3个红球，用D、E表示两个白球，列表如下：
由表格可知，一共有20种等可能性的结果数，其中两次摸出的球恰好都是红球的结果数有6种，
∴两次摸出球恰好都是红球的概率为．
21. 一天中午，小旭和小华两人想利用所学知识测量当地一座古塔的高度（古塔的底部不可到达），如图所示，小旭先在塔影子的顶端C处竖立长为的标杆，测得标杆的影长为，此时小华在标杆的影子顶端E处放置测角仪，测得塔顶端B的仰角为，已知测角仪EF的高度为，，，，点A，C，E在同一水平直线上，求该古塔的高度．（参考数据：，，）
【答案】约为；
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据影长比得到，设，表示出，在中结合三角函数求解即可得到答案；
详解】解：如图：
设，
由题意得：，
∴，
∴，
由题意得：，，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴该古塔的高度约为．
22. 某工厂车间共有20名工人，调查每个工人的日均生产能力，获得数据如下表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）20名工人的日均生产件数的众数是___________，中位数是____________；
（2）计算这20名工人的日均生产件数的平均数；
（3）若要使的工人都能完成任务，应选什么统计量（平均数、中位数、众数）做日生产件数的定额？请说明理由．
【答案】（1）13件；12件
（2）这20名工人日均生产件数的平均数为11件
（3）选择中位数或者平均数作为日生产件数定额均可，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了求中位数，众数，加权平均数：
（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）根据加权平均数的计算方法求解即可；
（3）先求出完成任务的人数要为12人，而生产件数在12件及以上的有12人，则只需日生产件数定额大于10件且小于等于12件即可，据此可得答案．
【小问1详解】
解：∵生产件数为13件的人数最多，
∴众数是13件；
把第20名工人生产的件数从低到高排列，处在第10名和第11名的生产件数分别为12件，12件，
∴中位数为，
故答案为：13件；12件；
【小问2详解】
解：件，
∴这20名工人日均生产件数的平均数为11件；
【小问3详解】
解：选择中位数或者平均数作为日生产件数定额均可，理由如下：
∵（人），日生产12件以上的有人，
∴只需日生产件数定额大于10件且小于等于12件即可，
∴选择中位数或者平均数作日生产件数定额均可；
23. 声音在空气中的传播速度与温度之间近似满足一次函数关系．经实验得到：当温度为时，声音的传播速度约为；当温度下降至时，声音的传播速度约为．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）某人在距离政府规划的烟花集中燃放地处看烟花，当此时的温度是时，那么烟花绽放声响几秒后可以传到此人所站的地方？
【答案】（1）
（2）5
【解析】
【分析】本题考查待定系数法，一次函数的应用．
（1）设与之间的函数关系式为，由题意得到当时，；当时，，代入解析式中，解方程组即可解答；
（2）先求出温度是时声音的传播速度，根据时间＝路程÷速度即可解答．
【小问1详解】
解：∵声音在空气中的传播速度与温度之间近似满足一次函数关系，
∴设与之间的函数关系式为，
∵当时，；当时，，
∴，解得，
∴与之间的函数关系式为；
【小问2详解】
解：当时，
∴（s），
答：烟花绽放声响5秒后可以传到此人所站的地方．
24. 如图，中，，为上一点，以为圆心，以为半径的与相切于点，交于点，过作的切线，交于点．
（1）若，用含的代数式表示；
（2）若，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，解直角三角形，等边对等角等等：
（1）连接，由切线的性质得到，再由等边对等角得到，则由平角的定义可得；
（2）由切线的性质得到，由勾股定理得， 证明，由（1）得，再由，可得，如图所示，过点F作于G，则，证明，求出，则，在中，由勾股定理得．
【小问1详解】
解：如图所示，连接，
∵是切线，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵与相切于点，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵是切线，
∴，
∴，
由（1）得，
又∵，
∴，
如图所示，过点F作于G，则，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得．
25. 如图，已知抛物线，抛物线与关于点中心对称，与相交于两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点为抛物线上一点，且位于点和点之间，过点作轴，交抛物线于点，求四边形面积的最大值．
【答案】（1）
（2）16
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数综合，中点坐标公式，求二次函数解析式等等：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出抛物线：的顶点坐标为，然后求出点关于对称后的点坐标为，则可得抛物线的解析式为：；设，则，其中，则，进而得到，据此可得答案．
【小问1详解】
解：把代入中得：，
∴，
∴抛物线的表达式；
【小问2详解】
解：抛物线：的顶点坐标为，且点关于对称后的点坐标为，
∵抛物线与抛物线关于成中心对称，
∴抛物线的解析式为：．
设，则，其中，
∴，
∴
，
，
∴当时，有最大值16．
26. （1）探索：如图①，四边形中，，过作于点，于点，求的面积．
（2）应用：如图②所示，点为线段外一动点，且，分别以为边，作等边三角形和等边三角形，点分别为的中点，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质等等：
（1）先由四边形内角和定理得到，解在得到，解得到，过点F作，则，解得到，则；
（2）如图所示，连接交于O，设交于M，交于N，可证得证明，得到，进而证明；由三角形中位线定理得到，则四边形是平行四边形，，可得；过点F作于T，则，求出，，则，再由，可得当在上时，有最大值4，此时有最大值，最大值为．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
如图所示，过点F作，则，
在，，
∴，
∴；
（2）如图所示，连接交于O，设交于M，交于N，
∵都是等边三角形，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵点分别为的中点，
∴分别是的中位线，
∴，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
如图所示，过点F作于T，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当在上时，有最大值4，此时有最大值，最大值为．




工人日均生产件数（件）
8
10
12
13
人数（人）
6
2
4
8