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2024年山东省烟台市蓬莱区中考一模数学试题（原卷版+解析版）
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这是一份2024年山东省烟台市蓬莱区中考一模数学试题（原卷版+解析版），文件包含2024年山东省烟台市蓬莱区中考一模数学试题原卷版docx、2024年山东省烟台市蓬莱区中考一模数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共38页， 欢迎下载使用。
1.本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟．考试结束后，请将答题卡上交．
2.答题前，务必用0.5毫米黑色的签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上．
3.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
4.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．
5.写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效．
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的．
1. 下列说法中，不正确的是（ ）
A. 3与互为相反数B. 与为倒数C. 的立方根是D. 的绝对值是1
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相反数，倒数，立方根，绝对值的定义，根据相反数，倒数，立方根，绝对值的定义逐项进行判断即可．
【详解】解：A、3与互为相反数，正确，不符合题意；
B、与为倒数，原说法错误，符合题意；
C、的立方根是，正确，不符合题意；
D、的绝对值是1，正确，不符合题意．
故选：B．
2. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：第1、2个图形是中心对称图形，但不是轴对称图形；
第3个图形是中心对称图形，也是轴对称图形；
第4个图形是轴对称图形，不是中心对称图形，
是轴对称图形，但不是中心对称图形的个数有1个．
故选：D．
3. 如图所示的这个几何体，下列图形不是这个几何体的三视图的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，熟记三视图是解题关键．
根据三视图的定义求解即可．
【详解】解：A是主视图，C是左视图，D是俯视图，
故选：B．
4. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂的运算及整式的乘法法则即可完成．
【详解】A、，故运算结果错误；
B、，故运算结果错误；
C、，故运算结果正确；
D、，故运算结果错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了幂的运算：同底数幂的除法与积的乘方，单项式乘多项式及乘法公式中的完全平方公式，熟悉这些计算法则，掌握完全平方公式的特征是解题的关键，注意运算中符号不要出错．
5. 党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五、将数据1040000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
6. 已知数轴上的点分别表示数，其中，．若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
分析】先由，，，根据不等式性质得出，再分别判定即可．
【详解】解：∵，，
∴
∵
∴
A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查用数轴上的点表示数，不等式性质，由，，得出是解题的关键．
7. 某中学开展“读书节活动”，该中学某语文老师随机抽样调查了本班10名学生平均每周的课外阅读时间，统计如表：
下列说法错误的是（ ）
A. 众数是B. 平均数是
C. 样本容量是D. 中位数是
【答案】A
【解析】
【分析】根据众数、平均数、样本的容量、中位数的定义，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A.6出现的次数最多，则众数是6，故该选项不正确，符合题意；
B. 平均数是，故该选项正确，不符合题意；
C. 样本容量是，故该选项正确，不符合题意；
D. 中位数是第5个和第6个数的平均数即，故该选项正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了众数、平均数、样本的容量、中位数，熟练掌握众数、平均数、样本的容量、中位数的定义是解题的关键．
8. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A. k＞﹣1B. k＞﹣1且k≠0C. k＜﹣1D. k＜﹣1或k=0
【答案】B
【解析】
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△=（﹣2）2﹣4k（﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得k≠0且△=（﹣2）2﹣4k（﹣1）＞0，
解得k＞﹣1且k≠0．
故选B．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
9. 用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ）
A. 32B. 34C. 37D. 41
【答案】C
【解析】
【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n个图形的算式，然后再解答即可．
【详解】解：第1个图中有5个正方形；
第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；
第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；
第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；
．．．
第n个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；
当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．
10. 如图是抛物线的图象，其对称轴为，且该图象与x轴的一个交点在点（－3，0）和（－4，0）之间，并经过点与点，则下列结论：①；②；③；④对于任意实数m，都有．其中正确结论有（ ）个
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与轴交点位置判断①．由对称轴为直线可得，根据抛物线与轴交点范围及对称性可得抛物线与轴另一交点在，之间，再有判断②．根据抛物线开口向下，对称轴为直线，由点与点和对称轴的距离判断③．由图象可得时函数值最大，将化为判断④．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
对称轴在轴左侧，
，
抛物线与轴交点在轴上方，
，
，①正确，符合题意．
对称轴为直线，
，
抛物线与轴一交点在和之间，
抛物线与轴另一交点在，之间，
时，，
，②正确，符合题意．
抛物线对称轴为直线且图象开口向下，，
，③正确，符合题意．
抛物线开口向下，对称轴为直线，
时取最大值，
由可得，
当时，即，
④错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11. 在函数中，自变量x的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【详解】解：在函数中，
，
解得：，
故答案为：.
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12. 计算：___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了零指数幂，立方根，绝对值，计算每一项，再加减即可，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
13. 如图，五边形是正五边形，若，则__________．
【答案】72
【解析】
【详解】分析：延长AB交于点F，根据得到∠2=∠3,根据五边形是正五边形得到∠FBC=72°,最后根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出.
详解：延长AB交于点F，
∵，
∴∠2=∠3，
∵五边形是正五边形，
∴∠ABC=108°,
∴∠FBC=72°,
∠1-∠2=∠1-∠3=∠FBC=72°
故答案为72°.
点睛：此题主要考查了平行线的性质和正五边形的性质，正确把握五边形的性质是解题关键.
14. 如图，在中，，，．以点C为圆心，以的长为半径画弧，分别交于点D，E，则图中阴影部分的面积为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，解直角三角形，等边三角形的性质等，正确作出辅助线是解题的关键．
如图所示，过点作于，连接，先解得到，再证明是等边三角形得到；解求出，最后根据进行求解即可．
【详解】解：如图所示，过点作于，连接，
∵，，
∴，
∵以的长为半径画弧，分别交于点，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
在中，，
，
故答案为：．
15. 如图，平行四边形的顶点A，B在函数（）的图象上，边与y轴交于点D，轴于点E．若的面积为8，则的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查平行四边形的性质以及反比例函数的性质，根据题意得，则有，化简得到，结合反比例函数的性质得，即可求得答案．
分析：根据题意得，则有，化简得到，结合反比例函数的性质得，即可求得答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，的面积为8，
，
，
，
，
则，
∵点在函数的图象上，
，
，
则，
，
∴，
故答案为：．
16. 如图，在四边形中，，，，分别是边，上的动点，当的周长最小时，______°．
【答案】100
【解析】
【分析】作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接、，则当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小，则易得的大小．
【详解】解：如图，作点A关于对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接、，
由对称性知：，，
，
∴当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小；
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，两点间线段最短等知识，对称的应用是解题的关键．
三、解答题（本大题共9个小题，满分72分）
17. （1）先化简，再求值：，其中．
（2）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】（1），；（2）原不等式组的解集为，数轴表示见解析．
【解析】
【分析】本题考查的是解不等式组，特殊角的三角函数值，分式的化简求值，熟知分式混合运算和解不等式组的法则是解答此题的关键．
（1）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出的值代入进行计算即可；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可；
【详解】（1）解：原式
．
当时，
原式
．
（2）解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
在同一条数轴上表示不等式组解集如图：
∴原不等式组的解集为．
18. 如图，AM∥BC，且AC平分∠BAM．
（1）用尺规作∠ABC的平分线BD交AM于点D，连接CD．（只保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：四边形ABCD是菱形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】(1)利用尺规作图的方式(本质为三角形全等)作出∠ABC的角平分线即可；
(2)先证明AB＝BC，AB＝AD，则AD＝BC，则可判断四边形ABCD是平行四边形，然后加上邻边相等可判断四边形ABCD是菱形．
【详解】解：(1)如下图所示，DB、CD为所作；
(2)证明：∵AC平分∠BAM，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵AM∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA．
∴∠BAC＝∠BCA．
∴AB＝BC，
同理可证：AB＝AD．
∴AD＝BC．
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形．
【点睛】本题考查了尺规作图中角平分线的作法，其本质是利用三角形全等的知识来作图；另外本题考查了菱形的判定方法，熟练掌握菱形判定方法是解决此题的关键.
19. 我市于2021年5月22－23日在遂宁观音湖举行了“龙舟赛”，吸引了全国各地选手参加．现对某校初中1000名学生就“比赛规则”的了解程度进行了抽样调查（参与调查的同学只能选择其中一项），并将调查结果绘制出以下两幅不完整的统计图表，请根据统计图表回答下列问题：
（1）根据以上信息可知：a＝ ，b＝ ，m＝ ，n＝ ；
（2）补全条形统计图；
（3）估计该校1000名初中学生中“基本了解”的人数约有 人；
（4）“很了解”的4名学生是三男一女，现从这4人中随机抽取两人去参加全市举办的“龙舟赛”知识竞赛，请用画树状图或列表的方法说明，抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率是否相同．
【答案】（1）50；20；0.2；0.08；（2）见解析；（3）400；（4）
【解析】
【分析】（1）由“了解很少”的频数除以频率得到调查样本容量，从而可求出a，b，m，n的值；
（2）根据（1）的结论补全图形即可；
（3）根据样本的基本了解的频率估计总体即可得到结果；
（4）运用列表的方法得出所有情况和抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的情况相同，从而得出结论．
【详解】解：（1）∵16÷0.32=50（人）
∴a＝50，
b＝50-（10-16-4）=20，
m＝10÷50=0.2，
n＝4÷50= 0.08，
故答案为：50，20，0.2，0.08；
（2）补全条形统计图如下图：
（3）该校1000名初中学生中“基本了解”的人数约有400人，
故答案为：400；
（4）记4名学生中3名男生分，一名女生为B，
从4人中任取两人的所有机会均等结果共有12种
抽到两名学生均为男生包含：A1A2，A1A3，A2A1，A2A3，A3A1，A3A2，共6种等可能结果，
∴P（抽到两名学生均为男生）＝
抽到一男一女包含：A1B，A2B，A3B ，BA1， BA2，BA3 共六种等可能结果
∴P（抽到一男一女）＝
故抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率相同
【点睛】本题考查条形统计图、列表法求随机事件发生的概率，从统计图中获取数量和数量之间的关系以及列举出所有可能出现的结果数是解决问题的关键．
20. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，A的横坐标为，B的纵坐标为．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）观察图象，直接写出不等式的解集．
（3）将直线向上平移n个单位，交双曲线于C、D两点，交坐标轴于点E、F，连接、，若的面积为20，求直线的表达式．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）先求解A，B的坐标，再利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）由反比例函数的图象在一次函数的图象的上方确定不等式的解集即可；
（3）方法一、连接BE，作轴，先求解，可得直线AB的表达式为，由，可得，求解，可得，由，可得即可；
方法二、连接BF，作轴，先求解，结合，可得，可得，由，再设直线CD的表达式为，再利用待定系数法求解即可．
【小问1详解】
解：直线与双曲线交于A、B两点，
∴A、B关于原点对称，
，
，
在双曲线上，
，
∴反比例函数的表达式为 ；
【小问2详解】
∵，
∴不等式的解集为：或 ；
【小问3详解】
方法一：连接，作轴于G，
在直线上，
，
直线的表达式为，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
直线CD的表达式为．
方法二：
连接BF，作轴于，
在直线上，
，
直线的表达式为，
，
，
，
，
，
，
∴设直线的表达式为，
在直线上，
，
，
∴直线的表达式为．
【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，利用待定系数法求解函数解析式，坐标与图形面积，利用数形结合的方法确定不等式的解集，清晰的解题思路与数形结合的运用都是解本题的关键．
21. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：）
【答案】米
【解析】
【分析】过点作于点，于点，则四边形矩形，在中，求得，进而求得，根据，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，于点，则四边形是矩形，
依题意， ，（米）
在中，（米），（米），则（米）
∵（米）
∴（米）
∵，
∴（米）
∴（米）．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22. 荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进，两种文创饰品对游客销售．已知1400元采购种的件数是630元采购种件数的2倍，种的进价比种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购种的件数不低于390件，不超过种件数的4倍．
（1）求，饰品每件的进价分别为多少元？
（2）若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购种超过150件时，种超过的部分按进价打6折．设购进种饰品件，
①求的取值范围；
②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润．
【答案】（1）种饰品每件进价为10元，B种饰品每件进价为9元；
（2）①且为整数，②当采购种饰品210件，B种饰品390件时，商铺获利最大，最大利润为3630元．
【解析】
【分析】（1）分别设出，饰品每件的进价，依据数量列出方程求解即可；
（2）①依据题意列出不等式即可；
②根据不同的范围，列出不同函数关系式，分别求出最大值，比较即可得到李荣最大值．
【小问1详解】
（1）设种饰品每件的进价为元，则B种饰品每件的进价为元．
由题意得：，解得：，
经检验，是所列方程的根，且符合题意．
种饰品每件进价为10元，B种饰品每件进价为9元．
【小问2详解】
①根据题意得：，
解得：且为整数；
②设采购种饰品件时的总利润为元．
当时，，
即，
，
随的增大而减小．
当时，有最大值3480．
当时，
整理得：，
，
随的增大而增大．
当时，有最大值3630．
，
的最大值为3630，此时．
即当采购种饰品210件，B种饰品390件时，商铺获利最大，最大利润为3630元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数利润最大化方案问题，关键是对分段函数的理解和正确求出最大值．
23. 如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连接EC，．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若，，求AB的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）连接OC，利用三角形的外角定理得到：，因为，可证明，因为，进一步可得；
（2）分析可得：，再利用同弧所对圆周角相等可知：，利用，，即可求出AB．
【小问1详解】
证明：连接OC，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴CD是⊙O的切线；
小问2详解】
解：连接AC，BC，
∵BE是⊙O的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形，第（1）问证CD是⊙O的切线，关键是证明；第（2）问的关键是证明，．
24. 如图①，在正方形中，点N、M分别在边、上，连结、、．，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到．易证：，从而得．
【实践探究】
（1）在图①条件下，若，，则正方形的边长是_________．
（2）如图②，点M、N分别在边、上，且．点E、F分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图③，在矩形中，，，点M、N分别在边、上，连结，，已知，，求的长．
【答案】（1）12；（2），见解析；（3）4
【解析】
【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等和由勾股定理得出方程是解题的关键．
（1）由旋转的性质可得，，，，证出，得出，可证，得出．证出．在中，由勾股定理得出，则，设正方形的边长为，则，，得出方程，解方程即可；
（2）将绕点顺时针旋转，得到，连接，由旋转的性质可得，，，，由“”可证，可得，由直角三角形的性质和平行四边形的性质可求，由勾股定理可求解；
（3）延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接，则四边形是正方形，得出，设，则，由平行线得出，求出，得出，由（1）得：，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】（1）解法提示：∵四边形是正方形，
∴，.
由旋转得，
∴，，，，
∴，
∴E，B，N在同一条直线上.
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴.
在与中，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴.
在中，由勾股定理得
∴
∴；
（2）三条线段，，之间满足的数量关系为，
理由如下：
图（1）
如图（1），过点D作，且，连接，，
则，
∴.
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴.
在与中，
∴，
∴，.
∵，，
∴
在和中，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴；
（3）如图（2），把矩形补成正方形，延长交于G，连接，则.
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则.
∵四边形是正方形，，
∴由（1）中证明知，.
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
∴的长为4．
25. 如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，点在轴上．点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当时，请在图1中过点作交抛物线于点，连接，，判断四边形的形状，并说明理由．
（3）如图2，点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，求的最小值．
【答案】（1）
（2）四边形是平行四边形，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）作交抛物线于点，垂足为，连接，，由点在上，可知，，连接，得出，则，当时，，进而得出，然后证明，即可得出结论；
（3）由题意得，，连接．在上方作，使得，，证明，根据得出的最小值为，利用勾股定理求得，即可得解．
【小问1详解】
解：∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
四边形是平行四边形．
理由：如图1，作交抛物线于点，垂足为，连接，．
∵点在上，
∴，，
连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
【小问3详解】
如图2，由题意得，，连接．
在上方作，使得，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴（当，，三点共线时最短），
∴的最小值为，
∵，
∴，
即的最小值为．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，平行四边形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．每周课外阅读时间（小时）
学生数（人）
类别
频数
频率
不了解
10
m
了解很少
16
0.32
基本了解
b
很了解
4
n
合计
a
1
A1
A2
A3
B
A1
（A1，A2）
（A1，A3）
（A1，B）
A2
（A2，A1）
（A2，A3）
（A2，B）
A3
（A3，A1）
（A3，A2）
（A3，B）
B
（B，A1）
（B，A2）
（B，A3）
1.本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟．考试结束后，请将答题卡上交．
2.答题前，务必用0.5毫米黑色的签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上．
3.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
4.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．
5.写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效．
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的．
1. 下列说法中，不正确的是（ ）
A. 3与互为相反数B. 与为倒数C. 的立方根是D. 的绝对值是1
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相反数，倒数，立方根，绝对值的定义，根据相反数，倒数，立方根，绝对值的定义逐项进行判断即可．
【详解】解：A、3与互为相反数，正确，不符合题意；
B、与为倒数，原说法错误，符合题意；
C、的立方根是，正确，不符合题意；
D、的绝对值是1，正确，不符合题意．
故选：B．
2. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：第1、2个图形是中心对称图形，但不是轴对称图形；
第3个图形是中心对称图形，也是轴对称图形；
第4个图形是轴对称图形，不是中心对称图形，
是轴对称图形，但不是中心对称图形的个数有1个．
故选：D．
3. 如图所示的这个几何体，下列图形不是这个几何体的三视图的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，熟记三视图是解题关键．
根据三视图的定义求解即可．
【详解】解：A是主视图，C是左视图，D是俯视图，
故选：B．
4. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂的运算及整式的乘法法则即可完成．
【详解】A、，故运算结果错误；
B、，故运算结果错误；
C、，故运算结果正确；
D、，故运算结果错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了幂的运算：同底数幂的除法与积的乘方，单项式乘多项式及乘法公式中的完全平方公式，熟悉这些计算法则，掌握完全平方公式的特征是解题的关键，注意运算中符号不要出错．
5. 党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五、将数据1040000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
6. 已知数轴上的点分别表示数，其中，．若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
分析】先由，，，根据不等式性质得出，再分别判定即可．
【详解】解：∵，，
∴
∵
∴
A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查用数轴上的点表示数，不等式性质，由，，得出是解题的关键．
7. 某中学开展“读书节活动”，该中学某语文老师随机抽样调查了本班10名学生平均每周的课外阅读时间，统计如表：
下列说法错误的是（ ）
A. 众数是B. 平均数是
C. 样本容量是D. 中位数是
【答案】A
【解析】
【分析】根据众数、平均数、样本的容量、中位数的定义，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A.6出现的次数最多，则众数是6，故该选项不正确，符合题意；
B. 平均数是，故该选项正确，不符合题意；
C. 样本容量是，故该选项正确，不符合题意；
D. 中位数是第5个和第6个数的平均数即，故该选项正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了众数、平均数、样本的容量、中位数，熟练掌握众数、平均数、样本的容量、中位数的定义是解题的关键．
8. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A. k＞﹣1B. k＞﹣1且k≠0C. k＜﹣1D. k＜﹣1或k=0
【答案】B
【解析】
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△=（﹣2）2﹣4k（﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得k≠0且△=（﹣2）2﹣4k（﹣1）＞0，
解得k＞﹣1且k≠0．
故选B．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
9. 用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ）
A. 32B. 34C. 37D. 41
【答案】C
【解析】
【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n个图形的算式，然后再解答即可．
【详解】解：第1个图中有5个正方形；
第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；
第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；
第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；
．．．
第n个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；
当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．
10. 如图是抛物线的图象，其对称轴为，且该图象与x轴的一个交点在点（－3，0）和（－4，0）之间，并经过点与点，则下列结论：①；②；③；④对于任意实数m，都有．其中正确结论有（ ）个
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与轴交点位置判断①．由对称轴为直线可得，根据抛物线与轴交点范围及对称性可得抛物线与轴另一交点在，之间，再有判断②．根据抛物线开口向下，对称轴为直线，由点与点和对称轴的距离判断③．由图象可得时函数值最大，将化为判断④．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
对称轴在轴左侧，
，
抛物线与轴交点在轴上方，
，
，①正确，符合题意．
对称轴为直线，
，
抛物线与轴一交点在和之间，
抛物线与轴另一交点在，之间，
时，，
，②正确，符合题意．
抛物线对称轴为直线且图象开口向下，，
，③正确，符合题意．
抛物线开口向下，对称轴为直线，
时取最大值，
由可得，
当时，即，
④错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11. 在函数中，自变量x的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【详解】解：在函数中，
，
解得：，
故答案为：.
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12. 计算：___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了零指数幂，立方根，绝对值，计算每一项，再加减即可，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
13. 如图，五边形是正五边形，若，则__________．
【答案】72
【解析】
【详解】分析：延长AB交于点F，根据得到∠2=∠3,根据五边形是正五边形得到∠FBC=72°,最后根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出.
详解：延长AB交于点F，
∵，
∴∠2=∠3，
∵五边形是正五边形，
∴∠ABC=108°,
∴∠FBC=72°,
∠1-∠2=∠1-∠3=∠FBC=72°
故答案为72°.
点睛：此题主要考查了平行线的性质和正五边形的性质，正确把握五边形的性质是解题关键.
14. 如图，在中，，，．以点C为圆心，以的长为半径画弧，分别交于点D，E，则图中阴影部分的面积为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，解直角三角形，等边三角形的性质等，正确作出辅助线是解题的关键．
如图所示，过点作于，连接，先解得到，再证明是等边三角形得到；解求出，最后根据进行求解即可．
【详解】解：如图所示，过点作于，连接，
∵，，
∴，
∵以的长为半径画弧，分别交于点，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
在中，，
，
故答案为：．
15. 如图，平行四边形的顶点A，B在函数（）的图象上，边与y轴交于点D，轴于点E．若的面积为8，则的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查平行四边形的性质以及反比例函数的性质，根据题意得，则有，化简得到，结合反比例函数的性质得，即可求得答案．
分析：根据题意得，则有，化简得到，结合反比例函数的性质得，即可求得答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，的面积为8，
，
，
，
，
则，
∵点在函数的图象上，
，
，
则，
，
∴，
故答案为：．
16. 如图，在四边形中，，，，分别是边，上的动点，当的周长最小时，______°．
【答案】100
【解析】
【分析】作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接、，则当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小，则易得的大小．
【详解】解：如图，作点A关于对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接、，
由对称性知：，，
，
∴当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小；
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，两点间线段最短等知识，对称的应用是解题的关键．
三、解答题（本大题共9个小题，满分72分）
17. （1）先化简，再求值：，其中．
（2）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】（1），；（2）原不等式组的解集为，数轴表示见解析．
【解析】
【分析】本题考查的是解不等式组，特殊角的三角函数值，分式的化简求值，熟知分式混合运算和解不等式组的法则是解答此题的关键．
（1）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出的值代入进行计算即可；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可；
【详解】（1）解：原式
．
当时，
原式
．
（2）解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
在同一条数轴上表示不等式组解集如图：
∴原不等式组的解集为．
18. 如图，AM∥BC，且AC平分∠BAM．
（1）用尺规作∠ABC的平分线BD交AM于点D，连接CD．（只保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：四边形ABCD是菱形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】(1)利用尺规作图的方式(本质为三角形全等)作出∠ABC的角平分线即可；
(2)先证明AB＝BC，AB＝AD，则AD＝BC，则可判断四边形ABCD是平行四边形，然后加上邻边相等可判断四边形ABCD是菱形．
【详解】解：(1)如下图所示，DB、CD为所作；
(2)证明：∵AC平分∠BAM，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵AM∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA．
∴∠BAC＝∠BCA．
∴AB＝BC，
同理可证：AB＝AD．
∴AD＝BC．
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形．
【点睛】本题考查了尺规作图中角平分线的作法，其本质是利用三角形全等的知识来作图；另外本题考查了菱形的判定方法，熟练掌握菱形判定方法是解决此题的关键.
19. 我市于2021年5月22－23日在遂宁观音湖举行了“龙舟赛”，吸引了全国各地选手参加．现对某校初中1000名学生就“比赛规则”的了解程度进行了抽样调查（参与调查的同学只能选择其中一项），并将调查结果绘制出以下两幅不完整的统计图表，请根据统计图表回答下列问题：
（1）根据以上信息可知：a＝ ，b＝ ，m＝ ，n＝ ；
（2）补全条形统计图；
（3）估计该校1000名初中学生中“基本了解”的人数约有 人；
（4）“很了解”的4名学生是三男一女，现从这4人中随机抽取两人去参加全市举办的“龙舟赛”知识竞赛，请用画树状图或列表的方法说明，抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率是否相同．
【答案】（1）50；20；0.2；0.08；（2）见解析；（3）400；（4）
【解析】
【分析】（1）由“了解很少”的频数除以频率得到调查样本容量，从而可求出a，b，m，n的值；
（2）根据（1）的结论补全图形即可；
（3）根据样本的基本了解的频率估计总体即可得到结果；
（4）运用列表的方法得出所有情况和抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的情况相同，从而得出结论．
【详解】解：（1）∵16÷0.32=50（人）
∴a＝50，
b＝50-（10-16-4）=20，
m＝10÷50=0.2，
n＝4÷50= 0.08，
故答案为：50，20，0.2，0.08；
（2）补全条形统计图如下图：
（3）该校1000名初中学生中“基本了解”的人数约有400人，
故答案为：400；
（4）记4名学生中3名男生分，一名女生为B，
从4人中任取两人的所有机会均等结果共有12种
抽到两名学生均为男生包含：A1A2，A1A3，A2A1，A2A3，A3A1，A3A2，共6种等可能结果，
∴P（抽到两名学生均为男生）＝
抽到一男一女包含：A1B，A2B，A3B ，BA1， BA2，BA3 共六种等可能结果
∴P（抽到一男一女）＝
故抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率相同
【点睛】本题考查条形统计图、列表法求随机事件发生的概率，从统计图中获取数量和数量之间的关系以及列举出所有可能出现的结果数是解决问题的关键．
20. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，A的横坐标为，B的纵坐标为．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）观察图象，直接写出不等式的解集．
（3）将直线向上平移n个单位，交双曲线于C、D两点，交坐标轴于点E、F，连接、，若的面积为20，求直线的表达式．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）先求解A，B的坐标，再利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）由反比例函数的图象在一次函数的图象的上方确定不等式的解集即可；
（3）方法一、连接BE，作轴，先求解，可得直线AB的表达式为，由，可得，求解，可得，由，可得即可；
方法二、连接BF，作轴，先求解，结合，可得，可得，由，再设直线CD的表达式为，再利用待定系数法求解即可．
【小问1详解】
解：直线与双曲线交于A、B两点，
∴A、B关于原点对称，
，
，
在双曲线上，
，
∴反比例函数的表达式为 ；
【小问2详解】
∵，
∴不等式的解集为：或 ；
【小问3详解】
方法一：连接，作轴于G，
在直线上，
，
直线的表达式为，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
直线CD的表达式为．
方法二：
连接BF，作轴于，
在直线上，
，
直线的表达式为，
，
，
，
，
，
，
∴设直线的表达式为，
在直线上，
，
，
∴直线的表达式为．
【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，利用待定系数法求解函数解析式，坐标与图形面积，利用数形结合的方法确定不等式的解集，清晰的解题思路与数形结合的运用都是解本题的关键．
21. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：）
【答案】米
【解析】
【分析】过点作于点，于点，则四边形矩形，在中，求得，进而求得，根据，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，于点，则四边形是矩形，
依题意， ，（米）
在中，（米），（米），则（米）
∵（米）
∴（米）
∵，
∴（米）
∴（米）．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22. 荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进，两种文创饰品对游客销售．已知1400元采购种的件数是630元采购种件数的2倍，种的进价比种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购种的件数不低于390件，不超过种件数的4倍．
（1）求，饰品每件的进价分别为多少元？
（2）若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购种超过150件时，种超过的部分按进价打6折．设购进种饰品件，
①求的取值范围；
②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润．
【答案】（1）种饰品每件进价为10元，B种饰品每件进价为9元；
（2）①且为整数，②当采购种饰品210件，B种饰品390件时，商铺获利最大，最大利润为3630元．
【解析】
【分析】（1）分别设出，饰品每件的进价，依据数量列出方程求解即可；
（2）①依据题意列出不等式即可；
②根据不同的范围，列出不同函数关系式，分别求出最大值，比较即可得到李荣最大值．
【小问1详解】
（1）设种饰品每件的进价为元，则B种饰品每件的进价为元．
由题意得：，解得：，
经检验，是所列方程的根，且符合题意．
种饰品每件进价为10元，B种饰品每件进价为9元．
【小问2详解】
①根据题意得：，
解得：且为整数；
②设采购种饰品件时的总利润为元．
当时，，
即，
，
随的增大而减小．
当时，有最大值3480．
当时，
整理得：，
，
随的增大而增大．
当时，有最大值3630．
，
的最大值为3630，此时．
即当采购种饰品210件，B种饰品390件时，商铺获利最大，最大利润为3630元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数利润最大化方案问题，关键是对分段函数的理解和正确求出最大值．
23. 如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连接EC，．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若，，求AB的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）连接OC，利用三角形的外角定理得到：，因为，可证明，因为，进一步可得；
（2）分析可得：，再利用同弧所对圆周角相等可知：，利用，，即可求出AB．
【小问1详解】
证明：连接OC，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴CD是⊙O的切线；
小问2详解】
解：连接AC，BC，
∵BE是⊙O的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形，第（1）问证CD是⊙O的切线，关键是证明；第（2）问的关键是证明，．
24. 如图①，在正方形中，点N、M分别在边、上，连结、、．，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到．易证：，从而得．
【实践探究】
（1）在图①条件下，若，，则正方形的边长是_________．
（2）如图②，点M、N分别在边、上，且．点E、F分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图③，在矩形中，，，点M、N分别在边、上，连结，，已知，，求的长．
【答案】（1）12；（2），见解析；（3）4
【解析】
【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等和由勾股定理得出方程是解题的关键．
（1）由旋转的性质可得，，，，证出，得出，可证，得出．证出．在中，由勾股定理得出，则，设正方形的边长为，则，，得出方程，解方程即可；
（2）将绕点顺时针旋转，得到，连接，由旋转的性质可得，，，，由“”可证，可得，由直角三角形的性质和平行四边形的性质可求，由勾股定理可求解；
（3）延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接，则四边形是正方形，得出，设，则，由平行线得出，求出，得出，由（1）得：，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】（1）解法提示：∵四边形是正方形，
∴，.
由旋转得，
∴，，，，
∴，
∴E，B，N在同一条直线上.
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴.
在与中，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴.
在中，由勾股定理得
∴
∴；
（2）三条线段，，之间满足的数量关系为，
理由如下：
图（1）
如图（1），过点D作，且，连接，，
则，
∴.
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴.
在与中，
∴，
∴，.
∵，，
∴
在和中，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴；
（3）如图（2），把矩形补成正方形，延长交于G，连接，则.
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则.
∵四边形是正方形，，
∴由（1）中证明知，.
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
∴的长为4．
25. 如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，点在轴上．点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当时，请在图1中过点作交抛物线于点，连接，，判断四边形的形状，并说明理由．
（3）如图2，点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，求的最小值．
【答案】（1）
（2）四边形是平行四边形，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）作交抛物线于点，垂足为，连接，，由点在上，可知，，连接，得出，则，当时，，进而得出，然后证明，即可得出结论；
（3）由题意得，，连接．在上方作，使得，，证明，根据得出的最小值为，利用勾股定理求得，即可得解．
【小问1详解】
解：∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
四边形是平行四边形．
理由：如图1，作交抛物线于点，垂足为，连接，．
∵点在上，
∴，，
连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
【小问3详解】
如图2，由题意得，，连接．
在上方作，使得，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴（当，，三点共线时最短），
∴的最小值为，
∵，
∴，
即的最小值为．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，平行四边形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．每周课外阅读时间（小时）
学生数（人）
类别
频数
频率
不了解
10
m
了解很少
16
0.32
基本了解
b
很了解
4
n
合计
a
1
A1
A2
A3
B
A1
（A1，A2）
（A1，A3）
（A1，B）
A2
（A2，A1）
（A2，A3）
（A2，B）
A3
（A3，A1）
（A3，A2）
（A3，B）
B
（B，A1）
（B，A2）
（B，A3）
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