陕西省咸阳市永寿县豆家中学2023-2024学年八年级下册期中数学试题（含解析）

这是一份陕西省咸阳市永寿县豆家中学2023-2024学年八年级下册期中数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题目要求的）
1．y与2的差是负数，用不等式表示为（ ）
A．B．C．D．
2．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在中，，平分交AC于点D，交的延长线于点E．若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
4．实数m，n在数轴上的对应点如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．一次函数（a，b是常数，）的图象经过点和点，则关于x的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在中，垂直平分线段垂直平分线段，，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
7．某中学计划采购A，B两种型号的黑板共块，经洽谈，一块A型黑板需要元，一块B型黑板需要元．根据实际需求，B型黑板的数量不能多于A型黑板数量的2倍，且学校此次划拨采购黑板的总费用为元．学校应该采购A，B两种型号黑板各多少块？设采购A型黑板x块，则根据题意可以列不等式组为（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作交BC于点F，交于点E，过点O作于点D，下列说法中正确的是（ ）
A．若，则点E，F分别是的中点
B．
C．若，，则
D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．已知实数a，b，c，若，则 ．（填“”“”或“”）
10．如图，将这个风车图案绕着它的中心点进行旋转，若旋转后与自身重合，则旋转的角度可以是 ．
11．如图，在中垂直平分，交边于点，交边于点，若，的周长为19，则的周长为 ．
12．如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是 ．
13．如图，在四边形中，，，点是线段上一动点，且，若是以为底边的等腰三角形，则的最小值是 ．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．解不等式：．
15．求不等式的正整数解．
16．解不等式组：
17．如图，已知，，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得点到，两点的距离相等．保留作图痕迹，不写作法
18．如图，与相交于点O，，，．说明成立的理由．

19．某校计划买一批文学名著和科普读物，若文学名著的单价为65元/套，科普读物的单价为40元/套．该校计划购买文学名著和科普读物共90套，且文学名著数量不少于科普读物数量的一半，那么至少购买文学名著多少套？
20．如图，在格子图中建立平面直角坐标系，的三个顶点的坐标分别为，．将平移得到，其中点的对应点为点，点的对应点分别为点．
(1)请在图中画出；
(2)请直接写出点的坐标：（____，____）．
21．如图①是某文化小镇平面图，小明据此构造出一个数学模型如图②所示，其中，，，，，请根据图②求该小镇的面积．

22．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，．
(1)求证：；
(2)若，则的度数为 ___________．
23．随着无人机产业的快速发展，无人机航拍逐渐成为摄影创作的重要方式．某日，学校摄影社团组织灞河景色无人机航拍活动．如图，在平面直角坐标系中，、分别表示拍摄某镜头时1号、2号无人机的飞行高度（米）与飞行时间（秒）之间的函数关系．
(1)1号无人机飞行的速度是______米/秒，2号无人机飞行的速度是______米/秒；
(2)两架无人机飞行多少秒后，1号无人机的高度高于2号无人机？
24．如图，在中，，平分，交于点C，且，过C作交于点E，连接．
(1)求证：是等边三角形．
(2)求证：．
25．清明节前，某敬老院购进16盒种青团礼盒，盒种青团礼盒分给老人，据了解附近有甲、乙两家超市都在出售相同品牌的两种青团礼盒，且售价相同，已知种青团礼盒每盒售价150元，种青团礼盒每盒售价40元．经商谈，甲超市给出每买一盒种青团礼盒送一盒种青团礼盒的优惠，乙超市给出两种青团礼盒全部八折的优惠．
(1)请问在这两个超市购买这些青团礼盒分别需要花费多少元？
(2)请问购买这些青团礼盒，在哪个超市更合算？请说明理由．
26．旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题．
【问题提出】
（1）如图①，在等腰中，，点是上的一点，，，将绕点旋转后得到，连接，则的长为______cm；
【问题探究】
（2）如图②，在四边形中，于点于点，点，分别是边上的点，且，求的周长；（结果用含的代数式表示）
【问题解决】
（3）如图③，四边形是某小区一块空地的示意图，小区物业计划在这块空地上铺上草坪，经测量，，求这块四边形空地的面积．
参考答案与解析
1．A
【分析】本题考查由实际问题抽象一元一次不等式，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．先表示出y与2的差，然后根据题意即可得出不等式．
【解答】解：根据题意可得：．
故选：A．
2．C
【分析】本题考查的是中心对称图形，根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
【解答】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，先利用平行线的性质可得，再利用角平分线的定义可得，然后利用等腰三角形的性质可得，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
【解答】解：，
，
平分，
，
，
，
故选：B．
4．D
【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，由数轴可知：，即可求解．
【解答】解：由数轴可知：，
故AB错误；
∴，，
故C错误；D正确；
故选：D
5．A
【分析】本题考查了一次函数与不等式的关系，根据一次函数与不等式的关系求解，理解数形结合思想是解题的关键．
【解答】解：如图，关于的不等式的解集为，
故选：A．
6．C
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，熟知线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【解答】解： 垂直平分线段，
，
垂直平分线段，
，
故选：C．
7．D
【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题关键．
【解答】解：∵采购A型黑板x块，计划采购A，B两种型号的黑板共块，
∴采购B型黑板块，
∵B型黑板的数量不能多于A型黑板数量的2倍，
∴；
∵学校此次划拨采购黑板的总费用为元
∴
故选：D
8．B
【分析】本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质、角平分线的定义，根据相关性质逐项判断即可，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
【解答】解：和的平分线相交于点，
，，
，故B正确，符合题意；
，
，
，
，
，
同理，
但不一定等于，故D选项不一定正确，不符题意；
当时，，
，不是，的中点，故A错误，不符题意
作于，如图，
和的平分线相交于点，
点在的平分线上，
，
，故C错误，不符题意，
故选：B．
9．
【分析】本题考查了不等式的性质：在不等号两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不改变不等号的方向，据此即可求解．
【解答】解：∵，
∴，
故答案为：
10．（答案不唯一，的正整数倍即可）
【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
【解答】风车绕着它的中心点旋转，若旋转后的风车与自身重合，旋转角可以为，
故答案为：（答案不唯一，的正整数倍即可）．
11．13
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质．根据线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等”得到，，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：垂直平分，，
，，
的周长为19，
，
，
的周长，
故答案为：13．
12．
【分析】此题主要考查了一次函数和一元一次不等式，直接将代入求出的值，利用图象以及其交点坐标得出不等式的解集，正确利用数形结合得出是解题关键．
【解答】解： 直线与直线相交于点，
，
解得：；
关于的不等式的解集为：．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了最值问题，涉及了勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识点；作，可得点在直线上运动，当，即时，有最小值，据此即可求解.
【解答】解：如图所示：作，
由题意得：，
∴点在直线上运动
∵，，
∴
∴当，即时，有最小值
此时，
∴是等腰直角三角形
∴
∵，
∴
解得：
故答案为：
14．
【分析】按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可．
【解答】解：去分母，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：．
【点拨】本题主要考查了解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
15．和
【分析】本题主要考查了求不等式的正整数，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，进而求出其正整数解即可．
【解答】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
∴不等式得正整数解为和．
16．
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀确定不等式组的解集，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，，得：，
则不等式组的解集为．
17．见解析
【分析】作线段的垂直平分线交于点，点即为所求．
【解答】解：如图，点即为所求．
作法：分别以A，B为圆心，大于长为半径在AB两侧作弧，得到两个交点，作过这两个交点的直线交BC于点D．
依据：根据线段垂直平分线上的点到线段两段的距离相等，可知点即为所求．
【点拨】本题考查用尺规作线段的垂直平分线，掌握垂直平分线的作图步骤和基本性质是解题的关键．
18．证明见解析．
【分析】证明得到，根据等角对等边证明即可．
【解答】证明：∵，（已知），
∴（垂直定义），
在和中，
∵，
∴，
∴（全等三角形的对应角相等），
∴（等角对等边）．

【点拨】本题考查了直角三角形的全等和性质，等角对等边，熟练掌握直角三角形的判定和等腰三角形的判定是解题的关键．
19．30
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设购买文学名著套，则购买科普读套，根据购买文学名著数量不少于科普读物数量的一半，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，正确得到不等关系是解题的关键．
【解答】解：设购买文学名著套，则购买科普读套，
购买文学名著数量不少于科普读物数量的一半，
，
解得：．
答：至少购买文学名著30套．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了图形的平移，熟知平移图形对应点作相同的平移变换是解题的关键．
（1）根据题意画出图形，即可解答；
（2）根据图形，即可得出．
【解答】（1）解：如图所示，即为所求：
（2）解：根据图形可得，，
故答案为：．
21．该庄的面积为
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理和三角形的面积，能熟记勾股定理的逆定理和勾股定理的内容是解此题的关键．
根据勾股定理求出线段长度，根据勾股定理的逆定理求出，分别求出和的面积即可．
【解答】解：在中，，，，
由勾股定理得：，
∵，，
，
，
∴四边形的面积
，
答：该庄的面积为．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，掌握线段垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一、等边对等角的性质是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的性质得出，从而可得，然后根据等腰三角形的三线合一性质即可得证；
（2）根据等边对等角可得，，根据三角形外角的性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可．
【解答】（1）证明：连接，
的垂直平分线交于点，
，
，
，
为线段的中点，
；
（2）解：，
，
，
由（1）知，，
，
，，
，，
，
．
故答案为：．
23．(1)6，4
(2)15
【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，正确求出函数关系式．
（1）根据图象利用速度路程时间求解即可；
（2）首先根据题意得到，，然后联立求出点P的横坐标为，然后结合图象求解即可．
【解答】（1）1号无人机飞行的速度是米/秒，
2号无人机飞行的速度是米/秒；
（2）根据题意得，，
∴联立得，
解得
∴点P的横坐标为
∴由图象可得，
两架无人机飞行15秒后，1号无人机的高度高于2号无人机．
24．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）直接根据等边三角形的判定定理可得结论；
（2）由平行线的性质可得，根据等边三角形的判定与性质可得，再由直角三角形的性质可得是边的中线，最后再由等边三角形的性质可得答案．
【解答】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴E是的中点，
∴是边的中线，
∵是等边三角形，
∴．
【点拨】此题考查的是等边三角形的判定与性质、平行线的性质、直角三角形的性质等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键．
25．(1)在甲超市购买这些青团礼盒需要花费元；在乙超市购买这些青团礼盒需要花费元
(2)当购买种青团礼盒大于盒时，去乙超市买划算；当购买种青团礼盒等于盒时，去两家超市买一样；当购买种青团礼盒小于盒时，去甲超市买划算
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，能正确写出所需的表达式是解题的关键．
（1）根据不同的优惠政策，分别计算即可；
（2）根据（1）中所得答案，列不等式，计算即可。
【解答】（1）解：甲：元；
乙：元，
答：在甲超市购买这些青团礼盒需要花费元；在乙超市购买这些青团礼盒需要花费元．
（2）解：由题意可得 ，
解得，
当购买种青团礼盒大于盒时，去乙超市买划算；当购买种青团礼盒等于盒时，去两家超市买一样；当购买种青团礼盒大于16盒且小于盒时，去甲超市买划算．
26．（1）；（2）；（3）
【分析】本题是四边形的综合题，主要考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等，四边形和三角形面积计算等知识，关键是利用旋转的性质作辅助线，构建全等三角形来解决问题．
（1）如图①，先根据等腰直角三角形得两锐角为，由旋转得，，由勾股定理可得的长，最后根据是等腰直角三角形可得结论；
（2）如图②，延长到，使，连接，证明和，根据等量代换可得的周长；
（3）如图③，连接，由于，所以可将绕点顺时针方向旋转，得到，连接，延长，作；易证是等边三角形， 是等腰直角三角形，利用勾股定理计算，，根据面积差可得结论．
【解答】解：（1）如图①，
，，
，
由旋转得：，，，，
，是等腰直角三角形，
，
，
；
故答案为：；
（2）如图②，延长到，使，连接，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
的周长；
（3）如图③，连接，由于，所以可将绕点顺时针方向旋转，得到，
连接，延长，作于，
由旋转得：，
， ，，
，是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
设等边三角形的高为，
则勾股定理得：，
．