北京市朝阳外国语学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（共30分，每小题3分）
1. 在平面直角坐标系中，点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中各象限的点的坐标的符号特点，根据第四象限的点的横坐标大于0，纵坐标小于0，即可得出正确选项．
【详解】解：点的横坐标大于0，纵坐标小于0，
点在第四象限．
故选∶D．
2. 如图，在四边形ABCD中，点E在线段DC的延长线上，能使直线AD∥BC的条件有（ ）（1）∠D＝∠BCE，（2）∠B＝∠BCE，（3）∠A+∠B＝180°，（4）∠A+∠D＝180°，（5）∠B＝∠D
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，进行判断即可．
【详解】解：∵∠D＝∠BCE，
∴AD∥BC，故（1）能判定；
∵∠B＝∠BCE，
∴AB∥DC，故（2）不能判定AD∥BC；
∵∠A+∠B＝180°，
∴AD∥BC，故（3）能判定；
∵∠A+∠D＝180°，
∴AB∥CD，故（4）不能判定；
∵∠B＝∠D，不能判定AD∥BC，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
3. 下列各式中，正确的是（ ）
A. 8的算术平方根是4B.
C. 的平方根是D. 64的立方根是
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，熟练掌握平方根、算术平方根、立方根的性质是解题关键．根据平方根、算术平方根、立方根的性质逐项判断即可得．
【详解】解：A、8的算术平方根是，则原说法错误，不符合题意；
B、，则原说法错误，不符合题意；
C、，的平方根是，则此项正确，符合题意；
D、64的立方根是4，则原说法错误，不符合题意；
故选：C．
4. 在平面直角坐标系中，可以看成是下列坐标为（ ）的点向左平移2个单位长度后得到
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据点的平移规律，向左平移2个单位，横坐标向左平移两个单位而纵坐标不变，即横坐标减2，即可得到答案．
【详解】解：A、将点向左平移2个单位长度所得到的点坐标为即，故该项不符合题意；
B、将点向左平移2个单位长度所得到的点坐标为即，故该项不符合题意；
C、将点向左平移2个单位长度所得到的点坐标为即，故该项不符合题意；
D、将点向左平移2个单位长度所得到的点坐标为即，故该项符合题意；
故选：D．
5. 如图，数轴上的点与点所表示的数分别为，则下列不等式不成立是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，利用不等式的性质是解题关键．根据不等式的性质，可得答案．
【详解】解：如图所示，，
A、两边都减，不等号的方向不变，故A成立，不符合题意；
B、两边乘，不等号的方向改变，故B成立，不符合题意；
C、两边都减，不等号的方向不变，故C成立，不符合题意；
D、当时，不成立，故D成立， 符合题意；
故选：D．
6. 估计的值在（ ）
A. 6到7之间B. 5到6之间C. 4到5之间D. 3到4之间
【答案】D
【解析】
【分析】根据49<54<64，得到，进而得到，即可得到答案．
【详解】解：∵49<54<64，
∴，
∴，即的值在3到4之间，
故选：D．
【点睛】此题考查了无理数的估算，正确掌握无理数的估算方法是解题的关键．
7. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量=11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）-（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）=13两，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】解：枚黄金重x两，每枚白银重y两
由题意得：
故选D．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
8. 利用平面直角坐标系画出的某景区示意图如图所示（图中每个小正方形边长代表100，每个小正方形的对角线长为），规定正东、正北方向为轴、轴的正方向，并且景点和景点的坐标分别是和．嘉嘉、淇淇分别对景点的位置进行了描述，则下列判断正确的是（ ）
嘉嘉：景点的坐标是；
淇淇：景点在景点的南偏东方向，相距处

A. 只有嘉嘉说得对B. 只有淇淇说得对
C. 两人说得都对D. 两人说得都不对
【答案】A
【解析】
【分析】根据景点和景点的坐标确定平面直角坐标系的原点，即可判定嘉嘉的说法；根据方位角的知识判定淇淇的说法．
【详解】解：根据景点和景点坐标分别是和，可知平面直角坐标系的原点在景点处，故嘉嘉的说法正确；
根据所规定的正东、正北方向，可知景点在景点的南偏西方向，相距处，故淇淇的说法不对．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系和方位角的知识，理解并掌握相关知识是解题关键．
9. 如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行若，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点作工作篮底部，根据平行线的性质及角的和差求解即可．
【详解】解：如图，过点作工作篮底部，

，
工作篮底部与支撑平台平行，工作篮底部
支撑平台，
，
，，
，
，
故选：．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
10. 某中学七年级举办了“精彩思辨”大赛．真真，灵灵，颖颖三位同学进入了最后冠军的角逐．决赛共分为五轮，规定：每轮分别决出第1，2，3名（无并列），对应名次的分数分别为a，b，c（且a，b，c均为正整数）；选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．下表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况，根据题中所给信息，下列说法不正确的是（ ）

①．真真可能有一轮比赛获得第二名
②．灵灵可能有四轮比赛获得第三名
③．颖颖有一轮比赛获得第一名
A. ①②B. ②③C. ③D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了逻辑推理能力；
首先根据若每轮比赛第一名得分a为5，则真真最后得分最高为得出，然后由可知，若，，，则真真剩余3轮的得分和为，此情况不存在，所以，，，进而可得出她们的得分情况，问题得解．
【详解】解：由题意得：，
∴（且a，b，c均为正整数），
若每轮比赛第一名得分a为5，则真真最后得分最高为：，
∴，
∵，
∴，
∴，
若，，，则真真剩余3轮的得分和为，此情况不存在，
∴，
∴，，
∴真真4轮第一，1轮第三，①不正确；
灵灵1轮第一，2轮第二，2轮第三，②不正确；
颖颖3轮第二，2轮第三，③不正确；
故选：D．
二、填空（共12分， 每小题2分）
11. 如图，从位置P到直线公路MN共有四条小道PA、PB、PC、PD，若用相同的速度行走，能最快到达公路MN的小道是__________，理由是__________．
【答案】 ①. PB ②. 垂线段最短
【解析】
【分析】根据垂线段最短，即可求解
【详解】根据垂线段最短得，能最快到达公路MN的小道是PB，
故答案为：PB，垂线段最短．
【点睛】本题考查了直线外一点到直线的距离，熟练掌握直线外一点到直线的距离垂线段最短是解题关键．
12. 若立方根是，则的平方根是___________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查的是立方根、算术平方根的定义，求得的值是解题的关键．先依据立方根的定义得到，从而可求得的值，然后可求得值，最后求其平方根即可．
【详解】解：∵的立方根是，
∴，
解得，
∴，
则的平方根是，
故答案为．
13. 在平面直角坐标系中，A点的坐标，若线段轴，且，则点B的坐标为______．
【答案】或##或
【解析】
【分析】在平面直角坐标系中与y轴平行，则它上面的点横坐标相同，可求B点横坐标；与y轴平行，相当于点A上下平移，可求B点纵坐标．
【详解】解：∵轴，
∴点B横坐标与点A横坐标相同，都为，
又∵，可能上移，纵坐标为；可能下移，纵坐标为，
∴B点坐标为或，
故答案为：或．
【点睛】此题考查平面直角坐标系中平行于坐标轴的点的坐标特征，平移时坐标变化规律，分类讨论是解答本题的关键．
14. 如图，直线与相交于点，若，则的度数为_______．
【答案】##145度
【解析】
【分析】本题考查了对顶角、邻补角等知识点，先利用对顶角性质可得，然后利用得出，再利用邻补角的性质即可解答，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
【详解】∵和为对顶角，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 若是二元一次方程的一个解，则的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值．熟练掌握二元一次方程的解，代数式求值是解题的关键．
由题意知，，根据，代值求解即可．
【详解】解：∵是二元一次方程的一个解，
∴把代入，得
∴，
故答案为：．
16. 如图，用大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知，则点的坐标为_________．
【答案】（，）
【解析】
【分析】设长方形的长为x，宽为y，根据点A的坐标列出关于x、y的二元一次方程组，然后解方程组，进而可求得点B的坐标
【详解】解：设长方形的长为x，宽为y，
∵A(﹣2，6)，
∴，
解得：，
∴2x= ，
x+y= + = ，
∵点B在第二象限，
∴点B的坐标为（，），
故答案为：（，）．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、坐标与图形，根据点A坐标，结合图形，列出方程组是解答的关键．
三、解答（共58分，17,18,19，20，21,22,23,24每小题5分，25，26，27每小题6分）
17. 计算：；
【答案】
【解析】
【分析】先有理数的乘方、化简绝对值、立方根、算术平方根，再计算加减.
【详解】解：
【点睛】本题考查了实数的混合运算、有理数的乘方、化简绝对值、立方根、算术平方根，熟练掌握算术平方根和立方根的定义是解题的关键.
18. 解下列二元一次方程组：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握“利用代入法与加减法解二元一次方程组的步骤”是解本题的关键．先把方程组整理为，再利用加减消元法解方程组即可．
【详解】解：
整理得：
得： 解得：
把代入①得：
所以方程组的解为：
19. 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】，画数轴见解析
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式及用数轴表示解集，涉及一元一次不等式的解法及数轴表示方法等知识，先利用去分母、去括号、移项、合并同类项及系数化为1解出不等式的解集，再用数轴表示即可得到答案，熟练掌握一元一次不等式的解法及数轴表示解集的方法是解决问题的关键
【详解】解：，
去分母得： ，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
将解集表示在数轴上如图：
．
20. 已知点是直线上一点，点、是直线外两点．
（1）画线段，并用刻度尺找出它中点；
（2）画射线，交直线于点
（3）画直线的平行线，交射线于点，线段与的数量关系是
（4）画出直线的垂线，交直线于点，点到直线的距离为（精确到）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）作图见解析，；
（4）作图见解析，
【解析】
【分析】本题考查了线段、射线、作图复杂作图，点到直线的距离，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
（）根据线段的定义即可画线段，进而用刻度尺找出它的中点即可；
（）根据直线，射线定义即可画直线，交直线于点即可；
（）作直线的平行线，交射线于点，测量出线段与的长即可得解；
（4）作于点，进而可以量出点到直线的距离．
【小问1详解】
解：线段及点如下图所示，
【小问2详解】
解：如图，射线即为所求，
【小问3详解】
解：如图，直线即为所求，
通过测量得，
故答案为：；
【小问4详解】
解：如图，为所求，
通过测量得，
∴点到直线的距离为，
故答案为：
21. 已知是由经过平移得到的，它们各顶点在平面直角坐标系中的坐标如表所示：
（1）观察表中各对应点坐标的变化，并填空：______，______，_____．
（2）在平面直角坐标系中画出和．
（3）求的面积=
（4）若轴上点，满足的面积的面积，则点坐标是
【答案】（1），，；
（2）见解析； （3）；
（4）或．
【解析】
【分析】本题考查了平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
（）利用点与的纵坐标得到上下平移的方向与距离，利用点和得到左右平移的方向与距离，然后利用此平移规律求、、的值；
（）通过描点得到及'''；
（）利用割补法即可求得；平移规律即可求得；
（）设点坐标为，根据的面积的面积列方程求解即可得解．
【小问1详解】
解：根据表格数据对应点的坐标可知：；；
∴，，，
故答案为，，；
【小问2详解】
解：∵，，，
如图，和'''为所作；
【小问3详解】
解：，
故答案为：；
【小问4详解】
解：设点坐标为，
∵的面积的面积，
∴，
解得或，
∴点坐标为或．
22. 填空：（将下面的推理过程及依据补充完整）
如图，平分，，，求证：平分．
证明：∵平分（已知），
∴___①___（______②______），
∵（已知），
∴___③___（ ④ ），
∴（ ⑤ ），
∵（已知），
∴____⑥__（ ⑦ ），
（ ⑧ ），
∴__⑨______⑩___
∴平分
【答案】，角平分线的定义，，两直线平行，内错角相等，等量代换，，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同位角相等，等量代换，角平分线的定义．
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质和平行线的判定及等量代换等来完成解答即可．明确平行线的性质定理与判定定理是解题的关键．
【详解】证明：∵平分（已知），
∴（角平分线的定义），
∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等），
∴（等量代换），
∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等），
（两直线平行，同位角相等），
∴（等量代换），
∴平分（角平分线的定义）．
故答案为：，角平分线的定义，，两直线平行，内错角相等，等量代换，，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同位角相等，等量代换，角平分线的定义．
23. 如图，已知，．请说明：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了补角性质，平行线的判定和性质，由，，可得，进而得到，再得到，又由可得，即可得到，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
【详解】证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
24. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水的过程不计热量损失．
（1）甲同学用空杯先接了温水，再接开水，接完后杯中共有水______；
（2）乙同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求乙同学分别接温水和开水的时间．
【答案】（1）180 （2）学生接温水的时间为，接开水的时间为
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用：
（1）分别求出温水和开水的体积，然后求和即可得到答案；
（2）设乙同学分别接温水和开水的时间分别为，根据开水和温水的体积和为温度，混合温度为列出方程组求解即可．
【小问1详解】
解：，
∴甲同学用空杯先接了温水，再接开水，接完后杯中共有水，
故答案为：180；
【小问2详解】
解：设乙同学分别接温水和开水的时间分别为，
由题意得， ，
解得，
答：学生接温水的时间为，接开水的时间为．
25. 【数学活动回顾】：七年级下册教材P109中我们曾探究过“以方程的解为坐标(的值为横坐标、的值为纵坐标)的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．
规定：以方程的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图象；
结论：一般的，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线
示例：如图1，我们在画方程的图象时，可以取点和作出直线．

（1）【解决问题】请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程中的两个二元一次方程的图象．
（2）观察图象，两条直线的交点坐标为______，由此你得出这个二元一次方程组的解是______；
（3）【拓展延伸】
①在同一平面直角坐标系中，二元一次方程图象和的图象，如图3所示．请根据图象，直接判断方程组的解的情况__________．
②已知以关于、的方程组的解为坐标的点在方程的图象上，当时，化简．
【答案】（1）见解析；
（2）；．
（3）．
【解析】
【分析】（1）利用两点确定一条直线，画直线；
（2）利用画出的图象写出交点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标即可得到方程组；
（3）①根据两条直线平行，对应方程组无解即可判断；
②根据二元一次方程组的解的定义，得出，根据二次根式的性质化简，即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示， 取点，，作出的图象，取点，，作出的图象；
【小问2详解】
解：观察图象，两条直线的交点坐标为，由此得出这个二元一次方程组的解是，
故答案为：；．
【小问3详解】
解：①由图像可知，图象和图象平行，
∴方程组无解，
故答案为：无解；
②①+②得，
∴，
∵已知以关于x、y的方程组的解为坐标的点在方程的图象上，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解的定义，一次函数的交点与二元一次方程组的关系，二次根式的化简，化简绝对值，二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系，数形结合是解题的关键．
26. 已知，点、分别是、 上的两点，点在、之间，连接、．
（1）如图①，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数；
（2）如图②，若点是上方一点，连接EM、，且的延长线平分，平分，，求的度数．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算．
（1）过作，过点P作，设，利用平行线的性质以及角平分线的定义，求得，，即可得到；
（2）过作，过作，设，，利用平行线的性质以及角平分线的定义，可得，，再根据，据此计算即可求解．
【小问1详解】
解：如图，过作，过点P作，设，
，，
，
，
，，
，
平分，平分，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，，
；
【小问2详解】
解：如图3，过作，过作，设，，
交于，平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，平分，
，，
，
，
，，
，
，
，
．
27. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．给出如下定义：对于任意两个整点 M（x1，y1），N（x2，y2），M 与 N 的“直角距离”记为 dMN，dMN＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．例如，点 M（1，5）与 N（7，2）的“直角距离”dMN＝|1﹣7|+|5﹣2|＝9．
（1）已知点 A（4，﹣1）．
①点 A 与点 B（1，3）的“直角距离”dAB＝ ；
②若点 A 与整点 C（﹣2，m）的“直角距离”dAC＝8，则 m 的值为 ；
（2）小明有一项设计某社区规划图的实践作业，这个社区的道路都是正南正北，正东正西方向，并且平行的相邻两条路之间的距离都是相等的，可近似看作正方形的网格．小明建立平面直角坐标系画出了此社区的示意图（如图所示）．为了做好社区消防，需要在某个整点处建一个消防站 P，要求是：消防站与各个火警高危点的“直角距离”之和最小．目前该社区内有两个火警高危点，分别是 D（﹣2，﹣1）和 E（2，2）．
①若对于火警高危点 D 和 E，消防站 P 不仅要满足上述条件，还需要消防站 P 到 D，E
两个点的“直角距离”之差的绝对值最小，则满足条件消防站 P 的坐标可以是 （写出一个即可），所有满足条件的消防站 P 的位置共有 个；
②在设计过程中，如果社区还有一个火警高危点 F（4，﹣2），那么满足与这三个火警高危点的“直角距离”之和最小的消防站 P 的坐标为 ．
【答案】（1）①7；②1或
（2）①(-1，1)；8；②(2，-1)
【解析】
【分析】（1）①根据直角距离的定义直接解答即可；
②根据直角距离的定义直接解答即可；
（2）①先根据直角距离的定义求出直角距离，和的长，根据它们之差的绝对值最小求出点的坐标，确定点的个数；
②首先求出满足与这三个火警高危点的“直角距离”之和最小值为10，再求出消防站点的坐标即可．
【小问1详解】
①，，
直角距离；
②根据题意可得，即，
或，
解得：或；
故答案为：①7；②1或；
【小问2详解】
①，，
直角距离，
点到，两个点的“直角距离”之和最小值为7，
点到，两个点的“直角距离”之差的绝对值最小，
，或，
点的坐标可以是或或，
满足条件的消防站点的位置如图所示，
满足条件的消防站点的位置共有8个；
故答案为：(-1，1)；8；
②如图，
，，，
，，
满足到这三个火警高危点的“直角距离”之和最小值为，
消防站的坐标为(2，-1)，
故答案：(2，-1)．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形，熟练掌握“直角距离”的定义是解答此题的关键．
第一轮
第二轮
第三轮
第四轮
第五轮
最后得分
真真
c
a
25
灵灵
c
c
12
颖颖
b
b
13
物理常识：
开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度．