四川省凉山州2024届高三上学期第一次诊断性检测数学（理）试卷(含答案)

这是一份四川省凉山州2024届高三上学期第一次诊断性检测数学（理）试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．设全集，集合，，则( )
A.B.C.D.U
2．已知复数z满足，则( )
A.B.C.D.
3．已知数列的前n项和，则( )
A.9B.10C.11D.12
4．已知，则( )
A.2B.3C.4D.5
5．已知平面向量，满足，，则( )
A.B.C.3D.
6．五名同学彝族新年期间去邛海湿地公园采风观景，在观鸟岛湿地门口五名同学排成一排照相留念，若甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的排法共有( )
A.12种B.24种C.48种D.96种
7．已知函数，则“是奇函数”是“”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
8．已知双曲线的渐近线与y轴的夹角为，则此双曲线的离心率e为( )
A.B.2或C.D.或2
9．在三棱锥中，，，二面角的正切值是，则三棱锥外接球的表面积是( )
A.B.C.D.
10．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是( )
A.图象关于直线对称B.在上单调递增
C.最小正周期为D.图象关于点对称
11．已知点P在椭圆上，，是椭圆的左、右焦点，若，且的面积为2，则( )
A.2B.3C.4D.5
12．函数在区间的图象上存在两条相互垂直的切线，则a的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．设是等比数列，且，，则_____________.
14．已知是曲线上的点，则的取值范围是____________.
15．若圆锥侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，则这个圆锥表面积为____________.
16．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，当的面积取最大值时，则___________.
三、解答题
17．已知函数.
（1）求的减区间；
（2）在上的零点从小到大排列后构成数列，求的前10项和.
18．体育课上，同学们进行投篮测试.规定：每位同学投篮3次，至少投中2次则通过测试，若没有通过测试，则该同学必须进行30次投篮训练.已知甲同学每次投中的概率为，每次是否投中相互独立.
（1）求甲同学通过测试的概率；
（2）若乙同学每次投中的概率为，每次是否投中相互独立.经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投篮训练的投篮次数之和记为X，求X的分布列与数学期望.
19．如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，.
（1）证明：平面平面；
（2）若E为的中点，求二面角的余弦值.
20．已知函数.
（1）当时，求的极值；
（2）讨论函数的单调性.
21．为抛物线上一点，过P作两条关于对称的直线分别交于，两点.
（1）证明：直线的斜率为定值，并求出该定值；
（2）若，求面积的最大值.
22．已知曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程.
（1）求的极坐标方程；
（2）若曲线与曲线、曲线分别交于A，B两点，点P的极坐标为，求的面积.
23．已知函数.
（1）解不等式；
（2）对及，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意可得：，所以.故选：C.
2．答案：D
解析：，
故选D
3．答案：C
解析：当时，，解得，
当时，
故，
故.
故选：C.
4．答案：A
解析：由已知可知：
所以.
故选：A.
5．答案：C
解析：因为，所以又，所以，所以.故选C.
6．答案：B
解析：甲和乙相邻，捆绑在一起有种，再与丙和丁外的1人排列有种，再排丙和丁有种，故共有种排法.故选：B.
7．答案：B
解析：由题意若是奇函数，则(D为的关于原点对称的定义域，有，此时有
整理得，恒成立，解得或，
当时，的定义域为关于原点对称，且，即满足是奇函数，当时，的定义域为关于原点对称，
且，即满足是奇函数，综上所述，是奇函数当且仅当或，因此"是奇函数"是""的必要而不充分条件.故选：B.
8．答案：A
解析：双曲线的方程为，浙近线的方程为.渐近线与y轴的夹角为，浙近线与x轴的夹角为，，即.又，，.故选A.
9．答案：B
解析：设E是的中点，连接，，因为，，
所以，，所以是二面角的平面角，
所以，
由，得.
在中，，
在中，
在中，由余弦定理得：
所以，由于，
所以，，两两垂直.由此将三棱锥补形成正方体如下图所示，
正方体的棱长为1，则体对角线长为
设正方体外接球的半径为R，则，解得，
所以外接球的表面积为.
故选：B.
10．答案：D
解析：由题意得，，由，得，所以函数的定义域为：，
A，，
即函数是奇函数，不是偶函数，其图象关于直线不对称，A选项错误；
B，0不在函数的定义域内，则函数在上不单调，B选项错误；
C，函数的最小正周期为，C选项错误；
D，，的图象关于点对称，D选项正确.
故选：D.
11．答案：C
解析：因为，如图所示：
设，由题意
，
两式相比得，
又，且，
所以，，，
而由余弦定理有，
即
且由椭圆定义有：
所以，解得.
故选C
12．答案：D
解析：由，
不妨设这两条相互垂直的切线的切点为，，且
若，则恒成立，不符合题意，可排除A项；
所以，此时易知单调递增，
要满足题意，则需.
故选D
13．答案：48
解析：设的公比为q，
则，
故，
，
故，
故答案为：48.
14．答案：
解析：是曲线上的点，
的几何意义是，半圆上的点与连线的斜率再加1，
如图：，，所以的取值范围是.
故答案为：.
15．答案：
解析：根据题意，设圆雉底面半径为r，若圆雉侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，
则有，解可得.
圆雉的侧面积，底面积，则这个圆雉表面积；故答案为：.
16．答案：.
解析：由，得，
由正弦定理得，，即，
所以
当，即时，的面积取得最大值，此时，，，
由正弦定理得，，
所以.故答案为：.
17．答案：（1），；
（2）
解析：（1）.
令，
得，.
因此，函数的减区间是，.
（2）函数的最小正周期为.
函数在上的零点分别为，.
数列是以为首项，为公差的等差数列；
数列是以为首项，为公差的等差数列，
则
所以的前10项和为.
18．答案：（1）；
（2）分布列见解析；；
解析：（1）记事件A：甲同学通过测试，则甲同学在3次投篮中，投中2次或3次，
则.
（2）若乙通过测试，则前两次投中或者三次投篮中，第三次投中，前两次有一次投中，所以，乙通过测试的概率为，
由题意可知，随机变量X的可能取值有0，30，60，
，，
，
所以，随机变量X的分布列如下表所示：
故.
19．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）证明：在中，由，得，
所以，则，，
又，，
所以，即，
因为，又平面，，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）因为四边形为正方形，则，
又因为平面，则平面，
以点D为坐标原点，、所在直线分别为x、y轴，
平面内过点D且与直线垂直的直线为z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，.
设平面的法向量为，
则，取，则.
设平面的法向量为，
则，取，可得，
设二面角的平面角大小为，
则，
所以，二面角的余法值为.
20．答案：（1）当时，有极小值，无极大值；
（2）答案见解析
解析：（1）当时，
则，令，解得，
当时，则，当时，则，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.
所以当时，有极小值，无极大值.
（2）因为函数，
所以.
①当时，由（1）题可知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；
②当时，恒成立，函数在定义域上单调递增；
@当时，由得或，由得，
即函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增；
④当时，由得，由得或，
即函数在区间上单调递减，在区间和上单调递增；
⑤当时，由得，由得或，
即函数在区间上单调递减，在区间和上单调递增.
21．答案：（1）证明见解析，
（2）
解析：（1）证明：根据题意可得，得，
故所求抛物线方程为，
由题意不妨设直线的方程为，
联立抛物线方程可得，消去x得：，
，
由韦达定理得，，
直线与关于对称，
，且，
，即，
即，由韦达定理得
所以直线的斜率为定值.
（2）由（1）可知，，
由得，
即又得，
，点P到直线的距离
所以的面积
又
当且仅当时取“=”号，
所以的面积的最大值为.
22．答案：（1）；
（2）
解析：（1）由曲线的参数方程为（为参数），可得
两式平方相加，可得，
由，代入可得，
即曲线的极坐标方程为.
（2）由，可得，
解得，即，
由，可得，
所以，
又由点，如图所示，
所以的面积为
.
23．答案：（1）；
（2）
解析：（1）依题意，，
当时，由，解得，则，
当时，，即满足；
当时，由，解得，则，
所以不等式的解集为.
（2）由，得.
当且仅当，即时取等号，
则当时，，
依题意，，，
而当时，，
当时能取“=”号，
因此，解得，
所以m的取值范围为.
X
0
30
60
P