数学（甘肃卷）-2024年中考数学考前押题卷

这是一份数学（甘肃卷）-2024年中考数学考前押题卷，文件包含数学甘肃卷全解全析docx、数学甘肃卷参考答案及评分标准docx、数学甘肃卷考试版A4docx等3份试卷配套教学资源，其中试卷共50页， 欢迎下载使用。

第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．|﹣2|等于（ ）
A．﹣2B．﹣C．2D．
【分析】根据绝对值的定义，可以得到|﹣2|等于多少，本题得以解决．
【解答】解：由于|﹣2|＝2，故选：C．
【点评】本题考查绝对值，解题的关键是明确绝对值的定义．
2．如图，直线l1∥l2，被直线l3、l4所截，并且l3⊥l4，∠1＝46°，则∠2等于（ ）
A．56°B．34°C．44°D．46°
【分析】依据l1∥l2，即可得到∠3＝∠1＝46°，再根据l3⊥l4，可得∠2＝90°﹣46°＝44°．
【解答】解：如图：
∵l1∥l2，∠1＝46°，
∴∠3＝∠1＝46°，
又∵l3⊥l4，
∴∠2＝90°﹣46°＝44°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
3．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，C选项中的图案都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4．计算：（x+2y）（x﹣2y）＝（ ）
A．x2﹣2y2B．x2+2y2C．x2+4y2D．x2﹣4y2
【分析】根据平方差公式进行计算，然后逐一判断即可．
【解答】解：原式＝x2﹣4y2．
故选：D．
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
5．如图，△ABC内接于⊙O，连接OA、OB，∠C+∠O＝60°，则∠O的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】先利用圆周角定理得到∠C＝∠O，再利用∠C+∠O＝60°得到∠O+∠O＝60°，然后解方程即可．
【解答】解：∵∠C＝∠O，
而∠C+∠O＝60°，
∴∠O+∠O＝60°，
解得∠O＝40°．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．也考查了圆周角定理．
6．若点A（1，a）和点B（4，b）在直线y＝﹣2x+m上，则a与b的大小关系是（ ）
A．a＞bB．a＜b
C．a＝bD．与m的值有关
【分析】把点的坐标分别代入函数解析式，可用m分别表示出a和b，比较其大小即可．
【解答】解：
∵点A（1，a）和点B（4，b）在直线y＝﹣2x+m上，
∴a＝﹣2+m，b＝﹣8+m，
∵﹣2+m＞﹣8+m，
∴a＞b，
故选：A．
【点评】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
7．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）
A．4B．﹣4C．±4D．2
【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，建立关于m的方程，即可求解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4m＝0，
解得m＝4．
故选：A．
【点评】此题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
8．已知△ABC∽△DEF，相似比为3：1，且△ABC的周长为15，则△DEF的周长为（ ）
A．1B．3C．5D．45
【分析】因为△ABC∽△DEF，相似比为3：1，根据相似三角形周长比等于相似比，即可求出周长．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3：1，
∴△ABC的周长：△DEF的周长＝3：1，
∵△ABC的周长为15，
∴△DEF的周长为5．
故选：C．
【点评】本题考查对相似三角形性质的理解，正确记忆相似三角形周长的比等于相似比是解题关键．
9．春节期间，小星从三部热门电影《飞驰人生2》《热辣滚烫》《熊出没•逆转时空》中随机选取一部观看，则恰好选中《热辣滚烫》的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接根据概率公式求解．
【解答】解：随机选取一部观看，则恰好选中《热辣滚烫》的概率＝．
故选：B．
【点评】本题考查了概率公式：某事件的概率＝这个事件所占有的结果数与总的结果数之比．
10．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
【分析】由菱形的性质可得BO＝OD，∠DAO＝∠BAO＝25°，AC⊥BD，再由直角三角形的性质得∠ABD＝65°，则∠BDH＝25°，然后由直角三角形斜边上的中线性质可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO＝OD，∠DAO＝∠BAO＝25°，AC⊥BD，
∴∠ABD＝90°﹣∠BAO＝65°，
∵DH⊥AB，BO＝DO，
∴∠BDH＝90°﹣∠ABD＝25°，HO＝BD＝DO，
∴∠DHO＝∠BDH＝25°，
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
11．二次函数y＝x2﹣2x﹣3，若y＞5，则自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2或x＞4B．x＜﹣1或x＞3C．﹣2＜x＜4D．﹣1＜x＜3
【分析】由y＝5求得对应的函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x的值，然后根据二次函数y＝x2﹣2x﹣3的性质即可得到结论．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，
当y＝5时，则x2﹣2x﹣3＝5，即x2﹣2x﹣8＝0，
解得：x＝4或x＝﹣2，
∴当y＞5时，自变量x的取值范围是x＞4或x＜﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，明确二次函数y＝x2﹣2x﹣3的性质是解题的关键．
12．中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型能让美食锦上添花．图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到AC＝BD＝10cm，C，D两点之间的距离是3cm，∠AOB＝60°，则摆盘的面积是（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先证明△OCD是等边三角形，求出OC＝OD＝CD＝2cm，再根据S阴＝S扇形OAB﹣S扇形OCD，求解即可．
【解答】解：如图，连接CD．
∵OC＝OD，∠O＝60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴OC＝OD＝CD＝3cm，
∴S阴＝S扇形OAB﹣S扇形OCD＝，
故选：B．
【点评】本题考查扇形面积的计算、等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．因式分解：4m2+4m+1＝ （2m+1）2 ．
【分析】利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：4m2+4m+1＝（2m+1）2．
故答案为：（2m+1）2．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，掌握因式分解的完全平方公式是解决本题的关键．
14．若点A（a，b）在第三象限，则点C（﹣a，b﹣5）在第 四 象限．
【分析】根据第三象限内点的横坐标与纵坐标都是负数确定出a、b的正负情况，然后进行判断即可．
【解答】解：∵点A（a，b）在第三象限，
∴a＜0，b＜0，
∴﹣a＞0，b﹣5＜0，
∴点C（﹣a，b﹣5）在第四象限．
故答案为：四．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
15．如图，在矩形ABCD中，AD＝2．将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A'，折痕为DE．若将∠B沿EA'向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B'，则∠AED＝ 60° ，AB＝ ．
【分析】根据将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A'，将∠B沿EA'向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B'，可得∠AED＝∠A'ED＝∠A'EB，即知∠AED＝60°，在Rt△ADE中，tan60°＝，可得AE＝＝A'E，在Rt△A'BE中，BE＝A'E＝，故AB＝AE+BE＝．
【解答】解：如图：
∵将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A'，将∠B沿EA'向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B'，
∴∠AED＝∠A'ED＝∠A'EB，
∵∠AED+∠A'ED+∠A'EB＝180°，
∴∠AED＝60°，
在Rt△ADE中，tan∠AED＝，
∴tan60°＝，
∴AE＝，
∴A'E＝，
在Rt△A'BE中，∠A'EB＝∠AED＝60°，
∴∠EA'B＝30°，
∴BE＝A'E＝，
∴AB＝AE+BE＝+＝，
故答案为：60°，．
【点评】本题考查矩形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练应用含30°角的直角三角形三边关系．
16．2023年3月12日是我国第45个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：
估计该种幼树在此条件下移植成活率是 90% ．（结果精确到1%）
【分析】根据调查收集数据的过程和方法、近似数的定义解决此题．
【解答】解：根据题意，成活率精确到1%，根据表格中的数据，可以估计移植的成活率为90%．
故答案为：90%．
【点评】本题主要考查统计数据、有效数字，熟练掌握调查统计数据的过程与方法、近似数以及有效数字的定义是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共2个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（4分）解不等式：2x﹣1＜3（1+x）．
【分析】不等式去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解集．
【解答】解：去括号得：2x﹣1＜3+3x，
移项得：2x﹣3x＜3+1，
合并得：﹣x＜4，
解得：x＞﹣4．
【点评】此题考查了一元一次不等式，解本题的关键：熟练掌握解不等式的步骤．
18．（4分）计算：（2﹣）．
【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，最后算乘法即可．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝．
【点评】本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
19．（4分）已知：如图，点C是线段AE的中点，AB∥CD，BC∥DE．
求证：AB＝CD．
【分析】根据线段中点定义可得AC＝CE，再利用平行线的性质和ASA定理判定△ABC≌△CDE，再根据全等三角形的性质即可求解．
【解答】证明：∵点C是线段AE的中点，
∴AC＝CE，
∵AB∥CD，BC∥DE，
∴∠A＝∠DCE，∠ACB＝∠CED，
在△ABC与△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（ASA），
∴AB＝CD．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、直角三角形还有HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
20．（6分）如图，一座古塔座落在小山上（塔顶记作点A，其正下方水平面上的点记作点B），小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底（记为点C）出发向右上方（与地面成45°，点A，B，C，O在同一平面）的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，∠AOC＝75°，（求小李到古塔的水平距离即BC的长．（结果精确到1m，参考数据：，
【分析】过点O作OD⊥BC，交BC的延长线于点D，过点O作OE⊥AB，垂足为E，根据题意可得：AO＝40米，OC＝20米，OE＝BD，OE∥BD，从而可得∠EOC＝∠OCD＝45°，进而可得∠AOE＝30°，然后在Rt△OCD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，再在Rt△AOE中，利用锐角三角函数的定义求出OE的长，从而求出BD的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：过点O作OD⊥BC，交BC的延长线于点D，过点O作OE⊥AB，垂足为E，
由题意得：AO＝8×5＝40（米），OC＝4×5＝20（米），OE＝BD，OE∥BD，
∴∠EOC＝∠OCD＝45°，
∵∠AOC＝75°，
∴∠AOE＝∠AOC﹣∠EOC＝30°，
在Rt△OCD中，CD＝OC•cs45°＝20×＝10（米），
在Rt△AOE中，OE＝AO•cs30°＝40×＝20（米），
∴OE＝BD＝20（米），
∴BC＝BD﹣CD＝20﹣10≈21（米），
∴小李到古塔的水平距离即BC的长约为21米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21．（6分）在“双减”政策实施两个月后，某市“双减办”面向本市城区学生，就“‘双减’前后参加校外学科补习班的情况”进行了一次随机问卷调查（以下将“参加校外学科补习班”简称“报班”），根据问卷提交时间的不同，把收集到的数据分两组进行整理，分别得到统计表1和统计图1：
整理描述
表1：“双减”前后报班情况统计表（第一组）
（1）根据表1，m的值为 300 ，的值为 0.02 ；
分析处理
（2）请你汇总表1和图1中的数据，求出“双减”后报班数为3的学生人数所占的百分比；
（3）“双减办”汇总数据后，制作了“双减”前后报班情况的折线统计图（如图2）．请依据图表中的信息回答以下问题：
①本次调查中，“双减”前学生报班个数的中位数为 1 ，“双减”后学生报班个数的众数为 0 ；
②请对该市城区学生“双减”前后报班个数变化情况作出对比分析（用一句话来概括）．
【分析】（1）将表1中“双减前”各个数据求和确定m的值，然后再计算求得n值，从而求解；
（2）通过汇总表1和图1求得“双减后”报班数为3的学生人数，从而求解百分比；
（3）①根据中位数和众数的概念分析求解；
②根据“双减”政策对学生报班个数的影响结果角度进行分析说明．
【解答】解：（1）m＝102+48+75+51+24＝300，
n＝m﹣（255+15+24）＝6，
∴＝＝0.02，
故答案为：300；0.02；
（2）汇总表1和图1可得：
×100%＝2.4%，
答：“双减”后报班数为3的学生人数所占的百分比为2.4%；
（3）①“双减”前共调查500个数据，从小到大排列后，第250个和第251个数据均为1，
∴“双减”前学生报班个数的中位数为1，
“双减”后学生报班个数出现次数最多的是0，
∴“双减”后学生报班个数的众数为0，
故答案为：1；0；
②从“双减”前后学生报班个数的变化情况说明：“双减”政策宣传落实到位，参加校外培训机构的学生大幅度减少，“双减”取得了显著效果．
【点评】本题考查统计的应用，理解题意，对数据进行采集和整理，掌握中位数和众数的概念是解题关键．
22．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC，D，E在边BC上，延长AD，AE与△ABC的外接圆分别交于P，Q两点．
（1）求证：D，E，Q，P四点共圆；
（2）若AD＝BD＝3，AE＝4，DC＝5，求弦AQ的长度．
【分析】（1）连接BQ，根据同弧所对圆周角相等可得∠C＝∠AQB，∠BAP＝∠BQP，由∠ADB+∠ABC+∠BAD＝180°结合等腰三角形性质可证∠PDE+∠EQP＝180°，最后得证∠P+∠DEQ＝180°即可；
（2）先证明△ABC∽△DAB，根据相似三角形的性质求得，再证明△ABE∽△AQB，最后根据相似三角形的性质即可求解．
【解答】（1）证明：如图，连接BQ，
∴∠C＝∠AQB，∠BAP＝∠BQP，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠ABC＝∠AQB，
∵∠ADB+∠ABC+∠BAD＝180°，
∴∠PDE+∠AQB+∠BQP＝180°，
∴∠PDE+∠EQP＝180°，
∵∠PDE+∠DEQ+∠EQP+∠P＝360°，
∴∠P+∠DEQ＝180°，
∴D，E，Q，P四点共圆；
（2）解：∵AD＝BD＝3，DC＝5
∴∠ABD＝∠BAD，BC＝8，
由（1）知∠ABC＝∠C，
∴∠ABD＝∠BAD＝∠C，
∴△ABC∽△DAB，
∴，即，
∴，
由（1）可知∠ABE＝∠AQB，
∵∠BAE＝∠QAB，
∴△ABE∽△AQB，
∴，即，
解得AQ＝6．
【点评】本题考查同弧所对圆周角相等，四点共圆，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相关定理并理解且能综合运用是关键．
23．（6分）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P从B点出发，沿射线AB的方向运动，已知C（1，0），点P的横坐标为x，连接OP，PC，记△COP的面积为y1．
（1）求y1关于x的函数关系式及x的取值范围；
（2）在图2所示的平面直角坐标系中画出（1）中所得函数的图象，记其与y轴的交点为D，将该图象绕点D逆时针旋转90°，画出旋转后的图象；
（3）结合函数图象，直接写出旋转前后的图象与直线y2＝﹣x+3的交点坐标．
【分析】（1）根据直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，求得点A、B的坐标，点P从B点出发，沿射线AB的方向运动，得点P（x，x+2），进而求得y1关于x的函数关系式及x的取值范围；
（2）根据（1）所得函数解析式即可在平面直角坐标系中画出函数的图象，及旋转后的图象；
（3）联立方程组即可求出旋转前后的图象与直线y2＝﹣x+3的交点坐标．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴当x＝0时，y＝2，B（0，2），
当y＝0时，x＝﹣2，A（2，0）．
∵点P从B点出发，沿射线AB的方向运动，
∴P（x，x+2），
∵C（1，0），
∴△COP的面积为y1＝×1×（x+2）＝x+1．
∴y1关于x的函数关系式为：y＝x+1，
x的取值范围为：x≥0；
（2）如图所示，
（1）中所得函数的图象为y1＝0.5x+1，
旋转后的图象为y3＝﹣2x+1．
（3）旋转前后的图象与直线y2＝﹣x+3的交点坐标为点E、F，
解得
所以E（，）．
解得
所以F（﹣2，5）．
答：旋转前后的图象与直线y2＝﹣x+3的交点坐标为（，），（﹣2，5）．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是根据题意理解动点的运动过程．
24．（6分）小聪在瑞阳湖湿地公园看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，他对此展开探究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若喷水头P喷出的水柱下方有一安全的长廊，小聪的同学小明站在水柱正下方，且距喷水头P的水平距离为3m，身高1.6m的小聪在水柱下方走动，当他的头顶恰好接触到水柱时，求他与同学小明的水平距离．
【分析】（1）由抛物线顶点（5，3.2），设抛物线的表达式为y＝a（x﹣5）2+3.2，用待定系数法可得抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+；
（2）当y＝1.6时，﹣x2+x+＝1.6，解得x＝1或x＝9，即得他与小明的水平距离为2m或6m．
【解答】解：（1）由题意知，抛物线顶点为（5，3.2），
设抛物线的表达式为y＝a（x﹣5）2+3.2，将（0，0.7）代入得：
0.7＝25a+3.2，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣5）2+3.2＝﹣x2+x+，
答：抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+；
（2）当y＝1.6时，﹣x2+x+＝1.6，
解得x＝1或x＝9，
∴他与小明的水平距离为3﹣1＝2（m）或9﹣3＝6（m），
答：当他的头顶恰好接触到水柱时，与小明的水平距离是2m或6m．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题．
25．（6分）如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝的图象交于A（2，2），B（4，1）两点．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）在反比例函数y＝第三象限的图象上有一点P，且点P到直线AB的距离最短，求点P的坐标．
【分析】（1）由待定系数法即可得到结论；
（2）作直线AB的平行线，当其与反比例函数的图象只有一个交点P时，点P到直线AB的距离最短，据此设直线PM的解析式为，则，整理得到x2﹣2nx+8＝0，由题意得，Δ＝4n2﹣32＝0，解此方程即可求得P的坐标．
【解答】解：（1）将点A（2，2）代入中，得k＝4，
∴反比例函数的表达式为，
将点A（2，2），B（4，1）代入y＝ax+b中，
得，解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）如图，作直线AB的平行线，当其与反比例函数的图象只有一个交点P时，
此时点P到直线AB的距离最短，
设直线PM的解析式为，则，
去分母，得x2﹣2nx+8＝0，
由题意得，Δ＝0，
∴4n2﹣32＝0，
解得，（不合题意，舍去），
∴，解得，
∴在中，当时，，
∴点P的坐标为．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，点到直线的距离，待定系数法求函数的解析式，数形结合是解题的关键．
26．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E．点F在AC的延长线上，且∠CBF＝∠CAB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB＝3，sin∠CBF＝，求BF的长．
【分析】（1）根据圆周角定理，等腰三角形的性质以及圆的切线的判定方法进行解答即可；
（2）根据直角三角形的边角关系，圆周角定理求出BE、AE、BC，进而求出CG、BG，再根据相似三角形的判定和性质求出FG即可．
【解答】（1）证明：如图，连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
即AE⊥BC，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC，
∵∠CBF＝∠CAB，
∴∠CBF＝∠BAE，
∴∠ABE+∠CBF＝90°，
即AB⊥BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：过点C作CG⊥BF于点G，
在Rt△ABE中，AB＝3，sin∠BAE＝sin∠CBF＝，
∴BE＝AB＝，AE＝＝，
∵AB＝AC，AE⊥BC，
∴BC＝2BE＝，
在Rt△BCG中，BC＝，sin∠CFB＝，
∴CG＝BC＝，BG＝＝，
∵AB∥CG，
∴△ABF∽△CGF，
∴＝，
即＝，
解得FG＝，
经检验FG＝是原方程的解，
∴BF＝BG+FG
＝+
＝4．
【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理以及直角三角形的边角关系，掌握切线的性质和判定方法，圆周角定理，勾股定理以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
27．（8分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（t﹣2，0），B（t+2，0）．
对于点P给出如下定义：若∠APB＝45°，则称P为线段AB的“等直点”．
（1）当t＝0时，
①在点，P2（﹣4，0），，P4（2，5）中，线段AB的“等直点”是 点P1和点P3 ；
②点Q在直线y＝x上，若点Q为线段AB的“等直点”，直接写出点Q的横坐标．
（2）当直线y＝x+t上存在线段AB的两个“等直点”时，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）①根据“等直点”得的定义，确定出符合条件的点的特征，画出图形进行判断即可；
②设Q（m，m），利用“等直点”的定义列出方程，解方程即可得出结论；
（2）利用分类讨论的思想方法，依据“等直点”的定义，通过画出符合条件的图形求得临界值的方法求得结论即可．
【解答】解：（1）①当t＝0时，A（﹣2，0），B（2，0），
根据“等直点”得的定义，线段AB的“等直点”在以点C（0，2）为圆心，为半径的圆中的优弧上，或在以点D（0，﹣2）为圆心，为半径的圆中的优弧上，如图，
则即“等直点”到圆心C的距离均为，
∵，P2（﹣4，0），，P4（2，5），
∴，，，，DP3＝2，
∴点P1，P3是线段AB的“等直点”，
故答案为：点P1，P3；
②由点Q在直线y＝x上，设Q（m，m），
∵点Q为线段AB的“等直点”，
∴CQ＝，
∴，
解得，（不合题意舍去），
利用对称性可求第三象限也存在符合题意的点Q，它们关于原点对称，
∴此时的点Q的横坐标为﹣1﹣．
∴点Q的横坐标为1+或﹣1﹣．
（2）∵A（t﹣2，0），B（t+2，0），
∴AB＝4，AB的中点的横坐标为t，
由（1）知：线段AB的“等直点”在以AB为弦的优弧上，即圆心在直线y＝2或y＝﹣2上，2为半径的圆的优弧上．
①当t＞0时，设直线y＝x+t与x轴交于点N，与y轴交于点F，如图，
则F（0，t），N（﹣t，0），
∴OF＝ON＝t，
∴∠NFO＝∠FNO＝45°．
⊙C为一个符合条件的圆，设直线y＝x+t与⊙C相切于点E，交直线y＝2于点G，直线y＝2与y轴交于点H，连接CE，则CE⊥EF，过点C作CM⊥AB于点M，则M为AB的中点，
∴OM＝t，
∵CM⊥AB，HO⊥AB，CH⊥OH，
∴四边形OMCH为矩形，
∴CH＝OM＝t．
由题意：OH＝2，OF＝t，CE＝2，
∴HF＝OF﹣OH＝t﹣2，
∴GH＝HF﹣OH＝t﹣2，
∴CG＝GH+CH＝t﹣2+t＝2t﹣2．
∵CG∥ON，
∴∠EGC＝∠FNO＝45°，
∴CG＝CE，
∴2t﹣2＝，
∴t＝3．
∴当直线y＝x+t上存在线段AB的两个“等直点”时，t＜3，
由于当t＝1时，y＝x+1经过点A，符合条件的点只有一个，
∴t≠1．
②当t＜0时，设直线y＝x+t与x轴交于点N，与y轴交于点F，如图，
则F（0，t），N（﹣t，0），
∴OF＝ON＝﹣t，
∴∠NFO＝∠FNO＝45°．
⊙D为一个符合条件的圆，设直线y＝x+t与⊙D相切于点E，直线y＝﹣2交直线y＝x+t于点G，直线y＝﹣2与y轴交于点H，连接DE，则DE⊥EF，过点D作DM⊥AB于点M，则M为AB的中点，
∴OM＝﹣t，
∵DM⊥AB，HO⊥AB，DH⊥OH，
∴四边形OMDH为矩形，
∴DH＝OM＝﹣t．
由题意：OH＝2，OF＝﹣t，DE＝2，
∴HF＝OF﹣OH＝﹣t﹣2，
∴GH＝HF﹣OH＝﹣t﹣2，
∴DG＝GH+DH＝﹣t﹣2﹣t＝﹣2t﹣2．
∵CG∥ON，
∴∠EGC＝∠FNO＝45°，
∴CG＝CE，
∴﹣2t﹣2＝，
∴t＝﹣3．
∴当直线y＝x+t上存在线段AB的两个“等直点”时，t＞﹣3，
由于当t＝﹣1时，y＝x+1经过点B，符合条件的点只有一个，
∴t≠﹣1．
综上，当直线y＝x+t上存在线段AB的两个“等直点”时，t的取值范围为﹣3＜t＜3且t≠±1．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，圆的有关性质，点的轨迹，等腰直角三角形的判定与性质，圆的切线的性质，等腰三角形的性质，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．
28．（9分）【观察猜想】（1）我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接AE，AF，EF，并延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG．若∠EAF＝45°，则BE，EF，DF之间的数量关系为 EF＝BE+DF ；
【类比探究】（2）如图2，当点E在线段BC的延长线上，且∠EAF＝45°时，试探究BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】（3）如图3，在Rt△ABC中，AB＝AC，D，E在BC上，∠DAE＝45°，若△ABC的面积为12，BD•CE＝4，请直接写出△ADE的面积．
【分析】【观察猜想】（1）证明△ADF≌△ABG（SAS），可得AF＝AG，∠DAF＝∠BAG，根据正方形的性质求出∠BAG+∠BAE＝45°＝∠EAF，再证△AGE≌△AFE（SAS），可得GE＝EF，则GE＝GB+BE＝BE+DF，即可得出答案；
【类比探究】（2）在BC上截取BG＝DF，连接AG．证明△ADF≌△ABG（SAS），可得AF＝AG，∠DAF＝∠BAG，根据正方形的性质求出∠BAG+∠DAE＝45°＝∠EAF，再证△AGE≌△AFE（SAS），可得GE＝EF，则GE＝BE﹣BG＝BE﹣DF，即可得出答案；
【拓展应用】（3）如图3，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，连接EG，此时AB与AC重合，AD＝AG，BD＝CG，证明△ADE≌△AGE（SAS），则S△ADE＝S△AGE，由∠ACB＝∠ACG＝45°，可得△ECG是直角三角形，由BD•CE＝4可得S△ECG＝2，根据△ABC的面积为12即可求解．
【解答】解：【观察猜想】（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB，∠ABG＝∠ADF＝90°，
∵BG＝DF，
∴△ADF≌△ABG（SAS），
∴AF＝AG，∠DAF＝∠BAG，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠BAG+∠BAE＝45°＝∠EAF，
∴∠GAE＝∠EAF＝45°，
在△AGE和△AFE中，
，
∴△AGE≌△AFE（SAS），
∴GE＝EF，
∵GE＝GB+BE＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF．
故答案为：EF＝BE+DF；
【类比探究】（2）EF＝BE﹣DF，理由如下：
如图2，在BC上截取BG＝DF，连接AG．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB，∠ABG＝∠ADF＝90°，
∵BG＝DF，
∴△ADF≌△ABG（SAS），
∴AF＝AG，∠DAF＝∠BAG，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAE+∠DAF＝45°，
∴∠BAG+∠DAF＝45°，
∴∠GAE＝∠EAF＝45°，
在△AGE和△AFE中，
，
∴△AGE≌△AFE（SAS），
∴GE＝EF，
∵GE＝BE﹣BG＝BE﹣DF，
∴EF＝BE﹣DF；
【拓展应用】（3）如图3，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，连接EG，此时AB与AC重合，
∴AD＝AG，BD＝CG，∠DAG＝90°，
∵∠DAE＝45°，
∴∠GAE＝∠DAE＝45°，
∵AE＝AE，
∴△ADE≌△AGE（SAS），
∴S△ADE＝S△AGE，
在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
由旋转得∴∠B＝∠ACG＝45°，
∴∠ECG＝∠ACB+∠ACG＝90°，
∴△ECG是直角三角形，
∴S△ECG＝BD•CE，
∵BD•CE＝4，
∴S△ECG＝2，
∵△ABC的面积为12，
∴S△ADE＝S△AGE＝×（12﹣2）＝5．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，三角形的面积，解此题的关键是能正确作出辅助线得出全等三角形，综合性比较强，有一定的难度．
幼树移植数（棵）
100
1000
5000
8000
10000
15000
20000
幼树移植成活数（棵）
87
883
4455
7209
8983
13519
18044
幼树移植成活的频率
0.8700
0.8820
0.8910
0.9011
0.8983
0.9013
0.9022
报班数
人数
类别
0
1
2
3
4及以上
合计
“双减”前
102
48
75
51
24
m
“双减”后
255
15
24
n
0
m
0
1
2
3
4及以上
总数
“双减”前
172
82
118
82
46
500
“双减”后
423
24
40
12
1
500