2024漯河高级中学高三下学期3月月考试题数学含解析

这是一份2024漯河高级中学高三下学期3月月考试题数学含解析，共13页。

1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1. 已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（ ）
A. B. C. 与相交但不垂直 D. 或
2. 已知是虚数单位，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
B.
C. D.
4. 《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为（），且小正方形与大正方形面积之比为，则的值为（ ）

A. B. C. D.
5. 已知一台擀面机共有4对减薄率均在20%的轧辊（如图），所有轧辊周长均为160mm，面带从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出，若某个轧辊有缺陷，每滚动一周会在面带上压出一个疵点（整个过程中面带宽度不变，且不考虑损耗），已知标号3的轧辊有缺陷，那么在擀面机最终输出的面带上，相邻两个疵点的间距为（ ）
A. 800mmB. 400mmC. 200mmD. 100mm
6. 已知的内角A，，所对的边分别为，，，面积为，若，，则的形状是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形 C. 正三角形 D. 等腰直角三角形
7. 已知函数没有极值点，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）
A. 是奇函数 B. 函数的图象关于点对称
C. 点（其中）是函数的对称中心 D.
二．多选题（共4小题，每题5分，共20分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。）
9. 下列命题中真命题是（ ）
A. 设一组数据的平均数为，方差为，则
B. 将4个人分到三个不同的岗位工作，每个岗位至少1人，有36种不同的方法
C. 一组数据148，149，154，155，155，156，157，158，159，161的第75百分位数为158
D. 已知随机变量的分布列为，则
10. 如图，是连接河岸与的一座古桥，因保护古迹与发展的需要，现规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区.规划要求：
①新桥与河岸垂直；
②保护区的边界为一个圆，该圆与相切，且圆心在线段上；
③古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不少于.
经测量，点分别位于点正北方向､正东方向处，.根据图中所给的平面直角坐标系，下列结论中，正确的是（ ）
A. 新桥的长为 B. 圆心可以在点处
C. 圆心到点的距离至多为 D. 当长为时，圆形保护区的面积最大
11. 已知函数，下列结论正确是（ ）
A. 值域是B. 是周期函数
C. 图像关于直线对称D. 在上单调递增
12. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，为的中点．，过作平面的垂线，垂足为，连，，设，的交点为，在中过作直线交，于，两点，，，过作截面将此四棱锥分成上、下两部分，记上、下两部分的体积分别为，下列说法正确的是（ ）

A. B.
C. D. 的最小值为
三．填空题（共4小题，每题5分，共20分。）
13. 已知一个圆柱底面半径为2，高为3，上底面的同心圆半径为1，以这个圆面为上底面，圆柱下底面为下底面的圆台被挖去，剩余的几何体表面积等于______________
14. 若，则的最大值为________________．
15. 设是面积为1的等腰直角三角形，是斜边的中点，点在所在的平面内，记与的面积分别为，，且．当，且时，_________；记，则实数的取值范围为_____
16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为.若和为椭圆上在轴上方的两点，且，则直线的斜率为______．
解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（10分）17. 已知数列的前项和为．
（1）求通项公式；
（2）设，求数列的前项的和．
（12分）18. 在四棱锥中，已知，，，，，是线段上的点．
（1）求证：底面；
（2）是否存在点使得与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（12分）19.有如下图所示的四边形.
（1）在中，三内角为,求当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值；
（2）若为（1）中所得值，,记.
（ⅰ）求用含的代数式表示；
（ⅱ）求的面积的最小值
（12分）20. 某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回.若摸出的球中有个红球，则分得个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目.
（1）求一学生既分得月饼又要表演节目的概率；
（2）求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望.
（12分）21. 已知椭圆的离心率为，短轴长为，过点斜率存在且不为0的直线与椭圆有两个不同的交点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）椭圆左右顶点为，设中点为，直线交直线于点是否为定值？若是请求出定值，若不是请说明理由．
（12分）22. 已知函数．
（1）若时，，求实数的取值范围；
（2）设，证明：．
高三数学答案
1—8 DAADCBBC 9.ABC 10.AC 11.BC 12.ABD
13. 14. 15.① ②. 16.
17.（1）当时，，
当时，，则，
则数列为为首项，公比为2的等比数列，故；
（2）因为，
故数列的前项的和为：
.
（1）在中，，
所以．在中，，
由余弦定理有：，
所以，，所以，所以，
又因为，，、平面，所以，平面，
因为平面，所以，，在中：，则，所以，，因为，、平面，
所以面．
（2）因为平面，以点A为坐标原点，
、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则有、、、、，
设，其中，
则，
设为面的法向量，则有，
取，则，所以，平面的一个法向量为，
设与平面所成的角为，
由题意可得，
可得，因为，所以．因此，存在点使得与平面所成角的余弦值为，且．得，又因为，所以的最大值7．
19.（1），；（2）（ⅰ）；（ⅱ）.
【详解】（1） ，
当时，取得最大值.
（2）（i）由（1）可得，可得
四边形内角和得，
在中，.
（ii）在中，，
，
当时，取最小值.
20.【小问1详解】记“一学生既分得月饼又要表演节目”为事件A，
可知有两种可能：“2个红球1个黄球”和“1个黑球，1个红球，1个黄球”，
所以.
【小问2详解】由题意可知的可能取值为：0，1，2，3，则有：
，
，
可得的分布列为
所以.
21.【小问1详解】由题意：，解得：，
故所求椭圆的标准方程为：．
【小问2详解】如图：因为直线斜率不为0，设其方程为：，
代入椭圆方程：，得：，整理得：．
设，则显然，则，
，则直线方程为，
令，得，则，则，，，
，
又代入得
所以为定值．
22.【小问1详解】
根据题意可得，
当时，可得在上恒成立，
当时，由可得，
易知需满足，解得，
又，
令，，
当时，上恒成立，即在上恒成立，
所以在上单调递增，即可得恒成立；
当时，，令，
则，所以在上恒成立，
即在上单调递减，
又因为，，
由零点存在定理可得，使得；
当时，，即，所以在上单调递增；
时，，即，所以上单调递减；
（i）若时，，所以当时，，
又，即，使得；
当时，，即，所以在上单调递增，
当时，，即，所以在上单调递减，
又因为，所以要使在上恒成立，只需，
解得，又,
所以可得；
（ii）当时，，又在上单调递增，所以一定使得时，；
即，所以在上单调递减,
即可得，
这与在上恒成立矛盾，不合题意；
综上可得
【小问2详解】
令，则恒成立，所以在上单调递增，
又，所以当时，，即，
所以；
即不等式右侧恒成立；
由（1）可得得：当时，对于，恒成立，
即，当且仅当时，等号成立；
取，易知，
可得，
所以,
综上可得：.
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