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湖南省2024年普通高中学业水平合格性模拟考试数学仿真卷（四）试卷（Word版附解析）
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这是一份湖南省2024年普通高中学业水平合格性模拟考试数学仿真卷（四）试卷（Word版附解析），文件包含湖南省2024年普通高中学业水平合格性模拟考试数学仿真卷四Word版含解析docx、湖南省2024年普通高中学业水平合格性模拟考试数学仿真卷四Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共14页， 欢迎下载使用。
时量:90分钟, 满分:100分
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页。
注意事项:
1.答题前,请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号;
2.必须在答题卡上答题,在草稿纸、试题卷上答题无效;
3.答题时,请考生注意各大题题号后面的答题提示;
4.请勿折叠答题卡,保证字体工整、笔迹清晰、卡面清洁。
一、单选题:本大题共18小题,每小题3分,共54分,在每小题给出的四个选项
一、单选题
1．设集合A=x|x>−1，B=x|−2A．x|x>−2B．x|x>−1
C．x|−2【答案】A
【分析】利用集合的并集运算即可得解.
【详解】因为A=x|x>−1，B=x|−2所以A∪B= x|x>−2.
故选：A.
2．设命题p：∀x>0，lg2x<2x＋3，则命题p的否定为（ ）
A．∀x>0，lg2x≥2x＋3B．∃x0>0，lg2x0≥2x0＋3
C．∃x0>0，lg2x0<2x0＋3D．∀x>0，lg2x>2x＋3
【答案】B
【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
【详解】该命题含有量词“∀”，故该命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，
故命题p的否定为：∃x0>0，lg2x0≥2x0＋3．
故选：B
3．已知平面α，直线l、m，若m⊂α，则“l⊥α”是“l⊥m”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合线面垂直的判定及性质即得.
【详解】因为m⊂α，
所以由l⊥α，可推出l⊥m，
而由l⊥m推不出l⊥α，
所以“l⊥α”是“l⊥m”的充分而不必要条件.
故选：A.
4．函数y=lg(x+2)的定义域是（ ）
A．2，+∞B．2，+∞C．0，+∞D．−2，+∞
【答案】D
【分析】根据对数函数的性质，只需x+2>0，即可求解.
【详解】要使函数y=lg(x+2)有意义，需使x+2>0，即x>−2，
所以函数的定义域是−2，+∞
故选：D
5．计算1612+lg24的结果是（ ）
A．6B．7C．8D．10
【答案】A
【解析】由指数和对数的运算性质求解即可.
【详解】1612+lg24=(42)12+lg222=4+2=6
故选：A
6．下列函数可能是对数函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用对数函数的图象可得合适的选项.
【详解】对数函数的定义域为0,+∞，ABCD四个选项中最有可能是对数函数的是A选项.
故选：A.
7．已知i是虚数单位，则3+5i+1+i=（ ）
A．2B．iC．−3iD．4+6i
【答案】D
【分析】根据复数的加法运算求解.
【详解】由题意可得：3+5i+1+i=4+6i.
故选：D.
8．已知扇形的圆心角为π2，半径长为2，则该扇形的弧长为（ ）
A．π4B．π2C．πD．2π
【答案】C
【分析】结合扇形的弧长公式计算即可.
【详解】由扇形的弧长公式可知，
l=αr=π2×2=π.
故选：C
9．如图，在矩形ABCD中，AO+OB+AD=（ ）
A．ABB．ACC．ADD．BD
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用向量的加法法则计算即得.
【详解】在矩形ABCD中，AO+OB+AD=AB+AD=AC.
故选：B
10．设角α的终边与单位圆的交点坐标为(32,12)，则csα=（ ）
A．12B．22C．32D．1
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用三角函数的定义直接求解即可.
【详解】设角α的终边与单位圆的交点坐标为(32,12)，所以csα=32.
故选：C
11．某校高中生共有2700人，其中高一年级900人，高二年级1200人，高三年级600人，现采取分层抽样法抽取容量为27的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为（ ）
A．6，12，9B．9，9，9
C．3，9，15D．9，12，6
【答案】D
【分析】按照分层抽样计算规则计算可得.
【详解】依题意高一抽取27×9002700=9人，高二抽取27×12002700=12人，高三抽取27×6002700=6人.
故选：D
12．已知a为非零向量，则−4×3a=（ ）
A．−12aB．−4aC．3aD．10a
【答案】A
【分析】根据数乘运算的运算性质计算即可.
【详解】−4×3a=−12a.
故选：A.
13．已知a ,b ,c都是实数，则下列命题中真命题是（ ）
A．若a>b，则ac>bcB．若ac>bc，则a>b
C．若a>b，则ac2>bc2；D．若ac2>bc2，则a>b
【答案】D
【分析】当c<0时可判断A，B；当c=0时可判断C；利用不等式的性质可判断D，进而可得正确选项.
【详解】对于A：若a>b，c<0，1c<0，则a⋅1c对于B：若ac>bc，c<0，则ac⋅c对于C：若a>b，c=0，可得ac2=bc2，故选项C不正确；
对于D：若ac2>bc2，则c2>0，所以1c2>0，所以ac2⋅1c2>bc2⋅1c2即a>b，
故选项D正确；
故选：D.
14．若正数x,y满足x+y=18，则xy的最大值为（ ）
A．9B．18
C．36D．81
【答案】D
【分析】利用基本不等式可得答案.
【详解】因为正数x,y满足x+y=18，
所以18=x+y≥2xy，可得xy≤81，当且仅当x=y=9等号成立.
故选：D.
15．同时抛掷两颗质地均匀的六面体骰子，分别观察它们落地时朝上的面的点数，则“两颗骰子的点数相同”的概率为（ ）
A．16B．19C．118D．136
【答案】A
【分析】根据古典概型，求出基本事件和所求事件的个数即可.
【详解】同时掷两颗质地均匀的骰子，则有6×6=36个基本事件，
出现的点数相同情况有：1,1，2,2，3,3，4,4，5,5，6,6共6个，
所以概率为636=16，故A正确.
故选：A.
16．将函数y=2sin2x+π4的图象向右平移π12单位后，所得图象对应的函数解析式为（ ）
A．y=2sin2x−512πB．y=2sin2x+512π
C．y=2sin2x−π12D．y=2sin2x+π12
【答案】D
【分析】先将函数y=2sin2x+π4中x换为x-π12后化简即可.
【详解】y=2sin2(x−π12)+π4化解为y=2sin2x+π12
故选D
【点睛】本题考查三角函数平移问题,属于基础题目,解题中根据左加右减的法则,将x按要求变换.
17．若正四棱台的上，下底面边长分别为1，2，高为2，则该正四棱台的体积为（ ）
A．103B．73C．143D．14
【答案】C
【分析】根据棱台的体积公式即可直接求出答案.
【详解】V台=13S+S′+SS′ℎ=131+4+1×4×2=143.
故选：C.
18．如图，在四面体A−BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB=BC=CD=1，则AD=（ ）
A．1B．2C．3D．2
【答案】C
【分析】根据题中条件，得到AB⊥BD，再由勾股定理，根据题中数据，即可求出结果.
【详解】因为BC⊥CD，AB=BC=CD=1，所以BD=BC2+CD2=2，
又AB⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，所以AB⊥BD；
因此AD=AB2+BD2=3.
故选：C.
二、填空题：本大题共4个小题，每个小题4分，共16分
19．设函数fx=x2,x≤23x−2,x>2，则f3的值为 ．
【答案】7
【分析】直接代入求值即可.
【详解】解：∵fx=x2,x≤23x−2,x>2，
∴f3=3×3−2=7.
故答案为：7.
20．函数y=tan3x−π4的最小正周期为 ．
【答案】π3/13π
【分析】直接根据周期公式计算得到答案.
【详解】函数y=tan3x−π4的最小正周期为T=π3.
故答案为：π3.
21．函数y=4x−2的零点是 .
【答案】12
【解析】解方程4x−2=0得出．
【详解】由4x−2=0得x=12，所以函数y=4x−2的零点是12．
故答案为：12．
【点睛】本题考查函数零点概念，掌握零点定义是解题关键．
22．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a2+c2=b2+ac，则B= ．
【答案】π3/13π/60°
【分析】运用余弦定理解三角形即可.
【详解】在△ABC中，由余弦定理知csB=a2+c2−b22ac，
又a2+c2=b2+ac，所以csB=12，
又0故答案为：π3.
三、解答题：本大题共3个小题，每个题10分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
23．已知平面向量a=3,−4，b=2,x，c=2,y，a//b，a⊥c，求：
（1）向量b，c的坐标；
（2）向量a−2c与−3b的夹角.
【答案】（1）b=2,−83，c=2,32.（2）3π4
【解析】（1）根据向量平行、垂直的坐标表示，可得结果.
（2）根据（1）的结论，利用向量的夹角公式，可得结果.
【详解】（1）因为a=3,−4，b=2,x,
且a//b，∴3x+8=0，∴x=−83.
∵c=2,y，且a⊥c，
∴6−4y=0，则y=32.
所以b=2,−83，c=2,32.
（2）设a−2c与−3b的夹角为θ，
∵a−2c=3,−4−4,3=−1,−7，
−3b=−6,8，
∴csθ=a−2c⋅−3ba−2c⋅−3b=6−5652×10=−22.
∵0≤θ≤π，∴θ=3π4.
故向量a−2c与−3b的夹角为3π4.
【点睛】本题主要考查向量的坐标表示以及向量的夹角公式，属基础题.
24．从某高校随机抽样1000名学生，获得了它们一周课外阅读时间（单位：小时）的样本数据，整理得到样本数据的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：0,2，2,4，4,6，6,8，8,10，10,12，12,14.
（1）求这1000名学生中该周课外阅读时间在8,10范围内的学生人数；
（2）估计该校学生每周课外阅读时间超过6小时的概率.
【答案】（1）200人；（2）0.700.
【分析】（1）根据频数和为1，求出8,10的频率，即可求解；
（2）根据频率分布直方图，求出6,8，8,10，10,12，12,14频率和，即可得出结论.
【详解】（1）该周课外阅读时间在8,10的频率为：
1−2×(0.025+0.050+0.075+0.150+0.075+0.025)=0.200，
该周课外阅读时间在8,10范围内的学生人数1000×0.200=200人；
（2）阅读时间超过6小时的概率为：
2×(0.150+0.100+0.075+0.025)=0.700，
所以估计该校学生每周课外阅读时间超过6小时的概率为0.700.
【点睛】本题考查补全频率分布直方图以及应用，属于基础题.
25．如图，已知多面体FABCDE的底面ABCD是边长为3的正方形，DE⊥底面ABCD，DE∥AF，且FA=3DE=3．
(1)证明：CD⊥平面ADEF；
(2)求四棱锥C−ADEF的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)6
【分析】（1）由线面垂直的判定证明；
（2）求出直角梯形ADEF的面积，以CD为四棱锥C−ADEF的高求体积.
【详解】（1）∵DE⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，
∴CD⊥DE．
又CD⊥AD，DE∩AD=D，DE,AD⊂平面ADEF，
∴CD⊥平面ADEF．
（2）由题意易知四边形ADEF为直角梯形，
∴S梯形ADEF=1+3×32=6．
∴VC−ADEF=13S梯形ADEF⋅CD=13×6×3=6．
时量:90分钟, 满分:100分
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页。
注意事项:
1.答题前,请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号;
2.必须在答题卡上答题,在草稿纸、试题卷上答题无效;
3.答题时,请考生注意各大题题号后面的答题提示;
4.请勿折叠答题卡,保证字体工整、笔迹清晰、卡面清洁。
一、单选题:本大题共18小题,每小题3分,共54分,在每小题给出的四个选项
一、单选题
1．设集合A=x|x>−1，B=x|−2
C．x|−2
【分析】利用集合的并集运算即可得解.
【详解】因为A=x|x>−1，B=x|−2
故选：A.
2．设命题p：∀x>0，lg2x<2x＋3，则命题p的否定为（ ）
A．∀x>0，lg2x≥2x＋3B．∃x0>0，lg2x0≥2x0＋3
C．∃x0>0，lg2x0<2x0＋3D．∀x>0，lg2x>2x＋3
【答案】B
【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
【详解】该命题含有量词“∀”，故该命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，
故命题p的否定为：∃x0>0，lg2x0≥2x0＋3．
故选：B
3．已知平面α，直线l、m，若m⊂α，则“l⊥α”是“l⊥m”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合线面垂直的判定及性质即得.
【详解】因为m⊂α，
所以由l⊥α，可推出l⊥m，
而由l⊥m推不出l⊥α，
所以“l⊥α”是“l⊥m”的充分而不必要条件.
故选：A.
4．函数y=lg(x+2)的定义域是（ ）
A．2，+∞B．2，+∞C．0，+∞D．−2，+∞
【答案】D
【分析】根据对数函数的性质，只需x+2>0，即可求解.
【详解】要使函数y=lg(x+2)有意义，需使x+2>0，即x>−2，
所以函数的定义域是−2，+∞
故选：D
5．计算1612+lg24的结果是（ ）
A．6B．7C．8D．10
【答案】A
【解析】由指数和对数的运算性质求解即可.
【详解】1612+lg24=(42)12+lg222=4+2=6
故选：A
6．下列函数可能是对数函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用对数函数的图象可得合适的选项.
【详解】对数函数的定义域为0,+∞，ABCD四个选项中最有可能是对数函数的是A选项.
故选：A.
7．已知i是虚数单位，则3+5i+1+i=（ ）
A．2B．iC．−3iD．4+6i
【答案】D
【分析】根据复数的加法运算求解.
【详解】由题意可得：3+5i+1+i=4+6i.
故选：D.
8．已知扇形的圆心角为π2，半径长为2，则该扇形的弧长为（ ）
A．π4B．π2C．πD．2π
【答案】C
【分析】结合扇形的弧长公式计算即可.
【详解】由扇形的弧长公式可知，
l=αr=π2×2=π.
故选：C
9．如图，在矩形ABCD中，AO+OB+AD=（ ）
A．ABB．ACC．ADD．BD
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用向量的加法法则计算即得.
【详解】在矩形ABCD中，AO+OB+AD=AB+AD=AC.
故选：B
10．设角α的终边与单位圆的交点坐标为(32,12)，则csα=（ ）
A．12B．22C．32D．1
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用三角函数的定义直接求解即可.
【详解】设角α的终边与单位圆的交点坐标为(32,12)，所以csα=32.
故选：C
11．某校高中生共有2700人，其中高一年级900人，高二年级1200人，高三年级600人，现采取分层抽样法抽取容量为27的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为（ ）
A．6，12，9B．9，9，9
C．3，9，15D．9，12，6
【答案】D
【分析】按照分层抽样计算规则计算可得.
【详解】依题意高一抽取27×9002700=9人，高二抽取27×12002700=12人，高三抽取27×6002700=6人.
故选：D
12．已知a为非零向量，则−4×3a=（ ）
A．−12aB．−4aC．3aD．10a
【答案】A
【分析】根据数乘运算的运算性质计算即可.
【详解】−4×3a=−12a.
故选：A.
13．已知a ,b ,c都是实数，则下列命题中真命题是（ ）
A．若a>b，则ac>bcB．若ac>bc，则a>b
C．若a>b，则ac2>bc2；D．若ac2>bc2，则a>b
【答案】D
【分析】当c<0时可判断A，B；当c=0时可判断C；利用不等式的性质可判断D，进而可得正确选项.
【详解】对于A：若a>b，c<0，1c<0，则a⋅1c
对于D：若ac2>bc2，则c2>0，所以1c2>0，所以ac2⋅1c2>bc2⋅1c2即a>b，
故选项D正确；
故选：D.
14．若正数x,y满足x+y=18，则xy的最大值为（ ）
A．9B．18
C．36D．81
【答案】D
【分析】利用基本不等式可得答案.
【详解】因为正数x,y满足x+y=18，
所以18=x+y≥2xy，可得xy≤81，当且仅当x=y=9等号成立.
故选：D.
15．同时抛掷两颗质地均匀的六面体骰子，分别观察它们落地时朝上的面的点数，则“两颗骰子的点数相同”的概率为（ ）
A．16B．19C．118D．136
【答案】A
【分析】根据古典概型，求出基本事件和所求事件的个数即可.
【详解】同时掷两颗质地均匀的骰子，则有6×6=36个基本事件，
出现的点数相同情况有：1,1，2,2，3,3，4,4，5,5，6,6共6个，
所以概率为636=16，故A正确.
故选：A.
16．将函数y=2sin2x+π4的图象向右平移π12单位后，所得图象对应的函数解析式为（ ）
A．y=2sin2x−512πB．y=2sin2x+512π
C．y=2sin2x−π12D．y=2sin2x+π12
【答案】D
【分析】先将函数y=2sin2x+π4中x换为x-π12后化简即可.
【详解】y=2sin2(x−π12)+π4化解为y=2sin2x+π12
故选D
【点睛】本题考查三角函数平移问题,属于基础题目,解题中根据左加右减的法则,将x按要求变换.
17．若正四棱台的上，下底面边长分别为1，2，高为2，则该正四棱台的体积为（ ）
A．103B．73C．143D．14
【答案】C
【分析】根据棱台的体积公式即可直接求出答案.
【详解】V台=13S+S′+SS′ℎ=131+4+1×4×2=143.
故选：C.
18．如图，在四面体A−BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB=BC=CD=1，则AD=（ ）
A．1B．2C．3D．2
【答案】C
【分析】根据题中条件，得到AB⊥BD，再由勾股定理，根据题中数据，即可求出结果.
【详解】因为BC⊥CD，AB=BC=CD=1，所以BD=BC2+CD2=2，
又AB⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，所以AB⊥BD；
因此AD=AB2+BD2=3.
故选：C.
二、填空题：本大题共4个小题，每个小题4分，共16分
19．设函数fx=x2,x≤23x−2,x>2，则f3的值为 ．
【答案】7
【分析】直接代入求值即可.
【详解】解：∵fx=x2,x≤23x−2,x>2，
∴f3=3×3−2=7.
故答案为：7.
20．函数y=tan3x−π4的最小正周期为 ．
【答案】π3/13π
【分析】直接根据周期公式计算得到答案.
【详解】函数y=tan3x−π4的最小正周期为T=π3.
故答案为：π3.
21．函数y=4x−2的零点是 .
【答案】12
【解析】解方程4x−2=0得出．
【详解】由4x−2=0得x=12，所以函数y=4x−2的零点是12．
故答案为：12．
【点睛】本题考查函数零点概念，掌握零点定义是解题关键．
22．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a2+c2=b2+ac，则B= ．
【答案】π3/13π/60°
【分析】运用余弦定理解三角形即可.
【详解】在△ABC中，由余弦定理知csB=a2+c2−b22ac，
又a2+c2=b2+ac，所以csB=12，
又0
三、解答题：本大题共3个小题，每个题10分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
23．已知平面向量a=3,−4，b=2,x，c=2,y，a//b，a⊥c，求：
（1）向量b，c的坐标；
（2）向量a−2c与−3b的夹角.
【答案】（1）b=2,−83，c=2,32.（2）3π4
【解析】（1）根据向量平行、垂直的坐标表示，可得结果.
（2）根据（1）的结论，利用向量的夹角公式，可得结果.
【详解】（1）因为a=3,−4，b=2,x,
且a//b，∴3x+8=0，∴x=−83.
∵c=2,y，且a⊥c，
∴6−4y=0，则y=32.
所以b=2,−83，c=2,32.
（2）设a−2c与−3b的夹角为θ，
∵a−2c=3,−4−4,3=−1,−7，
−3b=−6,8，
∴csθ=a−2c⋅−3ba−2c⋅−3b=6−5652×10=−22.
∵0≤θ≤π，∴θ=3π4.
故向量a−2c与−3b的夹角为3π4.
【点睛】本题主要考查向量的坐标表示以及向量的夹角公式，属基础题.
24．从某高校随机抽样1000名学生，获得了它们一周课外阅读时间（单位：小时）的样本数据，整理得到样本数据的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：0,2，2,4，4,6，6,8，8,10，10,12，12,14.
（1）求这1000名学生中该周课外阅读时间在8,10范围内的学生人数；
（2）估计该校学生每周课外阅读时间超过6小时的概率.
【答案】（1）200人；（2）0.700.
【分析】（1）根据频数和为1，求出8,10的频率，即可求解；
（2）根据频率分布直方图，求出6,8，8,10，10,12，12,14频率和，即可得出结论.
【详解】（1）该周课外阅读时间在8,10的频率为：
1−2×(0.025+0.050+0.075+0.150+0.075+0.025)=0.200，
该周课外阅读时间在8,10范围内的学生人数1000×0.200=200人；
（2）阅读时间超过6小时的概率为：
2×(0.150+0.100+0.075+0.025)=0.700，
所以估计该校学生每周课外阅读时间超过6小时的概率为0.700.
【点睛】本题考查补全频率分布直方图以及应用，属于基础题.
25．如图，已知多面体FABCDE的底面ABCD是边长为3的正方形，DE⊥底面ABCD，DE∥AF，且FA=3DE=3．
(1)证明：CD⊥平面ADEF；
(2)求四棱锥C−ADEF的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)6
【分析】（1）由线面垂直的判定证明；
（2）求出直角梯形ADEF的面积，以CD为四棱锥C−ADEF的高求体积.
【详解】（1）∵DE⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，
∴CD⊥DE．
又CD⊥AD，DE∩AD=D，DE,AD⊂平面ADEF，
∴CD⊥平面ADEF．
（2）由题意易知四边形ADEF为直角梯形，
∴S梯形ADEF=1+3×32=6．
∴VC−ADEF=13S梯形ADEF⋅CD=13×6×3=6．
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