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江西省南昌市江西科技学院附属中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）
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一、选择题（每小题3分，共18分）
1. 在下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平移性质即可得出结论．
【详解】解：A、能通过其中一个四边形平移得到，不合题意；
B、能通过其中一个四边形平移得到，不合题意；
C、能通过其中一个四边形平移得到，不合题意；
D、不能通过其中一个四边形平移得到，需要一个四边形旋转得到，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小是解答此题的关键．
2. 在，，，，3.1415926中，无理数的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】分别根据无理数、有理数的定义进行判断即可．
【详解】是无限不循环小数，故为无理数；
是分数，为有理数；
是无理数；
，是有理数；
3.1415926是有限小数，为有理数，
无理数的个数为2个，
故选：B．
【点睛】此题考查了无理数的定义，理解无理数的定义是解题的关键．
3. 已知点P（0，m）在y轴的负半轴上，则点M（−m，−m＋1）在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【详解】点P（0，m）在y轴的负半轴上，
∴m＜0，
∴－m＞0，－m＋1＞0，
∴点M（－m，－m＋1）在第一象限；
故选：A
4. 下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二元一次方程组的定义求解即可．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
【详解】解：A．此方程组含有3个未知数，故此选项不符合题意；
B．方程的未知数的最高次数是2，不是一次方程，故此选项不符合题意；
C．方程是分式方程，不是一次方程，故此选项不符合题意；
D．此方程组符合二元一次方程组的定义，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组也满足三个条件∶①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．
5. 若x、y满足方程组，则x﹣y的值为（ ）
A. ﹣2B. ﹣1C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，直接由两个方程相减，即可得到答案．
【详解】解：由题意，
由①②，得，
∴；
故选：D．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法解方程组．
6. 如图，若，用含有∠1，∠2，∠3的式子表示∠α，则∠α应为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点E作，过点G作，根据平行推理得到，结合平行线性质得到角度关系即可得到答案；
【详解】解：如图，过点E作，过点G作，
∵，，，
∴，
∴，，，
∴，，
∴．
故选D；
【点睛】本题考查平行线性质探究角度关系问题，解题的关键是作出辅助线结合平行线性质得到角的关系．
二、填空题（每小题3分，共18分）
7. ，，则＝__________
【答案】503.6
【解析】
【分析】根据已知等式，利用算术平方根定义判断即可得到结果．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：503.6．
【点睛】本题考查了算术平方根．解题的关键是掌握算术平方根的定义以及算术平方根的被开方数小数点移动的规律．
8. 如果是二元一次方程时，则______，______．
【答案】 ①. ②. 4
【解析】
【分析】此题主要考查了二元一次方程的概念，解二元一次方程组，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．根据二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，列出方程组，求出的值即可．
【详解】解：是二元一次方程，
，
解得：，
故答案为：．
9. 如果M（a，b），N（c，d）是平行于y轴的一条直线上的两点，那么a与c的关系是_____．
【答案】相等
【解析】
【分析】根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相等即可得出a=c．
【详解】解：∵M（a，b），N（c，d）是平行于y轴的一条直线上的两点，
∴a=c．
故答案为：相等．
10. 如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则每块巧克力的质量为_____g．
【答案】20
【解析】
【分析】通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即三块巧克力的质量＝两个果冻的质量，一块巧克力的质量+一个果冻的质量＝50克．根据这两个等量关系式可列一个方程组．
【详解】解：设每块巧克力的重量为x克，每块果冻的重量为y克．
由题意列方程组得：，
解方程组得：．
答：每块巧克力的质量是20克．
故答案为：20．
【点睛】此题考查二元一次方程的应用，根据等量关系列方程是关键．
11. 如图，将三角形沿向右平移得到三角形，连接，若三角形的周长是，四边形的周长是，则平移的距离是___________cm．
【答案】2
【解析】
【分析】利用平移的性质得到，，平移的距离为，由于的周长为，四边形的周长为，则利用等线段代换得到，然后求出即可．
【详解】解：∵沿方向平移得到，
∴，，
∵的周长为，
∴，
∵四边形的周长为，
∴，
即，
∴，解得，
即平移距离为．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；各组对应点的线段平行（或共线）且相等．
12. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，D的坐标为，，，点P从点B出发，沿﹣运动，速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒；点Q以每秒2个单位长度的速度从点D出发，在DA间往返运动，（两个点同时出发，当点P到达点A停止时点Q也停止），在运动过程中，当时，点P的坐标为___________.
【答案】或或
【解析】
【分析】由题意易得，然后根据题意可分三种情况，然后分类求解即可．
【详解】解：∵点A，B，D的坐标为，，，
∴，
∴，
由题意可知，
①当点P在线段BC上时，即，存在，如图所示：
∴，
此时点P的坐标为；
②当点P在线段BC上时，即，存在，如图所示：
由点Q在DA间往返运动，所以设点Q在DA间往返运动n次后存在，
∴，
整理得：，
由①可知：当时，PQ与OB第一次平行，
∴当时，则有，此时满足题意；
∴点
③当点P线段CA上时，即，此时要满足，则有点A与点Q重合，如图所示：
∴，
此时点Q刚好与点A重合，满足题意；
∴
综上所述：当时，点P的坐标为或或；
故答案为或或．
【点睛】本题主要考查图形与坐标及平行线的性质，熟练掌握图形与坐标及平行线的性质是解题的关键．
三、解答题（每小题6分，共30分）
13. （1）解方程组：
（2）计算：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）用加减消元法求解即可；
（2）先逐项化简，再算加减即可．
【详解】（1）解：，
②－①可得y=2，
将y的值代入①中，x-2=1，
解得x=3，
故二元一次方程组的解是．
（2）解：原式=；
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，以及实数的额混合运算，熟练掌握解方程组的方法以及实数的运算法则是解答本题的关键．
14. 已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分，求的平方根．
【答案】
【解析】
【分析】利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出、、的值，代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可．
【详解】解：的立方根是，的算术平方根是，
，，
解得：，
是整数部分，
，
，
的平方根是．
【点睛】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可．
15. 在平面直角坐标系中，已知点．
（1）若点A在x轴上，求点A的坐标．
（2）若点B的坐标为，且轴，求点A的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据x轴上点的特征进行解答，即可得出答案；
（2）由平行于y轴的点的横坐标相同，可得，即，求得a的值，再将a的值代入求得纵坐标即可解答．
【小问1详解】
解：∵点A在x轴上，
∴，即，
∴，
∴，
∴点A的坐标为；
【小问2详解】
解：∵点B的坐标为，且轴，
∴，即，
∴，
∴，
∴点A的坐标为．
【点睛】本题考查坐标轴上的点的坐标特点，平行于坐标轴的点的坐标特点．熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解答本题的关键．
16. 已知关于x，y的二元一次方程组.
(1)若x，y互为相反数，求m的值；
(2)若x是y的2倍，求原方程组的解．
【答案】（1）m＝－1；（2）．
【解析】
【分析】（1）中方程①中，再由x、y的值互为相反数则x+y=0，即可得出=0，即关于m的方程，求出m的值即可；（2）再由x是y的2倍，即可得出x＝2y，代入原方程组，得到关于m的方程，求出m的值即可解答．
【详解】(1)若x，y互为相反数，则x＋y＝0，
所以有3m＋3＝0，解得m＝－1.
(2)若x是y的2倍，则x＝2y，
原方程组可化为
解得
所以方程组解为．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解，先根据题意得出x，y的代数式是解答此题的关键．
17. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点均在网格线的交点上，连接，．请仅用无刻度直尺按下列要求作图．（保留作图痕迹）
（1）在图1中过点作直线．
（2）如图2，在线段上找一点，连接，使直线．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）由图可知点可以看成是点向上平移3个单位长度得到的，从而得出点平移后的点，连接，即为所作直线；
（2）由图可知，点可以看成是点向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，从而得出点平移后的点，连接，与的交点为，点即为所作．
【小问1详解】
解：如图，直线即为所作：
，
由图可知点可以看成是点向上平移3个单位长度得到的，
将点向上平移3个单位长度得到点，
连接，则可以看成向上平移3个单位得到，
由平移的性质可得，即，
直线即为所求；
【小问2详解】
解：如图，点即为所作，
，
由图可知，点可以看成是点向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，
将点向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点，
连接，与的交点为，则可以看成向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到，
由平移的性质可得，即，
点即为所求．
【点睛】本题主要考查了平移的性质，无刻度直尺作图，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
四．解答题（每小题8分，共24分）
18. 如图，已知∠1+∠2＝180°，且∠AFE＝∠ACB．
（1）求证：∠3＝∠B；
（2）若CE平分∠ACB，且∠2＝110°，∠3＝50°，求∠ACB的度数．
【答案】（1）见解析 （2）40°
【解析】
【分析】（1）先证明，得出∠3＝∠AEF，再根据平行线的判定证明，得出∠AEF＝∠B，即可得证；
（2）根据∠3＝∠B得∠B＝50°，根据三角形内角和定理求出∠ECB＝20°，根据角平分线定义得出∠ACB＝2∠ECB＝40°，即可得出答案．
【小问1详解】
证明：∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠FDE＝180°，
∴∠FDE＝∠2，
∴，
∴∠3＝∠AEF，
∵∠AFE＝∠ACB，
∴，
∴∠AEF＝∠B，
∴∠B＝∠3；
【小问2详解】
解：∵∠3＝∠B，∠3＝50°，
∴∠B＝50°，
∵∠2+∠B+∠ECB＝180°，∠2＝110°，
∴∠ECB＝20°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ECB＝40°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理的应用，能运用定理进行推理是解此题的关键．
19. 清明促销期间，青龙超市第一次用3800元购进了甲、乙两种商品，其中甲种商品40件，乙种商品160件，已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价贵5元．甲种商品售价为20元/件，乙种商品售价为25元/件．
（1）甲、乙两种商品每件进价各多少元？
（2）若青龙超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完，可获得多少利润？
【答案】（1）甲、乙两种商品每件进价各15元、20元
（2）1000元
【解析】
【分析】（1）设甲每件x元，乙每件y元，根据题意列出方程，求解即可；
（2）总利润等于甲种商品的利润加上乙种商品的利润，列式计算即可．
【小问1详解】
设甲每件x元，乙每件y元，根据题意，得
，
解方程组，得，
故甲、乙两种商品每件进价分别为15元、20元．
【小问2详解】
总利润（元）
【点睛】本题考查了列方程解决实际问题和利润问题，理解题意找准等量关系是解题的关键．
20. 对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，那么我们把点与点称为点P的一对“和美点”．
例如，点的一对“和美点”是点与点
（1）点的一对“和美点”坐标是_______与_______；
（2）若点的一对“和美点”重合，则y的值为_______．
（3）若点C的一个“和美点”坐标为，求点C的坐标；
【答案】（1）（-4，3），（3，-4）；（2）4；（3）（2，-5）或（-7，-5）
【解析】
【分析】（1）直接根据和美点的定义求解即可；
（2）由和美点重合可得a=b，可得方程，即可求出y值；
（3）分和美点坐标（a，b）和（b，a）分别为（-2，7）两种情况分别计算．
【详解】解：（1）∵a=-x，b=x-y，A（4，1），
∴a=-4，b=x-y=4-1=3，
∴和美点的坐标为（-4，3），（3，-4）；
（2）∵和美点重合，
∴a=b，a=-2，b=x-y=2-y，
∴-2=2-y，
∴y=4；
（3）当和美点坐标（a，b）为（-2，7），
则a=-x=-2，x=2，
b=x-y=7，y=-5，
∴C（2，-5）；
当和美点坐标（b，a）为（-2，7），
b=x-y=-2，a=-x=7，
∴x=-7，y=-5，
∴C（-7，-5）．
综上所述，C（2，-5）或C（-7，-5）.
【点睛】此题主要考查了新定义，点的坐标，理解和应用新定义是解本题的关键．
五、解答题（每小题9分，共18分）
21. 温州市甲、乙两个有名的学校乐团，决定向某服装厂购买同样的演出服．如表是服装厂给出的演出服装的价格表：
经调查：两个乐团共75人（甲乐团人数不少于40人），如果分别各自购买演出服，两个乐团共需花费5600元．请回答以下问题：
（1）如果甲、乙两个乐团联合起来购买服装，那么比各自购买服装最多可以节省多少元？
（2）甲、乙两个乐团各有多少名学生？
（3）现从甲乐团抽调a人，从乙乐团抽调b人（要求从每个乐团抽调的人数不少于5人），去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”；甲乐团每位成员负责3位小朋友，乙乐团每位成员负责5位小朋友．这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖．请写出所有的抽调方案，并说明理由．
【答案】（1）节省800元
（2）甲乐团有40人；乙乐团有35人
（3）从甲乐团抽调5人，从乙乐团抽调10人；或者从甲乐团抽调10人，从乙乐团抽调7人．
【解析】
【分析】（1）若甲、乙两个乐团合起来购买服装80套，则每套是60元，计算出总价，即可求得比各自购买服装可以节省多少钱；
（2）设甲乐团有x人；乙乐团有y人．根据各自购买时，甲乐团每套服装是70元，乙乐团每套服装是80元．根据等量关系：①共75人；②分别单独购买服装，一共应付5600元，列方程组即可求解；
（3）利用甲乐团每位成员负责3位小朋友，乙乐团每位成员负责5位小朋友恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖列出方程探讨答案即可．
【小问1详解】
解：买80套所花费为：80×60＝4800（元），
最多可以节省：5600﹣4800＝800（元）．
【小问2详解】
解：设甲乐团有x人；乙乐团有y人．
根据题意，得 ，解得
答：甲乐团有40人；乙乐团有35人．
【小问3详解】
解：由题意得3a+5b＝65
变形得b＝13a
因为每位乐团的人数不少于5人且人数为正整数
可得：或．
所以共有两种方案：从甲乐团抽调5人，从乙乐团抽调10人；或者从甲乐团抽调10人，从乙乐团抽调7人．
【点睛】本题主要考查了列式计算、二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，审清题意、明确各量之间的关系是解答本题的关键．
22. 如图，已知，．点P是射线AM上一动点（与点A不重合）、BC，BD分别平分和，分别交射线AM于点C，D．
（1）求的度数．
（2）当点P运动到使时，的度数是多少？为什么？
（3）当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化．请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．
【答案】（1）
（2），理由见解析
（3）不变，
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）由（1）知，再根据角平分线的定义知、，可得，即；
（2）由得、，根据平分知，从而可计算；
（3）由得、，根据平分知，从而可得结果．
【小问1详解】
，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
；
【小问2详解】
，
，
，
，
；
由（1）可知：，，
，
；
【小问3详解】
不变，．
，
，，
平分，
，
．
六．解答题（本题共12分）
23. 如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中点A，B的坐标分别为（a，0），（a，b），点C在y轴上，且BCx轴，a，b满足．点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣A﹣B﹣C﹣O的路线运动（回到O为止）．
（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）当点P运动3秒时，连接PC，PO，求出点P的坐标，并直接写出∠CPO，∠BCP，∠AOP之间满足的数量关系；
（3）点P运动t秒后（t≠0），是否存在点P到x轴的距离为t个单位长度的情况．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A（3，0），B（3，4），C（0，4）；（2）P（3，3），∠CPO=∠BCP+∠AOP；（3）存在，P的坐标为（3，1）或（0，）．
【解析】
【分析】（1）直接根据矩形的性质写出坐标即可；
（2）当运动3秒时，求出，即可得到，在根据平行线的性质可得；
（3）点可能运动到或或上，所以进行分类讨论．
【详解】解：（1），
，
，
根据平面直角坐标系得，
，
（2）如图1，当运动3秒时，点运动了6个单位长度，
，
点运动3秒时，点在线段上，且，
点的坐标是，
过点作的平行线，交于点，
根据平行线的性质，内错角相等可得，
，
．
（3）存在，
如图2，，
点可能运动到或或上，
①当点运动到上时，，
，，
，
解得：，
,
点的坐标为；
②当点运动到上时，，即，点到的距离为4，
，
解得：，
，
不符合题意；
③当点运动到上时，，即，
，
，
解得：，
，
点的坐标为，
综上所述，点运动秒后，存在点到轴的距离为个单位长度的情况，点的坐标为：或．
【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、绝对值与二次根式的非负性、坐标与图形的性质，解题的关键是掌握非负数的性质，矩形的性质．
购买服装的套数
1～39套（含39套）
40～79套（含79套）
80套及以上
每套服装的价格
80元
70元
60元
一、选择题（每小题3分，共18分）
1. 在下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平移性质即可得出结论．
【详解】解：A、能通过其中一个四边形平移得到，不合题意；
B、能通过其中一个四边形平移得到，不合题意；
C、能通过其中一个四边形平移得到，不合题意；
D、不能通过其中一个四边形平移得到，需要一个四边形旋转得到，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小是解答此题的关键．
2. 在，，，，3.1415926中，无理数的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】分别根据无理数、有理数的定义进行判断即可．
【详解】是无限不循环小数，故为无理数；
是分数，为有理数；
是无理数；
，是有理数；
3.1415926是有限小数，为有理数，
无理数的个数为2个，
故选：B．
【点睛】此题考查了无理数的定义，理解无理数的定义是解题的关键．
3. 已知点P（0，m）在y轴的负半轴上，则点M（−m，−m＋1）在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【详解】点P（0，m）在y轴的负半轴上，
∴m＜0，
∴－m＞0，－m＋1＞0，
∴点M（－m，－m＋1）在第一象限；
故选：A
4. 下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二元一次方程组的定义求解即可．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
【详解】解：A．此方程组含有3个未知数，故此选项不符合题意；
B．方程的未知数的最高次数是2，不是一次方程，故此选项不符合题意；
C．方程是分式方程，不是一次方程，故此选项不符合题意；
D．此方程组符合二元一次方程组的定义，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组也满足三个条件∶①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．
5. 若x、y满足方程组，则x﹣y的值为（ ）
A. ﹣2B. ﹣1C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，直接由两个方程相减，即可得到答案．
【详解】解：由题意，
由①②，得，
∴；
故选：D．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法解方程组．
6. 如图，若，用含有∠1，∠2，∠3的式子表示∠α，则∠α应为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点E作，过点G作，根据平行推理得到，结合平行线性质得到角度关系即可得到答案；
【详解】解：如图，过点E作，过点G作，
∵，，，
∴，
∴，，，
∴，，
∴．
故选D；
【点睛】本题考查平行线性质探究角度关系问题，解题的关键是作出辅助线结合平行线性质得到角的关系．
二、填空题（每小题3分，共18分）
7. ，，则＝__________
【答案】503.6
【解析】
【分析】根据已知等式，利用算术平方根定义判断即可得到结果．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：503.6．
【点睛】本题考查了算术平方根．解题的关键是掌握算术平方根的定义以及算术平方根的被开方数小数点移动的规律．
8. 如果是二元一次方程时，则______，______．
【答案】 ①. ②. 4
【解析】
【分析】此题主要考查了二元一次方程的概念，解二元一次方程组，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．根据二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，列出方程组，求出的值即可．
【详解】解：是二元一次方程，
，
解得：，
故答案为：．
9. 如果M（a，b），N（c，d）是平行于y轴的一条直线上的两点，那么a与c的关系是_____．
【答案】相等
【解析】
【分析】根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相等即可得出a=c．
【详解】解：∵M（a，b），N（c，d）是平行于y轴的一条直线上的两点，
∴a=c．
故答案为：相等．
10. 如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则每块巧克力的质量为_____g．
【答案】20
【解析】
【分析】通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即三块巧克力的质量＝两个果冻的质量，一块巧克力的质量+一个果冻的质量＝50克．根据这两个等量关系式可列一个方程组．
【详解】解：设每块巧克力的重量为x克，每块果冻的重量为y克．
由题意列方程组得：，
解方程组得：．
答：每块巧克力的质量是20克．
故答案为：20．
【点睛】此题考查二元一次方程的应用，根据等量关系列方程是关键．
11. 如图，将三角形沿向右平移得到三角形，连接，若三角形的周长是，四边形的周长是，则平移的距离是___________cm．
【答案】2
【解析】
【分析】利用平移的性质得到，，平移的距离为，由于的周长为，四边形的周长为，则利用等线段代换得到，然后求出即可．
【详解】解：∵沿方向平移得到，
∴，，
∵的周长为，
∴，
∵四边形的周长为，
∴，
即，
∴，解得，
即平移距离为．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；各组对应点的线段平行（或共线）且相等．
12. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，D的坐标为，，，点P从点B出发，沿﹣运动，速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒；点Q以每秒2个单位长度的速度从点D出发，在DA间往返运动，（两个点同时出发，当点P到达点A停止时点Q也停止），在运动过程中，当时，点P的坐标为___________.
【答案】或或
【解析】
【分析】由题意易得，然后根据题意可分三种情况，然后分类求解即可．
【详解】解：∵点A，B，D的坐标为，，，
∴，
∴，
由题意可知，
①当点P在线段BC上时，即，存在，如图所示：
∴，
此时点P的坐标为；
②当点P在线段BC上时，即，存在，如图所示：
由点Q在DA间往返运动，所以设点Q在DA间往返运动n次后存在，
∴，
整理得：，
由①可知：当时，PQ与OB第一次平行，
∴当时，则有，此时满足题意；
∴点
③当点P线段CA上时，即，此时要满足，则有点A与点Q重合，如图所示：
∴，
此时点Q刚好与点A重合，满足题意；
∴
综上所述：当时，点P的坐标为或或；
故答案为或或．
【点睛】本题主要考查图形与坐标及平行线的性质，熟练掌握图形与坐标及平行线的性质是解题的关键．
三、解答题（每小题6分，共30分）
13. （1）解方程组：
（2）计算：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）用加减消元法求解即可；
（2）先逐项化简，再算加减即可．
【详解】（1）解：，
②－①可得y=2，
将y的值代入①中，x-2=1，
解得x=3，
故二元一次方程组的解是．
（2）解：原式=；
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，以及实数的额混合运算，熟练掌握解方程组的方法以及实数的运算法则是解答本题的关键．
14. 已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分，求的平方根．
【答案】
【解析】
【分析】利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出、、的值，代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可．
【详解】解：的立方根是，的算术平方根是，
，，
解得：，
是整数部分，
，
，
的平方根是．
【点睛】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可．
15. 在平面直角坐标系中，已知点．
（1）若点A在x轴上，求点A的坐标．
（2）若点B的坐标为，且轴，求点A的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据x轴上点的特征进行解答，即可得出答案；
（2）由平行于y轴的点的横坐标相同，可得，即，求得a的值，再将a的值代入求得纵坐标即可解答．
【小问1详解】
解：∵点A在x轴上，
∴，即，
∴，
∴，
∴点A的坐标为；
【小问2详解】
解：∵点B的坐标为，且轴，
∴，即，
∴，
∴，
∴点A的坐标为．
【点睛】本题考查坐标轴上的点的坐标特点，平行于坐标轴的点的坐标特点．熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解答本题的关键．
16. 已知关于x，y的二元一次方程组.
(1)若x，y互为相反数，求m的值；
(2)若x是y的2倍，求原方程组的解．
【答案】（1）m＝－1；（2）．
【解析】
【分析】（1）中方程①中，再由x、y的值互为相反数则x+y=0，即可得出=0，即关于m的方程，求出m的值即可；（2）再由x是y的2倍，即可得出x＝2y，代入原方程组，得到关于m的方程，求出m的值即可解答．
【详解】(1)若x，y互为相反数，则x＋y＝0，
所以有3m＋3＝0，解得m＝－1.
(2)若x是y的2倍，则x＝2y，
原方程组可化为
解得
所以方程组解为．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解，先根据题意得出x，y的代数式是解答此题的关键．
17. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点均在网格线的交点上，连接，．请仅用无刻度直尺按下列要求作图．（保留作图痕迹）
（1）在图1中过点作直线．
（2）如图2，在线段上找一点，连接，使直线．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）由图可知点可以看成是点向上平移3个单位长度得到的，从而得出点平移后的点，连接，即为所作直线；
（2）由图可知，点可以看成是点向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，从而得出点平移后的点，连接，与的交点为，点即为所作．
【小问1详解】
解：如图，直线即为所作：
，
由图可知点可以看成是点向上平移3个单位长度得到的，
将点向上平移3个单位长度得到点，
连接，则可以看成向上平移3个单位得到，
由平移的性质可得，即，
直线即为所求；
【小问2详解】
解：如图，点即为所作，
，
由图可知，点可以看成是点向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，
将点向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点，
连接，与的交点为，则可以看成向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到，
由平移的性质可得，即，
点即为所求．
【点睛】本题主要考查了平移的性质，无刻度直尺作图，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
四．解答题（每小题8分，共24分）
18. 如图，已知∠1+∠2＝180°，且∠AFE＝∠ACB．
（1）求证：∠3＝∠B；
（2）若CE平分∠ACB，且∠2＝110°，∠3＝50°，求∠ACB的度数．
【答案】（1）见解析 （2）40°
【解析】
【分析】（1）先证明，得出∠3＝∠AEF，再根据平行线的判定证明，得出∠AEF＝∠B，即可得证；
（2）根据∠3＝∠B得∠B＝50°，根据三角形内角和定理求出∠ECB＝20°，根据角平分线定义得出∠ACB＝2∠ECB＝40°，即可得出答案．
【小问1详解】
证明：∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠FDE＝180°，
∴∠FDE＝∠2，
∴，
∴∠3＝∠AEF，
∵∠AFE＝∠ACB，
∴，
∴∠AEF＝∠B，
∴∠B＝∠3；
【小问2详解】
解：∵∠3＝∠B，∠3＝50°，
∴∠B＝50°，
∵∠2+∠B+∠ECB＝180°，∠2＝110°，
∴∠ECB＝20°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ECB＝40°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理的应用，能运用定理进行推理是解此题的关键．
19. 清明促销期间，青龙超市第一次用3800元购进了甲、乙两种商品，其中甲种商品40件，乙种商品160件，已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价贵5元．甲种商品售价为20元/件，乙种商品售价为25元/件．
（1）甲、乙两种商品每件进价各多少元？
（2）若青龙超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完，可获得多少利润？
【答案】（1）甲、乙两种商品每件进价各15元、20元
（2）1000元
【解析】
【分析】（1）设甲每件x元，乙每件y元，根据题意列出方程，求解即可；
（2）总利润等于甲种商品的利润加上乙种商品的利润，列式计算即可．
【小问1详解】
设甲每件x元，乙每件y元，根据题意，得
，
解方程组，得，
故甲、乙两种商品每件进价分别为15元、20元．
【小问2详解】
总利润（元）
【点睛】本题考查了列方程解决实际问题和利润问题，理解题意找准等量关系是解题的关键．
20. 对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，那么我们把点与点称为点P的一对“和美点”．
例如，点的一对“和美点”是点与点
（1）点的一对“和美点”坐标是_______与_______；
（2）若点的一对“和美点”重合，则y的值为_______．
（3）若点C的一个“和美点”坐标为，求点C的坐标；
【答案】（1）（-4，3），（3，-4）；（2）4；（3）（2，-5）或（-7，-5）
【解析】
【分析】（1）直接根据和美点的定义求解即可；
（2）由和美点重合可得a=b，可得方程，即可求出y值；
（3）分和美点坐标（a，b）和（b，a）分别为（-2，7）两种情况分别计算．
【详解】解：（1）∵a=-x，b=x-y，A（4，1），
∴a=-4，b=x-y=4-1=3，
∴和美点的坐标为（-4，3），（3，-4）；
（2）∵和美点重合，
∴a=b，a=-2，b=x-y=2-y，
∴-2=2-y，
∴y=4；
（3）当和美点坐标（a，b）为（-2，7），
则a=-x=-2，x=2，
b=x-y=7，y=-5，
∴C（2，-5）；
当和美点坐标（b，a）为（-2，7），
b=x-y=-2，a=-x=7，
∴x=-7，y=-5，
∴C（-7，-5）．
综上所述，C（2，-5）或C（-7，-5）.
【点睛】此题主要考查了新定义，点的坐标，理解和应用新定义是解本题的关键．
五、解答题（每小题9分，共18分）
21. 温州市甲、乙两个有名的学校乐团，决定向某服装厂购买同样的演出服．如表是服装厂给出的演出服装的价格表：
经调查：两个乐团共75人（甲乐团人数不少于40人），如果分别各自购买演出服，两个乐团共需花费5600元．请回答以下问题：
（1）如果甲、乙两个乐团联合起来购买服装，那么比各自购买服装最多可以节省多少元？
（2）甲、乙两个乐团各有多少名学生？
（3）现从甲乐团抽调a人，从乙乐团抽调b人（要求从每个乐团抽调的人数不少于5人），去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”；甲乐团每位成员负责3位小朋友，乙乐团每位成员负责5位小朋友．这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖．请写出所有的抽调方案，并说明理由．
【答案】（1）节省800元
（2）甲乐团有40人；乙乐团有35人
（3）从甲乐团抽调5人，从乙乐团抽调10人；或者从甲乐团抽调10人，从乙乐团抽调7人．
【解析】
【分析】（1）若甲、乙两个乐团合起来购买服装80套，则每套是60元，计算出总价，即可求得比各自购买服装可以节省多少钱；
（2）设甲乐团有x人；乙乐团有y人．根据各自购买时，甲乐团每套服装是70元，乙乐团每套服装是80元．根据等量关系：①共75人；②分别单独购买服装，一共应付5600元，列方程组即可求解；
（3）利用甲乐团每位成员负责3位小朋友，乙乐团每位成员负责5位小朋友恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖列出方程探讨答案即可．
【小问1详解】
解：买80套所花费为：80×60＝4800（元），
最多可以节省：5600﹣4800＝800（元）．
【小问2详解】
解：设甲乐团有x人；乙乐团有y人．
根据题意，得 ，解得
答：甲乐团有40人；乙乐团有35人．
【小问3详解】
解：由题意得3a+5b＝65
变形得b＝13a
因为每位乐团的人数不少于5人且人数为正整数
可得：或．
所以共有两种方案：从甲乐团抽调5人，从乙乐团抽调10人；或者从甲乐团抽调10人，从乙乐团抽调7人．
【点睛】本题主要考查了列式计算、二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，审清题意、明确各量之间的关系是解答本题的关键．
22. 如图，已知，．点P是射线AM上一动点（与点A不重合）、BC，BD分别平分和，分别交射线AM于点C，D．
（1）求的度数．
（2）当点P运动到使时，的度数是多少？为什么？
（3）当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化．请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．
【答案】（1）
（2），理由见解析
（3）不变，
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）由（1）知，再根据角平分线的定义知、，可得，即；
（2）由得、，根据平分知，从而可计算；
（3）由得、，根据平分知，从而可得结果．
【小问1详解】
，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
；
【小问2详解】
，
，
，
，
；
由（1）可知：，，
，
；
【小问3详解】
不变，．
，
，，
平分，
，
．
六．解答题（本题共12分）
23. 如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中点A，B的坐标分别为（a，0），（a，b），点C在y轴上，且BCx轴，a，b满足．点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣A﹣B﹣C﹣O的路线运动（回到O为止）．
（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）当点P运动3秒时，连接PC，PO，求出点P的坐标，并直接写出∠CPO，∠BCP，∠AOP之间满足的数量关系；
（3）点P运动t秒后（t≠0），是否存在点P到x轴的距离为t个单位长度的情况．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A（3，0），B（3，4），C（0，4）；（2）P（3，3），∠CPO=∠BCP+∠AOP；（3）存在，P的坐标为（3，1）或（0，）．
【解析】
【分析】（1）直接根据矩形的性质写出坐标即可；
（2）当运动3秒时，求出，即可得到，在根据平行线的性质可得；
（3）点可能运动到或或上，所以进行分类讨论．
【详解】解：（1），
，
，
根据平面直角坐标系得，
，
（2）如图1，当运动3秒时，点运动了6个单位长度，
，
点运动3秒时，点在线段上，且，
点的坐标是，
过点作的平行线，交于点，
根据平行线的性质，内错角相等可得，
，
．
（3）存在，
如图2，，
点可能运动到或或上，
①当点运动到上时，，
，，
，
解得：，
,
点的坐标为；
②当点运动到上时，，即，点到的距离为4，
，
解得：，
，
不符合题意；
③当点运动到上时，，即，
，
，
解得：，
，
点的坐标为，
综上所述，点运动秒后，存在点到轴的距离为个单位长度的情况，点的坐标为：或．
【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、绝对值与二次根式的非负性、坐标与图形的性质，解题的关键是掌握非负数的性质，矩形的性质．
购买服装的套数
1～39套（含39套）
40～79套（含79套）
80套及以上
每套服装的价格
80元
70元
60元
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