2024年中考数学热点探究七 以函数为背景的几何综合性问题练习附解析

这是一份2024年中考数学热点探究七 以函数为背景的几何综合性问题练习附解析，共44页。试卷主要包含了选择题，填空题，综合题，实践探究题等内容，欢迎下载使用。

1．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OA在x轴的正半轴上，A，C两点的坐标分别为(2,0)，(1,2)，点B在第一象限，将直线y=−2x沿x轴向右平移m(m>0)个单位.若平移后的直线与边AB有交点，则m的取值范围是（ ）
A．4≤m≤8B．02．如图， AC 为矩形 ABCD 的对角线，已知 AD=3 ， CD=4 .点P沿折线 C−A−D 以每秒1个单位长度的速度运动（运动到D点停止），过点P作 PE⊥BC 于点E，则 △CPE 的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，⊙O的半径是1，点P是直线y=−x+2上一动点，过点P作⊙O的切线，切点为A，连接OA，OP，则AP的最小值为（ ）
A．2−1B．1C．2D．3
4． 已知如图，反比例函数y=−4x，y=6x的图象分别经过正方形DEOF、正方形ACOB的顶点D、A，连接EF、AE、AF，则△AEF的面积等于（ ）
A．2B．3C．1D．5
5．如图1，点A、B在反比例函数y=k1x(k1≠0)的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为M，N，延长线段AB交x轴于点C，当OM=MN=NC时，阴影部分的面积S阴=1；如图2，点A、B在反比例函数y=k2x(k2≠0)的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为M，N，连接OB，交A于AM于点C，当AC=2CM时，阴影部分的面积S阴=2，则k1−k2的值为（ ）
A．2B．−2C．10D．−10
6．如图，等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=8，点D、点E分别是BC、AC边上的点，DE//AB则S△BDE的最大值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
7． 如图， 正方形OABC有三个顶点在抛物线 y=14x2 上， 点 O 是原点， 顶点 B 在 y轴上则顶点 A 的坐标是 （ ）
A．(2，2)B．(2，2)C．(4，4)D．(22，22)
8．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-3x+3交x轴于点A，交y轴于点B，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，其中顶点D恰好落在双曲线y=k/x上，现将正方形ABCD沿y轴向下平移a个单位长度，可以使得顶点C落在双曲线上，则a的值为（ ）
A．83B．73C．2D．43
9．如图，正方形ABCD边长为8，M，N分别是边BC，CD上的两个动点，且AM⊥MN，则AN的最小值是（ ）
A．8B．4 5C．10D．8 2
10．如图，抛物线 y=ax2+2ax−3a （a＞0）与x轴交于A，B，顶点为点D，把抛物线在x轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D′，点A对应点C，连接DD′，CD′，DC，当△CDD′是直角三角形时，a的值为（ ）
A．12 或 32B．13 或 32C．13 或 33D．12 或 33
二、填空题（每题2分，共10分）
11．若直线AB：y=23x+4与x轴、y轴分别交于点B和点A，直线CD：y=−12x+2与x轴、y轴分别交于点D和点C，线段AB与CD的中点分别是M，N，点P为x轴上一动点．
(1)点M的坐标为 ；
(2)当PM+PN的值最小时，点P的坐标为 ．
12．如图，矩形ABCD中，AB=2cm，AD=5cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t（s）．连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF，则△DEF面积最小值为 ．
13．如图，一次函数y=−2x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在射线BA上(不与A、B重合)，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足为C、D.当矩形OCPD的面积为1时，点P的坐标为 ．
14．如图，点A，B在反比例函数y=1x(x>0)的图象上，点C，D在反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，AC∥BD∥y轴，已知点A，B的横坐标分别为2，4，△OAC与△ABD的面积之差为1，则k的值为 ．
15．如图，点E是边长为8的正方形ABCD的边AD上一动点(端点A，D除外)，以CE为边作正方形CEFG，EF与AB交于点H，连接BE，BF，BG．下列四个结论：①BG＝DE；②∠FAB＝∠FEB；③当点E为AD中点时，H也是EF的中点；④当点E在AD边上运动时，AH有最大值为2．其中正确的结论是 (填序号)．
三、综合题（共4题，共33分）
16． 如图①，在矩形ABCD中，AB=6， AD=10，点E在边BC上，且BE=4，动点P从点E出发，沿折线EB-BA-AD以每秒2个单位长度的速度运动．作∠PEQ=90°，EQ交边AD或边DC于点Q，连接PQ．当点Q与点C重合时，点P停止运动、设点P的运动时间为t秒．(t>0)
（1）当点P和点B重合时，线段PQ的长为
（2）当点Q和点D重合时，求sin∠PQE；
（3）当点P在边AD上运动时， △PQE的形状始终是等腰直角三角形，如图②，请说明理由；
（4）作点E关于直线PQ的对称点F ，连接PF、QF ，当四边形EPFQ和矩形ABCD重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出t的取值范围．
17． 如图①，一次函数y=12x+2的图象与y轴交于点A，点B是反比例函数y=6x的图象与一次函数y=12x+2的图象在第一象限的交点．
（1）求点B的坐标；
（2）点C是反比例函数y=6x在第一象限内的图象上有别于B的另外一点，过点C作CD∥AB交x轴于点D．在x轴正半轴上是否存在一点D，使四边形ABCD是平行四边形，如果存在，请确定AD的长度，如果不存在，请说明理由．
18．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点（点E不与端点A，C重合），且AE=CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO=OD，连接DE，DF，GE，GF．
（1）求证：四边形EDFG是正方形；
（2）当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求四边形EDFG面积的最小值．
19．如图，已知∠MON=90°，OT是∠MON的平分线，A是射线OM上一点，OA=8cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AO水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以1cm/s的速度沿ON竖直向上作匀速运动．连接PQ，交OT于点B．经过O、P、Q三点作圆，交OT于点C，连接PC、QC．设运动时间为t(s)，其中0（1）求OP+OQ的值；
（2）是否存在实数t，使得线段OB的长度最大？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（3）在点P，点Q运动过程中，四边形OPCQ的面积是否发生改变，如果变，请说明理由；如果不变，请求出四边形OPCQ的面积．
四、实践探究题（共6题，共57分）
20． 综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为am2．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若a=10，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设AB为xm，BC为ym．由矩形地块面积为8m2，得到xy=8，满足条件的(x，y)可看成是反比例函数y=8x的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到2x+y=10，满足条件的(x，y)可看成一次函数y=−2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的(x，y)就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数y=8x(x>0)的图象与直线l1：y=−2x+10的交点坐标为(1，8)和 ▲ ，因此，木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB=1m，BC=8m；或AB= ▲ m，BC= ▲ m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
（2）【类比探究】
若a=6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
（3）【问题延伸】
当木栏总长为am时，小颖建立了一次函数y=−2x+a．发现直线y=−2x+a可以看成是直线y=−2x通过平移得到的，在平移过程中，当过点(2，4)时，直线y=−2x+a与反比例函数y=8x(x>0)的图象有唯一交点．
请在图2中画出直线y=−2x+a过点(2，4)时的图象，并求出a的值．
（4）【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y=−2x+a与y=8x图象在第一象限内交点的存在问题”．
若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范围．
21．
（1）【探究·发现】正方形的对角线长与它的周长及面积之间存在一定的数量关系．已知正方形ABCD的对角线AC长为a，则正方形ABCD的周长为 ，面积为 （都用含a的代数式表示）．
（2）【拓展·综合】如图1，若点M、N是某个正方形的两个对角顶点，则称M、N互为“正方形关联点”，这个正方形被称为M、N的“关联正方形”．
①在平面直角坐标系xOy中，点P是原点O的“正方形关联点”．若P(3，2)，则O、P的“关联正方形”的周长是 ▲ ；若点P在直线y=−x+3上，则O、P的“关联正方形”面积的最小值是 ▲ ．
②如图2，已知点A(−32，32)，点B在直线l：y=−34x+6上，正方形APBQ是A、B的“关联正方形”，顶点P、Q到直线l的距离分别记为a和b，求a2+b2的最小值．
22．如图，在平面直角坐标系中，点A(−2，2)，B(−6，6)为Rt△ABC的顶点，∠BAC=90°，点C在x轴上．将△ABC沿x轴水平向右平移a个单位得到△A'B'C'，A，B两点的对应点A'，B'恰好落在反比例函数y=kx(x>0)的图象上．
（1）求a和k的值；
（2）作直线l平行于A'C'且与A'B'，B'C'分别交于M，N，若△B'MN与四边形MA'C'N的面积比为4：21，求直线l的函数表达式；
（3）在（2）问的条件下，是否存在x轴上的点P和直线l上的点Q，使得以P，Q，A'，B'四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．
23．综合与实践
【问题提出】
某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，CD=2，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF.设点P的运动时间为ts，正方形DPEF的面积为S，探究S与t的关系.
（1）【初步感知】如图1，当点P由点C运动到点B时，
①当t=1时，S= ；
②S关于t的函数解析式为 .
（2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象.请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长.
（3）【延伸探究】若存在3个时刻t1，t2，t3(t1①t1+t2=▲；
②当t3=4t1时，求正方形DPEF的面积.
24． 定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．
（1）理解应用：如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是垂等四边形，点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，3），则点B的坐标为 ．
（2）综合探究：如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，C，D两点在该抛物线上．若以A，B，C，D为顶点的四边形是垂等四边形．设点C的横坐标为m，点D的横坐标为n，且m＞n，求m的值．
25．用一条直线截三角形的两边，若所截得的四边形对角互补，则称该直线为三角形第三条边上的逆平行线．如图1，DE为△ABC的截线，截得四边形BCED，若∠BDE+∠C＝180°，则称DE为△ABC边BC的逆平行线．
如图2，已知△ABC中，AB＝AC，过边AB上的点D作DE∥BC交AC于点E，过点E作边AB的逆平行线EF，交边BC于点F．
（1）求证：DE是边BC的逆平行线．
（2）点O是△ABC的外心，连接CO．求证：CO⊥FE．
（3）已知AB＝5，BC＝6，过点F作边AC的逆平行线FG，交边AB于点G．
①试探索AD为何值时，四边形AGFE的面积最大，并求出最大值；
②在①的条件下，比较AD+BG ▲ AB大小关系．（“＜、＞或＝”）
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】∵将直线y=−2x沿x轴向右平移m(m>0)个单位，
∴平移后的直线解析式为y=−2（x−m）=−2x+2m，
∵平行四边形OABC，且点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（1，2），点O的坐标为（0，0），
∴点B的坐标为（3，2），
∵平移后的直线与边AB有交点，
①当直线过点A时，
∴-4+2m=0，
解得：m=2，
②当直线过点B时，
∴-6+2m=2，
解得：m=4，
∴2≤m≤4，
故答案为：D.
【分析】先求出点B的坐标，再分类讨论：①当直线过点A时，②当直线过点B时，再将点A、B的坐标分别代入y=−2（x−m）=−2x+2m求出m的值，最后求出m的取值范围即可.
2．【答案】D
【解析】【解答】解： ∵ 四边形 ABCD 是矩形， AD=3 ， CD=4 ，
∴AB=4，BC=3，AC=AD2+CD2=5，∠B=90° ，
∴AC+AD=8 ，
由题意，分以下两种情况：
（1）当点 P 在 CA 上，即 0≤x≤5 时，
在 Rt△ABC 中， sin∠ACB=ABAC=45，cs∠ACB=BCAC=35 ，
∵ 在 Rt△CPE 中， CP=x ， PE⊥BC ，
∴CE=CP⋅cs∠PCE=35x，PE=CP⋅sin∠PCE=45x ，
∴y=12CE⋅PE=625x2 ；
（2）如图，当点 P 在 AD 上，即 5∵ 四边形 ABCD 是矩形， PE⊥BC ，
∴ 四边形 CEPD 是矩形，
∴PE=CD=4，CE=DP=AC+AD−(AC+AP)=8−x ，
∴y=12CE⋅PE=−2x+16 ，
综上， y 与 x 间的函数关系式为 y=625x2(0≤x≤5)−2x+16(5观察四个选项可知，只有选项D的图象符合，
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理求出AC的长，即可求出AC+AD的长；再分情况讨论：设CP=x，当点 P 在 CA 上，即 0≤x≤5 时，利用锐角三角函数的定义求出sin∠ACB和cs∠ACB的值，再利用解直角三角形表示出CE，PE的长；然后利用三角形的面积公式可得到y与x之间的函数解析式；当点 P 在 AD 上，即 53．【答案】B
【解析】【解答】解： ∵AP为⊙O的切线，
∴OA⊥AP，且OA=1，
∴当OP最小时，AP最小，
∴OP垂直直线y=−x+2时，OP最小，
当x=0时，y=2；当y=0时，有-x+2=0，解得：x=2，
∴直线y=−x+2与坐标轴的交点坐标为M（0，2）、N（2，0），
∴OM=ON=2，MN=2OM=22，
∵OP⊥MN，
∴OP=12MN=2，
∴AP=OP2−OA2=1.
故答案为：B.
【分析】根据切线的性质可得△AOP是直角三角形，当OP最小时，AP最小，抓住OP垂直直线y=−x+2时，OP最小，通过求一次函数与坐标轴交点坐标，结合等腰直角三角形的性质计算。
4．【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形DEOF、四边形ACOB都是正方形，
∴∠EFO=∠AOF=45°，
∴EF∥AO，
∵平行线之间的距离处处相等，
∴S△AEF=S△EOF，
∵点D在反比例函数y=−4x图像上，且四边形DEOF是正方形，
∴点D坐标为（-2，2），
∴OE=OF=2，
∴S△AEF=S△EOF=12×2×2=2.
故答案为：A.
【分析】先利用正方形的性质得出EF∥AO，进而得到S△AEF=S△EOF，再结合反比例函数的性质即可求得 △AEF的面积.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：①∵BN//AM，
∴△BCN∽△ACM，
∵MN=NC，
∴SBCN：S△ACM=(CNCM)2=(12)2=14，
而S△BCN=1，
∴S△ACM=4，
∵OM=MN=NC，
∴OM=12MC，
∴S△AOM=12S△ACM=2，
∵S△AOM=12|k1|，
∴12|k1|=2，
∵k1>0，
∴k1=4，
②设A(x1，k2x1)，B(x2，k2x2)，
由图可知：ON=−x2，BN=k2x2，OM=−x1，AM=k2x1，
∵AC=2CM，
∴CM=13AM=k23x1，
∴S阴=S△BON−S△COM=12⋅ON⋅BN−12⋅OM⋅CM=2，
即12(−x2)⋅k2x2−12(−x1)⋅k23x1=2，
解得k2=−6，
∴k1−k2=4−(−6)=10．
故答案为：C．
【分析】先证明△BCN∽△ACM，根据相似三角形的性质得到OM=12MC进而得到，S△AOM=12S△ACM=2，结合S△AOM=12|k1|求出k1，设A(x1，k2x1)，B(x2，k2x2)，可得，ON=−x2，BN=k2x2，OM=−x1，AM=k2x1，根据S阴=S△BON−S△COM=12⋅ON⋅BN−12⋅OM⋅CM=2，求出k2的值，从而得出结论.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：∵ΔABC是等腰直角三角形，DE//AB，
∴ΔDEC是等腰直角三角形，
设DE=CE=x，则AE=AC−CE=22BC−x=42−x，
∴SΔBDE=SΔABC−SΔABE−SΔCDE
=12×42×42−12×(42−x)×42−12x2
=−12x2+22x
=−12(x−22)2+4，
∵−12<0，
∴x=22时，SΔBDE最大，最大值是4，
故答案为：B.
【分析】由题意易得三角形DEC是等腰直角三角形，设DE=EC=x，由线段的构成AE=AC-CE可将AE用含x的代数式表示出来，然后根据图形的构成S△BDE=S△ABC-S△ABE-S△CDE可将S△BDE与x之间的关系式表示出来，并配成顶点式，根据二次函数的性质可求解.
7．【答案】C
【解析】【解答】
解：连接AC，∠OB于D
∵ 正方形OABC
∴ CA⊥BO，CD=AD=OD
∵ 点A，C在抛物线 y=14x2 上
∴ C，A关于y轴对称
∴ 设A（m，m）
∴y=14m2=m
解得m=4或m=-4（舍）
∴A（4，4）
故答案为：C.
【分析】本题考查抛物线的图象性质和正方形的性质，熟悉抛物线的对称性和正方形对角线相等、垂直且互相平分的性质是解题关键。由“正方形OABC”得CD=AD=OD，根据抛物线 y=14x2 的对称性得C，A关于y轴对称，设A（m，m）代入抛物线得m=4，可得A（4，4）.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：如图所示：
过D作DF⊥x轴于点F，过C作CH⊥x轴于点H，CE⊥y轴于点E.
∵直线y=-3x+3交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A(1，0)，B(0，3)，
∴OA=1，OB=3.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC，∠BAD=∠CBA=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OAB+∠FAD=90°，
∴∠OBA=∠FAD，
又∵∠BOA=∠AFD，
∴△BOA≌△AFD（AAS）
∴OB=AF=3，OA=DF=1，
∴点D坐标（4，1）
同理可证△BOA≌△CEB（AAS）
∴OB=CE=3，OA=BE=1，
∴点C坐标（3，4）
∵点D在反比例函数y=kx上，
∴k=4，y=4x.
∵正方形ABCD沿y轴向下平移a个单位长度，可以使得顶点C落在双曲线上，
∴平移后点C对应的点坐标为（3，4-a）
代入y=4x得4−a=43
∴a=83.
故答案为：A.
【分析】过D作DF⊥x轴于点F，过C作CH⊥x轴于点H，CE⊥y轴于点E，结合正方形ABCD可证得△BOA≌△AFD和△BOA≌△CEB，可得BE=OA=DF，EC=OB=AF，从而可得点D和C的坐标D（4，1），C（3，4），根据点D坐标求出反比例函数表达式，点C向下平移后的点（3，4-a）在反比例函数图象上，代入即可求出a的值.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：在正方形ABCD中，∠B=∠C=90°，
∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∴∠CMN+∠AMB=90°．
在Rt△ABM中，∠BAM+∠AMB=90°，
∴∠BAM=∠CMN，
∴Rt△ABM∽Rt△MCN；
设BM=x，
∴ABMC = BMCN ，
即 88−x = xCN ，
整理得：CN=﹣ 18 x2+x=﹣ 18 （x﹣4）2+2，
∴当x=4时，CN取得最大值2，
∵AN= AD2+DN2 = 82+DN2 ，
∴当DN取得最小值、CN取得最大值，即DN=6时，AN最小，
则AN= 82+62 =10，
故答案为：C．
【分析】通过相似三角形对应边成比例，写出关系式来，然后表示出CN，二次函数配方法求最值。
10．【答案】A
【解析】【解答】解：∵抛物线 y=ax2+2ax−3a （a＞0）与x轴交于A，B，
∴y=0，ax2+2ax−3a=0
∵a＞0
x2+2x−3=0
解得 x=−3，x=1
∴点A（-3，0），点B（1，0），
∵点B为对称中心，
∴点C的横坐标为：1+（1+3）=5，
∴点C（5，0），
∴抛物线 y=a(x2+2x)−3a=a(x+1)2−4a ，
∴D（－1，－4a），
点D与点D′关于点B对称，
点D′的横坐标为1+（1+1）=3，纵坐标为4a，
∴D′（3，4a），
DD′= (3+1)2+(4a+4a)2=16+64a2 ，CD= (5+1)2+(0+4a)2=36+16a2 ，
CD′= (5−3)2+(0−4a)2=4+16a2 ，
∵△CDD′是直角三角形，
当∠CD′D=90°，
根据勾股定理，CD′2＋DD′2＝CD2，即
4+16a2+16+64a2=36+16a2 ，
解得 a=±12 ，
∵a＞0，
∴a=12 ；
当∠DCD′=90°，
根据勾股定理，CD′2＋CD2＝DD′2，即
4+16a2+36+16a2=16+64a2 ，
解得 a=±32 ，
∴a=32 ，
∴综合得a的值为12或32.
故答案为：A.
【分析】令y=0，求出x，可得点A、B的坐标，根据点B为对称中心可得点C的坐标，进而得到点D、D′的坐标，由两点间距离公式表示出DD′、CD、CD′，然后分∠CD′D=90°，∠DCD′=90°，结合勾股定理求出a的值即可.
11．【答案】(−3，2)；(13，0)
【解析】【解答】解：（1） ∵ x=0时，y=4；y=0时， 23x+4=0，解得：x=-6，
∴ A（0，4），B（-6，0），
∵M是线段AB的中点，
∴M（-3，2）.
故答案为：（-3，2）.
（2）作点M关于x轴的对称点M'，连接M'N，交x轴于点P'，此时PM+PN=P'M'+M'N=M'N， PM+PN的值最小 。
∵ x=0时，y=2；y=0时， −12x+2=0，解得：x=4，
∴ C（0，2），D（4，0），
∵N是线段CD的中点，
∴N（2，1），
由对称性可得M'(−3，−2)，
设直线M'N的解析式为y=kx+b，则
.−3k+b=−22k+b=1，
解得：k=35b=−15，
∴直线M'N的解析式为y=35x−15，
当y=0时，有35x−15=0，
解得：x=13，
∴点P的坐标为(13，0) 。
故答案为： (13，0) 。
【分析】（1）分别令x=0求y，y=0求x，再结合中点坐标公式据此计算即可；
（2）根据轴对称性找到点P的位置，先求出M关于x轴对称点的坐标：横坐标不变，纵坐标变为相反数，再求直线PN的解析式，计算点P的坐标。
12．【答案】32
【解析】【解答】解：设△PCD的面积为y
由题意可得：AP=t，PD=5-t
∴y=12CD·PD=12×2×5−t=5−t
∵四边形EFPC是正方形
∴S△DEF+S△PDC=12S正方形EFPC
∵PC2=PD2+CD2
∴PC2=22+5−t2=t2−10t+29
∴S△DEF=12t2−10t+29−5−t=12t−42+32
当t=4是，△DEF的面积最小，且最小值为32
故答案为：32
【分析】设△PCD的面积为y，由题意可得：AP=t，PD=5-t，根据正方形面积可得y关于t的二次函数，再根据S△DEF+S△PDC=12S正方形EFPC，由勾股定理列出二次函数，再根据二次函数的性质即可求出答案.
13．【答案】(1，1)或(12，2)或(3+174，3−172)
【解析】【解答】解：根据题意，P在射线BA上且P不与A、B重合，
则x>0，y<3且y≠0
设P的坐标为(x，-2x+3）
x当−2x+3>0
x×−2x+3=1
整理得：−2x2+3x−1=0
解得x1=1，x2=12
代入x=1，-2x+3=1
代入x=12，-2x+3=2
即P的坐标为(1，1)或（12，2）当−2x+3<0
x×−2x+3=−1
整理得：−2x2+3x+1=0
解得x3=3+174，x4=3−174（x4<0，故舍去）
代入x=3+174，−2x+3=3−172
P的坐标为(x=3+174，3−172)
综上，
故答案为： (1，1)或(12，2)或(3+174，3−172)
【分析】一次函数的图象是一条直线，P在射线BA上且P不与A、B重合，说明P点的横坐标要大于0，纵坐标可能在0与3之间，也可能比0小，有了这个定性的认识之后，再定量计算；设出P点坐标，根据面积是1计算出x值，再求y值，对于不大于0的x值要舍去。
14．【答案】5
【解析】【解答】解：∵AC∥BD∥y轴，点A，B的横坐标分别为2，4，
∴点C、D的横坐标分别为2，4，
∴A2，12，B4，14，C2，k2，D4，k4，
∴AC=k−12，BD=k−14，
∴S△AOC=12AC×2=k−12，S△ABD=12BD×2=k−14，
∴k−12−k−44=1，
∴k=5，
故答案为：5.
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到A2，12，B4，14，C2，k2，D4，k4，进而得到AC、BD的长度，然后计算出△OAC与△ABD的面积，最后根据"△OAC与△ABD的面积之差为1"，据此列出方程即可求解.
15．【答案】①，③，④
【解析】【解答】解：(1)∵四边形ABCD，CEFG均为正方形
∴CD＝CB，CE＝CG，∠BCD＝∠GCE＝90°，∴∠BCD－∠BCE＝∠GCE－∠BCE
∴∠BCG＝∠DCE，∴△BCG≌△DCE，∴BG＝DE．故①正确
(2)作FM⊥AG于M，连接EG
由(1)可得∠GBC＝∠EDC＝90°，∴A，B，G三点共线
∵∠FGM＝90°－∠CGB，∠BCG＝90°－∠CGB，∴∠FGM＝∠GCB，又∠FMG＝∠GBC，FG＝CG
∴△FGM≌△CGB，∴FM＝GB，GM＝BC＝AB，∴GM－BM＝AB－BM，即GB＝AM，∴FM＝AM
∴∠FAB＝45°，∠FEB<∠FEG＝45°，∴∠FAB>∠FEB．故②错误
(3)∵点E为AD中点，∴AE=12AD=12CD
∵∠AEH＋∠AHE＝90°，∠AEH＋∠DEC＝90°，∴∠AHE＝∠DEC
又∠HAE＝∠EDC＝90°，∴△AEH∽△DCE，∴EHCE=AEDC=12
∴EHCE=EHEF=12．．H是EF的中点．故③正确
(4)∵△AEH∽△DCE∴AHDE=AEDC，∴AH=AE⋅DEDC
设AE＝x，则DE＝AD－AE＝8－x，∴AH=x(8−x)8=−18(x−4)2+2，
当x＝4时，AH有最大值为2．故④正确
综上可知：正确的结论有①，③，④．
【分析】根据正方形的性质证三角形BCG与三角形DCE全等可判定①，作FM⊥AG，连接EG，证三角形FGM和三角形CGB全等可判定②，证三角形AEH和三角形DCE相似可判定③，通过相似三角形地应边成比例可得AH的函数关系，利用二次函数的性质可判定④．
16．【答案】（1）213
（2）解： sin∠PQE=21313
（3）解：如图所示，过P作PH⊥BC于H，
可知PH=AB=6，
∵EC=BC-BE=10-4=6
与（2）同理可证∠1=∠3
∴∠1=∠3PH=EC∠PHE=∠ECQ△PHE≅△ECQ
∴PE=EQ
∴三角形PQE始终是等腰直角三角形
（4）解：0【解析】【解答】解：（1）根据题意， 在矩形ABCD中，∠PEQ=90°
∴AB=QE=6
∴PQ=BE2+QE2=42+62=52=213
故填：213
（2） 当点Q和点D重合时，如图
∵∠PED=90°
∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°
∴∠1=∠3
又∵∠PBE=∠ECD
∴△PBE~△ECD
∴PBEC=BCCD即PB6=46
∴PB=4
由勾股定理得PE=PB2+BE2=42+42=42
AP=AB-PB=6-4=2
PD=AD2+AP2=102+22=226
∴sin∠PQE=PEPD=42226=21313
故填：sin∠PQE=21313
(4)当P在BE上时，如图
∵四边形EPFQ是轴对称图形
∴QE=QF=6，PE=PF
AF=QF2−AQ2=62−42=25
∴BF=AB−AF=6−25
PE=2t ，PB=4-2t，
根据勾股定理
BF2+PB2=PF2=PE2，即6−252+4−2t2=2t2
解得t=9−352
∴0当P在AB上时，F、A点重合时，四边形EFPQ是轴对称
PB=2t-BE=2t-4
PE=AP=AB-PB=6-(2t-4)=10-2t
根据勾股定理
BE2+PB2=PF2=PE2，即42+2t−42=10−2t2
解得t=176
当P在AD上时，F、D点重合、Q、C点重合时，四边形EFPQ是轴对称
此时2t=4+6+4=14
解得t=7
综上， 当四边形EPFQ和矩形ABCD重叠部分图形为轴对称四边形时
0故填：0【分析】（1）理解题意，根据勾股定理计算即可；（2）正确找到如图的位置关系，根据正弦函数定义求PE、PQ，求取过程中借助角的等量代换、相似三角形的性质及勾股定理；（3）直角是已知条件，只有证明等腰即可，同（2）一样用到角的等量代换找到全等条件，通过判定三角形全等得到等边，即可证明是等腰直角三角形；（4）难点在于还原整个动态过程，找到符合条件时的P、F点的位置情况，P位于三个线段内的情况分别讨论，根据轴对称PE=PF作等量关系，分别求解。
17．【答案】（1）解：联立反比例函数y=6x与一次函数y=12x+2，
则y=6xy=12x+2，
解得x=2或x=−6(舍)，
当x=2时，y=3，
∴B(2,3)；
（2）解：存在，理由如下：
对于y=12x+2，令x=0,则y=2，
∴A(0,2)；
∵CD∥AB，
∴可设直线CD的解析式为：y=12x+b，
令y=0，则0=12x+b，
解得x=−2b，
∴D(−2b,0)；
若四边形ABCD是平行四边形，
∵点A(0,2)向右平移了−2b个单位,向下平移2个单位得到点D(−2b,0)，
∴点B(2,3)向右平移−2b个单位,向下平移2个单位得到点C，
∴C(2−2b,1)，
将点C(2−2b,1)代入反比例函数y=6x解析式中，
∴2−2b=6，
解得b=−2；
∴D(4,0)，
∴AD=22+42=25.
∴存在点D(4,0),使得四边形ABCD是平行四边形,此时AD=25.
【解析】【分析】（1）联立反比例函数y=6x与一次函数y=12x+2 ，解方程组即可求得点B的坐标.
（2）先利用直线AB的表达式求出OA的长， 若使四边形ABCD是平行四边形， 则AB∥CD，进而可得 直线CD的解析式为：y=12x+b， 得出点D的坐标，根据平行得出点A移动到点D的移动方法，以及点B移动到点C的移动方法，再把点C坐标代入反比例函数解析式中求出b的值，进而得到点D的坐标，再利用勾股定理即可求出AD的长.​​​​​​
18．【答案】（1）证明：连接CD，如图1所示．
∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴∠A=∠DCF=45°，AD=CD．
在△ADE和△CDF中， AE=CF∠A=∠DCFAD=CD ，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF．
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，
∴△EDF为等腰直角三角形．
∵O为EF的中点，GO=OD，
∴GD⊥EF，且GD=2OD=EF，
∴四边形EDFG是正方形
（2）解：过点D作DE′⊥AC于E′，如图2所示．
∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴DE′= 12 BC=2，AB=4 2 ，点E′为AC的中点，
∴2≤DE＜2 2 （点E与点E′重合时取等号）．
∴4≤S四边形EDFG=DE2＜8．
∴当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4．
【解析】【分析】（1）连接CD，根据等腰直角三角形的性质可得出∠A=∠DCF=45°、AD=CD，结合AE=CF可证出△ADE≌△CDF（SAS），根据全等三角形的性质可得出DE=DF、ADE=∠CDF，通过角的计算可得出∠EDF=90°，再根据O为EF的中点、GO=OD，即可得出GD⊥EF，且GD=2OD=EF，由此即可证出四边形EDFG是正方形；（2）过点D作DE′⊥AC于E′，根据等腰直角三角形的性质可得出DE′的长度，从而得出2≤DE＜2 2 ，再根据正方形的面积公式即可得出四边形EDFG的面积的最小值．
19．【答案】（1）解：由题可得：OP=8−t，OQ=t．
∴OP+OQ=8−t+t=8(cm)．
（2）解：当t=4时，线段OB的长度最大．
如图①，过B作BD⊥OP，垂足为D，则BD∥OQ．
∵OT平分∠MON，
∴∠BOD=∠OBD=45°，
∴BD=OD，OB=2BD．
设线段BD的长为x，则BD=OD=x，OB=2BD=2x，PD=8−t−x．
∵BD∥OQ，
∴△PDB∽△POQ，
∴PDOP=BDOQ，
∴8−t−x8−t=xt，
解得：x=8t−t28．
∴OB=2⋅8t−t28=−28(t−4)2+22．
∴当t=4时，线段OB的长度最大，最大为22cm．
（3）解：∵∠POQ=90°，
∴PQ是圆的直径．
∴∠PCQ=90°．
∵∠PQC=∠POC=45°，
∴ΔPCQ是等腰直角三角形．
∴SΔPCQ=12PC⋅QC=12×22PQ⋅22PQ=14PQ2．
在RtΔPOQ中，PQ2=OP2+OQ2=(8−t)2+t2．
∴四边形OPCQ的面积S=SΔPOQ+SΔPCQ=12OP⋅OQ+14PQ2
=12t(8−t)+14[(8−t)2+t2]
=4t−12t2+12t2+16−4t=16．
∴四边形OPCQ的面积为16cm2．
【解析】【分析】（1）由题可得=OP=8−t，OQ=t，进而相加即可求解；
（2）过B作BD⊥OP，垂足为D，则BD∥OQ，进而根据角平分线的性质得到∠BOD=∠OBD=45°，再根据等腰直角三角形的性质得到BD=OD，OB=2BD，设线段BD的长为x，则BD=OD=x，OB=2BD=2x，PD=8−t−x．根据相似三角形的判定与性质结合二次函数的最值即可求解；
（3）先根据圆周角定理得到∠PCQ=90°，进而根据等腰直角三角形的性质结合三角形的面积得到SΔPCQ=14PQ2，再根据勾股定理求出PQ2=OP2+OQ2=(8−t)2+t2，进而运用“四边形OPCQ的面积S=SΔPOQ+SΔPCQ”代入即可求解。
20．【答案】（1）解：(4，2)；4；2
（2）解：不能围出．
∵木栏总长为6m，
∴2x+y=6，则y=−2x+6，
画出直线y=−2x+6的图象，如图中l2所示：
∵l2与函数y=8x图象没有交点，
∴不能围出面积为8m2的矩形；
（3）解：如图中直线l3所示，l3即为y=−2x+a图象，
将点(2，4)代入y=−2x+a，得：4=−2×2+a，
解得a=8；
（4）8≤a≤17
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
联立反比例函数与直线l1的解析式得：y=8xy=−2x+10
解得：x=1y=8或x=4y=2
∴反比例函数与直线l1的交点坐标为（1，8）和（4，2）
当木栏总长为10m时，能围成矩形地块，分别为：
AB=1m，BC=8m.或AB=4m，BC=2m
故答案为：（4，2），4，2
（4）根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块， y=−2x+a与y=8x图象在第一象限内交点的存在问题，
即方程−2x+a=8x(a>0)有实数根，
整理得：2x2−ax+8=0，
∴Δ=(−a)2−4×2×8≥0，
解得：a≥8，
把x=1代入y=8x得：y=81=8，
∴反比例函数图象经过点(1，8)，
把y=1代入y=8x得：1=8x，解得：x=8，
∴反比例函数图象经过点(8，1)，
令A(1，8)，B(8，1)，过点A(1，8)，B(8，1)分别作直线l3的平行线，
由图可知，当y=−2x+a与y=8x图象在点A左边，点B右边存在交点时，满足题意；
把(8，1)代入y=−2x+a得：1=−16+a，
解得：a=17，
∴8≤a≤17．
【分析】（1）联立反比例函数与直线l1的解析式，求出交点坐标，即可求出答案.
（2）根据a=6得出y=−2x+6，画出一次函数的图象，观察是否与反比例函数图象有交点，若有交点，则能围成，否则，不能围成.
（3）过点（2，4）作l1的平行线l3：y=−2x+a的图象，将点（2，4）代入直线方程即可求出答案.
（4）根据存在交点，得出方程−2x+a=8x(a>0)有实根，根据判别式得出a≥8，再得出反比例函数图象经过点A（1，8），B（8，1），则当y=−2x+a与y=8x图象在点A左边，点B右边存在交点时，满足题意，根据函数图象即可求出答案.
21．【答案】（1）22a；a22
（2）解：226；94
②如图，过点P作PM⊥l于M，过点Q作QN⊥l于N，
∴∠PMB=∠QNB=90°，
∵∠MPB+∠PBM=90°，∠PBM+∠QBN=90°，
∴∠MPB=∠QBN，
∵PB=QB，
∴△BPM≌△QBN(AAS)，
∴BM=QN，
即PM=a，BM=b，
在Rt△BPM中，BP2=BP2+BM2=a2+b2，
在Rt△ABP中，AB2=BP2+AP2=2BP2，
∴当AB最小时，BP最小，a2+b2最小，
设直线AB为y=kx+b，
∵AB⊥l，
∴k=43，将点A(−32，32)代入，可得y=43x+72，
联立，得：y=−34x+6y=43x+72，解得，x=65y=5110，
此时两直线交点B为(65，5110)，AB2=(65+32)2+(5110−32)2=814，
∴BP2=814×12=818，
即a2+b2=818．
【解析】【解答】解：（1）如图所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∴AB=BC=CD=AD=AC2=2AC2=2a2，
∴正方形ABCD的周长为：4×2a2=22a，
故答案为：22a；
∵AB=BC=CD=AD=AC2=2AC2=2a2，
∴面积为：(2a2)2=a22，
故答案为：a22；
（2）①∵P(3，2)，
∴OP=32+22=13，
∴由上题可知，此时的周长为22×13=226，
故答案为：226；
若点P在直线y=−x+3上，
由“垂线段最短可知，
当OP垂直于直线y=−x+3时，OP最短，
此时O、P的“关联正方形”的面积最小，
此时P(32，32)，OP=322，
∴O、P的“关联正方形”的面积最小值为32×32=94，
故答案为：94；
【分析】（1）根据正方形的性质求解即可；
（2）①当OP垂直于直线y=−x+3时，OP最短，先求出P(32，32)，OP=322，再利用“关联正方形”的性质求解即可；
②过点P作PM⊥l于M，过点Q作QN⊥l于N，先求出直线AB的解析式，再联立方程组y=−34x+6y=43x+72求出点B的坐标，再利用勾股定理求出AB2的值，即可可得BP2，从而得到a2+b2=818。
22．【答案】（1）解：∵将△ABC沿x轴水平向右平移a个单位得到△A'B'C'，点A(−2，2)，B(−6，6)，
∴点A'的坐标为(−2+a，2)，点B'的坐标为(−6+a，6)，
∵点A'，B'正好落在第一象限反比例函数y=kx(x>0)的图象上．
∴k=(−2+a)⋅2=(−6+a)⋅6，解得：a=8，k=12．
（2）解：由（1）可得A'的坐标为(6，2)，点B'的坐标为(2，6)，
易求得直线A'B'的表达式为y=−x+8，
∵直线l平行于A'C'且∠B'A'C'=∠BAC=90°，∴可设直线l的表达式为y=x+m，
∵MN∥A'C'，∴△B'MN∽△B'A'C'，∵△B'MN与四边形MA'C'N的面积比为4：21，
∴△B'MN与△B'A'C'的面积比为4：25，∴B'MB'A'=25，∴B'MMA'=23，
过M作y轴的平行线ME，过A'，B'分别作ME的垂线，垂足分别为F，E，
则B'EFA'=EMFM=B'MMA'=23，∴B'E=EM=85，FA'=MF=125，
∴点M的坐标为(185，225)，∴直线l的表达式为y=x+45．
（3）解：如图，P1(−445，0)，Q1(−245，−4)，P2(365，0)，Q2(165，4)，P3(45，0)，Q3(365，8)．
【解析】【解答】（3）设点P、Q的坐标分别为（x，0），（m，m+45），
①当A'B'为对角线时，由中点坐标公式可得：6+2=x+m2+6=m+45，解得：m=365x=45，
∴P1(45，0)，Q1(365，8)
②当A'P是对角线时，由中点坐标公式可得：6+x=2+m2=m+45，解得：m=65x=−145，
∴P2(−145，0)，Q2(65，2)
③当A'P是对角线时，由中点坐标公式可得：m+6=2+x2+m+45=6，解得：m=165x=365，
∴P3(365，0)，Q3(165，4)，
综上，P、Q的坐标为P1(45，0)，Q1(365，8)或P2(−145，0)，Q2(65，2)或P3(365，0)，Q3(165，4)，
故答案为：P1(45，0)，Q1(365，8)或P2(−145，0)，Q2(65，2)或P3(365，0)，Q3(165，4).
【分析】（1）先求出 点A'的坐标为(−2+a，2)，点B'的坐标为(−6+a，6)， 再利用反比例函数图象上点坐标的特征可得k=(−2+a)⋅2=(−6+a)⋅6，再求解即可；
（2）过M作y轴的平行线ME，过A'，B'分别作ME的垂线，垂足分别为F，E，则B'EFA'=EMFM=B'MMA'=23，求出 B'E=EM=85，FA'=MF=125， 可得点M的坐标，再利用待定系数法求出直线解析式即可；
（3）分类讨论：①当A'B'为对角线时，②当A'P是对角线时，③当A'P是对角线时，再利用中点坐标公式求解即可.
23．【答案】（1）解：3；S=t2+2
（2）解：由图2可知当点P运动到B点时，S=DP2=6，
∴t2+2=6，
解得t=2，
∴当t=2时，S=6，
由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为(4，2)，
∴可设S关于t的函数解析式为S=a(t−4)2+2，
把(2，6)代入S=a(t−4)2+2中得：6=a(2−4)2+2，
解得a=1，
∴S关于t的函数解析式为S=(t−4)2+2=t2−8t+18(2≤t≤8)，
在S=t2−8t+18中，当S=t2−8t+18=18时，解得t=8或t=0，
∴AB=8−2=6；
（3）解： ① 4；
由（3）①可得t3=t1+4，
∵t3=4t1，
∴4t1=t1+4，
∴t1=43，
∴S=t2+2=(43)2+2=349．
【解析】【解答】解：（1） ① 当t=1时，点P在BC上，且CP=1，
∵∠C=90°，CD=2，由勾股定理得：DP=CP2+CD2=3，
∴S=DP2=3，
故答案为：3；
②∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在BC匀速运动，
∴CP=t，
在△CPD中，∠C=90°，CD=2，由勾股定理得：DP2=CP2+CD2=t2+2，
∴S=DP2=t2+2；
故答案为：S=t2+2
（3） ①∵点P在BC上运动时， S=t2+2，点P在AB上运动时S=(t−4)2+2，
∴可知函数S=(t−4)2+2可以看作是由函数S=t2+2向右平移四个单位得到的，
设P(m1，n)，Q(m2，n)(m2>m1)是函数S=t2+2上的两点，则(m1+4，n)，(m2+4，n)是函数S=(t−4)2+2上的两点，
∴m1+m2=0，m1∴m2+m1+4=4，
∵存在3个时刻t1,t2,t3（t1∴可以看作t1=m2，t2=m1+4，t3=m2+4，
∴t1+t2=4，
故答案为：4；
【分析】（1）①当t=1时，CP=1，利用勾股定理求出DP=3，代入正方形面积公式，可得S=DP2=3；
②由题意得：CP=t，由勾股定理得DP2=t2+2，即S=DP2=t2+2；
（2）先由函数图象可得当点P运动到B点时，S=DP2=6，由此求出当t=2时，S=6，可设S关于t的函数解析式为S=a(t−4)2+2，利用待定系数法求出S=t2−8t+18，进而求出当S=t2−8t+18=18时，解方程可得答案；
（3）①根据题意可得可知函数S=(t−4)2+2可以看作是由函数S=t2+2向右平移四个单位得到的，设P(m1，n)，Q(m2，n)(m2>m1)是函数S=t2+2上的两点，则(m1+4，n)，(m2+4，n)是函数S=(t−4)2+2上的两点，由此可得m1+m2=0，m124．【答案】（1）（3，4）
（2）解：把y＝0代入y＝﹣x2+2x+3，
得﹣x2+2x+3＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），
若点C，D在x轴上方，
设AC与BD交于点E，过点E作EF⊥x轴，垂足为F，
由二次函数的对称性，且AC＝BD，AC⊥BD，
得∠EAB＝∠EBA＝45°，
∵∠AEB＝90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵AB＝4，EF⊥AB，
∴EF＝AF＝BE＝12AB＝2，
∵OA＝1，
∴OF＝1，
∴点E的坐标为（1，2），
设直线AC的解析式为y＝k1x+b1，
代入A（﹣1，0），E（1，2），
得−k1+b1=0k1+b1=2，
解得k1=1b1=1，
∴直线AC的解析式为y＝x+1，
联立y=x+1y=−x2+2x+3，
解得x=2y=3，x=−1y=0（点A的坐标，舍去），
∴m的值为2；
若点C，D在x轴下方，
同理易证直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1，
联立y=−x−1y=−x2+2x+3，
解得x=4y=−5，x=−1y=0（点A的坐标，舍去）
∴m的值为4；
综上所述，m的值为2或4．
【解析】【解答】解：（1）∵点A（4，0），点C（0，3），
∴OC=3，OA=4，
在Rt△AOC中
AC=OC2+OA2=32+42=5，
∵四边形OABC是垂等四边形，
∴AC=BO=5，AC⊥BO，
设OB与AC交于点F，过点B作BE⊥y轴于点E，
∴∠BEO=∠COA=90°
∴∠BOE+∠OCA=90°，∠CAO+∠OCA=90°，
∴∠BOE=∠CAO，
在△BEO和△COA中
∠BOE=∠CAO∠BEO=∠COAAC=BO
∴△BEO≌△COA（AAS），
∴OA=OE=4，BE=OC=3，
∴点B（3，4）
故答案为：（3，4）.
【分析】（1）利用点A，C的坐标求出OA，OC的长，利用勾股定理求出AC的长，再根据垂等四边形的定义可求出OB的长，同时可证得AC⊥BO，设OB与AC交于点F，过点B作BE⊥y轴于点E，利用余角的性质可证得∠BOE=∠CAO，再利用AAS证明△BEO≌△COA，利用全等三角形的性质可求出OE，BE的长，即可得到点B的坐标.
（2）将y=0代入函数解析式可求出对应的x的值，可得到点A，B的坐标；再分情况讨论：若点C，D在x轴上方，设AC与BD交于点E，过点E作EF⊥x轴，垂足为F，易证△ABE是等腰直角三角形，再求出点E的坐标，利用待定系数法求出直线AC的函数解析式，即可得到m的值；若点C，D在x轴下方，同理易证直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1，将此函数与二次函数联立方程组，解方程组求出对应的x，y的值，即可得到m的值；综上所述可得到符合题意的m的值.
25．【答案】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB
∵DE∥BC，
∴∠BDE+∠B＝180°．∠BDE+∠ACB＝180°．
∴DE是边BC的逆平行线．
（2）证明：如图，连接AO，
∵EF是边BA的逆平行线，
∴∠AEF+∠B＝180°，
∵∠AEF+∠FEC＝180°，
∴∠FEC＝∠B，
∵点O是△ABC的外心，
∴OA＝OC，OA平分∠BAC，
∴∠OAC＝∠OCA，∠BAO＝∠OAC，
∵∠BAO+∠B＝90°，
∴∠FEC+∠ACB＝90°，
∴CO⊥FE，
（3）解：①设FC＝x，BF＝6﹣x，S四边形AGFE＝y，
∵∠FEC＝∠B，∠FCE＝∠ACB，
∴△FEC∽△ABC．
∴∴(FCAB)2=S△EFCS△BAC，
∴S△EFC=1225x2，
同理可得S△BFG=1225(6−x)2
∴y＝S△ABC﹣S△EFC﹣S△BFG＝12﹣2425[x2+(6−x)2]＝﹣2425(x−3)2+8425，
∴当x＝3时，有AD=75，此时y有最大值，最大值为8425．
②在①的条件下CF=BF=3，连接DF，如图，
∵BF=CF，∠B=∠C，BD=CE，
∴△BDF≅△CEFSAS，
∴∠BDF=∠CEF，∠BFD=∠EFC，
∴∠BFE=∠DFC，∠AEF=∠ADF，
∵∠AEF+∠B=180°，∠A+∠BFE=180°，
∴∠C+∠ADF=180°，∠A+∠DFC=180°，
∴DF为AC边的逆平行线，
由题意得：点G与点D重合，
∴AD+BG=AB，
故答案为：=.
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到：∠B=∠ACB，即可证明DE∥BC，则∠BDE+∠B=180°．∠BDE+∠ACB=180°，即可求证；
（2）连接AO，根据逆平行线的定义易证：∠FEC=∠B，进而根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得到：∠OAC=∠OCA，∠BAO=∠OAC，进而证明：∠FEC+∠ACB=90°，即可得证；
（3）①设FC=x，BF=6−x，S四边形AGFE=y，证明△FEC∽△ABC，得到：S△EFC=1225x2，同理可得S△BFG=1225(6−x)2，则y=S△ABC−S△EFC−S△BFG=−2425x−32+8425，进而即可求解；
②由①知点F为BC的中点，连接DF，根据EF为AB边的逆平行线，可证DF为AC边的逆平行线，则点G与点D重合，进而即可求解.