2024年中考考前最后一套押题卷：数学（安徽卷）（全解全析）

这是一份2024年中考考前最后一套押题卷：数学（安徽卷）（全解全析），共37页。
1．﹣2024的绝对值是（ ）
A．2024B．﹣2024C．D．
【考点】绝对值．
【分析】根据绝对值的意义解答即可．
【解答】解：﹣2024的绝对值是2024．
故选：A．
【点评】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握．
2．某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】由三视图判断几何体．
【分析】根据三视图的定义判断即可．
【解答】解：由三视图可知这个几何体是：
故选：A．
【点评】本题考查由三视图判断几何体，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题型．
3．下列计算正确的是（ ）
A．x+x2＝x3B．（x3）2＝x5C．（﹣x）3＝﹣x3D．x6÷x2＝x3
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据同底数幂的除法法则、合并同类项法则、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可．
【解答】解：A、x与x2不能进行合并，故该项不正确，不符合题意；
B、（x3）2＝x6，故该项不正确，不符合题意；
C、（﹣x）3＝﹣x3，故该项正确，符合题意；
D、x6÷x2＝x4，故该项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4．将一块三角板ABC和一把直尺按如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D和点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F和点G，若∠ADE＝α，则∠CGF的大小是（ ）
A．90°+αB．180°﹣αC．45°+αD．135°﹣α
【考点】平行线的性质；三角形的外角性质；余角和补角．
【分析】先利用三角形的外角性质可得∠DEG＝90°+α，然后利用平行线的性质即可解答．
【解答】解：∵∠DEG是△ADE的一个外角，∠A＝90°，∠ADE＝α，
∴∠DEG＝∠A+∠ADE＝90°+α，
∵DE∥FG，
∴∠CGF＝∠DEG＝90°+α，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，余角和补角，三角形的外角性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
5．如图所示的是反比例函数y1＝（x＞0）和一次函数y2＝mx+n的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．反比例函数的解析式是y1＝
B．一次函数的解析式为y2＝﹣x+6
C．当x＞6时，y1最大值为1
D．若y1＜y2，则1＜x＜6
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】求得反比例函数解析式即可判断A；求得直线的解析式即可判断B；根据交点坐标结合图象即可判断C、D．
【解答】解：A、∵反比例函数y1＝（x＞0）的图象过点（1，5），
∴k＝1×5＝5，
∴反比例函数的解析式是y1＝，故结论错误；
B、把x＝6代入y1＝得，y＝，
∴反比例函数y1＝（x＞0）和一次函数y2＝mx+n的图象另一个交点为（6，），
把点（1，5），（6，）分别代入y2＝mx+n，
得，解得，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+，故结论错误；
C、由图象可知当x＞6时，0＜y1＜，故结论错误；
D、由函数图象知，双曲线在直线下方时x的范围是1＜x＜6，
∴若y1＜y2，则1＜x＜6，故结论正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查直线和双曲线交点的问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式、函数图象与不等式组的关系是解题的关键．
6．已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，将绕着点A顺时针旋转一定的角度后得到 ，交AB于E点，若点D在⊙O上，AO＝5EO＝5，则阴影部分的面积为（ ）
A．8B．16C．4+πD．6﹣π
【考点】扇形面积的计算；旋转的性质；圆周角定理．
【分析】根据旋转的性质和等圆的特征，可得S阴影＝S△BDE，利用△BCF∽△BAC求出BC长，即BD长，利用勾股定理求出DF，最后根据三角形面积求出阴影部分面积即可．
【解答】解：如图，连接AC、BC、DC、ED，CD与AB交于点F，
根据旋转的性质，弧BC＝弧BD，BC＝BD，∠CAB＝∠BAD，
在等圆中，等角所对的弦相等，即ED＝BD，
∴S弓形BD＝S弓形ED，
∴S阴影＝S△BDE，
∵AO＝5EO＝5，
∴AB＝10，OE＝1，BE＝4，
∵∠ACB＝∠CFB＝90°，∠CBF＝∠ABC，
∴△BCF∽△BAC，
∴BC2＝AB•BF＝10×2＝20＝BD2，
在Rt△BDF中，
DF＝＝＝4，
∴S阴影＝S△BDE＝×BE•DF＝＝8．
故选：A．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，面积割补法是解答本题的关键．
7．四个小朋友坐在如图所示的圆桌上做游戏，设4个座位分别为①、②、③、④，甲、乙两个小朋友先到，2人等可能地坐到①，②、③、④中的2个座位上，则甲、乙两个小朋友相邻而坐的概率为（ ）
A．B．C．D．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，甲与乙相邻而坐的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有12种等可能的结果，甲、乙两个小朋友相邻而坐的结果有8种，
∴甲与乙相邻而坐的概率为＝，
故选：B．
【点评】本题考查了列表法与树状图法求概率，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法：概率＝所求情况数与总情况数之比．
8．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，延长BC至E，使CE＝2，连接AE，CF平分∠DCE交AE于点F，连接DF，则DF的长为（ ）
A．B．C．D．
【考点】正方形的性质；角平分线的性质．
【分析】如图，过F作FM⊥BE 于M，FN⊥CD于N，由CF平分∠DCE，可知∠FCM＝∠FCN＝45°，可得四边形CMFN是正方形，FM∥AB，设FM＝CM＝NF＝CN＝a，则ME＝2﹣α，证明△EFM∽△EAB，接着利用相似三角形的性质列出方程求出a，最后利用勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，过F作FM⊥BE于M，FN⊥CD于 N，则四边形CMFN是矩形，FM∥AB，
∵CF平分∠DCE，
∴∠FCM＝∠FCN＝45°，
∴CM＝FM，
∴四边形CMFN是正方形，
设FM＝CM＝NF＝CN＝a，则ME＝2﹣a，
∵FM∥AB，
∴△EFM∽△EAB，
∴FM：AB＝ME：BE，即＝，
解得：a＝，
∴DN＝CD﹣CN＝，
由勾股定理得：DF＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，动点P从A点出发，沿折线A﹣C﹣B以每秒5个单位长度的速度运动（运动到B点停止），过点P作PD⊥AB于点D，则△APD的面积y与点P运动的时间x之间的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】根据勾股定理求出AB＝25，再分别求出0≤x≤3和3＜x≤7时的PD，AD的长，再用三角形的面积公式写出y与x的函数解析式即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，
∴AB＝＝＝25，
①当0≤x≤3时，点P在AC边上，如图所示：
此时AP＝5x，
∵PD⊥AB，
∴∠PDA＝90°＝∠C，
∵∠CAB＝∠DAP，
∴△CAB∽△DAP，
∴＝＝，
∴AD＝＝＝3x，PD＝＝＝4x，
∴y＝AD•PD＝×3x×4x＝6x2；
②当3＜x≤7时，点P在BC边上，如图所示：
此时BP＝35﹣5x，
∵PD⊥AB，
∴∠PDB＝90°＝∠C，
∵∠PBD＝∠ABC，
∴△PBD∽△ABC，
∴＝＝，
∴PD＝＝＝21﹣3x，BD＝＝＝28﹣4x，
∴AD＝AB﹣BD＝25﹣（28﹣4x）＝4x﹣3，
∴y＝AD•PD＝（4x﹣3）（21﹣3x）＝﹣6x2+x﹣．
故选：C．
【点评】本题考查动点问题的函数图象以及相似三角形的判定和性质，关键是用分类讨论的思想求出函数解析式．
10．如图所示，边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E在线段OD上，连接CE，作EF⊥CE交AB于点F，连接CF交BD于点H，则下列结论：①EF＝EC；②CF2＝CG•CA；③BE•DH＝16；④若BF＝1，则DE＝，正确的是（ ）
A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【分析】①由“SAS”可证△ADE≌△CDE，可得AE＝EC，∠DAE＝∠DCE，由四边形的内角和定理可证∠AFE＝∠BCE＝∠EAF，可得AE＝EF＝EC；
②通过证明△FCG∽△ACF，可得CF2＝CG•CA；
③通过证明△ECH∽△CDH，可得，通过证明△ECH∽△EBC，可得，可得结论；
④通过证明△AFC∽△DEC，可得，即可求解．
【解答】解：如图，连接AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDB＝∠BAC＝∠DAC＝45°，
又∵DE＝DE，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴AE＝EC，∠DAE＝∠DCE，
∴∠EAF＝∠BCE，
∵∠ABC+∠FEC+∠EFB+∠BCE＝360°，
∴∠BCE+∠EFB＝180°，
又∵∠AFE+∠BFE＝180°，
∴∠AFE＝∠BCE＝∠EAF，
∴AE＝EF，
∴EF＝EC，故①正确；
∵EF＝EC，∠FEC＝90°，
∴∠EFC＝∠ECF＝45°，
∴∠FAC＝∠EFC＝45°，
又∵∠ACF＝∠FCG，
∴△FCG∽△ACF，
∴，
∴CF2＝CG•CA，故②正确；
∵∠ECH＝∠CDB，∠EHC＝∠DHC，
∴△ECH∽△CDH，
∴，
∴，
∵∠ECH＝∠DBC，∠BEC＝∠CEH，
∴△ECH∽△EBC，
∴，
∴，
∴，
∴BC•CD＝DH•BE＝16，故③正确；
∵BF＝1，AB＝4，
∴AF＝3，AC＝4，
∵∠ECF＝∠ACD＝45°，
∴∠ACF＝∠DCE，
又∵∠FAC＝∠CDE＝45°，
∴△AFC∽△DEC，
∴，
∴，
∴DE＝，故④正确，
故选：D．
【点评】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
二．填空题（共4小题）
11．已知m是一元二次方程x2+x﹣1012＝0的一个根，则2m2+2m的值是 2024 ．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】由m是一元二次方程x2+x﹣1012＝0的一个实数根，可得m2+m＝1012，即可得2m2+2m＝2（m2+m）．
【解答】解：∵m是一元二次方程x2+x﹣1012的一个实数根，
∴m2+m﹣1012＝0，即m2+m＝1012，
∴2m2+2m＝2（m2+m）＝2×1012＝2024．
故答案为：2024．
【点评】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是整体代入思想的应用．
12．清明小长假扬州接待游客0.0314亿，请用科学记数法表示0.0314，结果为 3.14×10﹣2 ．
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【分析】将题目中的数用科学记数法表示时，应将其化为形如a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式，据此解答．
【解答】解：0.0314＝3.14×10﹣2．
故答案为：3.14×10﹣2．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．如图，边长为7的正方形ABCD中，点E、G分别在射线AB、BC上，F在边AD上，ED与FG交于点M，DF＝4，FG＝DE，BG＞AF，则MC的最小值为 ﹣2 ．
【考点】正方形的性质；三角形三边关系；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．
【分析】本题关键搞清M的运动轨迹，有DE＝FG，BG＞AF，可知∠FMD＝90°，所以M到FD的中点H的距离始终相等，在根据三角形三边的关系可得CM的范围，从而确定它的最小值．
【解答】解：取FD的中点H，作FK垂直BC于点K，
∵DE＝FG，AD＝FK，∠A＝∠FKG＝90°，
∴△AED≌△KFG（HL），
∴∠ADE＝∠KFG，
又∵∠FGK＝∠DFM，∠KFG+∠FGK＝90°，
∴∠DFM+∠ADE＝90°，
∴∠FMD＝90°，
∴MH＝DH＝FH＝＝2，
∴M在以H为圆心，2为半径的圆弧上运动，
∵MC≥CH﹣MH，
当M落在CH上时，取到等号，
CH＝＝＝，
即MC达到最小，最小值为CH﹣M′H＝﹣2．
【点评】本题考查正方形的基本性质，和全等直角三角形的判定，解决此类问题的关键是判断动点M的运动轨迹，然后利用三角形三边的关系判断MC何时取到最值．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A、C恰好落在双曲线 上，且点O在AC上，AD交x轴于点E．
①当A点坐标为（1，m）时，D点的坐标为 （，﹣1） ；
②当CE平分∠ACD时，正方形ABCD的面积为 12 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；正方形的性质．
【分析】连接OD，作AM⊥x轴于点M，DN⊥x轴于点N，由正方形的对角线相等且互相垂直平分，得OA＝OC＝OD，∠AOD＝90°，∠OAD＝45°，易证Rt△AOM≌Rt△ODN，再依据全等三角形的性质得OM＝DN，AM＝ON．
①根据已知条件，求出点A坐标为（1，），即可求出点D的坐标．
②作EF⊥OA于点F，当CE平分∠ACD时，根据角平分线的性质易证ED＝EF，在Rt△AEF中，∠OAD＝45°，所以AE＝EF＝ED，因为AM⊥x轴，DN⊥x轴，易证△AME∽△DNE，，又因为OM＝DN，所以，设OM＝x，则AM＝x，x•x＝，解得x＝，所以OA＝，AC＝，OD＝，求得S正方形ABCD＝＝12．
【解答】解：连接OD，作AM⊥x轴于点M，DN⊥x轴于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OC＝OD，∠AOD＝90°，∠OAD＝45°，
∵AM⊥x轴，DN⊥x轴，
∴∠AMO＝∠OND＝90°，
∵∠AOM+∠DON＝90°，∠AOM+∠OAM＝90°，
∴∠DON＝∠OAM，
∴△AOM≌△ODN（AAS），
∴OM＝DN，AM＝ON，
①将A（1，m）代入，
得m＝，
∴A（1，），
∴OM＝DN＝1，AM＝ON＝，
∴D（，﹣1），
故答案为：（，﹣1）．
②作EF⊥OA于点F，
∵CE平分∠ACD，EF⊥OA，ED⊥CD，
∴ED＝EF，
在Rt△AEF中，∠OAD＝45°，
∴AE＝EF，
∴AE＝ED，
∵AM⊥x轴，DN⊥x轴，
∴∠AME＝∠DNE＝90°，
又∵∠AEM＝∠DEN，
∴△AME∽△DNE，
∴，
∵OM＝DN，
∴，
设OM＝x，则AM＝x，
∵点A在函数上，
∴x•x＝，
解得x＝，
∴OA＝，AC＝，OD＝，
∴S正方形ABCD＝＝12．
故答案为：12．
【点评】本题主要考查了反比例函数与几何综合，及正方形的性质，添辅助线构成全等三角形和相似三角形是解题的关键，本题难度较大．
三．解答题（共9小题）
15．解不等式，把解集在数轴上表示出来，并求最小整数解．
【考点】一元一次不等式的整数解；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．
【分析】去分母，移项，合并同类项，化系数为1求出不等式的解即可．
【解答】解：﹣≤6，
3（3﹣x）﹣2（x﹣8）≤36
9﹣3x﹣2x+16≤36
﹣5x≤11，
x≥﹣． （6分）
（8分）
【点评】本题考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是掌握解不等式的步骤．
16．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》名记载了一道数学问题：“今有共买物，人出六，赢二；人出五，不足三．问人数、物价各几何？译文：“今有人合伙购物，每人出6钱，会多出2钱；每人出5钱，又差3钱．问人数、物价各多少？”请解答上述问题．
【考点】二元一次方程组的应用；数学常识．
【分析】设有x人，物价为y钱，根据题意，可列方程组，解方程组即可求解．
【解答】解：设有x人，物价为y钱，
由题意可得，， （4分）
解得．
答：有5人，物价为28钱． （8分）
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意，找到等量关系，列出方程组是解题的关键．
17．如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C均为格点（网格线的交点）．
（1）平移线段AB得到线段CD，使点B与点C重合，画出线段CD．
（2）以点C为旋转中心，将线段AB绕点C旋转180°得到线段A′B′，画出线段A'B'；
（3）用无刻度的直尺画出线段AB的中点M．
【考点】作图﹣旋转变换；线段垂直平分线的性质；作图﹣平移变换．
【分析】（1）根据平移的性质作图即可．
（2）根据旋转的性质作图即可．
（3）取格点P，Q，连接PQ，与AB的交点即为点M．
【解答】解：（1）如图，线段CD即为所求． （2分）
（2）如图，线段A'B'即为所求． （4分）
（3）如图，点M即为所求． （8分）
【点评】本题考查作图﹣平移变换、旋转变换，熟练掌握平移的性质、旋转的性质是解答本题的关键．
18．已知△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
观察：若∠A＝35°，∠B＝45°
则有，sin245°+cs245°＝1．
．
sin100°＝sin（35°+45°）＝sin35°cs45°+sin45°cs35°
模仿：已知∠A＝60°，．
（1）求sinC的值；
（2）若a＝7，求S△ABC．
【考点】同角三角函数的关系；特殊角的三角函数值；三角形的面积．
【分析】（1）根据题意，观察式子由边角关系即可求解；
（2）先求出c的值，由边角关系求出sinB，根据即可求解．
【解答】解：（1）由观察可知，，
∴，
∴； （4分）
（2），
由观察得sin2C+cs2C＝1，
∴，
∴， （6分）
又由观察得sinB＝sin（A+C）＝sinAcsC+sinAcsC，
∴，
∴． （8分）
【点评】本题考查三角函数边角关系，及三角形面积，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
19．【观察思考】
如图，春节期间，广场上用红梅花（黑色圆点）和黄梅花（白色圆点）组成“中国结”图案．
【规律总结】
请用含n的式子填空：
（1）第n个图案中黄梅花的盆数为 2n+4 ；
（2）第1个图案中红梅花的盆数可表示为1×2，第2个图案中红梅花的盆数可表示为2×3，第3个图案中红梅花的盆数可表示为3×4，第4个图案中红梅花的盆数可表示为4×5，…，第n个图案中红梅花的盆数可表示为 n（n+1） ；
【问题解决】
（3）已知按照上述规律摆放的第n个“中国结”图案中红梅花比黄梅花多68盆，结合图案中红梅花和黄梅花的排列方式及上述规律，求n的值．
【考点】规律型：图形的变化类；列代数式．
【分析】（1）根据上述中国结的图形进行归纳计算即可；
（2）结合上述图形和题目即可得出结果；
（3）结合图案中红梅花和黄梅花的排列方式及上述规律，列出代数式并求解即可．
【解答】解：（1）根据上述图形可知，
第1个图案中黄梅花的盆数可表示为2×1+4，
第2个图案中红梅花的盆数可表示为2×2+4，
第3个图案中红梅花的盆数可表示为2×3+4，
第4个图案中红梅花的盆数可表示为2×4+4，
…，
∴第n个图案中黄梅花的盆数为：2n+4，
故答案为：2n+4； （2分）
（2）根据题意可知：
第n个图案中红梅花的盆数表示为：n（n+1），
故答案为：n（n+1）； （6分）
（3）由题意得：n（n+1）﹣（2n+4）＝68，
解得：n＝9，n＝﹣8（不符合题意，舍去），
即第9个图案中红梅花比黄梅花多68盆． （10分）
【点评】本题考查的是图形的变化规律，从图形中找出梅花的变化规律是解题的关键．
20．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，且，连接BC并延长与过点D的⊙O的切线相交于点E，连接OD．
（1）证明：OD平分∠ADC；
（2）若DE＝4，，求CD的长．
【考点】切线的性质；解直角三角形；角平分线的性质；垂径定理；圆周角定理．
【分析】（1）连接AC交OD于点F，如图，根据垂径定理的推论和圆心角、弧、弦的关系得到OD⊥AC且AF＝CF，AD＝DC，然后根据等腰三角形的“三线合一”得到OD平分∠ADC；
（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，利用切线的性质得到∠ODE＝90°，则可判断四边形DECF为矩形，所以CF＝DE＝4，则AC＝8，再利用正切的定义计算出BC＝6，则利用勾股定理可计算出AB＝10，从而得到OD＝5，然后利用OF是△ABC的中位线得到OF＝3，所以DF＝2，最后利用勾股定理可计算出CD的长．
【解答】（1）证明：连接AC交OD于点F，如图，
∵，
∴OD⊥AC且AF＝CF，AD＝DC，
∴OD平分∠ADC； （3分）
（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∠ACB＝90°，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE＝90°，
由（1）知，∠CFD＝90°，
∴四边形DECF为矩形，
∴CF＝DE＝4，
∴AC＝2CF＝8，
在Rt△ACB中，∵tanB＝＝，
∴BC＝×8＝6，
∴AB＝＝＝10，
∴OD＝5， （6分）
∵OA＝OB，AF＝CF，
∵OF是△ABC的中位线，
∴OF＝BC＝3，
∴DF＝OD﹣OF＝2，
在Rt△CDF中，CD＝＝2． （10分）
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了角平分线的性质、垂径定理、圆周角定理和解直角三角形．
21．某校文学社为了解学生课外阅读情况，对本校七年级的学生进行了课外阅读知识水平检测．为了解情况，从七年级学生中随机抽取部分女生和男生的测试成绩，将这些学生的成绩x（单位：分，0≤x≤100）分为5组：A组：x＜60，B组：60≤x＜70，C组：70≤x＜80，D组：80≤x＜90，E组：90≤x≤100．并提供了这5个组的如下4条信息：
①不完整的扇形统计图和条形图
②女生成绩在70≤x＜80的数据为：70，72，72，72；
③男生成绩在60≤x＜80的数据为：72，68，62，68，70；
④抽取的男生和女生测试成绩的平均数、中位数、众数如表所示：
请根据以上信息解答下列问题：
（1）a＝ 71 ，b＝ 72 ．
（2）从七年级一共抽取了多少名学生？
（3）在抽取的学生中，你认为男生测试成绩好还是女生测试成绩好？并说明理由．
【考点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；加权平均数；中位数；众数．
【分析】（1）先根据B组数据，求出总学生数（3+2）÷25%＝20（人），则E组的男生有：20﹣1﹣1﹣3﹣2﹣2﹣4﹣3﹣1﹣2＝1，将男生测试成绩从小到大排列，排在中间的两位数为：70和72，即可求出a；根据女生成绩在70≤x＜80的数据为：70，72，72，72，可得：b＝72；
（2）根据统计图中的B组数据：（3+2）÷25%＝20（人），即可得出答案；
（3）对比男女生成绩的平均数、中位数和众数，即可得出结果．
【解答】解：（1）根据B组数据：（3+2）÷25%＝20（人），
∴E组的男生有：20﹣1﹣1﹣3﹣2﹣2﹣4﹣3﹣1﹣2＝1（人），
将男生测试成绩从小到大排列，排在中间的两位数为：70和72，
∴a＝＝71；
根据女生成绩在70≤x＜80的数据为：70，72，72，72，
可得：b＝72；
故答案为：71；72． （4分）
（2）根据统计图中的B组数据：（3+2）÷25%＝20（人），
答：七年级一共抽取了20名学生． （8分）
（3）女生测试成绩比男生测试成绩好．
理由：∵女生测试成绩和男生测试成绩的平均数相同，但女生成绩的中位数、众数均大于男生成绩的中位数、众数，
∴女生测试成绩比男生测试成绩好． （12分）
【点评】本题考查的是频数分布直方图，扇形统计图，中位数，众数和加权平均数，熟练掌握中位数，众数和加权平均数的计算方法是解题的关键．
22．综合与实践．
【问题发现】
（1）如图1，在正方形ABCD中，E为对角线AC上的动点，过点B作BE的垂线，过点C作AC的垂线，两条垂线交于点F，连接EF，求证：BE＝BF．
【类比探究】
（2）如图2，在矩形ABCD中，E为对角线AC上的动点，过点B作BE的垂线，过点C作AC的垂线，两条垂线交于点F，且∠ACB＝60°，连接EF，求的值．
【拓展延伸】
（3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线AC上的动点，其余条件不变，取线段EF的中点M，连接BM，CM．若，则当△CBM是直角三角形时，请求出CF的长．
【考点】相似形综合题．
【分析】（1）由“ASA”可证△ABE≌△CBF，可得BE＝BF；
（2）通过证明△ABE∽△CBF，可得＝＝；
（3）求出EF＝2CM＝2，设CF＝x，则AE＝x，分两种情况解答，由勾股定理可求出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∠ABC＝90°，AB＝BC，
∵BE⊥BF，CF⊥AC，
∴∠EBF＝∠ECF＝90°＝∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBF，∠BCF＝45°＝∠BAC，
∴△ABE≌△CBF（ASA），
∴BE＝BF； （4分）
（2）解：∵∵BE⊥BF，CF⊥AC，
∴∠EBF＝∠ECF＝90°，
∴点C，点E，点B，点F四点共圆，
∴∠ACB＝∠EFB＝60°，
∴∠BAE＝∠BEF＝30°，
∴AB＝BC，BE＝BF，
∴＝
∵∠EBF＝∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBF，
∴△ABE∽△CBF，
∴＝＝； （8分）
（3）解：由（2）知：＝＝，
∵AB＝2，
∴CB＝2，
∵△ABE∽△CBF，
∴∠ABE＝∠CBF，
∴∠EBF＝∠EBC+∠CBF＝∠EBC+∠ABE＝∠ABC＝90°，
∵M为EF的中点，
∴BM＝EF，
由（2）知∠ACF＝90°，
∴CM＝EF，
∴BM＝CM，
又∵△CBM是直角三角形，
∴CM＝BC＝，
∴EF＝2CM＝2，
设CF＝x，则AE＝x，
∵∠CAB＝30°，BC＝2，
∴AC＝2BC＝4，
∴CE＝AC﹣AE＝4﹣x，
∵∠ECF＝90°，
∴CE2+CF2＝EF2，
∴x2+（4﹣x）2＝8，
∴x＝﹣1或x＝+1（不合题意，舍去），
当∠MBC＝90°或∠MCB＝90°时，点M不存在，
当E在AC延长线上时，设CF＝x，则AE＝x，
∵∠CAB＝30°，BC＝2，
∴AC＝2BC＝4，
∴CE＝AE﹣AC＝x﹣4，
∵∠ECF＝90°，
∴CE2+CF2＝EF2，
∴x2+（x﹣4）2＝8，
∴x＝﹣1（不合题意，舍去）或x＝+1，
综上所述，CF的长为﹣1或+1． （12分）
【点评】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
23．为了给观光绿化带浇水，拟安装一排喷水口，如图2为喷水口喷水的横截面，该喷水口H离地竖直高度OH为1.5m．可以把喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其中DE＝2m，EF＝0.5m．其下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，喷水口到绿化带的水平距离OD为d（单位：m）．
（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
（2）通过计算求点B的坐标；
（3）绿化带右侧（图中点E的右侧）1米外是人行道，要使喷出的水能浇灌到整个绿化带，同时不会淋湿行人，直接写出d的取值范围．
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）易得上边缘的抛物线顶点A的坐标为（2，2），用顶点式设出抛物线解析式，把点H的坐标代入可得二次项系数的值，即可求得上边缘的抛物线的解析式，取y＝0，求得相对应的x的正值，求得点C的坐标即可求得OC的长度；
（2）求得点H在上边缘的抛物线上的对称点，即可判断出下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移几个单位长度得到的，就能求得下边缘的抛物线解析式，取y＝0，求得相对应的x的正值，即可求得点B的坐标；
（3）要使喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线恰好经过点F；不会淋湿行人，那么上边缘抛物线恰好经过人行道的左边缘，求出相关的d的值，即可求得d的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得：抛物线的顶点A的坐标为（2，2）．
∴设上边缘的抛物线解析式为：y＝a（x﹣2）2+2．
∵经过点H（0，1.5），
∴4a+2＝1.5．
解得：a＝﹣．
∴上边缘的抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+2．
当y＝0时，0＝﹣（x﹣2）2+2．
（x﹣2）2＝16．
解得：x1＝6，x2＝﹣2．
∵点C在x轴正半轴，
∴C（6，0）．
∴喷出水的最大射程OC长6 m； （4分）
（2）∵点H（0，1.5）在上边缘抛物线抛物线的对称点的坐标为（4，1.5）．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4个单位长度得到．
∴下边缘的抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣2+4）2+2＝﹣（x+2）2+2．
当y＝0时，0＝﹣（x+2）2+2．
解得：x1＝﹣6，x2＝2．
∵点B在x轴的正半轴，
∴点B的坐标为（2，0）； （8分））
（3）由题意得：点F的纵坐标为0.5．
若上边缘抛物线恰好经过点F，则0.5＝﹣（x﹣2）2+2．
（x﹣2）2＝12．
解得：x1＝2+2，x2＝2﹣2．
∵点F在第一象限，
∴x＝2+2．
∴点E的坐标为（2+2，0）．
∴OE＝（2+2）m．
∵DE＝2m，
∴OD＝2 m．
若上边缘的抛物线恰好经过人行道的左边缘．则：0＝﹣（d+2+1﹣2）2+2．
（d+1）2＝16．
解得：d1＝3，d2＝﹣5．
∵距离d为正数，
∴d＝3．
∴d的取值范围为：3≤d≤2． （14分）
【点评】本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：二次函数左右平移，只改变自变量的值，左加右减．第三问理解“喷出的水能浇灌到整个绿化带，同时不会淋湿行人”与二次函数的关系是解决本题的难点．
考点卡片
1．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
2．科学记数法—表示较小的数
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律
3．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
4．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
5．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
6．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
7．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
8．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
9．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
10．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
11．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
12．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
13．一元一次不等式的整数解
解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题．
14．动点问题的函数图象
函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
15．反比例函数系数k的几何意义
比例系数k的几何意义
在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
16．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
17．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．
18．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
19．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
20．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
21．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
22．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
23．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
24．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
25．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
26．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
27．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
28．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
29．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
30．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
31．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
32．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．
33．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
34．作图-平移变换
（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
35．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
36．作图-旋转变换
（1）旋转图形的作法：
根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．
37．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
38．相似形综合题
主要考查相似三角形的判定与性质，其中穿插全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识，难度大．
39．同角三角函数的关系
（1）平方关系：sin2A+cs2A＝1；
（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA＝或sinA＝tanA•csA．
40．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝； cs30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cs45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cs60°＝； tan60°＝；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
41．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，csA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
42．由三视图判断几何体
（1）由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
（2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：
①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；
②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；
③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；
④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．
43．频数（率）分布直方图
画频率分布直方图的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．（3）确定分点，将数据分组．（4）列频率分布表．（5）绘制频率分布直方图．
注：①频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积＝组距×＝频率．②各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1．③频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势．④从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容．
44．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°． ②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
45．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
46．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
47．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
48．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
平均数
中位数
众数
男生测试成绩
76
a
68
女生测试成绩
76
72
b
x的取值范围
表示方法
a的取值
n的取值
|x|≥10
a×10n
1≤|a|
＜10
整数的位数﹣1
|x|＜1
a×10﹣n
第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）