2024浙江省浙东北（ZDB）联盟高二下学期期中联考数学试题含答案

这是一份2024浙江省浙东北（ZDB）联盟高二下学期期中联考数学试题含答案，共10页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸，下列等式正确的是等内容，欢迎下载使用。

高二数学试卷
命题学校：浙江省平湖中学 命题老师：汪大秀 审卷老师：谢秋杰
考生须知：
1．本卷共6页满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4．考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
2．一批产品共有7件，其中5件正品，2件次品，现从7件产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知，则使成立的实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化其中大数之间的计算而发明了对数．利用对数运算可以求大数的位数．已知，则是（ ）
A．5位数B．6位数C．7位数D．8位数
5．函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．D．
6．定义“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，比如116，431，则所有幸运数的个数为（ ）
A．18B．21C．35D．36
7．若是函数的一个极值点，是函数的一个零点，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
8．一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分数，有选错的得0分。
9．投掷一枚质地均匀的骰子，事件“朝上一面点数为偶数”，事件“朝上一面点数不超过2”，则下列结论正确的是（ ）
A．事件互斥B．事件相互独立
C．D．
10．下列等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知为偶函数，对，且，若，则以下结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若，则______．
13．利率变化是影响某金融产品价格的重要因素．经分析师分析，最近利率下调的概率为，利率不变的概率为．根据经验，在利率下调的情况下该金融产品价格上涨的概率为，在利率不变的情况下该金融产品价格上涨的概率为．则该金融产品价格上涨的概率为______．
14．已知，直线与曲线有三个不同的交点，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知函数．
（1）求在处的切线方程；
（2）证明：对．
16．（15分）已知展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列．
（1）求的值；
（2）求展开式中的系数．
17．（15分）如图，四棱锥，底面为正方形，平面平面，为的重心．
（1）若点在线段上，且，求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
18．（17分）设函数，其中．
（1）求的单调区间；
（2）若存在极值点，且，其中，求证：；
（3）若，函数，求在上的最大值．
19．（17分）某手机销售商为了了解一款手机的销量情况，对近100天该手机的日销售量（单位：部）进行了统计，经计算得到了样本的平均值，样本的标准差．
（1）经分析，可以认为该款手机的日销售量近似服从正态分布，用样本的平均值作为的近似值，用样本的标准差作为的近似值，现任意选取一天，试估计这一天该款手机的销量恰好在之间的概率；
（2）为了促销，该销售商推出了“摸小球、送手机”的活动，活动规则为：①每位购买了一部该款手机的顾客参加一次活动；②箱子中装有红球2个和白球4个，如果摸到的是白球，则获得1个积分，如果摸到的是红球，则获得2个积分．放回后进行下一次摸取．设顾客的初始积分为0，顾客的积分之和为的概率为，
（ⅰ）求的值，并证明：数列是等比数列；
（ⅱ）销售商家规定当积分之和达到19或20时，游戏结束，如果最终积分为19，顾客获得二等奖，手机的售价减免1000元；如果最终的积分为20，顾客获得一等奖，手机的售价减免2000元．活动的第一天共有300位顾客各购买了一部该手机，且都参加了活动，试估计获得一等奖的顾客人数．（结果四舍五入取整数）
参考数据：若随机变量，则，
．
浙东北联盟（ZDB）2023－2024学年第二学期期中考试
高二数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1－8 C B A D A D B A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分数，有选错的得0分。
9．BCD 10．ACD 11．AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．7 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（1）由题意得：切点
，则
设切线方程： 化简得：
（2）要证：即证：
令
，则在单调递减
，即 则得证．
16．（1）由题意得：
化简得：
或14
（2）由（1）得：或14 的系数为
当时， 当时，
综上，当时，的系数为35；当时，的系数为1001
17．（1）法一（面面平行－－线面平行）：
取中点为，连接
在线段上取点，满足连接，则

结合上述条件：
平面平面
法二（线线平行－－线面平行）
延长交的延长线于 因为，所以
又，所以 所以
又平面，平面 所以平面
法三（坐标法）：平面平面平面平面平面平面．以为坐标原点，垂直平面竖直向上为轴以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示
设正方形的边长为2，则则
由重心得：，即
由得： 所以，，
设平面的一个法向量为
令 ，
又平面，平面．
（2）法一（传统法）：过点作的垂线，交的延长线于点，
过点作的平行线，使得，过点作的垂线，交于点



因此，即点到平面的距离
设正方形的边长为2，直线与平面所成角为
平面平面平面平面，
平面 所以平面 所以
设直线与平面所成角为
所以直线与平面所成角的正弦值为．
法二（坐标法）：由（1）得：，
设直线与平面所成角为，则
故直线与平面所成角的正弦值为．
18．解：（1）
①当时，，所以在上单调递增；
②当时，在上单调递增，上单调递减．
（2）由（1）知，，即
因为
所以
所以
所以 又，所以．
（3）
在上单调递增，上单调递减，上单调递增
①当时，即时，；
②当时，即时，；
③当时，即时，
．
综上，．
19．解：（1）由题知
所以
所以这一天该款手机的销量恰好在之间的概率为0.47725．
（2）（ⅰ）
由题知，积分之和为的情况分为：①上一次积分为分，然后这次摸到白球；②上一次积分为分，然后这次摸到红球．
于是（，且）
又，所以 所以
所以是以为首项，公比为的等比数列．
（ⅱ）由（ⅰ）知，

累加得：
所以
又符合上式，所以
于是，
所以
设获得一等奖的顾客人数为，则
所以（人）
所以获得一等奖的顾客人数约为75人．