[数学]2023～2024学年浙江高二下学期期中数学试卷(浙东北(ZDB)联盟)(原题版+解析版)

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2023~2024学年浙江高二下学期期中数学试卷（浙东北（ZDB）联盟）
1. 函数
的定义域是（
）
A.
B.
C.
D.
答案
解析
C
函数
需满足
，解得
，所以函数
的定义域为
.因此正确答案为：C.
2. 一批产品共有7件，其中5件正品，2件次品，现从7件产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为 ，则
（
）
A.
B.
C.
D.
答案
解析
B
【分析】
利用组合数分别求出恰好取出一件不合格产品的基本事件数和从7件产品中取出3件产品的基本事件数，再利用古典概型概率计算公式
即可求解.
【详解】
恰好取出一件不合格产品的基本事件数为：
从7件产品中取出3件产品的基本事件数为：
，
，
故选：B
3. 已知
，则使
成立的实数 的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
答案
解析
A
【分析】
先判断函数的单调性，再根据函数的单调性得出不等式，最后解一元二次不等式求解.
【详解】
因为
,所以
是单调递增函数，
又因为
所以
，所以
.
,
,
所以x的取值范围为
故选：A.
4. 苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化其中大数之间的计算而发明了对数.利用对数运算可以求大数的位数.已
知
，则
是（
）
A. 5位数
B. 6位数
C. 7位数
D. 8位数
答案
解析
D
【分析】
利用对数的运算性质即可得解.
【详解】
由于
则
，设
，
，
则
，故 是8位数.
故选：D.

5. 函数
的图象如图所示，则下列结论成立的是（
）
A.
B.
C.
D.
答案
解析
A
【分析】
根据题意，设函数
的两个极值点分别为
、
，且
，求出
，结合二次函数的性质分析 、 、 的符号，又由函数
与 轴交点在 轴上方，则有
【详解】
根据题意，由函数图象易知
设两个极值点分别为 ，且
，综合可得答案．
存在两个极值点，
、
，
，
在区间
在区间
在区间
则
上，
上，
上，
为减函数，此时
为增函数，此时
为减函数，此时
，
，
，
是开口向下的二次函数，
，则有
与 轴交点在 轴上方，则有
，
有两个根，即
和
，
则有
，
，
函数
．
故选：A．
6. 定义“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，比如116，431，则所有幸运数的个数为（
A. 18 B. 21 C. 35
）
D. 36
答案
D
解析
【分析】
运用分类加法原理计算即可.
【详解】
按照百位数字进行分类讨论：
当百位数是1，后两位相加为7，有8种；当百位数是2，后两位相加为6，有7种；
当百位数是3，后两位相加为5，有6种；当百位数是4，后两位相加为4，有5种；
当百位数是5，后两位相加为3，有4种；当百位数是6，后两位相加为2，有3种；
当百位数是7，后两位相加为1，有2种；当百位数是8，后两位相加为0，有1种；
总共有
种.
故选：D.
7.
（
若
是函数
的一个极值点， 是函数
的一个零点，则
）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
答案
解析
B
【分析】
先根据极值点及零点得出
满足的等式，再结合函数的单调性得出等式计算即可求值.
的一个极值点，
【详解】
因为 是函数
所以
，
因为 是函数
所以
的一个零点，
，
设
单调递增，

因为
，
所以
.
故选：B.
8. 一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验
一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为
，期望方差分别为
，则下列判断正确的是（
C.
；试验二：逐个有放回地随机摸出3
个球，记取到白球的个数为
，期望和方差分别为
）
A.
B.
D.
答案
解析
A
【分析】
利用超几何分布和二项分布知识分别计算从中随机地无放回摸出3个球、从中随机地有放回摸出3个球的期望、方差，再做比较可得答
案．
【详解】
试验一：从中随机地无放回摸出3个球，记白球的个数为 ，
则 的可能取值是0，1，2，3，
则
，
，
，
故随机变量 的概率分布列为：
0
1
2
3
则数学期望为：
方差为：
，
；
试验二：从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到白球的概率为
，
则
故
，
，
，
故
，
．
故选：A．
9. 投掷一枚质地均匀的骰子，事件
“朝上一面点数为偶数”，事件
“朝上一面点数不超过2”，则下列结论正确的是
（
）
A. 事件
互斥
B. 事件
相互独立
C.
D.
答案
解析
BCD
【分析】
结合互斥事件的概念检验选项A，结合相互独立事件的概念检验选项B，结合条件概率公式检验选项C，结合并事件的概率公式检验选项
D．
【详解】
投掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数的可能情况有6种，
事件
事件
故
朝上一面点数为偶数包含3种情况：2，4，6，
朝上一面点数不超过2包含2种情况：1，2，显然 ， 不互斥，A错误；
，
，
，
所以
因为
,即 ， 相互独立，B正确；
，C正确；
，D正确．
故选：BCD．
10. 下列等式正确的是（
）

A.
B.
C.
D.
答案
解析
ACD
【分析】
根据题意，由排列组合数公式依次分析选项，综合可得答案.
【详解】
根据题意，依次分析选项:
对于A，
对于B，
，故A正确；
，故C正确；
，故B错误；
，故D正确；
对于C，
对于D，
故选：ACD
11. 已知
为偶函数，对
，且
，若
，则以下结论正确的是
（
）
A.
B.
C.
D.
答案
解析
AD
【分析】
利用
的奇偶性与条件，结合赋值法依次得到
，从而判断AB；利用
的相关性质推得
的周期性，从而判断CD，由此
得解.
【详解】
对于A，因为
所以
为偶函数，
，则
，
，
令
，得
因为
令
，
，
，得
，
又
，所以
，故A正确；
中，
对于B，在
令
在
，得
，即
，得
，得
，故B错误；
，
中，令
对于CD，因为
所以
，所以
，又
，
，
，
则
，所以
，故
，
所以函数
故
是周期为6的函数，
，故C错误，D正确.
故选：AD
【点睛】
结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：
（1）关于对称：若函数
反之也成立；
关于直线
轴对称，则
，若函数
关于点
中心对称，则
，
（2）关于周期：若
，或
，或
，可知函数
的周期为
.
12. 若
，则
．
答案
解析
7
【分析】
利用组合数公式计算即可.
【详解】

得到
，解得
或
.故
.
故答案为：7
13. 利率变化是影响某金融产品价格的重要因素经分析师分析，最近利率下调的概率为 %，利率不变的概率为 %．根据经验，
在利率下调的情况下该金融产品价格上涨的概率为 %，在利率不变的情况下该金融产品价格上涨的概率为 %．则该金融产品价
格上涨的概率为
．
答案
解析
/
/
解：由题意可知金融产品价格上涨的概率为：
，故答案为：
14. 已知
，直线
与曲线
有三个不同的交点，则 的取值范围为
．
答案
解析
【分析】
根据直线与曲线相切时求出临界值k，再求有3个交点时k的取值范围即可得．
【详解】
，
，
，
直线
过点
设过点
的直线 与曲线
相切于点
，
故切线方程为
，
将
代入方程得，
，
解得
，
，
，
故
，
，
，
由直线
与曲线
有三个不同的交点，
故
或
.
故答案为：
.
15. 已知函数
(1)求
.
在
处的切线方程；
(2)证明：对
.
答案
解析
(1)
(2)证明见解析
【分析】
（1）利用导数求出切线斜率，然后代入点斜式化简即可求解.
（2）作差，把所证不等式变为
【详解】
恒成立，利用导数研究
的单调性，求出最值即可证明.
（1）由题意得：切点
，
，
，化简得：
则
，设切线方程：
.
（2）要证：
，即证：
，则
，
令
，
又
，则
在
，即
单调递减，
，则
所以
得证．
16. 已知
展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列．
(1)求 的值；

(2)求展开式中 的系数．
答案
解析
(1)7或14(2)当
【分析】
时， 的系数为35；当
时， 的系数为1001
（1）由题意，建立组合数方程，利用组合数的阶乘表示式化简计算即得；
（2）根据二项展开式的通项知， 的系数为 ，则由（1）求得的 的值，分两种情况分别求 即得.
【详解】
（1）由题意得：
即
化简得：
或 ，经检验，都符合题意.
即
故
，解得
或
.
（2）因二项式
由（1）得：
则当
的展开式通项为：
或14 ，
其中 的系数为
时， 的系数为
； 当
时， 的系数为
.
综上，当
时， 的系数为35；当
时， 的系数为1001.
17. 如图，四棱锥
心．
，底面
为正方形，平面
平面
，
为
的重
(1)若点 在线段
上，且
，求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值．
答案
解析
(1)证明见解析(2)
【分析】
（1）利用面面垂直的性质定理得
计算其数量积即可得证；
平面
，建立空间直角坐标系，设正方形
的边长为2，求得
和平面
的法向量，
（2）由（1）得：
【详解】
，
，设直线
与平面
所成角为 ，代入线面角公式即可求解．
（1）平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
，
平面
，
以 为坐标原点，垂直平面
竖直向上为 轴，以
，
所在直线为 ， 轴建立空间直角坐标系，
设正方形
的边长为2，则
，即
，则
，
，
由重心得，
由
得：
，所以
，
，
设平面
的一个法向量为
，
，令
，
，又
不在平面
，
内，
平面
；
（2）由（1）得：
，

设直线
故直线
与平面
与平面
所成角为 ，则
，
所成角的正弦值为
．
18. 设函数
，其中
．
(1)求
(2)若
(3)若
的单调区间；
存在极值点 ，且
，函数
，其中
，求证：
；
，求
在
上的最大值．
答案
(1)答案见解析(2)证明见解析
(3)
解析
【分析】
（1）对
（2）由
求导，分
存在极值点 ，可得
，分析其单调性，分
和
两种情况，讨论导函数的正负，从而得原函数的单调性；
，再根据
，经计算可得
，
；
（3）根据
，
三种情况求其最大值，可得结论.
【详解】
（1）
①当
②当
时，
时，
，所以
在 上单调递增；
在
上单调递增，
，即
上单调递减．
（2）由（1）知，
因为
所以
所以
所以
又
，所以
．
或
（3）
或
当
时，
，
，
所以当
所以
时，
，当
时，
在
上单调递增，
，
上单调递减，
当
在
时，
，所以
上单调递增，
，
，
，
①当
时，即
时，
在
上单调递增，
所以
②当
；
时，即
上单调递增，在
时，
在
上单调递减，
所以
；
③当
所以
时，即
时，
在
上单调递增，
，
上单调递减，
在
上单调递增，
由于
，
当
当
时，即
时，即
，所以
，所以
，
则

综上，
．
【点睛】
关键点点睛：导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数
的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.
19. 某手机销售商为了了解一款
手机的销量情况，对近100天该手机的日销售量 （单位：部）进行了统计，经计算得到了样
．
本的平均值 ，样本的标准差
(1)经分析，可以认为该款手机的日销售量 近似服从正态分布
，用样本的平均值 作为 的近似值，用样本的标准差
之间的概率；
作为 的近似值，现任意选取一天，试估计这一天该款手机的销量恰好在
(2)为了促销，该销售商推出了“摸小球、送手机”的活动，活动规则为：①每位购买了一部该款手机的顾客参加一次活动；②箱
子中装有红球2个和白球4个，如果摸到的是白球，则获得1个积分，如果摸到的是红球，则获得2个积分．放回后进行下一次摸取．
设顾客的初始积分为0，顾客的积分之和为
（ⅰ）求 的值，并证明：数列
的概率为
，
是等比数列；
（ⅱ）销售商家规定当积分之和达到19或20时，游戏结束，如果最终积分为19，顾客获得二等奖，手机的售价减免1000元；如果
最终的积分为20，顾客获得一等奖，手机的售价减免2000元．活动的第一天共有300位顾客各购买了一部该手机，且都参加了活
动，试估计获得一等奖的顾客人数．（结果四舍五入取整数）
参考数据：若随机变量 ～
，则
，
．
答案
解析
(1)0.47725(2)（ⅰ）
【分析】
，证明见解析；（ⅱ）获得一等奖的顾客人数约为75人
（1）应用正态分布的概率计算求解；
（2）根据递推公式构造数列，计算得出数列为等比数列，再应用累加法得出通项公式.
【详解】
（1）由题知
所以
～
所以这一天该款手机的销量恰好在
（2）（ⅰ）
之间的概率为0.47725．
由题知，积分之和为 的情况分为：①上一次积分为
分，然后这次摸到白球；
②上一次积分为
于是
分，然后这次摸到红球．
（
，且
）
又
，所以
是以
所以
所以
为首项，公比为
的等比数列．
（ⅱ）由（ⅰ）知，
累加得：
所以
又
符合上式，所以
于是
，
所以
设获得一等奖的顾客人数为 ，则
所以
～
（人）
所以获得一等奖的顾客人数约为75人．
【点睛】
方法点睛：根据递推公式构造数列，计算得出数列为等比数列，再应用累加法得出通项公式.