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浙江省杭州市浙里特色联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题
展开这是一份浙江省杭州市浙里特色联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．若集合A={x|-1
C．{x|-3
A．13B．14C．16D．17
3．已知空间向量a=(-2,-1,1)，b=(3,4,5)，则下列结论正确的是（ ）
A．(a+b)∥aB．a与b夹角的余弦值为36
C．2a⊥(5a+6b)D．4|a|=3|b|
4． 若函数f(x)=lnx-2x+1，则f'(12)=（ ）
A．0B．12C．32D．52
5．若点P(-22,y)是角α终边上一点，且cs(α+π2)=-33，则y的值为（ ）
A．-2B．2C．-2D．2
6．已知圆x2+y2=4与圆x2+y2-8x+4y+16=0关于直线l对称，则直线l的方程为（ ）
A．2x+y-3=0B．x-2y-8=0C．2x-y-5=0D．x+2y=0
7．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标 中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）
A．f(x)=1|x-1|B．f(x)=1||x|-1|
C．f(x)=1x2-1D．f(x)=1x2+1
8．已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，M为线段AB的中点，若|AB|=16，则点M到y轴的距离为（ ）
A．4B．6C．7D．8
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知复数z=1-i，则下列说法正确的是（ ）
A．z的实部为1
B．z在复平面内对应的点位于第四象限
C．z的虚部为-i
D．z的共轭复数为1+i
10．袋子中共有大小和质地相同的4个球，其中2个白球和2个黑球，从袋中有放回地依次随机摸出2个球．甲表示事件“第一次摸到白球”，乙表示事件“第二次摸到黑球”，丙表示事件“两次都摸到白球”，则（ ）
A．甲与乙互斥B．乙与丙互斥C．甲与乙独立D．甲与乙对立
11．如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道I上绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道I的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则（ ）
A．轨道I的长轴长为R+r
B．轨道Ⅱ的焦距为R-r
C．若R不变，r越小，轨道Ⅱ的短轴长越大
D．若r不变，R越大，轨道Ⅱ的离心率越小
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知向量a=(1,x)，b=(x,4)，a∥b，则x= .
13．已知直线l：y=2x-1.若点(n,an)在直线l上，则数列{an}的前n项和Sn= .
14．古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果，其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，后人岗称这个圆为阿波罗尼斯圆，已知点O(0,0)，A(3,0)，动点P(x,y)满足|PO||PA|=12，则点P的轨迹与圆C：(x-1)2+y2=1的公切线的条数为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．在△ABC中，sinA=2sinB，b=2.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并解决下面的问题：
条件①：c=4；条件②：b2-a2=c2-2ac；条件③：acsB=bsinA.
注：如果选择的条件不符合要求，不给分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
（1）求∠B的大小，
（2）求△ABC的面积
16．已知f(x)=ax3-bx+4，f(x)在x=2处取得极小值-43.
（1）求f(x)的解析式
（2）求f(x)在x=3处的切线方程.
（3）若方程f(x)+k=0有且只有一个实数根，求k的取值范围.
17．已知数列{an}中，a1=3，点(an,an+1)在直线y=3x上.
（1）求数列{an}的通项公式及其前n项的和Sn.
（2）设bn=nan，n∈N*，证明：b1+b2+⋅⋅⋅+bn<34.
18．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，△DCP是等边三角形，∠DCB=∠PCB=π4，点M,N分别为DP和AB的中点
（1）求证：MN∥平面PBC；
（2）求证：平面PBC⊥平面ABCD；
（3）求CM与平面PAD所成角的正弦值.
19．已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，若以F1圆心，1为半径的圆与以F2为圆心，3为半径的圆相交于A，B两点，若椭圆E经过A，B两点，且直线AA1，AA2的斜率之积为-34.
（1）求椭圆E的方程
（2）点P是直线l：x=4上一动点，过点P作椭圆E的两条切线，切点分别为M，N.
①求证直线MN恒过定点，并求出此定点.
②求△PMN面积的最小值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算；一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：B={x|x2+x-6<0}={x|-3
【分析】先求出集合B，再根据交集运算即可得到结果.
2．【答案】B
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：{an} 是等差数列，则a7+a9=a4+a12
又a7+a9=16，a4=2，
所以a12=16-2=14.
故答案为：B.
【分析】根据等差数列的下标和性质，代值计算即可得到结果.
3．【答案】C
【知识点】空间向量平行的坐标表示；空间向量垂直的坐标表示；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：
对于A：a+b=(1,3,6)，因为-21≠-13≠16，所以a+b与a不平行，故A错误；
对于B：a与b夹角的余弦值为a⋅b|a|⋅|b|=-6-4+56×50=-36，故B错误；
对于C：2a=(-4,-2,2)，5a+6b=(8,19,35)，则2a⋅(5a+6b)=-32-38+70=0，即2a⊥(5a+6b)，故C正确；
对于D：4|a|=46，3|b|=3×50=56，故D错误；
故答案为：C
【分析】根据空间向量的坐标运算，即可判断选项.
4．【答案】A
【知识点】导数的加法与减法法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：因为f'(x)=1x-2，所以f'(12)=2-2=0.
故答案为：A.
【分析】求导，代入x=12即可得结果.
5．【答案】D
【知识点】任意角三角函数的定义；诱导公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：
cs(α+π2)=-sinα=-33，又由三角函数的定义得sinα=y8+y2，
所以y8+y2=33，又y>0，解得y=2.
故答案为：D.
【分析】由诱导公式六及三角函数的定义求解即可.
6．【答案】C
【知识点】直线的点斜式方程；相交弦所在直线的方程；圆方程的综合应用
【解析】【解答】解：
圆C1:x2+y2=4，圆心C1(0,0)，半径r1=2，
C2:x2+y2-8x+4y+16=0，圆心C2(4,-2)，半径r2=2，
由题意知，l是圆C1和圆C2圆心连线的垂直平分线，
∵C1(0,0)，C2(4,-2)，C1C2的中点(2,-1)，
圆心C1C2连线的斜率为kC1C2=-12，则直线l的斜率为2，
故l的方程：y+1=2(x-2)，即y=2x-5，故C正确．
故答案为：C．
【分析】根据对称可知l是圆C1和圆C2圆心连线的垂直平分线，利用垂直关系求解斜率，由点斜式方程即可．
7．【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值
【解析】【解答】由图知 f(x) 的定义域为 {x|x≠±1} ，排除A、D，
又因为当 x=0 时， f(0)=-1 ，不符合图象 f(0)=1 ，所以排除C，
故答案为：B.
【分析】由图像知函数的定义域排除选项B，D，再根据f(0)=-1不成立排除选项C，即可得正确选项。
8．【答案】B
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：
由题设易知p=4，从而准线方程为x=-2.
设点A(x1,y1)，点B(x2,y2)，则点M坐标为(x1+x22,y1+y22)，
由抛物线的定义知，|AF|+|BF|=x1+2+x2+2=16，
所以有x1+x2=12，所以M到y轴距离x1+x22=6，故B正确；
故答案为：B
【分析】由抛物线的定义和相关性质求解即可得到答案.
9．【答案】A,B,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；共轭复数
【解析】【解答】解：由z=1-i，
则z的实部为1，虚部为-1， 共轭复数为1+i ；
则A、D正确，C错误；
z=1-i在复平面内对应的点为1，-1，是位于第四象限，B正确；
故答案为：ABD.
【分析】根据已知条件，结合复数的概念以及复数的几何意义即可得到结果.
10．【答案】B,C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件
【解析】【解答】首先抽取方法是有放回，每次摸出1个球，共抽取2次.
基本事件为：白白，白黑，黑白，黑黑，共4种情况.
事件甲和事件乙可能同时发生：白黑，所以甲与乙不是互斥事件，A不符合题意.
事件乙和事件丙不可能同时发生，所以乙与丙互斥，B符合题意.
事件甲和事件乙是否发生没有关系，用 A 表示事件甲，用 B 表示事件乙， P(A)=12，P(B)=12，P(AB)=14 ，则 P(AB)=P(A)P(B) ，所以甲与乙独立，C符合题意.
由于事件甲和事件乙是否发生没有关系，所以不是对立事件.
故答案为：BC
【分析】利用已知条件结合互斥事件、对立事件的定义，从而找出正确的选项。
11．【答案】A,B
【知识点】椭圆的简单性质；椭圆的应用
【解析】【解答】解：
设椭圆长轴2a，短轴2b，焦距2c，
对于A选项，由椭圆的性质可知，轨道Ⅱ的长轴长为2a=|PQ|=|QF|+|FP|=R+r，故选项A正确；
对于B选项，由椭圆的性质知，|QF|=a-c=r，又因为2a=R+r，所以2c=R-r，故选项B正确；
对于C选项，由前面选项知2b=2a2-c2=2(R+r)24-(R-r)24=2Rr，
若R不变，r越小，2b越小，轨道Ⅱ的短轴长越小，故选项C错误；
对于D选项，因为e=ca=R-r2R+r2=R-rR+r=1-2rR+r=1-2Rr+1，
若r不变，R越大，则2Rr+1越小，所以e越大，轨道Ⅱ的离心率越大，故选项D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据椭圆中长轴两端点之间的距离2a，以及一个焦点与长轴两顶点的距离分别为a+c,a-c，分别结合圆的半径R和r以及椭圆的性质分析选项即可求解.
12．【答案】±2
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为a∥b，
则1×4-x2=0，即x2=4，
所以x=±2.
故答案为：±2.
【分析】根据向量平行的坐标运算公式即可得到结果.
13．【答案】n2
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为点(n,an)在直线l上，
则an=2n-1，
所以{an}是以2为公差，以1为首项的等差数列，
所以Sn=n+nn-12×2=n2.
故答案为：n2.
【分析】由题意得到an=2n-1，利用通项公式推断出{an}是以2为公差，以1为首项的等差数列，利用等差数列的求和公式即可得到结果.
14．【答案】2
【知识点】轨迹方程；两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】解：
由题意设P(x,y)，
易知|PA|2=4|PO|2，即可得(x-3)2+y2=4(x2+y2)，
整理得点P的轨迹方程为(x+1)2+y2=4，
其轨迹是以(-1,0)为圆心，以2为半径的圆，
而圆(x-1)2+y2=1的圆心坐标为(1,0)，半径为1，
可得两圆的圆心距为2，大于2-1=1，小于2+1=3，
则动点P的轨迹与圆(x-1)2+y2=1的位置关系是相交.
故公切线的条数为2.
故答案为：2
【分析】利用阿波罗尼斯圆定义可得点P的轨迹方程为(x+1)2+y2=4，由两圆圆心距与半径的关系可得两圆相交，可得有2条公切线.
15．【答案】（1）解：依题意，sinA=2sinB，b=2，由正弦定理得a=2b=2
选①，c=4，则a+b
且由22+c2-(2)2=2×2c得c2-22c+2=(c-2)2=0，c=2=b，
三角形ABC是等腰直角三角形，存在且唯一，符合题意.
选③，acsB=bsinA，由正弦定理得sinAcsB=sinBsinA，
由于0
由余弦定理得b2=a2+c2-2accsB，即2=4+c2-22c=0，
得c2-22c+2=(c-2)2=0，c=2=b，
所以三角形ABC是等腰直角三角形，存在且唯一，符合题意.
（2）由（1）得三角形ABC是等腰直角三角形，
所以S△ABC=12×2×2=1.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形的形状判断
【解析】【分析】
（1）根据正弦定理化简已知条件，选择条件①、条件②、条件③后，根据所选条件进行分析，由此求得正确答案.
（2）利用三角形的面积公式求得正确答案.
16．【答案】（1）解：由题意知f'(x)=3ax2-b，
因为f(x)在x=2处取得极小值-43
则f'(2)=12a-b=0f(2)=8a-2b+4=-43，
解得：a=13，b=4
经检验，满足题意，所以a=13，b=4，
所以f(x)=13x3-4x+4
（2）解：由题意知f(x)=13x3-4x+4，f'(x)=x2-4，所以f(3)=1，f'(3)=5，所以切点坐标为(3,1)，斜率k=5，
所以切线方程为：y-1=5(x-3)，即5x-y-14=0.
（3）解：令f'(x)=0，解得x=-2或x=2，则x，f'(x)，f(x)的关系如下表：
则f(-2)=283，f(2)=-43
方程f(x)+k=0有且只有一个实数根等价于-k=f(x)有且只有一个实数根，
等价于函数y=-k与y=f(x)有且只有一个交点，即-k<-43或-k>283，解得：k<-283或k>43，
所以k∈(-∞,-283)∪(43,+∞).
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】
（1）求出f'(x)，由题意可的f'(2)=0f(2)=-43，由此即可求出答案；
（2）分别求出f(3)，f'(3)的值，再利用点斜式写出直线；
（3）将问题转化为函数y=-k与y=f(x)有且只有一个交点，求出函数y=f(x)的单调性与极值，即可求出k的取值范围.
17．【答案】（1）解：因为点(an,an+1)在直线y=3x上，所以an+1an=3，
又a1=3，故数列{an}是以3为公比，3为首项的等比数列，所以an=3n，
Sn=3(1-3n)1-3=3n+1-32.
（2）证明：由题可知bn=n3n，记Tn=b1+b2+⋅⋅⋅+bn，
所以Tn=13+232+⋅⋅⋅+n3n①
①×13，得13Tn=132+233+⋅⋅⋅+n3n+1②
①-②，得23Tn=13+132+⋅⋅⋅+13n-n3n+1=12(1-13n)-n3n+1=12-3+2n2×3n+1，
故Tn=34-3+2n4×3n，又3+2n4×3n>0，故Tn<34，即证
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和；数列与函数的综合；数列与不等式的综合
【解析】【分析】
（1）根据等比数列的通项公式结合前n项和公式，即可求得结果；
（2）利用错位相减法求得{bn}的前n项和，再证明即可.
18．【答案】（1）证明：取PC中点E，连接ME,BE，因为M为DP中点，N为AB中点，
所以ME∥__12DC，又因为BN∥12CD，所以ME∥BN，则四边形BEMN为平行四边形
MN∥BE，因为MN⊄平面PBC，BE⊂平面PBC，所以MN∥平面PBC.
（2）证明：因为∠DCB=∠PCB=π4,CD=PC,BC=BC，所以BCD≅△BCP，
过P作PQ⊥BC于点Q，则DQ⊥BC
PQ=DQ=2,PQ2+DQ2=4=PD2，所以PQ⊥DQ，
PQ⊥平面ABCD，因为PQ⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面ABCD.
（3）解：以Q为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，
则C(2,0,0),P(0,0,2),D(0,2,0),M(0,22,22),A(-2,2,0)∴CM=(-2,22,22),AD=(2,0,0),DP=(0,-2,2)
设平面PAD的一个法向量n=(x,y,z)，则2x=0-2y+2z=0，解得n→=(0,1,1)，
设CM与平面PAD所成角为θ，则sinθ=|CM→⋅n→||CM→||n→|=22+12+12⋅2=33.
【知识点】直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）取PC中点E，由已知条件，结合线面平行的判定证明即可；
（2）过P作PQ⊥BC于点Q，利用三角形全等结合线面垂直的判定、面面垂直的判定证明即可；
（3）以Q为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
19．【答案】（1）解：若以F1为圆心，1为半径的圆与以F2为圆心，3为半径的圆相交于A，B两点，
若椭圆E经过A，B两点，可得2a=1+3=4，可得a=2，
设A(x0,y0)，且A1(-a,0)，A2(a,0)，则x02a2+y02b2=1，
因为kAA1⋅kAA2=-34，可得y0x0+a⋅y0x0-a=y02x02-a2=-b2a2=-34，
所以b2=3，所以椭圆E的方程为x24+y23=1.
（2）解：①由（1）知，椭圆E的焦点F2(1,0)，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，P(4,t)，
则切线PM的方程为xx14+yy13=1，即3xx1+4yy1=12，点P在直线PM上，
所以12x1+4ty1=12，即3x1+ty1=3，
因为kMF2=y1x1-1，kPF2=t4-1=t3，所以kMF2⋅kPF2=y1x1-1⋅t3=ty13(x1-1)，
因为3x1+ty1=3，所以ty1=3-3x1=3(1-x1)，
代入上式，可得kMF2⋅kPF2=ty13(x1-1)=3(1-x2)3(x1-1)=-1
所以MF2⊥PF2，同理NF2⊥PF2，
所以直线MN恒过定点F2(1,0).
②由（1）知直线MN恒过定点F2(1,0)，
令直线MN：x=my+1，代入椭圆方程x24+y23=1，
联立方程组x=my+1x24+y23=1，可得y2(3m2+4)+6my-9=0，
则y1+y2=-6m3m2+4，y1y2=-93m2+4，且△=(6m)2+36(3m2+4)>0，
（i）当m≠0时，点P到直线MN的距离为|PF2|=9+t2，
因为PF2⊥MN，所以kPF2⋅kMN=-1，所以t3⋅1m=-1，
所以t=-3m，所以|PF2|=9+9m2=31+m2，
又由弦长公式，
可得|MN|=1+m2|y1-y2|=1+m2(y1+y2)2-4y1y2
=1+m2(-6m3m2+4)2-4×-93m2+4=12(1+m2)3m2+4，
所以S△PMN=12|PF2||MN|=18(1+m2)1+m23m2+4，
令n=1+m2>1，所以m2=n2-1，
则S△MMN=18n2⋅n3n2+4=18n33n2+4=183n+1n3，
因为y=3n+1n3在n∈(1,+∞)上单调递减，所以S△PMN=183n+1n3在n∈(1,+∞)上单调递增，
所以S△PMN>92；
（ii）当m=0时，S△PMN=184=92，综上可得，△PMN的最小值为92.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的综合
【解析】【分析】
（1）根据题意，得到2a=4，再由kAA1⋅kAA2=-34，得到-b2a2=-34，求得a,b的值，即可求解；
（2）①设M(x1,y1),N(x2,y2),P(4,t)，得到切线PM的方程，得到3x1+ty1=3，得到kMF2⋅kPF2=-1，得到MF2⊥PF2，同理NF2⊥PF2，进而得到MN恒过定点F2(1,0).
②由（1），设直线MN:x=my+1，联立方程组得到y1+y2=-6m3m2+4,y1y2=-93m2+4，再分m≠0和m=0时，两种情况讨论，结合换元法和函数的单调性，即可求解.x
(-∞,-2)
-2
(-2,2)
2
(2,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
单调递增
283
单调递减
-43
单调递增
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