还剩21页未读，
继续阅读
2023-2024学年广东省深圳市南山实验教育集团八年级（下）期中数学试卷
展开
这是一份2023-2024学年广东省深圳市南山实验教育集团八年级（下）期中数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列图标中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）如图，要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则需要添加的一个条件是（ ）
A．∠C＝∠DB．AC＝BDC．BC＝BDD．AD＝BC
3．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，BD＝CD，AE⊥BD于点E，若∠C＝70°，则∠BAE＝（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
4．（3分）下列各式变形中，是因式分解的是（ ）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．2（x﹣y）＝2x﹣2y
C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4D．x2+2x+3＝（x+1）2+2
5．（3分）如果不等式（a﹣3）x＜a﹣3的解集为x＞1，则a必须满足的条件是（ ）
A．a＞0B．a＞3C．a≠3D．a＜3
6．（3分）如图，△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，∠B＝90°，AB＝6，DH＝4，平移距离为7，则阴影部分的面积为（ ）
A．12B．16C．28D．24
7．（3分）下列分式变形从左到右一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，则不等式kx+b≤0的解集是（ ）
A．x≤2B．x＜2C．x≥2D．x＞2
9．（3分）如图，∠AOB＝30°．按下列步骤作图：①在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作圆弧DE，交射线OB于点F，连接CF；②以点F为圆心，CF长为半径作圆弧，交弧DE于点G；③连接FG、CG，作射线OG．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠AOG＝60°B．OF垂直平分CG
C．OG＝CGD．OC＝2FG
10．（3分）如图，平行四边形ABCD中，AD＝2AB，CE⊥AB于点E，CE的垂直平分线MN分别交AD、BC于M、N，交CE于O，连接CM、EM，下列结论：①∠AEM＝∠DCM；②AM＝DM；③∠BCD＝2∠DCM；④S四边形BEON＝S△CDM．其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（共5小题，每题3分，共15分）
11．（3分）要使式子有意义，则x的取值范围是 ．
12．（3分）因式分解：x2y﹣2xy+y＝ ．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1，AB＝4，则△ABD的面积是 ．
14．（3分）若关于x的方程有增根，则m的值是 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的角平分线交AC于D，BD＝，过点C作CE⊥BD交BD的延长线于E，则CE的长为 ．
三、解答题（共7题，共55分）
16．（12分）计算：
（1）解不等式组：；
（2）解不等式组：；
（3）因式分解：a3﹣6a2+9a；
（4）因式分解：x2（x﹣3）+4（3﹣x）．
17．（7分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）．
（1）将△ABC向左平移5个单位得到△A′B′C′，则C′的坐标为（ ， ）；
（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出B1的坐标为（ ， ）；
（3）若点P为y轴上一动点，求PA+PC的最小值．
18．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，过CA的延长线上一点D，作DE⊥BC，垂足为E，交边AB于点F．
（1）求证：△ADF是等腰三角形；
（2）若AD＝13，BE＝5，F为AB的中点，求EF的长．
19．（7分）某工厂制作甲、乙两种窗户边框，已知同样用12米材料制成甲种边框的个数比制成乙种边框的个数少1个，且制成一个甲种边框比制成一个乙种边框需要多用20%的材料．
（1）求制作每个甲种边框、乙种边框各用多少米材料？
（2）如果制作甲、乙两种边框的材料共640米，要求制作乙种边框的数量不少于甲种边框数量的2倍，求应最多安排多少米材料制作甲种边框？（不计材料损耗）
20．（6分）如图，点E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，BE∥DF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若AC＝8，BC＝6，∠ACB＝30°，求平行四边形ABCD的面积．
21．（8分）阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“m2﹣mn+2m﹣2n”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式．然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为m2﹣mn+2m﹣2n＝（m2﹣mn）+（2m﹣2n）＝m（m﹣n）+2（m﹣n）＝（m﹣n）（m+2）．“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：
（1）分解因式：a3﹣3a2﹣9a+27；
（2）已知m+n＝5，m﹣n＝1，求m2﹣n2+2m﹣2n的值；
（3）△ABC的三边a，b，c满足a2+ab+c2﹣bc＝2ac，判断△ABC的形状并说明理由．
22．（9分）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．
（1）图1中，线段PM与PN的数量关系是 ，位置关系是 ．
（2）把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN、BD、CE，判断△PMN的形状，并说明理由．
（3）把△ADE绕点A逆时针方向旋转的过程中，如果∠ABD＝30°（D在Rt△ABC内部，如图3），AB＝BD，
求证：AD＝CD．
2023-2024学年广东省深圳市南山实验教育集团八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图标中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可．
【解答】解：A．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．（3分）如图，要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则需要添加的一个条件是（ ）
A．∠C＝∠DB．AC＝BDC．BC＝BDD．AD＝BC
【分析】由于斜边AB为公共边，则添加一组直角边对应相等即可．
【解答】解：∵AB＝AB，
∴当添加AC＝AD或BC＝BD时，Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）．
故选：C．
3．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，BD＝CD，AE⊥BD于点E，若∠C＝70°，则∠BAE＝（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【分析】由等腰三角形的性质得∠DBC＝∠C＝70°，则∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝40°，再由平行四边形的性质得AB∥CD，则∠ABE＝∠BDC＝40°，然后由直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵BD＝CD，∠C＝70°，
∴∠DBC＝∠C＝70°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABE＝∠BDC＝40°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣∠ABE＝90°﹣40°＝50°，
故选：A．
4．（3分）下列各式变形中，是因式分解的是（ ）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．2（x﹣y）＝2x﹣2y
C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4D．x2+2x+3＝（x+1）2+2
【分析】根据因式分解的定义，整式乘法的定义，依次判断，即可求解，
【解答】解：A、是分解因式，符合题意；
B、是整式的乘法运算，不符合题意；
C、是整式的乘法运算，不符合题意；
D、不是把多项式化成整式积的形式，不符合题意．
故选：A．
5．（3分）如果不等式（a﹣3）x＜a﹣3的解集为x＞1，则a必须满足的条件是（ ）
A．a＞0B．a＞3C．a≠3D．a＜3
【分析】根据不等式的性质，发现不等号方向改变了，说明两边同时乘或除了一个负数，由此求出a的范围即可．
【解答】解：∵不等式（a﹣3）x＜a﹣3的解集为x＞1，
∴a﹣3＜0，
∴a＜3，
故选：D．
6．（3分）如图，△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，∠B＝90°，AB＝6，DH＝4，平移距离为7，则阴影部分的面积为（ ）
A．12B．16C．28D．24
【分析】由S△ABC＝S△DEF，推出S四边形ABEH＝S阴即可解决问题．
【解答】解：∵平移距离为7，
∴BE＝7，
∵AB＝6，DH＝4，
∴EH＝6﹣4＝2，
∵S△ABC＝S△DEF，
∴S四边形ABEH＝S阴，
∴阴影部分的面积为＝×（6+2）×7＝28．
故选：C．
7．（3分）下列分式变形从左到右一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，解决即可．
【解答】解：A、，故本选项不符合题意；
B、当c≠0时才成立，故本选项不符合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：C．
8．（3分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，则不等式kx+b≤0的解集是（ ）
A．x≤2B．x＜2C．x≥2D．x＞2
【分析】观察函数图象得可求解．
【解答】解：由图象可得：当x≤2时，kx+b≤0，
所以不等式kx+b≤0的解集为x≤2，
故选：A．
9．（3分）如图，∠AOB＝30°．按下列步骤作图：①在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作圆弧DE，交射线OB于点F，连接CF；②以点F为圆心，CF长为半径作圆弧，交弧DE于点G；③连接FG、CG，作射线OG．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠AOG＝60°B．OF垂直平分CG
C．OG＝CGD．OC＝2FG
【分析】由作法得OC＝OF＝OG，FG＝FC，根据线段垂直平分线的判定方法可判断OF垂直平分CG，则可对B选项进行判断；利用C点与G点关于OF对称得到∠FOG＝∠FOC＝30°，则可对A选项进行判断；通过判断△OCG为等边三角形可对C选项进行判断；利用含30度的直角三角形三边的关系得到OC＝2CM，加上CF＞CM，FC＝FG，则可对D选项进行判断．
【解答】解：由作法得OC＝OF＝OG，FG＝FC，
则OF垂直平分CG，所以B选项的结论正确；
∵C点与G点关于OF对称，
∴∠FOG＝∠FOC＝30°，
∴∠AOG＝60°，所以A选项的结论正确；
∴△OCG为等边三角形，
∴OG＝CG，所以C选项的结论正确；
在Rt△OCM中，∵∠COM＝30°，
∴OC＝2CM，
∵CF＞CM，FC＝FG，
∴OC≠2FG，所以D选项的结论错误．
故选：D．
10．（3分）如图，平行四边形ABCD中，AD＝2AB，CE⊥AB于点E，CE的垂直平分线MN分别交AD、BC于M、N，交CE于O，连接CM、EM，下列结论：①∠AEM＝∠DCM；②AM＝DM；③∠BCD＝2∠DCM；④S四边形BEON＝S△CDM．其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①由平行四边形性质可得AB∥CD，由线段垂直平分线性质可得ME＝MC，再根据等角的余角相等可得①正确；②构造△AME≌△DMG（ASA），即可证明②正确；③利用平行四边形性质、线段垂直平分线性质和AD＝2AB可得四边形CDMN是菱形，依据菱形性质即可证明③正确；④S△CDM＝S菱形CDMN，S四边形BEON＜S菱形CDMN，④不一定成立；
【解答】解：延长EM交CD的延长线于G，如图，∵ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD
∴∠AEM＝∠G
∵CE⊥AB
∴CE⊥CD
∵MN垂直平分CE，
∴ME＝MC
∴∠MEC＝∠MCE
∵∠MEC+∠G＝90°，∠MCE+∠DCM＝90°
∴∠DCM＝∠G
∴∠AEM＝∠DCM
故①正确；
∵∠DCM＝∠G
∴MC＝MG
∴ME＝MG
∵∠AME＝∠DMG
∴△AME≌△DMG（ASA）
∴AM＝DM
故②正确；
∵ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC
∵CE⊥AB，MN⊥CE
∴AB∥MN∥CD
∴四边形ABNM、四边形CDMN均为平行四边形
∴MN＝AB
∵AM＝MD＝，AD＝2AB
∴MD＝CD＝MN＝NC
∴四边形CDMN是菱形
∴∠BCD＝2∠DCM，
故③正确；
设菱形ABNM的高为h，则S△CDM＝S菱形CDMN，S四边形BEON＝（BE+ON）×h＝ON×h
∵OM＝（AE+CD）
∴CD＜OM＜AB
∴ON＜CD
∴S四边形BEON＜CD×h＝S菱形CDMN，
故④不一定成立；
故选：C．
二、填空题（共5小题，每题3分，共15分）
11．（3分）要使式子有意义，则x的取值范围是 x≠2 ．
【分析】根据分母不为零的条件进行解题即可．
【解答】解：要使分式有意义，
则2﹣x≠0，
解得x≠2．
故答案为：x≠2．
12．（3分）因式分解：x2y﹣2xy+y＝ y（x﹣1）2 ．
【分析】直接提取公因式y，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：原式＝y（x2﹣2x+1）
＝y（x﹣1）2．
故答案为：y（x﹣1）2．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1，AB＝4，则△ABD的面积是 2 ．
【分析】直接利用角平分线的性质得出D到AB的距离，进而利用三角形面积求法得出答案．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E
∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴DC＝DE＝1，
∵AB＝4，
∴S△ABD＝×DE×AB＝×1×4＝2．
故答案为：2．
14．（3分）若关于x的方程有增根，则m的值是 ﹣1 ．
【分析】利用分式方程解法的一般步骤解分式方程，令方程的解为2得到关于m的方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：去分母得：
1﹣（x+m）＝2（x﹣2），
去括号得：
1﹣x﹣m＝2x﹣4，
移项，合并同类项得：
﹣3x＝m﹣5，
∴x＝．
∵关于x的方程有增根，
∴＝2，
∴m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的角平分线交AC于D，BD＝，过点C作CE⊥BD交BD的延长线于E，则CE的长为 ．
【分析】延长CE交BA的延长线于F，先证△FBE和△CBE全等得CE＝EF＝CF，再证△ABD和△ACF全等得BD＝CF＝，由此可得CE的长．
【解答】解：延长CE交BA的延长线于F，如下图所示：
∵BE平分∠ABC，CE⊥BD交BD的延长线于E，
∴∠FBE＝∠CBE，∠FEB＝∠CEB＝90°，
∴∠F+∠ABD＝90°，
在△FBE和△CBE中，
∠FBE＝∠CBE，BE＝BE，∠FEB＝∠CEB＝90°，
∴△FBE≌△CBE，
∴CE＝EF＝CF，
在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠BAD＝∠CAF＝90°，
∴∠ACF+∠F＝90°，
又∵∠F+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠ACF，
在△ABD和△ACF中，
∠BAD＝∠CAF＝90°，AB＝AC，∠ABD＝∠ACF，
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD＝CF＝，
∴CE＝CF＝．
故答案为：．
三、解答题（共7题，共55分）
16．（12分）计算：
（1）解不等式组：；
（2）解不等式组：；
（3）因式分解：a3﹣6a2+9a；
（4）因式分解：x2（x﹣3）+4（3﹣x）．
【分析】（1）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可；
（2）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可；
（3）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；
（4）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【解答】解：（1），
解不等式①，得x＞﹣2，
解不等式②，得x＜2，
所以原不等式组的解集为：﹣2＜x＜2；
（2），
解不等式①，得x≥﹣2，
解不等式②，得x＜5，
所以原不等式组的解集为：﹣2≤x＜5；
（3）a3﹣6a2+9a
＝a（a2﹣6a+9）
＝a（a﹣3）2；
（4）x2（x﹣3）+4（3﹣x）
＝x2（x﹣3）﹣4（x﹣3）
＝（x﹣3）（x2﹣4）
＝（x﹣3）（x+2）（x﹣2）．
17．（7分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）．
（1）将△ABC向左平移5个单位得到△A′B′C′，则C′的坐标为（ ﹣2 ， 3 ）；
（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出B1的坐标为（ 1 ， ﹣4 ）；
（3）若点P为y轴上一动点，求PA+PC的最小值．
【分析】（1）根据平移的性质即可将△ABC向左平移5个单位得到△A′B′C′，进而可得C′的坐标；
（2）根据旋转的性质即可将△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1，进而写出B1的坐标；
（3）找点A关于y轴的对称点A″，然后连接A″C交y轴于点P，根据网格和勾股定理即可求PA+PC的最小值．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求，C′的坐标为（﹣2，3）；
故答案为：﹣2，3；
（2）如图，△A1B1C1即为所求；B1的坐标为（1，﹣4）；
故答案为：1，﹣4；
（3）如图，点P为y轴上一动点，
∴PA+PC的最小值＝PA″+PC＝A″C＝＝2．
18．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，过CA的延长线上一点D，作DE⊥BC，垂足为E，交边AB于点F．
（1）求证：△ADF是等腰三角形；
（2）若AD＝13，BE＝5，F为AB的中点，求EF的长．
【分析】（1）因为AB＝AC，所以∠B＝∠C，再利用DE⊥BC进行角之间的转换，得出∠D＝∠DFA，推导出△ADF是等腰三角形；
（2）根据勾股定理计算EF的长．
【解答】解：（1）证明：∵在△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠B+∠BFE＝90°，∠C+∠D＝90°，
∴∠BFE＝∠D，
又∵∠BFE＝∠AFD，
∴∠D＝∠AFD，
∴△ADF 是等腰三角形；
（2）∵F为AB的中点，
∴AF＝BF，
∵△ADF是等腰三角形，
BF＝AF＝AD＝13，
∵DE⊥BC，
∴EF＝＝12，
答：EF的长为12．
19．（7分）某工厂制作甲、乙两种窗户边框，已知同样用12米材料制成甲种边框的个数比制成乙种边框的个数少1个，且制成一个甲种边框比制成一个乙种边框需要多用20%的材料．
（1）求制作每个甲种边框、乙种边框各用多少米材料？
（2）如果制作甲、乙两种边框的材料共640米，要求制作乙种边框的数量不少于甲种边框数量的2倍，求应最多安排多少米材料制作甲种边框？（不计材料损耗）
【分析】（1）设制作每个乙种边框用x米材料，则制作甲种边框用（1+20%）x米材料，根据“同样用12米材料制成甲种边框的个数比制成乙种边框的个数少1个”，列出方程，即可解答；
（2）根据所需要材料的总长度l＝甲的材料的总长度+乙的材料的总长度，列出函数关系式；再根据“乙种边框的数量不少于甲种边框数量的2倍”列出不等式并解答．
【解答】解：（1）设制作每个乙种边框用x米材料，则制作甲种边框用（1+20%）x米材料，
由题意，得﹣1＝，
解得：x＝2，
经检验，x＝2是原方程的解，
∴（1+20%）x＝2.4（米），
答：制作每个甲种用2.4米材料；制作每个乙种用2米材料．
（2）设应安排制作甲种边框需要a米，则安排制作乙种边框需要（640﹣a）米，
由题意，得≥×2．
解得a≤240，
答：最多安排240米材料制作甲种边框．
20．（6分）如图，点E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，BE∥DF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若AC＝8，BC＝6，∠ACB＝30°，求平行四边形ABCD的面积．
【分析】（1）先证∠ACB＝∠CAD，再证出△BEC≌△DFA，从而得出BE＝DF，结合BE∥DF，即可判定四边形BEDF是平行四边形；
（2）过A点作AG⊥BC，交CB的延长线于G，根据含30°角的直角三角形的性质得出AG，进而利用平行四边形的面积解答即可．
【解答】（1）证明：平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ACB＝∠CAD，
又∵BE∥DF，
∴∠BEC＝∠DFA，
在△BEC和△DFA中，
，
∴△BEC≌△DFA（AAS），
∴BE＝DF，
又BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：过A点作AG⊥BC，交CB的延长线于G，
在Rt△AGC中，AC＝8，∠ACB＝30°，
∴AG＝4，
∵BC＝6，
∴平行四边形ABCD的面积＝BC•AG＝4×6＝24．
21．（8分）阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“m2﹣mn+2m﹣2n”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式．然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为m2﹣mn+2m﹣2n＝（m2﹣mn）+（2m﹣2n）＝m（m﹣n）+2（m﹣n）＝（m﹣n）（m+2）．“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：
（1）分解因式：a3﹣3a2﹣9a+27；
（2）已知m+n＝5，m﹣n＝1，求m2﹣n2+2m﹣2n的值；
（3）△ABC的三边a，b，c满足a2+ab+c2﹣bc＝2ac，判断△ABC的形状并说明理由．
【分析】（1）首先将前两项组合提取公因式，后两项组合提取公因式，然后提取新的公因式即可；
（2）首先将前两项以及后两项组合，前两项利用平方差公式分解因式，后两项提取公因式法分解因式，再提取新的公因式即可；
（3）先将原式变形为a2﹣2ac+c2+（ab﹣bc）＝0，前三项利用完全平方公式分解因式，后两项提取公因式，得到（a﹣c）2+b（a﹣c）＝0，再提取一次公因式即可判断．
【解答】解：（1）a3﹣3a2﹣9a+27
＝a2（a﹣3）﹣9（a﹣3）
＝（a﹣3）（a2﹣9）
＝（a﹣3）2（a+3）；
（2）m2﹣n2+2m﹣2n
＝（m2﹣n2）﹣（2n﹣2m）
＝（m+n）（m﹣n）﹣2（n﹣m）
＝（m+n）（m﹣n）+2（m﹣n）
＝（m﹣n）（m+n+2），
∵m+n＝5，m﹣n＝1，
∴原式＝1×（5+2）＝7；
（3）△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵a2+ab+c2﹣bc＝2ac，
∴a2﹣2ac+c2+（ab﹣bc）＝0，
∴（a﹣c）2+b（a﹣c）＝0，
∴（a﹣c）（a﹣c+b）＝0，
∵a﹣c+b＞0，
∴a﹣c＝0，即a＝c，
∴△ABC是等腰三角形．
22．（9分）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．
（1）图1中，线段PM与PN的数量关系是 PM＝PN ，位置关系是 PM⊥PN ．
（2）把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN、BD、CE，判断△PMN的形状，并说明理由．
（3）把△ADE绕点A逆时针方向旋转的过程中，如果∠ABD＝30°（D在Rt△ABC内部，如图3），AB＝BD，
求证：AD＝CD．
【分析】（1）利用三角形的中位线得出PM＝CE，PN＝BD，进而判断出BD＝CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM∥CE得出∠DPM＝∠DCA，最后用互余即可得出结论；
（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，同（1）的方法得出PM＝BD，PN＝BD，即可得出PM＝PN，同（1）的方法即可得出结论；
（3）先判断出∠BAG＝60°，AG＝AB＝AC，进而求出∠BAD＝∠BDA＝75°，即可得出∠GAD＝∠DAC，进而得出△ADG≌△ADH，得出AH＝AG，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，
∴PN∥BD，PN＝BD，
∵点P，M是CD，DE的中点，
∴PM∥CE，PM＝CE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝CE，
∴PM＝PN，
∵PN∥BD，
∴∠DPN＝∠ADC，
∵PM∥CE，
∴∠DPM＝∠DCA，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，
∴PM⊥PN，
故答案为：PM＝PN，PM⊥PN，
（2）△PMN是等腰直角三角形，理由：
由旋转知，∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，
同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN＝BD，PM＝CE，
∴PM＝PN，
∴△PMN是等腰三角形，
同（1）的方法得，PM∥CE，
∴∠DPM＝∠DCE，
同（1）的方法得，PN∥BD，
∴∠PNC＝∠DBC，
∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC
＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC
＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ACB+∠ABC＝90°，
∴∠MPN＝90°，
∴△PMN是等腰直角三角形，
（3）如图3，过点A作AG⊥BD于G，过点D作DH⊥AC于H，
∴∠BAG＝60°，AG＝AB＝AC，
∵AB＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA＝75°，
∴∠GAD＝15°，∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝15°，
∴∠GAD＝∠DAC，
∴△ADG≌△ADH，
∴AH＝AG，
∴AH＝AC，
∴CH＝AH，
∵DH⊥AC，
∴AD＝CD．
1．（3分）下列图标中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）如图，要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则需要添加的一个条件是（ ）
A．∠C＝∠DB．AC＝BDC．BC＝BDD．AD＝BC
3．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，BD＝CD，AE⊥BD于点E，若∠C＝70°，则∠BAE＝（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
4．（3分）下列各式变形中，是因式分解的是（ ）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．2（x﹣y）＝2x﹣2y
C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4D．x2+2x+3＝（x+1）2+2
5．（3分）如果不等式（a﹣3）x＜a﹣3的解集为x＞1，则a必须满足的条件是（ ）
A．a＞0B．a＞3C．a≠3D．a＜3
6．（3分）如图，△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，∠B＝90°，AB＝6，DH＝4，平移距离为7，则阴影部分的面积为（ ）
A．12B．16C．28D．24
7．（3分）下列分式变形从左到右一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，则不等式kx+b≤0的解集是（ ）
A．x≤2B．x＜2C．x≥2D．x＞2
9．（3分）如图，∠AOB＝30°．按下列步骤作图：①在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作圆弧DE，交射线OB于点F，连接CF；②以点F为圆心，CF长为半径作圆弧，交弧DE于点G；③连接FG、CG，作射线OG．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠AOG＝60°B．OF垂直平分CG
C．OG＝CGD．OC＝2FG
10．（3分）如图，平行四边形ABCD中，AD＝2AB，CE⊥AB于点E，CE的垂直平分线MN分别交AD、BC于M、N，交CE于O，连接CM、EM，下列结论：①∠AEM＝∠DCM；②AM＝DM；③∠BCD＝2∠DCM；④S四边形BEON＝S△CDM．其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（共5小题，每题3分，共15分）
11．（3分）要使式子有意义，则x的取值范围是 ．
12．（3分）因式分解：x2y﹣2xy+y＝ ．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1，AB＝4，则△ABD的面积是 ．
14．（3分）若关于x的方程有增根，则m的值是 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的角平分线交AC于D，BD＝，过点C作CE⊥BD交BD的延长线于E，则CE的长为 ．
三、解答题（共7题，共55分）
16．（12分）计算：
（1）解不等式组：；
（2）解不等式组：；
（3）因式分解：a3﹣6a2+9a；
（4）因式分解：x2（x﹣3）+4（3﹣x）．
17．（7分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）．
（1）将△ABC向左平移5个单位得到△A′B′C′，则C′的坐标为（ ， ）；
（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出B1的坐标为（ ， ）；
（3）若点P为y轴上一动点，求PA+PC的最小值．
18．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，过CA的延长线上一点D，作DE⊥BC，垂足为E，交边AB于点F．
（1）求证：△ADF是等腰三角形；
（2）若AD＝13，BE＝5，F为AB的中点，求EF的长．
19．（7分）某工厂制作甲、乙两种窗户边框，已知同样用12米材料制成甲种边框的个数比制成乙种边框的个数少1个，且制成一个甲种边框比制成一个乙种边框需要多用20%的材料．
（1）求制作每个甲种边框、乙种边框各用多少米材料？
（2）如果制作甲、乙两种边框的材料共640米，要求制作乙种边框的数量不少于甲种边框数量的2倍，求应最多安排多少米材料制作甲种边框？（不计材料损耗）
20．（6分）如图，点E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，BE∥DF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若AC＝8，BC＝6，∠ACB＝30°，求平行四边形ABCD的面积．
21．（8分）阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“m2﹣mn+2m﹣2n”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式．然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为m2﹣mn+2m﹣2n＝（m2﹣mn）+（2m﹣2n）＝m（m﹣n）+2（m﹣n）＝（m﹣n）（m+2）．“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：
（1）分解因式：a3﹣3a2﹣9a+27；
（2）已知m+n＝5，m﹣n＝1，求m2﹣n2+2m﹣2n的值；
（3）△ABC的三边a，b，c满足a2+ab+c2﹣bc＝2ac，判断△ABC的形状并说明理由．
22．（9分）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．
（1）图1中，线段PM与PN的数量关系是 ，位置关系是 ．
（2）把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN、BD、CE，判断△PMN的形状，并说明理由．
（3）把△ADE绕点A逆时针方向旋转的过程中，如果∠ABD＝30°（D在Rt△ABC内部，如图3），AB＝BD，
求证：AD＝CD．
2023-2024学年广东省深圳市南山实验教育集团八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图标中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可．
【解答】解：A．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．（3分）如图，要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则需要添加的一个条件是（ ）
A．∠C＝∠DB．AC＝BDC．BC＝BDD．AD＝BC
【分析】由于斜边AB为公共边，则添加一组直角边对应相等即可．
【解答】解：∵AB＝AB，
∴当添加AC＝AD或BC＝BD时，Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）．
故选：C．
3．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，BD＝CD，AE⊥BD于点E，若∠C＝70°，则∠BAE＝（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【分析】由等腰三角形的性质得∠DBC＝∠C＝70°，则∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝40°，再由平行四边形的性质得AB∥CD，则∠ABE＝∠BDC＝40°，然后由直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵BD＝CD，∠C＝70°，
∴∠DBC＝∠C＝70°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABE＝∠BDC＝40°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣∠ABE＝90°﹣40°＝50°，
故选：A．
4．（3分）下列各式变形中，是因式分解的是（ ）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．2（x﹣y）＝2x﹣2y
C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4D．x2+2x+3＝（x+1）2+2
【分析】根据因式分解的定义，整式乘法的定义，依次判断，即可求解，
【解答】解：A、是分解因式，符合题意；
B、是整式的乘法运算，不符合题意；
C、是整式的乘法运算，不符合题意；
D、不是把多项式化成整式积的形式，不符合题意．
故选：A．
5．（3分）如果不等式（a﹣3）x＜a﹣3的解集为x＞1，则a必须满足的条件是（ ）
A．a＞0B．a＞3C．a≠3D．a＜3
【分析】根据不等式的性质，发现不等号方向改变了，说明两边同时乘或除了一个负数，由此求出a的范围即可．
【解答】解：∵不等式（a﹣3）x＜a﹣3的解集为x＞1，
∴a﹣3＜0，
∴a＜3，
故选：D．
6．（3分）如图，△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，∠B＝90°，AB＝6，DH＝4，平移距离为7，则阴影部分的面积为（ ）
A．12B．16C．28D．24
【分析】由S△ABC＝S△DEF，推出S四边形ABEH＝S阴即可解决问题．
【解答】解：∵平移距离为7，
∴BE＝7，
∵AB＝6，DH＝4，
∴EH＝6﹣4＝2，
∵S△ABC＝S△DEF，
∴S四边形ABEH＝S阴，
∴阴影部分的面积为＝×（6+2）×7＝28．
故选：C．
7．（3分）下列分式变形从左到右一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，解决即可．
【解答】解：A、，故本选项不符合题意；
B、当c≠0时才成立，故本选项不符合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：C．
8．（3分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，则不等式kx+b≤0的解集是（ ）
A．x≤2B．x＜2C．x≥2D．x＞2
【分析】观察函数图象得可求解．
【解答】解：由图象可得：当x≤2时，kx+b≤0，
所以不等式kx+b≤0的解集为x≤2，
故选：A．
9．（3分）如图，∠AOB＝30°．按下列步骤作图：①在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作圆弧DE，交射线OB于点F，连接CF；②以点F为圆心，CF长为半径作圆弧，交弧DE于点G；③连接FG、CG，作射线OG．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠AOG＝60°B．OF垂直平分CG
C．OG＝CGD．OC＝2FG
【分析】由作法得OC＝OF＝OG，FG＝FC，根据线段垂直平分线的判定方法可判断OF垂直平分CG，则可对B选项进行判断；利用C点与G点关于OF对称得到∠FOG＝∠FOC＝30°，则可对A选项进行判断；通过判断△OCG为等边三角形可对C选项进行判断；利用含30度的直角三角形三边的关系得到OC＝2CM，加上CF＞CM，FC＝FG，则可对D选项进行判断．
【解答】解：由作法得OC＝OF＝OG，FG＝FC，
则OF垂直平分CG，所以B选项的结论正确；
∵C点与G点关于OF对称，
∴∠FOG＝∠FOC＝30°，
∴∠AOG＝60°，所以A选项的结论正确；
∴△OCG为等边三角形，
∴OG＝CG，所以C选项的结论正确；
在Rt△OCM中，∵∠COM＝30°，
∴OC＝2CM，
∵CF＞CM，FC＝FG，
∴OC≠2FG，所以D选项的结论错误．
故选：D．
10．（3分）如图，平行四边形ABCD中，AD＝2AB，CE⊥AB于点E，CE的垂直平分线MN分别交AD、BC于M、N，交CE于O，连接CM、EM，下列结论：①∠AEM＝∠DCM；②AM＝DM；③∠BCD＝2∠DCM；④S四边形BEON＝S△CDM．其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①由平行四边形性质可得AB∥CD，由线段垂直平分线性质可得ME＝MC，再根据等角的余角相等可得①正确；②构造△AME≌△DMG（ASA），即可证明②正确；③利用平行四边形性质、线段垂直平分线性质和AD＝2AB可得四边形CDMN是菱形，依据菱形性质即可证明③正确；④S△CDM＝S菱形CDMN，S四边形BEON＜S菱形CDMN，④不一定成立；
【解答】解：延长EM交CD的延长线于G，如图，∵ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD
∴∠AEM＝∠G
∵CE⊥AB
∴CE⊥CD
∵MN垂直平分CE，
∴ME＝MC
∴∠MEC＝∠MCE
∵∠MEC+∠G＝90°，∠MCE+∠DCM＝90°
∴∠DCM＝∠G
∴∠AEM＝∠DCM
故①正确；
∵∠DCM＝∠G
∴MC＝MG
∴ME＝MG
∵∠AME＝∠DMG
∴△AME≌△DMG（ASA）
∴AM＝DM
故②正确；
∵ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC
∵CE⊥AB，MN⊥CE
∴AB∥MN∥CD
∴四边形ABNM、四边形CDMN均为平行四边形
∴MN＝AB
∵AM＝MD＝，AD＝2AB
∴MD＝CD＝MN＝NC
∴四边形CDMN是菱形
∴∠BCD＝2∠DCM，
故③正确；
设菱形ABNM的高为h，则S△CDM＝S菱形CDMN，S四边形BEON＝（BE+ON）×h＝ON×h
∵OM＝（AE+CD）
∴CD＜OM＜AB
∴ON＜CD
∴S四边形BEON＜CD×h＝S菱形CDMN，
故④不一定成立；
故选：C．
二、填空题（共5小题，每题3分，共15分）
11．（3分）要使式子有意义，则x的取值范围是 x≠2 ．
【分析】根据分母不为零的条件进行解题即可．
【解答】解：要使分式有意义，
则2﹣x≠0，
解得x≠2．
故答案为：x≠2．
12．（3分）因式分解：x2y﹣2xy+y＝ y（x﹣1）2 ．
【分析】直接提取公因式y，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：原式＝y（x2﹣2x+1）
＝y（x﹣1）2．
故答案为：y（x﹣1）2．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1，AB＝4，则△ABD的面积是 2 ．
【分析】直接利用角平分线的性质得出D到AB的距离，进而利用三角形面积求法得出答案．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E
∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴DC＝DE＝1，
∵AB＝4，
∴S△ABD＝×DE×AB＝×1×4＝2．
故答案为：2．
14．（3分）若关于x的方程有增根，则m的值是 ﹣1 ．
【分析】利用分式方程解法的一般步骤解分式方程，令方程的解为2得到关于m的方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：去分母得：
1﹣（x+m）＝2（x﹣2），
去括号得：
1﹣x﹣m＝2x﹣4，
移项，合并同类项得：
﹣3x＝m﹣5，
∴x＝．
∵关于x的方程有增根，
∴＝2，
∴m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的角平分线交AC于D，BD＝，过点C作CE⊥BD交BD的延长线于E，则CE的长为 ．
【分析】延长CE交BA的延长线于F，先证△FBE和△CBE全等得CE＝EF＝CF，再证△ABD和△ACF全等得BD＝CF＝，由此可得CE的长．
【解答】解：延长CE交BA的延长线于F，如下图所示：
∵BE平分∠ABC，CE⊥BD交BD的延长线于E，
∴∠FBE＝∠CBE，∠FEB＝∠CEB＝90°，
∴∠F+∠ABD＝90°，
在△FBE和△CBE中，
∠FBE＝∠CBE，BE＝BE，∠FEB＝∠CEB＝90°，
∴△FBE≌△CBE，
∴CE＝EF＝CF，
在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠BAD＝∠CAF＝90°，
∴∠ACF+∠F＝90°，
又∵∠F+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠ACF，
在△ABD和△ACF中，
∠BAD＝∠CAF＝90°，AB＝AC，∠ABD＝∠ACF，
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD＝CF＝，
∴CE＝CF＝．
故答案为：．
三、解答题（共7题，共55分）
16．（12分）计算：
（1）解不等式组：；
（2）解不等式组：；
（3）因式分解：a3﹣6a2+9a；
（4）因式分解：x2（x﹣3）+4（3﹣x）．
【分析】（1）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可；
（2）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可；
（3）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；
（4）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【解答】解：（1），
解不等式①，得x＞﹣2，
解不等式②，得x＜2，
所以原不等式组的解集为：﹣2＜x＜2；
（2），
解不等式①，得x≥﹣2，
解不等式②，得x＜5，
所以原不等式组的解集为：﹣2≤x＜5；
（3）a3﹣6a2+9a
＝a（a2﹣6a+9）
＝a（a﹣3）2；
（4）x2（x﹣3）+4（3﹣x）
＝x2（x﹣3）﹣4（x﹣3）
＝（x﹣3）（x2﹣4）
＝（x﹣3）（x+2）（x﹣2）．
17．（7分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）．
（1）将△ABC向左平移5个单位得到△A′B′C′，则C′的坐标为（ ﹣2 ， 3 ）；
（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出B1的坐标为（ 1 ， ﹣4 ）；
（3）若点P为y轴上一动点，求PA+PC的最小值．
【分析】（1）根据平移的性质即可将△ABC向左平移5个单位得到△A′B′C′，进而可得C′的坐标；
（2）根据旋转的性质即可将△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1，进而写出B1的坐标；
（3）找点A关于y轴的对称点A″，然后连接A″C交y轴于点P，根据网格和勾股定理即可求PA+PC的最小值．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求，C′的坐标为（﹣2，3）；
故答案为：﹣2，3；
（2）如图，△A1B1C1即为所求；B1的坐标为（1，﹣4）；
故答案为：1，﹣4；
（3）如图，点P为y轴上一动点，
∴PA+PC的最小值＝PA″+PC＝A″C＝＝2．
18．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，过CA的延长线上一点D，作DE⊥BC，垂足为E，交边AB于点F．
（1）求证：△ADF是等腰三角形；
（2）若AD＝13，BE＝5，F为AB的中点，求EF的长．
【分析】（1）因为AB＝AC，所以∠B＝∠C，再利用DE⊥BC进行角之间的转换，得出∠D＝∠DFA，推导出△ADF是等腰三角形；
（2）根据勾股定理计算EF的长．
【解答】解：（1）证明：∵在△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠B+∠BFE＝90°，∠C+∠D＝90°，
∴∠BFE＝∠D，
又∵∠BFE＝∠AFD，
∴∠D＝∠AFD，
∴△ADF 是等腰三角形；
（2）∵F为AB的中点，
∴AF＝BF，
∵△ADF是等腰三角形，
BF＝AF＝AD＝13，
∵DE⊥BC，
∴EF＝＝12，
答：EF的长为12．
19．（7分）某工厂制作甲、乙两种窗户边框，已知同样用12米材料制成甲种边框的个数比制成乙种边框的个数少1个，且制成一个甲种边框比制成一个乙种边框需要多用20%的材料．
（1）求制作每个甲种边框、乙种边框各用多少米材料？
（2）如果制作甲、乙两种边框的材料共640米，要求制作乙种边框的数量不少于甲种边框数量的2倍，求应最多安排多少米材料制作甲种边框？（不计材料损耗）
【分析】（1）设制作每个乙种边框用x米材料，则制作甲种边框用（1+20%）x米材料，根据“同样用12米材料制成甲种边框的个数比制成乙种边框的个数少1个”，列出方程，即可解答；
（2）根据所需要材料的总长度l＝甲的材料的总长度+乙的材料的总长度，列出函数关系式；再根据“乙种边框的数量不少于甲种边框数量的2倍”列出不等式并解答．
【解答】解：（1）设制作每个乙种边框用x米材料，则制作甲种边框用（1+20%）x米材料，
由题意，得﹣1＝，
解得：x＝2，
经检验，x＝2是原方程的解，
∴（1+20%）x＝2.4（米），
答：制作每个甲种用2.4米材料；制作每个乙种用2米材料．
（2）设应安排制作甲种边框需要a米，则安排制作乙种边框需要（640﹣a）米，
由题意，得≥×2．
解得a≤240，
答：最多安排240米材料制作甲种边框．
20．（6分）如图，点E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，BE∥DF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若AC＝8，BC＝6，∠ACB＝30°，求平行四边形ABCD的面积．
【分析】（1）先证∠ACB＝∠CAD，再证出△BEC≌△DFA，从而得出BE＝DF，结合BE∥DF，即可判定四边形BEDF是平行四边形；
（2）过A点作AG⊥BC，交CB的延长线于G，根据含30°角的直角三角形的性质得出AG，进而利用平行四边形的面积解答即可．
【解答】（1）证明：平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ACB＝∠CAD，
又∵BE∥DF，
∴∠BEC＝∠DFA，
在△BEC和△DFA中，
，
∴△BEC≌△DFA（AAS），
∴BE＝DF，
又BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：过A点作AG⊥BC，交CB的延长线于G，
在Rt△AGC中，AC＝8，∠ACB＝30°，
∴AG＝4，
∵BC＝6，
∴平行四边形ABCD的面积＝BC•AG＝4×6＝24．
21．（8分）阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“m2﹣mn+2m﹣2n”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式．然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为m2﹣mn+2m﹣2n＝（m2﹣mn）+（2m﹣2n）＝m（m﹣n）+2（m﹣n）＝（m﹣n）（m+2）．“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：
（1）分解因式：a3﹣3a2﹣9a+27；
（2）已知m+n＝5，m﹣n＝1，求m2﹣n2+2m﹣2n的值；
（3）△ABC的三边a，b，c满足a2+ab+c2﹣bc＝2ac，判断△ABC的形状并说明理由．
【分析】（1）首先将前两项组合提取公因式，后两项组合提取公因式，然后提取新的公因式即可；
（2）首先将前两项以及后两项组合，前两项利用平方差公式分解因式，后两项提取公因式法分解因式，再提取新的公因式即可；
（3）先将原式变形为a2﹣2ac+c2+（ab﹣bc）＝0，前三项利用完全平方公式分解因式，后两项提取公因式，得到（a﹣c）2+b（a﹣c）＝0，再提取一次公因式即可判断．
【解答】解：（1）a3﹣3a2﹣9a+27
＝a2（a﹣3）﹣9（a﹣3）
＝（a﹣3）（a2﹣9）
＝（a﹣3）2（a+3）；
（2）m2﹣n2+2m﹣2n
＝（m2﹣n2）﹣（2n﹣2m）
＝（m+n）（m﹣n）﹣2（n﹣m）
＝（m+n）（m﹣n）+2（m﹣n）
＝（m﹣n）（m+n+2），
∵m+n＝5，m﹣n＝1，
∴原式＝1×（5+2）＝7；
（3）△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵a2+ab+c2﹣bc＝2ac，
∴a2﹣2ac+c2+（ab﹣bc）＝0，
∴（a﹣c）2+b（a﹣c）＝0，
∴（a﹣c）（a﹣c+b）＝0，
∵a﹣c+b＞0，
∴a﹣c＝0，即a＝c，
∴△ABC是等腰三角形．
22．（9分）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．
（1）图1中，线段PM与PN的数量关系是 PM＝PN ，位置关系是 PM⊥PN ．
（2）把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN、BD、CE，判断△PMN的形状，并说明理由．
（3）把△ADE绕点A逆时针方向旋转的过程中，如果∠ABD＝30°（D在Rt△ABC内部，如图3），AB＝BD，
求证：AD＝CD．
【分析】（1）利用三角形的中位线得出PM＝CE，PN＝BD，进而判断出BD＝CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM∥CE得出∠DPM＝∠DCA，最后用互余即可得出结论；
（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，同（1）的方法得出PM＝BD，PN＝BD，即可得出PM＝PN，同（1）的方法即可得出结论；
（3）先判断出∠BAG＝60°，AG＝AB＝AC，进而求出∠BAD＝∠BDA＝75°，即可得出∠GAD＝∠DAC，进而得出△ADG≌△ADH，得出AH＝AG，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，
∴PN∥BD，PN＝BD，
∵点P，M是CD，DE的中点，
∴PM∥CE，PM＝CE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝CE，
∴PM＝PN，
∵PN∥BD，
∴∠DPN＝∠ADC，
∵PM∥CE，
∴∠DPM＝∠DCA，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，
∴PM⊥PN，
故答案为：PM＝PN，PM⊥PN，
（2）△PMN是等腰直角三角形，理由：
由旋转知，∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，
同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN＝BD，PM＝CE，
∴PM＝PN，
∴△PMN是等腰三角形，
同（1）的方法得，PM∥CE，
∴∠DPM＝∠DCE，
同（1）的方法得，PN∥BD，
∴∠PNC＝∠DBC，
∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC
＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC
＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ACB+∠ABC＝90°，
∴∠MPN＝90°，
∴△PMN是等腰直角三角形，
（3）如图3，过点A作AG⊥BD于G，过点D作DH⊥AC于H，
∴∠BAG＝60°，AG＝AB＝AC，
∵AB＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA＝75°，
∴∠GAD＝15°，∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝15°，
∴∠GAD＝∠DAC，
∴△ADG≌△ADH，
∴AH＝AG，
∴AH＝AC，
∴CH＝AH，
∵DH⊥AC，
∴AD＝CD．
相关试卷
2023-2024学年广东省深圳市南山实验教育集团麒麟中学九年级（下）开学数学试卷(含解析）： 这是一份2023-2024学年广东省深圳市南山实验教育集团麒麟中学九年级（下）开学数学试卷(含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
广东省 深圳市 南山实验教育集团南海中学2023-2024学年上学期八年级期中考试数学试卷： 这是一份广东省 深圳市 南山实验教育集团南海中学2023-2024学年上学期八年级期中考试数学试卷，共3页。试卷主要包含了4的平方根是，下列运算错误的是，点A，点P的坐标为，如图为正比例函数y＝kx，已知M等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省深圳市南山实验教育集团麒麟中学七年级（下）期中数学试卷（含解析）： 这是一份2022-2023学年广东省深圳市南山实验教育集团麒麟中学七年级（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
