2023-2024学年广东省深圳市红岭教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省深圳市红岭教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日在成都开幕.下面四个高校校徽主体图案是中心对称图形的是( )
A. 北京大学B. 中国人民大学
C. 北京体育大学D. 北京林业大学
2.若分式a+12a−1的值为零，则a的值为( )
A. −1B. 0C. 12D. 1
3.在数轴上表示不等式组x+2>0x≤1的解，其中正确的是( )
A. B.
C. D.
4.如图，在平行四边形ABCD中，∠A−∠B=50°，则∠A的度数是( )
A. 130°
B. 115°
C. 65°
D. 50°
5.如图，在△ABC中，∠A为钝角，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以3cm/s的速度向点A运动，点Q同时从点A出发以2cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是( )
A. 2.5 sB. 3 sC. 3.5 sD. 4 s
6.若关于x的分式方程2x−3+mx−3=1有增根，则m的值为( )
A. −3B. −2C. 2D. 3
7.如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正五边形上，若∠1=45°，则∠2的度数为( )
A. 60°
B. 62°
C. 63°
D. 65°
8.如图，已知▱ABCD的顶点A(−3,0)，C(7,4)，点B在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线AM交CD于点G.则点G的坐标为( )
A. (3,4)B. (4,4)C. (5,4)D. (6,4)
9.要装配30台机器，在装配好6台后，采用了新技术，工作效率提高了一倍，结果总共用了3天就完成了任务.设原来每天能装配机器x台，则可列方程为( )
A. 62x+30−6x=3B. 612x+30−6x=3
C. 6x+30−62x=3D. 6x+30−612x=3
10.若关于x的不等式组x−m≤07−2x<1的整数解共有3个，则m的取值范围是( )
A. 6二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.因式分解：5a2b−5b= ______．
12.如图，在△ABC中，∠B=70°，∠C=25°，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为______．
13.在平面直角坐标系中，一次函数y=ax和y=kx+7的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式ax>kx+7的解集是______．
14.定义新运算：对于非零的两个实数a和b，规定a※b=1b−2a，如3※2=12−23=−16.若(x−4)※(x+1)=0，则x的值为______．
15.如图，在边长为 3的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC边的中点，连接CE，DF，点G，H分别是CE，FD的中点，连接GH，则GH= ______．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
解不等式2x+5317.(本小题8分)
先化简，再求值：(xx−2−1)÷x2−4x2−4x+4，并从−2，2，4中选一个合适的数作为x的值代入求值．
18.(本小题8分)
如图，Rt△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−3,2)、B(0,4)、C(0,2)．
(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；
(2)平移△ABC，若A对应点A2的坐标为(0,−4)，画出平移后对应的△A2B2C2；
(3)若将△A1B1C绕某一点旋转得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标为
______．
19.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，点F是AD中点，连接CF并延长交BA的延长线于点E．
(1)求证：AB=AE；
(2)若BC=2AE，∠E=34°，∠DAB的度数．
20.(本小题8分)
以诗育德，以诗启智，以诗怡情，以诗塑美，我区某中学开展诗歌创作比赛，积极营造诗韵书香学生生活.年级决定购买A、B两种笔记本奖励在此次创作比赛中的优秀学生，已知A种笔记本的单价比B种笔记本的单价便宜3元，已知用1800元购买A种笔记本的数量是用1350元购买B种笔记本的数量的2倍．
(1)求A种笔记本的单价；
(2)根据需要，年级组准备购买A、B两种笔记本共100本，其中购买A种笔记本的数量不超过B种笔记本的二倍.设购买A种笔记本m本，所需经费为W元，试写出W与m的函数关系式，并请你根据函数关系式求所需的最少经费．
21.(本小题8分)
阅读材料：要将多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).这种分解因式的方法称为分组分解法.根据以上方法回答下列问题：
(1)尝试填空：2x−18+xy−9y= ______；
(2)解决问题：因式分解：ac−bc+a2−b2；
(3)拓展应用：已知三角形的三边长分别为a，b，c，且满足a2−2ab+2b2−2bc+c2=0，试判断这个三角形的形状，并说明理由．
22.(本小题8分)
【模型呈现】(1)发现：如图1，∠BAD=90°，AB=AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E，由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D，又∠ACB=∠AED=90°，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC= ______，BC= ______.我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
【模型应用】(2)应用：如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E.请探究线段DE，AD，BE之间的数量关系，并写出证明过程；
(3)如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2,4)，点B为平面内一点.若△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B的坐标______．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：选项A、B、D的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】A
【解析】解：要使得分式a+12a−1的值为零，则需要a+1=0且2a−1≠0．
解得a=−1．
故选：A．
根据分母不为零分子为零的条件进行解题即可．
本题考查分式的值为零的条件，掌握分母不为零是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：解不等式x+2>0，得：x>−2，
∴不等式组的解集为−2将不等式组的解集表示在数轴上如下：
，
故选：B．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：在平行四边形ABCD中，∠A+∠B=180°，
又有∠A−∠B=50°，
把这两个式子相加即可求出∠A=115°，
故选：B．
利用平行四边形的邻角互补和已知∠A−∠B=50°，就可建立方程求出未知角．
本题考查了平行四边形的性质：邻角互补，建立方程组求解．
5.【答案】D
【解析】解：设运动的时间为x，
在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，
点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，
∵在△ABC中，∠A为钝角，AP=20−3x，AQ=2x
∴当△APQ是等腰三角形时，AP=AQ，即20−3x=2x，
解得x=4．
故选：D．
设运动的时间为x，则AP=20−3x，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，AP=AQ，则20−3x=2x，解得x即可．
此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一定的拔高难度，属于中档题．
6.【答案】B
【解析】解：去分母得：2+m=x−3，
由分式方程有增根，得到x−3=0，即x=3，
把x=3代入2+m=x−3得，2+m=3−3，
解得m=−2．
故选：B．
增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
此题考查了分式方程的增根，理解增根概念是关键．
7.【答案】C
【解析】解：如图，
由题意得：∠4=360°÷5=72°，
∵太阳光线平行照射在放置于地面的正五边形上，∠1=45°，
∴∠3=∠1=45°，
∴∠2=180°−∠4−∠3=63°．
故选：C．
由多边形的外角和为360°可求得正五边形的外角为72°，由平行线的性质可得∠3=∠1=45°，再由平角的定义即可求∠2．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
8.【答案】C
【解析】解：由题意可得：AG平分∠DAB，
∵▱ABCD的顶点A(−3,0)，C(7,4)，
∴AO=3，DO=4，AB/​/CD，
∴AD= AO2+DO2= 32+42=5，
∵AB/​/CD，
∴∠DGA=∠BAG，
又∵AG平分∠DAB，
∴∠DAG=∠BAG，
∴∠DAG=∠DGA，
∴AD=DG=5，
∴点G(5,4)，
故选：C．
由平行四边形的性质可得AO=3，DO=4，AB/​/CD，由勾股定理可得AD的长，由平行线的性质和角平分线的性质可得AD=DG=5，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：设原来每天能装配机器x台，则实际每天装2x台，
根据题意6x+30−62x=3，
故选：C．
设原来每天能装配机器x台，则实际每天装2x台，根据总共用了3天就完成了任务列方程求解即可
本题考查了从实际问题抽象出分式方程，正确理解题意是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：x−m≤0①7−2x<1②，
由①得，x≤m，
由②得，x>3，
故原不等式组的解集为：3∵不等式组的整数解有3个，
∴其整数解应为：4、5、6，
∴m的取值范围是6≤m<7．
故选：B．
首先确定不等式组的解集，先利用含m的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于m的不等式，从而求出m的范围．
本题考查的是一元一次不等式组的整数解及解一元一次不等式组，根据题意得出x的取值范围是解题的关键．
11.【答案】5b(a+1)(a−1)
【解析】解：原式=5b(a2−1)
=5b(a+1)(a−1)，
故答案为：5b(a+1)(a−1)．
提公因式后利用平方差公式因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
12.【答案】60°
【解析】解：由作法得MN垂直平分AC，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠C=25°，
∴∠ADB=∠DAC+∠C=25°+25°=50°，
在△ABD中，∠BAD=180°−∠B−∠ADB=180°−70°−50°=60°．
故答案为：60°．
利用基本作图得到MN垂直平分AC，利用线段垂直平分线的性质得DA=DC，所以∠DAC=∠C=25°，则根据三角形外角性质计算出∠ADB，然后利用三角形内角和计算∠BAD的度数．
本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
13.【答案】x>2
【解析】解：由图可知：一次函数y=ax和y=kx+7的交点处x=2，
∴ax>kx+7的解集是x>2，
故答案为：x>2．
根据图象正比例函数在一次函数图象上方对应的x的取值范围即可．
本题考查一次函数与一元一次不等式，掌握一次函数与一元一次不等式的关系是关键．
14.【答案】−6
【解析】解：∵a※b=1b−2a，
∴(x−4)※(x+1)
=1x+1−2x−4，
∵(x−4)※(x+1)=0，
∴1x+1−2x−4=0，
解得：x=−6，
经检验，x=−6是1x+1−2x−4=0的解．
故答案为：−6
根据已知新定义进行转化，然后结合分式方程的求法可求．
本题侧重考查了解分式方程，掌握定义的新运算的意义是解题的关键．
15.【答案】 64
【解析】解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，AD//BC，AB=AD=BC= 3，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴AE=CF=12× 3= 32，
∵AD/​/BC，
∴∠DPH=∠FCH，
在△PDH和△CFH中，
∠DPH=∠FCH∠DHP=∠FHCPH=FH，
∴△PDH≌△CFH(AAS)，
∴PD=CF= 32，
∴AP=AD−PD= 32，
∴PE= AP2+AE2= 62，
∵点G，H分别是EC，FD的中点，
∴GH=12EP= 64．
故答案为： 64．
连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据正方形的性质得到∠A=90°，AD//BC，AB=AD=BC= 3，根据全等三角形的性质得到PD=CF，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质．
16.【答案】解：2x+53去分母：2(2x+5)去括号：4x+10移项：4x−x<1+6−10，
合并同类项：3x<−3，
化系数为1：x<−1，
不等式的解集在数轴上表示如图所示：

【解析】根据解一元一次不等式的基本步骤(①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1)计算即可得出不等式的解集，再将其在数轴上表示出来即可．
本题主要考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题关键．
17.【答案】解：(xx−2−1)÷x2−4x2−4x+4
=x−x+2x−2⋅(x−2)2(x+2)(x−2)
=2x−2⋅(x−2)2(x+2)(x−2)
=2x+2，
∵x=2或−2时，原分式无意义，
∴x=4，
当x=4时，原式=24+2=13．
【解析】先算括号内的式子，然后计算括号外的除法，再从−2，2，4中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18.【答案】(32,−1)
【解析】解：(1)△A1B1C1如图所示，
(2)△A2B2C2如图所示；
(3)如图，旋转中心P为(32,−1)；
故答案为：(32,−1)．
(1)根据网格结构找出点A、B、C旋转180°后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
(2)找出平移后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；
(3)根据旋转的定义结合图形，连接两对对应点，交点即为旋转中心．
本题考查了作图−旋转变换、作图−平移变换，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB/​/CD，BC=AD，
∴∠E=∠DCF，
∵点F是AD中点，
∴AF=DF，
在△AFE和△DFC中，
∠E=∠DCF∠EFA=∠CFDAF=DF，
∴△AFE≌△DFC(AAS)，
∴CD=AE，
∴AB=AE；
(2)解：由(1)可得AF=DF，BC=AD，
∵BC=2AE，
∴AE=AF，
∵∠E=34°，
∴∠AFE=∠E=34°，
∴∠DAB=2∠E=68°．
【解析】(1)由题意易得AB=CD，AB/​/CD，进而易证△AFE≌△DFC，则有CD=AE，然后问题可求证；
(2)由(1)及题意易得AF=AE，则∠AFE=∠E=34°，然后根据三角形外角的性质可求解．
本题主要考查平行四边形的性质及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
20.【答案】解：(1)设A种笔记本的单价是x元，则B种笔记本的单价是(x+3)元，根据题意，
得：1800x=2×1350x+3，
解得x=6，
经检验，x=6是原方程的解，且符合题意，
答：A种笔记本的单价为6元；
(2)由(1)知B种笔记本的单价为9元，
W=6m+9(100−m)=−3m+900，
又∵m≤2(100−m)，
∴m≤2003，
∴0≤m≤2003，且m为整数，
又∵−3<0，
∴W随m的增大而减小，
当m=66时，W取最小值，最小值为702元．
所以所需的最少经费为702元．
【解析】(1)设A种笔记本的单价是x元，则B种笔记本的单价是(x+3)元，根据题意列方程即可得到结论；
(2)根据题意得出W与m的关系式以及m的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．
本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，正确的理解题意，找出相应的数量关系是解题的关键．
21.【答案】(x−9)(2+y)
【解析】解：(1)原式=(2x−18)+(xy−9y)
=2(x−9)+y(x−9)
=(x−9)(2+y)，
故答案为：(x−9)(2+y)；
(2)原式=(ac−bc)+(a2−b2)
=c(a−b)+(a+b)(a−b)
=(a−b)(a+b+c)；
(3)这个三角形是等边三角形，理由如下：
a2−2ab+2b2−2bc+c2=0，
(a2−2ab+b2)+(b2−2bc+c2)=0，
(a−b)2+(b−c)2=0，
∵(a−b)2≥0，(b−c)2≥0，
∴a−b=0，b−c=0，
a=b，b=c，
∴a=b=c，
∴这个三角形是等边三角形．
(1)按照已知条件中的方法，把多项式的前两项和后两项分别分成一组，然后提取各组中的公因式，最后再次提取公因式即可；
(2)把多项式的前两项和后两项分别分成一组，然后第一组提取各组中的公因式分解因式，第二组利用平方差公式分解因式，最后再次提取公因式即可；
(3)先把已知条件中的等式左边的2b2拆成b2+b2，然后把多项式的前三项和后三项分别分成一组，利用完全平方公式分解因式，再根据偶次方的非负性列出关于a，b，c的方程，求出a，b，c之间的关系即可．
本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握提公因式法、分组分解因式法和公式法分解因式．
22.【答案】DE AE (3,1)或(−1,3)
【解析】解：(1)∵△ABC≌△DAE，
∴AC=DE，BC=AE，
故答案为：DE；AE；
(2)DE=AD−BE，理由如下：
∵AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E，
∴∠ADC=∠BEC=∠ACB=90°，
∴∠DAC+∠ACD=∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
∠ADC=∠CEB∠DAC=∠ECBAC=CB，
∴△ADC≌△CEB(AAS)，
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CE−CD=AD−BE；
(3)如图3，△ABO和△AB′O是以OA为斜边的等腰直角三角形，
过点B作DC⊥x轴于点C，过点A作DE⊥y轴于点E，两直线交于点D，
则四边形OCDE为矩形，
∴DE=OC，OE=CD，∠ADB=90°，
∵点A的坐标为(2,4)，
∴OE=4，AE=2，
∵∠ABO=90°，
∴∠ABD+∠CBO=90°，
∵DC⊥OC，
∴∠COB+∠CBO=90°，
∴∠ABD=∠COB，
又∵∠ADB=∠BCO=90°，AB=OB，
∴△ADB≌△BCO(AAS)，
∴AD=BC，BD=OC，
∴BD=OC=DE=AD+2=BC+2，
∴BC+BC+2=4，
解得，BC=1，OC=3，
∴点B的坐标为(3,1)，
同理，点B′的坐标为(−1,3)，
综上所述，△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，点B的坐标为(3,1)或(−1,3)，
故答案为：(3,1)或(−1,3)．
(1)根据全等三角形的性质即可得到结论；
(2)证明△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，结合图形得出结论；
(3)过点B作DC⊥x轴于点C，过点A作DE⊥y轴于点E，利用AAS证明△ADB≌△BCO，根据全等三角形的性质得出AD=BC，BD=OC，据此求解即可．
本题是三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理并作出合理的辅助线是解题的关键．