福建省福州市闽清县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确选项，请在答题卡的相应位置填涂．）
1. 下列各数中，是无理数的是（ ）
A. 1B. C. 0D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等．根据无理数的概念进行判定即可．
【详解】解：1、0、是有理数，是无理数，
故选：B．
2. 如图，直线与相交于点O，若，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据邻补角定义和对顶角性质求得和的度数，然后求和即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查邻补角定义、对顶角性质等知识点，掌握对顶角的性质是解答本题的关键．
3. 在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则m可能是（ ）
A. B. 0C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查点所在象限，先根据第二象限内点的坐标符号特点确定m的正负，然后结合各选项即可解答．掌握第二象限的点的横坐标小于零、纵坐标大于零是解题的关键．
【详解】解：∵点在第二象限，
∴，
∴A、B、C选项不符合题意，D选项符合题意．
故选：D．
4. 下列方程组中，解为的方程组是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，正确理解定义是关键．根据方程组的解的定义，只要检验是否是选项中方程的解即可．
【详解】解：A、把代入方程，左边，故不是方程组解，故选项错误；
B、把满足中的两个方程，故是方程组的解，故选项正确；
C、把代入方程，左边，故不是方程组的解，故选项错误；
D、把代入方程，左边，故不是方程组的解，故选项错误．
故选B．
5. 面积为7平方米的正方形边长为米，估算的大小为（ ）
A. 1和2之间B. 2和3之间C. 3和4之间D. 4和5之间
【答案】B
【解析】
【分析】根据即可确定答案．
【详解】解：∵，
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，发现是解答本题的关键．
6. 如图，下列条件中，不能判断直线的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据图形判断各角之间的位置关系，再根据平行线的判定方法进行判断即可得解．
【详解】解：A. 和不是与形成的内错角或同位角或同旁内角，故不能判定；
B. 和是与形成的内错角，且，故能判定；
C. 和是与形成的内错角，且，故能判定；
D. 和是与形成的同旁内角，且，故能判定．
故选：A
【点睛】本题考查了平行线的判定，解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题是一道探索性条件开放型题目，能有效地培养“执果索因”的思维方式与能力．
7. 下列命题中，为真命题的是（ ）
A. 内错角相等B. 同位角相等
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据内错角的性质，同位角的定义，平方根的意义，等式的性质分别作出判断．
【详解】A．两平行线被第三条直线所截，内错角相等，命题不正确，不是真命题；
B．两平行线被第三条直线所截，同位角才相等，命题不正确，不是真命题；
C．若，则，命题不正确，不是真命题；
D．若，则，命题正确，真命题．
故选D．
【点睛】本题考查的是命题与定理，熟知各项性质是解答此题的关键．
8. 如图，将一块含有角的三角板的两个顶点放在直尺的一组对边上．如果，那么的度数为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查余角定义，角度计算，平行线性质．根据题意即可算出度数，再利用平行性质即可算出本题答案．
【详解】解：如下图所示：
∵，一块含有角的三角板，
∴，
∵两个顶点放在直尺的一组对边上，
∴，
∴，
故选：B．
9. 已知数轴上A，B两点，且这两点间的距离为，若点A在数轴上表示的数时，则点B表示的数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设点B表示的数为x，由A、B两点之间的距离为4，根据两点间的距离公式列出方程|x-3|=4，解方程即可．
【详解】设点B表示的数为x，由题意，
得|x-3|=4，
则x-3=4，或x-3= -4，
所以x=7或-．
故选C．
【点睛】本题考查了实数与数轴，掌握数轴上两点间的距离计算公式是解题的关键．
10. 图1是由3个相同小长方形拼成的图形其周长为24，图2中的长方形内放置10个相同的小长方形，则长方形的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据题意列出代数式，然后表示出长方形的边长，求解即可．
【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y，
由图1得：，
∴，
由图2得：长方形的长表示为：，宽表示为，
∴周长为：
故选：C．
【点睛】题目主要考查根据图形列代数式及求代数式的值，找出图形各边的数量关系是解题关键．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，请在答题卡相应位置作答．）
11. 36的平方根是______．
【答案】±6
【解析】
【详解】因为，
则36的平方根为±6，
故答案为±6
12. 如图，运动会上，小明自踏板M处跳到沙坑P处，甲、乙、丙三名同学分别测得PM＝3.25米，PN＝3.15米，PF＝3.21米，则小明的成绩为 _____米．（填具体数值）
【答案】3.15
【解析】
【分析】根据跳远的距离应该是起跳板到P点的垂线段的长度进行求解即可
【详解】解：由图形可知，小明的跳远成绩应该为PN的长度，即3.15米，
故答案为：3.15．
【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，熟练掌握点到直线的距离的定义是解题的关键．
13. 把方程3x+y=4化为用x的式子表示y的形式为______．
【答案】y=4-3x
【解析】
【分析】移项，即可得出答案．
【详解】3x+y=4，
y=4-3x，
故答案为y=4-3x．
【点睛】本题考查了二元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
14. 上图是游乐园一角的平面示意图，如果跷跷板的坐标为，碰碰车的坐标为，则摩天轮的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据跷跷板的坐标为，碰碰车的坐标为，确定原点，后解答即可．
【详解】∵跷跷板的坐标为，碰碰车的坐标为，
建立坐标系如下：
∴摩天轮的坐标为,
故答案为：．
15. 观察上表中的数据信息：则下列结论：①；②；③只有3个正整数满足；④．其中正确的是______．（填写序号）
【答案】①②③
【解析】
【分析】由表格中的信息：
①利用被开方数的小数点与其算术平方根的小数点之间的变化规律解答即可；
②利用被开方数的小数点与其算术平方根的小数点之间的变化规律，分别确定被减数和减数的值，再相减即可；
③先确定的范围，再判断的范围判断；
④先估计的值，再判断即可．
【详解】解：①∵，
∴，故①正确；
②∵，，
∴，故②正确；
③∵，
∴，
其中整数有：，，共3个，故③正确；
④由①知：，
∴，故④错误．
综上，正确的是：①②③，
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查无理数的估计，解答时需要从表格中获取信息，运用到无理数大小比较，有理数的运算，整数的概念等，熟练掌握被开方数的小数点与其算术平方根的小数点之间的变化规律是解题的关键．
16. 在平面直角坐标系中，线段进行平移得到线段，点A的对应点是点C，，，，，若，则b的值是______．
【答案】6或3##3或6
【解析】
【分析】由题意可知，由，得出，即可得出，解得或，根据平移的性质，得出，然后分或两种情况解方程组即可得到答案．
详解】解：由题意可知，
，
，
，
或，
线段进行平移得到线段，
，
当时，则，
解得，
当时，则，
解得，
的值是6或3．
故答案为：6或3．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化平移，熟练掌握平移的性质是解的关键．
三、解答题（本题共9小题，满分86分；请在答题卡相应位置作答）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根，立方根，绝对值的化简，根据定义计算即可．
【详解】
．
18. 解方程组：．
【答案】．
【解析】
【分析】本题考查解二元一次方程组．利用加减消元法解方程组即可．
【详解】解：，
得：，
将代入②得：，
解得：，
故原方程组的解为．
19. 如图，已知直线和相交于O点，是直角，平分， ，求和的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了对顶角相等，角平分线，角度计算．明确角度之间的数量关系是解题的关键．
由是直角，可得，由题意知，，则，由平分，可得，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵是直角，
∴，
由题意知，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
20. 如图，将向右平移5个单信长度，再向下平移2个单位长度，得到
（1）请画出平移后的图形
（2）写出'各顶点的坐标为______ ______ ______
（3）的面积为______
【答案】（1）见解析 （2）；
（3）6
【解析】
【分析】（1）（2）根据点平移的坐标变换规律写出A′、B′、C′的坐标，然后描点即可；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积．
【小问1详解】
如图，△A'B'C'为所作；
【小问2详解】
由图像可得：，
故答案为：；
【小问3详解】
△ABC的面积=3×5-×2×2-×3×3-×5×1=6．
故答案为6．
【点睛】本题考查了作图-平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
21. 一个正数的平方根分别是和的立方根是，求的算术平方根．
【答案】
【解析】
【分析】根据平方根与立方根可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：
，，
∴，
∴，
∵，
∴的算术平方根为．
【点睛】本题主要考查平方根、算术平方根及立方根，熟练掌握求一个数的算术平方根、立方根及平方根是解题的关键．
22. 涵涵和轩轩同解一个二元一次方程组，涵涵把方程①抄错，求得解为，轩轩把方程②抄错，求得的解为，求方程组的正确解．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法、加减消元法、代入消元法是正确解答的关键．
由于涵涵把方程①抄错，求得解满足方程②，轩轩把方程②抄错，求得的解满足方程①，进而求出、的值，再将原方程组变为，进而求出、的值得出正确的答案．
【详解】解：涵涵把方程①抄错，求得解为，
满足方程②，
即；
又轩轩把方程②抄错，求得的解为，
满足方程①，
即；
因此有，
解得，
所以原方程组可变为，
即，
①②得，
，
解得，
把代入①得，，
解得，
原方程组的正确的解为．
23. 根据以下信息，探索完成任务：
【答案】任务一：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车；
任务二：有2种工人的招聘方案：①抽调熟练工名，招聘新工人名；②抽调熟练工名，招聘新工人名；
任务三：2
【解析】
【分析】任务一：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车，根据等量关系“名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车”和“名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车”列出二元一次方程组求解即可；
任务二：设抽调熟练工名，招聘新工人名，根据“招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务”列出二元一次方程，求出符合题意的正整数解即可；
任务三：求出方案和方案的成本，然后比较即可解答．
【详解】解：任务一：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车，
由题意得：，解得：，
答：每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车．
任务二：设抽调熟练工名，招聘新工人名，
由题意得：，
整理得：，
、为正整数，且，
或，
有种工人的招聘方案：
抽调熟练工名，招聘新工人名；
抽调熟练工名，招聘新工人名．
任务三：方案中，发放工资：元；
方案中，发放工资为：元；
，
为了节省成本，应该抽调熟练工名，招聘新工人名．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用等知识点，找准等量关系，正确列出二元一次方程组和二元一次方程是解题的关键．
24. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足．

（1）填空：______，______．
（2）若在第三象限内有一点，求三角形的面积：
（3）在（2）的条件下，线段与y轴相交于，点P是y轴上的动点，当点P满足时，求点P的坐标．
【答案】（1），
（2）
（3）点P的坐标为或
【解析】
【分析】本题主要考查了非负数的性质、三角形的面积、坐标与图形法等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键
（1）由非负数性质即得；
（2）根据三角形面积公式即得，然后代入相关数据即可解答；
（3）根据三角形面积公式求出的长，再分类讨论即可解答．
【小问1详解】
解：∵a、b满足，
∴， ，
∴．
故答案为：，．
小问2详解】
解：∵，
∴，，
∴，
∵，且M在第三象限，
∴的面积．
【小问3详解】
解： ∵，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
当点P在点C的下方时，，即；
当点P在点C的上方时，，即；
综上所述，点P的坐标为或．
25. 定义：关于x，y的二元一次方程（其中）中的常数项c与未知数系数a，b之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的“交换系数方程”为或．
（1）方程的“交换系数方程”为______；
（2）已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求的值；
（3）已知m，n，t都是整数，并且是关于x，y的二元一次方程的“交换系数方程”，求的值．
【答案】（1）或
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了求解含参数的二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解题的关键．
（1）根据题目所给“交换系数方程”的定义进行解答即可；
（2）先求出与它的“交换系数方 程”组成的方程组的解，将其代入方程，得到，然后代入计算即可；
（3）根据题意根据题目所给“交换系数方程”的定义，分和两种情况求解即可．
【小问1详解】
解：根据“交换系数方程”的定义可知方程“”的交换系数方程为或．
故答案为：或．
【小问2详解】
解：当的“交换系数方程”为时，
联立，解得：，
∵，
∴，
∴，
当的“交换系数方程”为时，
联立，解得：，
∵，
∴，
∴．
综上：与它的“交换系数方 程”组成的方程组的解为．
把代入方程得：，即
∴．
【小问3详解】
解：∵是关于x，y的二元一次方程的“交换系数方程”，
∴或，
①当时，整理得：，解得：；
；
②当时，解得：，
∴．
综上：．
a
15
15.1
15.2
15.3
15.4
…
a2
225
228.01
231.04
234.09
237.16
…
如何设计招聘方案？
素材
某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装辆每名熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗可以独立进行安装．
素材
调研部门发现：名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车；名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车．
素材
工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发元工资，每名新工人每月发元工资．
问题解决
任务一
分析数量关系
每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
任务二：
确定可行方案
如果工厂招聘名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种工人的招聘方案？
任务三：
选取最优方案
在上述方案中，为了节省成本，应该招聘新工人______ 名直接写出答案