山西省太原市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份山西省太原市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共22页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

说明：本试卷为闭卷笔答，不允许携带计算器．答题时间90分钟.
一、选择题（本大题共10个小题）在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑．
1. 食盐是人们膳食中不可缺少的调味品，但摄入过多是引起高血压的重要原因．中国营养学会建议正常成人每日食盐摄入量不超过6克，则正常成人每日摄入食盐的质量x（g）应满足的不等关系为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了不等式的应用，理解“不超过”是“”是解题的关键．
【详解】解：由题意得
；
故选：D．
2. 中国传统装饰纹样不仅造型美观，更是蕴含着丰富而美好的寓意．下列纹样中文字上方的图案，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的定义，理解定义：“将图形绕着某一点旋转与原图形重合的图形叫做中心对称图形．”是解题的关键．
【详解】解：A.符合中心对称图形的定义，故此项符合题意；
B.不符合中心对称图形的定义，故此项不符合题意；该试卷源自 每日更新，享更低价下载。C.不符合中心对称图形的定义，故此项不符合题意；
D.不符合中心对称图形的定义，故此项不符合题意；
故选：A．
3. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了不等式的基本性质，理解性质：“两边都加或减同一个数或减同一个整式，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变；”是解题的关键．
【详解】解：A.不等式两边都减去，不等号的方向不变，结论正确，故此项符题意；
B.不等式的两边都乘以，不等号的方向改变，结论错误，故此项不符题意；
C.不等式两边都减，不等号的方向不变，结论错误，故此项不符题意；
D.，结论错误，故此项不符题意．
故选：A．
4. 如图，与关于点中心对称，则下列结论不一定成立的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称．根据中心对称的两个图形，对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，逐一判断．
【详解】解：∵与关于点O成中心对称，
∴，，，，
而不一定成立，
观察四个选项，B选项符合题意，
故选：B．
5. 不等式组中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查求不等式组的解集，以及在数轴上的表示不等式组的解集．先分别解两个不等式，再根据：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．找出两个不等式解集的公共部分即可．
【详解】解：解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组得解集是．
在数轴是表示为
故选：C．
6. 在平面直角坐标系中，将点P先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的点Q的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了点的平移规律，掌握点的平移规律：“横坐标左减右加，纵坐标上加下减．”是解题的关键．
【详解】解：由先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得
，
；
故选：B．
7. 如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，首先利用图象可找到图象在轴上方，此时，进而得到关于的不等式的解集．
【详解】一次函数中，要使关于的不等式
即：时，图象在轴上方
由图可知：，则关于的不等式的解集是
故选：C．
8. 用反证法证明命题“三角形的三个内角中，不能有两个直角”时，应假设这个三角形的三个内角中（ ）
A. 可以有一个角是直角B. 可以有两个角是直角
C. 三个角都是直角D. 三个角都不是直角
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了用反证法证明命题的方法．熟记反证法的步骤，然后进行判断．
【详解】解：用反证法证明“三角形的三个内角中，不能有两个直角”时，应先假设这个三角形中可以有两个角是直角．
故选：B．
9. 如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，则的长为（ ）
A. B. C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质定理，直角三角形的特征，勾股定理；由线段垂直平分线的性质得，，由直角三角形的特征得，由勾股定理得，即可求解；掌握定理是解题的关键．
【详解】解：垂直平分，
，
，
，
，
，
；
故选：B．
10. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，若点是边上不与重合的一个动点，旋转后点的对应点为点，则线段长度的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点作于点，由勾股定理可求的长，由三角形面积公式可求的长，由旋转的性质可得，可得，则当点与点重合时，有最小值，即有最小值．
【详解】如图，过点作于点，
，
，
，
，
解得：，
将绕点逆时针旋转得到，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是点到线段最短的距离，
即：当点与点重合时，有最小值，，
即：此时有最小值，，
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形、勾股定理等知识，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题）
11. 不等式的最小整数解是______．
【答案】4
【解析】
【分析】此题考查一元一次不等式的整数解．首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的整数即可．
【详解】解：解不等式得：，
则最小整数解是：．
故答案为：4．
12. 如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则______
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形角平分线交点的性质，三角形内角和定理等；由三角形角平分线交点的性质得点是的角平分线的交点，从而可得，，由三角形内角和定理得，即可求解；掌握性质和定理是解题的关键．
【详解】解：点在内部，且到三边距离相等，
点是的角平分线的交点，
，
，
，
，
，
；
故答案：．
13. 如图，在中，，，将沿方向平移使点与点重合，得到，连接，则的周长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平移的性质，由平移的性质得，，即可求解；理解性质是解题的关键．
【详解】解：由平移性质得，，，
的周长为
（），
故答案：．
14. 世界地球日（The WrldEarth Day）即每年的4月22日，是一个专门为世界环境保护而设立的节日．学校为提升学生的环保意识，组织了环保知识竞赛，共25道题，规定：答对一题得4分，答错或不答一题扣1分，在这次竞赛中，小颖被评为优秀（85分或85分以上），则小颖至少答对了______道题．
【答案】22
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用.设小颖答对了x道题，则他答错或不答的共有题，根据题意，列出不等式，求解即可得到答案.
【详解】解：设小颖答对了x道题，则他答错或不答的共有题，
．
解得，
答：小颖至少答对了22道题．
故答案为：22．
15. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，点C对应点为点E，的延长线交线段于点F，连接．若，则的度数为______．（用含的式子表示）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，角平分线的判定，四边形内角和定理．作和边上的高，证明是的角平分线，再根据四边形内角和定理即可求解．
【详解】解：作和边上的高，
由题意得，
∴，，
∴，
∴，
∴是的角平分线，
由旋转的性质得，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）
16. 下面是小斌同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
任务：
（1）上述求解过程中，第一步变形的依据是______；
（2）上述求解过程中的第______步发生错误，具体错误是______；
（3）该不等式的解集应为______．
【答案】（1）不等式的基本性质
（2）第五步；两边都除以时，不等号方向没有改变
（3）
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式；
（1）去分母的依据不等式两边同乘以或除以一个正数，不等号的方向不变，即可求解；
（2）按解一元一次不等式的步骤的依据进行检查，即可求解；
（3）由（2）即可求解；
理解了解一元一次不等式的步骤及依据是解题的关键．
【小问1详解】
解：由题意得
依据：不等式两边同乘以或除以一个正数，不等号的方向不变；
故答案：不等式的基本性质；
【小问2详解】
解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
两边都除以，得；
故答案：第五步；两边都除以时，不等号方向没有改变；
【小问3详解】
解：由（2）得
不等式的解集应为；
故答案：．
17. 解不等式组，并把该不等式组的解集在数轴上表示出来．
【答案】．数轴见解析
【解析】
【分析】本题考查求不等式组的解集，以及在数轴上的表示不等式组的解集．先分别解两个不等式，再根据：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．找出两个不等式解集的公共部分即可．
【详解】解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组得解集是．
在数轴是表示为：
．
18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
（1）平移，使点A的对应点的坐标为，
①请在图中画出平移后的；
②将平移到的过程可描述为：先向左平移______个单位长度，再向下平移______个单位长度．
（2）请在图中画出关于原点中心对称的，此时与关于某一点中心对称，这一点的坐标为______．
【答案】（1）①见解析；①2，4
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查中心变换和平移变换，熟练掌握中心变换和平移变换的定义是解题的关键．
（1）①根据平移的性质得出坐标，进而画出图形即可；
①根据平移的性质即可求解；
（2）根据中心对称的性质，连接、、的交点就是对称中心．
【小问1详解】
解：①如图所示，
；
②由图形得，将平移到的过程可描述为：先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度；
【小问2详解】
解：如图所示
连接、、的交点为．
故答案为：．
19. 从2025年起，山西中考体育测试分值提高为60分，增加了专项运动技能测试，分值为10分，学生可选择足球、篮球、排球中的一项专项运动技能进行测试．学校为加强专项运动技能的训练，计划用9500元从体育用品商店一次性购买篮球和足球共100个，已知每个篮球120元，每个足球80元，求该校最多可以购买多少个篮球．
【答案】该校最多可以购买个篮球
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，不等关系式：购买篮球的费用购买足球的费用元，据此列出不等式，解不等式，即可求解；找出不等关系式是解题的关键．
【详解】解：设该校购买个篮球，则购买足球共（）个，由题意得
，
解得：，
为正整数，
取，
答：该校最多可以购买个篮球．
20. 如图，中，，点D是边延长线上一点．
（1）尺规作图：过点D作于点E，交于点F（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可画出草图后解答（2）题）；
（2）在（1）得到的图中，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查尺规作图——作垂线，等腰三角形的判定及性质．
（1）根据尺规作图——作垂线的方法作图即可；
（2）由可得，，，又由得到，从而，因此得证．
【小问1详解】
解：如图，为所求．
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
21. 1987年6月18日“国槐”被定为太原市的市树，今年春季，小区为绿化环境分别购买了两种规格的国槐树苗，其中A种国槐树苗的价格为75元/株，B种国槐树苗的价格为100元／株．若购买这两种国槐树苗共45株，其中A种国槐树苗的数量不超过B种国槐树苗数量的2倍，请你通过计算设计最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用．
【答案】费用最少的方案是购买A种树苗棵，栽种B种花卉的数量为棵，最小费用为元．
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式及一次函数的应用．设栽种A种国槐树苗的数量为棵，则栽种B种国槐树苗的数量为棵，根据题意列出不等式求得x的范围，再根据一次函数的性质求解即可．
【详解】解：设购买A种国槐树苗x棵，购买两种树苗所需的费用是y元，则栽种B种国槐树苗的数量为棵，
根据题意，可得：，
∵A种国槐树苗的数量不超过B种国槐树苗数量的2倍，
∴，
解得：，
∵，
随x的增加而减少，
∵x取整数，
∴当时，有最小值，最小值为，
∴费用最少的方案是购买A种国槐树苗棵，栽种B种国槐树苗的数量为棵，最小费用为元．
22. 下面是小文同学的一则数学日记，请你认真阅读并完成下列任务．
任务：
（1）上述材料中，序号“①”“②”处所对应的内容依次为：①______，②______；
（2）补全材料中命题的证明过程；
应用：
（3）如图2，在筝形中，，，，点M，N是筝形边上的两个动点（不与C，D重合）当四边形是筝形时，请直接写出它的正对角线的长．
【答案】（1）①，；②四边形是筝形；
（2）见详解
（3）
【解析】
【分析】本题考查了新定义“筝形”，线段垂直平分线的判定定理，等腰三角形的判定及性质，直角三角形的特征，勾股定理等；
（1）由筝形的定义即可求解；
（2）由线段的垂直平分线的判定定理即可求解；
（3）连接，过作交于，由筝形的性质得，，由勾股定理得可求出，由直角三角形的特征得， 设，由勾股定理得，求出，同理求出，由即可求解；
掌握性质及判定方法，能结合面积法，根据题意作出恰当的辅助线，构建直角三角形用勾股定理求解是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得
①∵四边形是筝形，
，；
故答案：，；
②，
四边形是筝形；
故答案：四边形是筝形；
（2）证明：，
在的垂直平分线上，
，
在的垂直平分线上，
垂直平分；
（3）解：如图，连接，过作交于，
四边形是筝形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是筝形，
，
，
同理可得：，
，
设，
，
，
解得：，
，
，
解得：，
，
，
，
，
，
解得：，
故正对角线的长．
23. 综合与探究
问题情境：数学课上，同学们以直角三角形纸片为背景进行探究性活动．如图1，在中，，，将绕点C逆时针旋转，使线段的对应线段怡好经过点B，得到图2，线段与相交于点D．
初步分析：（1）判断的形状，并说明理由；
深入探究：（2）乐学组的同学将图2中的沿射线的方向平移得到（点E，F，C分别是点B，D，C的对应点），线段，分别与边相交于点M，N．
①如图3，当点M恰好是线段中点时，他们发现，请证明这个结论；
②若，当点N恰好是线段的中点时，请直接写出平移的距离．
【答案】（1）是等边三角形，理由见详解；（2）①见详解，②
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质得，，即可求解；
（2）①连接，由直角三角形的特征得，由可判定，即可得证；②设，由勾股定理得
，同理可求出，从而可求出，求出，即可求解．
【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下：
，，
，
由旋转得：，
，
是等边三角形；
（2）①证明：如图，连接，
是等边三角形，
，
由旋转得：，
，
，
由平移得：，
，
，
，
，
点M恰好是线段的中点，
，
，
在和中，
，
()，
；
②解：设，
是的中点，
，，
由①得：，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，
由平移得：，
，
解得：，
，
，
；
故平移的距离为．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定及性质，直角三角形的特征，全等三角形的判定及性质，勾股定理等；掌握相关的判定方法及性质，作出恰当的辅助线构建三角形全等，并能熟练利用勾股定理求解是解题的关键．解：去分母，得．第一步
去括号，得．第二步
移项，得．第三步
合并同类项，得．第四步
两边都除以，得．第五步
2024年×月×日
探索筝形的性质
对于几何图形，通常是从它的定义、性质、判定和应用等方面进行研究，且都是从组成图形的元素及相关元素之间的关系展开．以等腰三角形为例，其定义、性质、判定都通过它的边、角、底边上的中线、高线、顶角平分线的特征来体现．类似地，这样的方法可以用于研究其他几何图形，如筝形．
1．定义：如图1，在四边形中，，，我们把这种有两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．与叫做等形的正对角，与是它的对角线，它们交于点O，其中叫做筝形的正对角线．
根据定义可以进行如下推理：
推理1：∵四边形是筝形，①∴ ① ．
推理2：在四边形中，，， ② ．
2．性质：从整体看，等形是轴对称图形，它的对称轴是正对角线所在直线．由此，可以猜想得到等形局部元素的性质如下：
从“角”的角度，可以发现等形的正对角相等．
从“对角线”的角度，可以发现等形的正对角线垂直平分另一条对角线．这个命题的证明如下：
已知：如图1，筝形中，，．
求证：垂直平分．
证明：…
3．判定：…