山西省太原市2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份山西省太原市2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共11页。试卷主要包含了解答题解答应写出必要的文字说明等内容，欢迎下载使用。

(考试时间：上午8：00-9：30)
说明：本试卷为闭卷笔答，不允许携带计算器.答题时间90分钟。
一、选择题(本大题共10个小题)在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将其字母序号填人下表相应位置.
1.一元二次方程的根是
A. B.， C.， D.，
2.如图是2023年8月19日由中国人民银行发行的三江源国家公园纪念币银币的正反面.若视其质地均匀，小文连续掷一枚这种纪念币两次，则两次落地后都是反面朝上的概率为
A. B. C. D.
3.一元二次方程的根的情况是
A有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
4.已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，对角线AC，BD相交于点O.下列结论一定成立的是
A.AC⊥BD B.AC=BD C.AB=BC D.AB=AC
5.行道树是指种在道路两旁及分车带，给车辆和行人遮荫并构成街景的树种.国槐是我市常见的行道树品种。右图是一批国槐树苗移植成活频率的统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为

6.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AC=6，则矩形的边AB的长为
A.3 B.6 C. D.
7.在估算一元二次方程x+2x-4=0的根时，小晗列表如下：
由此可估算方程的一个根的范围是
A. B. C. D.
8.如图，已知菱形OABC的边长为3，若顶点B的坐标为(0，4)，则第一象限内的顶点C的坐标为
A.(，2) B.(V5，4) C.(，2) D.(，2)
9.杭州第十九届亚洲运动会期间，小宇设计了一幅亚运会宣传画，其形状为矩形，长20cm，宽15cm.现要在其外围配置等宽的边框.使宣传画面积占加框后作品总面积的二若设边框的寬为xcm，则x满足的方程为
A. B.
C. D.
10.如图，点E是正方形ABCD内部的一点，△CDE为等边三角形，连接AE并延长交BD于点F，∠AFD的度数为
A.55° B.60 C.70° D.75°
二、填空题(本大题共5个小题)把答案直接写在题中的横线上.
11.将化成一元二次方程的一般形式的结果为+________=0.
12.小明要用如图的两个转盘做“配紫色”游戏，每个转盘均被等分成若干个扇形，他同时转动两个转盘，停止时指针所指的颜色恰好配成紫色(一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色即为配成紫色)的概率为_________.
13.我们知道，在图形从一般向特殊变化的过程中，它的组成元索及相关元素之间的关系也越来越特殊.下面是小颖从“对角线”的角度对平行四边形矩形、菱形、正方形之间关系的梳理，图中“▲”处应填写的内容是________
__________________________.
14.鸟尊是山西博物院的镇馆之宝，以鸟尊为素材的文创书签热卖.某商店六月份销售鸟尊书签300枚，八月份销售鸟尊书签432枚.该商店六月至八月鸟尊书签销售量平均每月你增占率为__________.
15.如图，在矩形ABCD中，AB=9，BC=8，AE是对角线AC上的一点，且BE=AB.延长BE交CD于点F.
请从下面A，B两题中任选一题作答.我选择__________题.
A.图中CF的长为___________.
B.图中AE的长为___________.
三、解答题(本大题共8个小题)解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程.
16.用适当的方法解下列一元二次方程：
(1)；
(2).
17.杭州亚运会时，小明购买了吉祥物主题邮票“宸宸”、“琼琮”、“莲莲”各-枚，他要将三枚邮票中的两枚送给好朋友小亮.小明将三枚邮票背面朝上放在桌面上(邮票背面完全相同)，洗匀后从中一次性随机抽取两枚送给小亮.请用列表或画树状图的方法求小明抽到的两枚邮票恰好是“宸宸”、“琮琮”的概率.(邮票“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”分别用字母A，B，C表示)
18.如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，连接BD.
(1)尺规作图：分别以点B，C为圆心，BD，CD长为半径画弧，两弧在BC下方交于点E，连接BE，CE；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)求证：四边形DBEC是菱形.
19.如图是2024年1月的日历，1月1日下方标有“元旦”二字。“元旦"意为“初始之日”。中国历史上的“元
旦”指的是农历“正月初一”，1949年中华人民共和国以公历1月1日为元旦.在如图的日历中，用“日”形框框住任意6个数，若其中最小数与最大数的乘积为100，求这个最小数.
20.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是BC的中点，在OE的延长线上取点F，使EF=OE，连接BF，CF.判断四边形OBFC的形状并说明理由.
21.2023年10月11日，第七届平遥国际电影展在山西省晋中市平遥古城拉开帷幕，特产“平遥牛肉”深受外国友人喜爱.某超市购进一批“平遥牛肉”，进价为每盒100元.调查发现，当销售单价为每盒170元时，平均每天能售出80盒，而当销售单价每降价10元，平均每天能多售出20盒.
(1)设每盒降价x元，实际售价为______元/盒，平均每天售出_________盒(用含x的代数式表示)；
(2)若超市每天销售这种“平遥牛肉”的利润要达到6000元，则每盒应降价多少元?
22.阅读下列材料，完成相应的任务：
课堂上，老师让同学们复习一元二次方程的多种解法，在讨论这些解法之间的关系时，小组同学发言如下：
任务：
(1)上述材料中“▲”处的依据为_____________(填写字母序号即可)；
A：若或，则.
B：若，则或.
(2)已知方程的两个根为，，则多项式分解因式的结果为__________；
(3)请从下面A，B两题中任选一题作答.我选择_______题.
A：根据材料中的思路，直接写出多项式分解因式的结果.
B：根据材料中的思路，直接写出多项式分解因式的结果.
23.综合与实践
问题情境：数学课上，同学们以特殊四边形为基本图形，添加一些几何元素后探究图形中存在的结论.已知在□ABCD中，AB特例探究：(1)如图1，“创思”小组的同学研究了四边形ABCD为矩形时的情形，发现四边形DEGF是正方形，请你证明这一结论；
(2)“敏学”小组的同学在图1基础上连接BG，AC，得到图2，发现图2中线段BG与AC之间存在特定的数量关系，请你帮他们写出结论并说明理由；
拓展延伸：(3)“善问"小组的同学计划对□ABCD展开类似研究.如图3，在OABCD中，∠ABC=60.
请从下面A，B两题中任选一题作答.我选择________题.
A：当AB=4，BC=6时，请补全图形，并直接写出A，G两点之间的距离.
B：当BC=6时，请补全图形，并直接写出以A，C，G为顶点的三角形面积的最小值.
2023-2024学年第一学期九年级期中学业诊断
数学参考答案与评分建议
一、选择题(本大题含10道小题，每小题3分，共30分)
二、填空题(本大题含5道小题，每小题3分，共15分)
11.；12.；13.对角线互相垂直且相等；14.20%；15.A.；B.
三、解答题(本大题含8道小题，共55分)
16.(本题10分，每小题5分)
解：(1)移项，得.…………………………...………………………………1分
配方，得.
.…………………………..…………………………..…2分
两边开平方，得.……………………………...…………………3分
所以，，.…………………………………………………5分
(2)原方程可变形为
.…………………………………………………………1分
.
.…………………………………………………………..…2分
或……………………………………………………..………3分
所以，，.………………………………………………………..…5分
17.(本题5分)
解：小明抽取邮票的结果列表如下：………………………..…2分
由列表可知一共有6种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相同，分
其中恰好抽到“宸宸”、“琮琮”的结果有2种，所以P(恰好抽到“宸宸”、“琮琮”)=分
18.(本题5分)
解：(1)如图即为所求分
(2)证明：∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC的中点，
∴BD＝CD＝分
由作图可知，BE＝BD，CE＝CD，
∴BE＝BD＝CE＝CD，分
∴四边形DBEC是菱形分
19.(本题6分)
解：设最小的数为，则最大的数为分
根据题意，得分
解得，分
由题意可知，所以不符合题意，舍去.
所以.
答：这个最小的数为分
20.(本题5分)
解：四边形OBFC是矩形.……………………...……1分
理由如下：
∵点E是BC的中点，
∴BE=…………………………………………2分
∵EF=OE，
∴四边形OBFC是平行四边形...……………………………………………………3分
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC=90°，……………………………………………..………4分
∴平行四边形OBFC是矩形.…………………………………...…..……..…5分
21.(本题6分)
解：(1)；；分
(2)根据题意，得分
解得，分
答：每盒降价10元或20元可使每天销售这种牛肉的利润达到6000元分
22.(本题6分)
解：(1)B；分
(2)；分
(3)A：分
B：分
23.(本题12分)
解：(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠C=90°，AD∥BC，AB∥分
∴∠FED=∠EBC，∠EFD=∠ABE，∠FDE=∠C=90°分
∵四边形DEGF平行四边形，
∴平行四边形DEGF为矩形分
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC=∠ABC.∴∠FED=∠EFD.∴DE=分
∴矩形DEGF为正方形分
(2)BG=AC.理由：连接DG交BF于点O，连接BD.
∵由(1)得四边形DEGF为正方形，
∴DG⊥EF，GO=分
∴BF垂直平分DG.
∴BG=分
∵四边形ABCD为矩形，
∴AC=BD，
∴BG=分
(3)A：补全图形如下：分
此时，A，G两点之间的距离为分
B：补全图形如下：分
以A，C，G为顶点的三角形面积的最小值为分
【评分说明】以上解答题的其他解法，请参照此标准评分.1
1.1
1.2
1.3
1.4
-1
-0.59
-0.16
0.29
0.76
小彬：分解因式法可以解特殊结构的一元二次方程，基本思路是通过分解因式将方程变形为的形式(其中m，p均不为零)，这样就可以将原方程化为两个一元一次方程或
，依据是__________，进而得到原方程的根为，.
小文：既然能用分解因式法求解关于x的一元二次方程，那么，能否运用一元二次方程的根，，将多项式分解因式呢?
小颖：可以!例如时，如果方程的两个根为，，逆推回去可得两个一元一次方程是或，则原方程即可表示为，这样就可得到多项式分解因式的结果为!
例如：已知方程的两根为，，则分解因式为；
已知方程的两根为，.则分解因式为.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
D
B
B
A
C
A
D
B