广东省茂名市高州市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份广东省茂名市高州市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 在平面直角坐标系中，将点向下平移3个单位长度，所得点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直角坐标系中点的平移特点“左减右加，上加下减”即可求解．
【详解】解：点(2，1)向下平移 3个单位得到的坐标为（2，-2），故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查坐标的平移，解题的关键是熟知直角坐标系中点的平移特点．
2. 若等腰三角形底角为，则顶角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，求解即可．
【详解】解：等腰三角形底角为，则顶角为
故选：A
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质．
3. 若，则，那么a一定为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质即可得到结果．
【详解】∵，
∴
故选A．
【点睛】解答本题的关键是熟练掌握不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4. 下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）该试卷源自 每日更新，享更低价下载。A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据因式分解的定义逐项判断即可得解；
【详解】解：A.，从左到右是整式乘法，不是因式分解，不符合题意；
B. ，从左到右，不是因式分解，不符合题意；
C. ，右侧含有分式，不是因式分解，不符合题意；
D. ，从左到右，是因式分解，符合题意；
故选择：D
【点睛】本题主要考查因式分解的定义，将一个多项式化为几个整式积的形式，即为因式分解，正确理解并掌握因式分解的定义是解题的关键．
5. 已知：是等腰三角形，，是底边上的高，下面结论不一定成立的是（ ）

A B. C. 平分D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质即可确定答案．
【详解】解：由等腰三角形三线合一的性质可得：，平分，由等边对等角的性质可得，由等腰三角形的性质不一定有，除非是等腰直角三角形．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键．
6. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形：一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这两个概念判断即可．
【详解】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意；
D、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故符合题意；
故选：D．
7. 如图，用不等式表示数轴上所示不等式组的解集，正确的是（ ）

A. 或B. 或
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的解集表示与3之间的部分，其中不包含，而包含3即可求解．
【详解】解：由图示可看出，从出发向右画出的折线且表示的点是空心圆，表示；
从3出发向左画出的折线且表示3的点是实心圆，表示．
所以这个不等式组为
故选：D．
【点睛】此题主要考查利用数轴上表示的不等式组的解集来写出不等式组．不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（>，≥向右画；<，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
8. 下列多项式中，可以提取公因式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用公因式的定义逐一分析得出答案．
【详解】解：A．，没有公因式，故此选项不符合题意；
B．有公因式，，故此选项符合题意；
C．，没有公因式，故此选项不符合题意；
D．，没有公因式，故此选项不符合题意．
故选B．
【点睛】本题主要考查了公因式的含义，提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题的关键．
9. 如图，将绕点B逆时针旋转得到，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据旋转性质即可求解．
【详解】解：∵将绕点B逆时针旋转得到，
∴点A和点D是对应点，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握“对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角”是解题的关键．
10. 若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A. 8cmB. 13cmC. 8cm或13cmD. 11cm或13cm
【答案】D
【解析】
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：当3是腰时，
∵3＋3＞5，
∴3，3，5能组成三角形，
此时等腰三角形的周长为3＋3＋5＝11（cm），
当5是腰时，
∵3＋5＞5，
5，5，3能够组成三角形，
此时等腰三角形的周长为5＋5＋3＝13（cm），
则三角形的周长为11cm或13cm．
故选：D
【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
二、填空题（每小题3分共15分）
11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是 __________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义条件即可进行解答．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，解题的关键是掌握二次根式被开方数为非负数．
12. 若是关于x的一元一次不等式，则k的值为____________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据一元一次不等式的定义，且，分别进行求解即可．
【详解】解：不等式是一元一次不等式，
，
解得：，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1次”这一条件；还要注意，未知数的系数不能是0．
13. 已知点A（a，1）与点B（4，b）关于原点对称，则a-b=_______．
【答案】-3
【解析】
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【详解】解：∵点A（a，1）与点B（4，b）关于原点对称，
∴a=-4，b=-1，
∴a-b的值为：-4-（-1）=-3．
故答案为：-3．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
14. 单项式与的公因式是___________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据公因式的确定方法：①系数取最小公倍数②字母取公共的字母③字母指数取最小的，即可写出答案．
【详解】解：∵与中都含有，
∴与的公因式为．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了公因式的确定，关键是正确把握公因式的确定方法．
15. 如图，在中，，平分，，，则点D到的距离为____________．
【答案】##3厘米
【解析】
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，再根据求解即可．
【详解】如图，过点作于，
∵，平分，
∴，
∵，，
∴，
∴点到的距离为，
故答案为：．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分共18分）
16. （1）下列不等式的解法正确吗？如果不正确，请改正．
．
解：两边都除以，得．
（2）解关于的一元一次不等式
【答案】（1）不正确，，见解析；（2）
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式．注意系数为负数，系数化1时，不等号的方向要发生改变．
（1）不等式两边同除一个不等于的负数，不等号的方向要发生改变；
（2）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1，可得答案．
【详解】（1）不正确，正解如下：
解：．
两边都除以，得．
（2）
解：去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1得，，
∴原不等式的解集是．
17. 如图，将沿直线的方向向右平移后到达的位置．
（1）若，则平移的距离___________．
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由平移性质知，据此可得，即可得到平移的距离；
（2）由得，，根据可得答案．
【小问1详解】
解：∵将沿直线的方向向右平移后到达的位置．
∴，
∴，
∵，
∴
则平移的距离为，
故答案为：3．
【小问2详解】
由（1）知，
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查了图形平移，解题的关键是熟练掌握平移的性质．
18. 因式分解：
（1）；
（2）；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）用提公因式法解答；
（2）用提公因式法解答．
【小问1详解】
解：原式
【小问2详解】
解：原式
【点睛】此题考查了因式分解——提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
19. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB，于点E

（1）求证：△ACD≌△AED；
（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．
【答案】（1）见解析（2）BD=2
【解析】
【分析】（1）根据角平分线性质求出CD=DE，根据HL定理求出两个三角形全等即可．
（2）求出∠DEB=90°，DE=1，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．
【详解】解：（1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°．
∵在Rt△ACD和Rt△AED中，，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）．
（2）∵Rt△ACD≌Rt△AED ，CD=1，
∴DC=DE=1．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°．
∵∠B=30°，
∴BD=2DE=2．
20. 如图，直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中，点坐标为．
（1）将先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，画出所得到的．
（2）求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形，平移作图，熟练掌握平移的性质，利用分割法求面积，是解题的关键．
（1）根据平移的性质，先确定平移后对应点，再画出即可；
（2）分割法求三角形的面积即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求作；
【小问2详解】
解：由图可知：
，
的面积为：．
21. 某学校在疫情期间的复学准备工作中，计划购买室内、室外两种型号的消毒液．已知每桶室外消毒液的价格比每桶室内消毒液的价格多30元，买3桶室内消毒液和2桶室外消毒液共需310元．
（1）求购买室内、室外两种型号消毒液各1桶分别需要多少元？
（2）根据学校实际情况，需购买室内、室外两种型号的消毒液共150个，总费用不超过1万元，问室内消毒液至少要购买多少桶？
【答案】（1）室内型号消毒液每桶的价格为50元，室外型号消毒液每桶的价格为80元；
（2）室内消毒液至少要购买67桶．
【解析】
【分析】（1）设室内型号消毒液每桶的价格为x元，室外型号消毒液每桶的价格为y元，由题意：每桶室外消毒液的价格比每桶室内消毒液的价格多30元，买3桶室内消毒液和2桶室外消毒液共需310元．列出方程组，解方程组即可；
（2）设室内消毒液要购买m桶，则室外消毒液要购买（150-m）桶，由题意：总费用不高于1万元，列出一元一次不等式，解不等式，取最小正整数解即可．
【小问1详解】
解：设室内型号消毒液每桶的价格为x元，室外型号消毒液每桶的价格为y元，
由题意得：，
解得：，
答：室内型号消毒液每桶的价格为50元，室外型号消毒液每桶的价格为80元；
【小问2详解】
解：设室内消毒液要购买m桶，则室外消毒液要购买（150-m）桶，
由题意得：50m+80（150-m）≤10000，
解得：m≥66，
答：室内消毒液至少要购买67桶．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，列出一元一次不等式．
五．解答题（三）（本大题4题，22、23题每题8分，24、25题每题10分共36分）
22. 如图，在中，，分交于点，过点作交于点，，垂足为点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）利用角平分线平分角，得到，利用平行线的性质，得到，从而得到：，即可得到：；
（2）利用角平分线的性质，得到，利用勾股定理求出的长，再根据，，求出的长，再利用勾股定理，求出的长即可．
【小问1详解】
证明：∵分交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，分交于点，，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
在中，．
【点睛】本题考查角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，以及勾股定理．熟练掌握有角平分线和平行线，必有等腰三角形，是解题的关键．
23. 感知：解不等式 ．根据两数相除，同号得正，异号得负，得不等式组 或不等式组 解不等式组 ，得 ；解不等式组 ，得 ，所以原不等式的解集为 或．
（1）探究：解不等式 ．
（2）应用：不等式 的解集是 ．
【答案】（1）-1＜x＜2;（2）-5≤x≤3
【解析】
【分析】（1）先把不等式转化为两个不等式组或，然后通过解不等式组来求分式不等式；
（2）根据题意先把不等式转化为两个不等式组或，然后通过解不等式组来求不等式．
【详解】（1）根据题意原不等式可化为不等式组
①或②{
解不等式组①，无解.
解不等式组②，得：−1所以原不等式的解集为−1（2）应用：原不等式可化为不等式组：
①或②，
解不等式组①得：不等式组无解，
解不等式组②得：−5⩽x⩽3.
故答案为−5⩽x⩽3.
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解答本题的关键是读懂题目中举的例子，根据举例即可解答本题.
24. 如图，已知直线y＝x+5与x轴交于点A，直线y＝kx+b与x轴交于点B（1，0），且与直线y＝x+5交于第二象限点C（m，n）．
（1）若△ABC的面积为12，求点C的坐标及关于x的不等式的x+5＞kx+b解集；
（2）求k的取值范围．
【答案】（1）x＞﹣1；（2）﹣5＜k＜0.
【解析】
【分析】1）由题意可求点A坐标，由三角形面积关系可求点C坐标，由一次函数性质可求不等式解集；
（2）列出方程组，用参数k表示点C坐标，由点C坐标在第二象限列出不等式组可求k取值范围．
【详解】解：（1）∵直线y＝x+5与x轴交于点A
∴x+5＝0 解得：x＝﹣5
∴A（﹣5，0）
∵B（1，0）
∴AB＝1﹣（﹣5）＝6
∵C（m，n）
∵S△ABC＝AB•yC＝×6n＝3n＝12
∴n＝4
∵点C（m，n）在直线AB上
∴m+5＝n＝4
∴m＝﹣1
∴点C坐标为（﹣1，4）
由图象可知，不等式x+5＞kx+b的解集为x＞﹣1．
（2）∵直线y＝kx+b与x轴交于点B（1，0），
∴0＝k+b
∴b＝﹣k
∴y＝kx﹣k
∵直线y＝kx+b与x轴交于点B（1，0），且与直线y＝x+5交于第二象限点C（m，n）．
∴
∴
∵m＜0，n＞0
∴﹣5＜k＜0
【点睛】本题考查了一次函数性质，一元一次不等式组的应用，用参数k表示点C的坐标是本题的关键．
25. 在等腰中，，．
（1）如图1，D，E是等腰斜边上两动点，且°，将绕点A逆时针旋转90°后，得到，连接．
①求证：；
②试判断、、三条线段之间的关系，并说明理由．
（2）如图2，点D是等腰斜边所在直线上的一动点，连接，以点A为直角顶点顺时针作等腰，当，时，直接写出的长．
【答案】（1）①见解析；②；见解析
（2）或
【解析】
【分析】（1）①根据旋转的性质即可进行解答；②根据旋转的性质可得，即可判定，可得，最后根据勾股定理即可得出结论；
（2）分两种情况进行讨论即可，①当点D在线段上时，②当点D在的延长线上时．
【小问1详解】
证明：①由旋转知，，
∴．
②解：；
理由：在中，，
∴，
∴，，，∠．
∴．
在中，，
∵，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：①当点D在线段上时，连接，如图2所示：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴ ．
②当点D在的延长线上时，连接，如图3所示：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴ ．
综上所述，的值为 或 ．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应边和对应角相等．