天津市第四十七中学2023-2024学年高二上学期10月第一次月考数学试题(含答案)

这是一份天津市第四十七中学2023-2024学年高二上学期10月第一次月考数学试题(含答案)，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2、是直线与直线互相垂直的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3、设x,,向量,,且,则( )
A.B.C.3D.
4、圆与圆的公切线共有( )
A.1条B.2条C.3条D.4条
5、已知点是圆上的动点,点,则MN的中点P的轨迹方程是( )
A.B.
C.D.
6、如图,已知正三棱柱的棱长均为2,则异面直线与所成角的余弦值是( )
A.B.C.D.0
7、圆与圆的公共弦所在的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为2,则m的值为( )
A.-3B.-1C.3D.3或-1
8、已知直线是圆的对称轴.过点作圆C的一条切线,切点为B,则( )
A.2B.C.6D.
9、设,过定点的动直线和过定点B的动直线交于点,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、填空题
10、在平面直角坐标系xOy中,直线与圆相交于A,B两点,则弦的长等于___________.
11、已知实数x,y满足方程.则的最大值为__________.
12、如图,在平行六面体中,,,,,,点为棱的中点,则线段AM的长为___________.
13、已知,点P在直线,圆,则最小值是__________.
14、若直线与曲线有两个不同的交点,则实数k的取值范围是_____________.
三、双空题
15、直线,若,则a的值为__________;此时与的距离是__________.
四、解答题
16、已知a,b,c分别为锐角三角形ABC三个内角A,B,C的对边,且.
(1)求A;
(2)若,,求c;
(3)若,求的值.
17、如图,在三棱台中,,,,侧棱平面ABC,点D是棱的中点.
(1)证明：平面;
(2)求点到平面ABD的距离;
(3)求点C到直线的距离.
18、求满足下列条件的直线方程.
(1)过点,且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程;
(2)已知,,两直线,交点为P,求过点P且与A,B距离相等的直线方程;
(3)经过点,并且与圆相切的直线方程.
19、如图所示,直角梯形ABCD中,,,,四边形EDCF为矩形,,平面平面ABCD.
(1)求证：平面ABE;
(2)求平面ABE与平面EFB夹角的余弦值;
(3)在线段DF上是否存在点P,使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为,若存在,求出线段BP的长,若不存在,请说明理由.
20、已知圆M与直线相切于点,圆心M在x轴上.
(1)求圆M的标准方程;
(2)若直线与圆M交于P,Q两点,求弦PQ的最短长度;
(3)过点M且不与x轴重合的直线与圆M相交于A,B两点,O为坐标原点,直线OA,OB分别与直线相交于C,D两点,记,的面积为,,求的最大值.
参考答案
1、答案：D
解析：可化为：,
直线的斜率为,设直线的倾斜角,则,
,.
故选：D.
2、答案：A
解析：因为直线与直线互相垂直,
所以,
解得或,
所以是直线与直线互相垂直的充分不必要条件.
故选：A.
3、答案：B
解析：向量,,
且,
,解得
,
,选项B正确.
故选：B.
4、答案：D
解析：圆心坐标为半径为2;
圆心坐标为,半径为1,
圆心距为4,两圆半径和为3,因为4>3,所以两圆的位置关系是外离,故两圆的公切线共有4条.
故本题选D.
5、答案：A
解析：设线段MN中点,则.
M在圆上运动,
,即.
故选：A.
6、答案：C
解析：以AC的中点O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则：,,,,
向量,,
.
本题选择C选项.
7、答案：D
解析：根据题意,圆与圆,
即,两式相减可得：,
即两圆的公共弦所在的直线的方程为,
该直线与x轴的交点为,与y轴的交点为,
若公共弦所在的直线和两坐标轴所围成图形的面积为2,则有,
变形可得：,
解可得：或-1;
故选：D.
8、答案：C
解析：直线l过圆心,所以,所以切线长,选C.
9、答案：B
解析：易得,.设,则消去m得：,
所以点P在以AB为直径的圆上,,所以,
令,
则.
因为,所以.所以,.
故选B.
10、答案：
解析：因为圆的圆心为,半径,
它到直线的距离,
所以弦AB的长.
故答案为：.
11、答案：
解析：设圆,即.
设,则当直线与圆C相切时,直线斜率最大或最小,即k最大或最小.
如图所示：
设直线与圆C切于第一象限内的点A,则,,,
,
由图象的对称性可知当与圆C相切于第四象限内时,.
的最大值为,最小值为.
故答案为：.
12、答案：
解析：
则
即线段AM的长为
故答案为：.
13、答案：
解析：因为可转化为：,
则圆心为,半径为.
设A关于直线的对称点B的坐标为,
则：,解得,即,
所以的最小值是,
故答案为：.
14、答案：
解析：方程是恒过定点,斜率为的直线,
曲线,即,
表示圆心为,半径,在直线及右侧的半圆,半圆弧端点,
在同一坐标系内作出直线与半圆),如图,
当直线与半圆C相切时,得,且,
解得,又,
所以或,所以或.
故答案为：.
15、答案：-3,
解析：由,则,即,可得或,
当时,,符合题设;
当时,,为同一条直线,不合题设;
综上,,此时,
所以与的距离.
故答案为：-3,
16、答案：(1)
(2)3
(3)
解析：（1）由于,所以,
由根据正弦定理可得,
所以,且三角形ABC为锐角三角形,即
所以.
（2）在中,由余弦定理知,
即,解得或（舍）,
故.
（3）由,可得,
所以,
,
即
17、答案：(1)见解析
(2)
(3)
解析：（1）以点A为原点,分别以AB,AC,所在的直线为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系,
则,,,,,,,
,,,,
,,
又,,平面,
平面
（2）设平面ABD的法向量,取,
则,即,故
令,解得,
故平面ABD的一个法向量,
点到平面ABD的距离.
（3）,,
,
点C到直线距离.
18、答案：（1）或;
（2）或;
（3）或..
解析：（1）当直线l过原点时,可得所求直线为,即,满足题意;
当直线l不过原点时,设直线l的方程为,其中,
代入,可得,解得,
所以所求直线l的方程为,即,
综上可得,直线l的方程为或.
（2）由题意,联立方程组,解得,所以,
当直线l过点P且与AB平行,可得,即直线l的斜率,
所以直线l的方程,即;
当直线l过点P和AB中点N,因为,,可得,则,
所以直线l的方程,即,
综上,满足条件直线方程为或.
（3）将圆的方程,化为,可得圆心,半径,
将点代入,可得,所以点M在圆外,
①当切线斜率存在时,设切线方程为,即,
由圆心到直线的距离等于圆的半径,可得,解得,
所以所求直线的方程为,即;
②当切线斜率不存在时,此时过点的直线方程为,
此时满足圆心到直线的距离等于圆的半径,即直线与圆相切,符合题意,
综上可得,所求切线为或.
19、答案：(1)见解析
(2)
(3)存在,
解析：（1）证明：取BC中点G,连接DG,
因为,又因为,
所以四边形ABDG为平行四边形,
所以,又因为,所以,
因为四边形EDCF为矩形,所以,
又因为平面平面ABCD,平面平面,
所以平面ABCD,
又DA,平面ABCD,所以,,
于是DA、DG、DE两两垂直,
建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,
则,,,
设平面ABE的法向量为,
,令,,
因为,所以,
又因为平面ABE,所以平面ABE;
（2）,,
设平面BEF的法向量为,
,可取,
,
所以平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值为;
（3）假设存在,设,
则,
所以,
因为直线BP与平面ABE所成角的正弦值为,
所以,解得或,
当时,,,
当时,,,
所以存在点P,使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为,.
20、答案：(1)
(2)
(3)的最大值为
解析：（1）由题可知,设圆的方程为,
由直线与圆相切于点,
得,解得,,
圆的方程为;
（2）由直线
有：;
得,即
即直线l恒过定点;
又,即点在圆C内部;
圆C的圆心为;设直线l恒过定点;
当直线l与直线CP垂直时,圆心到直线的距离最长,此时弦长最短;
此时,弦长最短为;
（3）由题意知,,设直线OA的斜率为,则直线OA的方程为,
由,得,解得或,
则点A的坐标为,
又直线OB的斜率为,
同理可得：点B的坐标为
由题可知：,
,
又,同理,
.
当且仅当时等号成立.
的最大值为.