2023-2024学年天津市耀华中学高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年天津市耀华中学高二上学期期中数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，未知等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是、的中点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量的线性运算运算律可得，在根据数量积的定义求其值.
【详解】由题意，和之间夹角均为，结合平面向量线性运算有

故选：C
2．若直线与圆有公共点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为直线与圆有公共点，
则圆心到直线的距离小于等于半径可知，
故选D
3．圆和圆的公切线的条数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据圆的一般式判断圆心与半径，利用几何法判断两圆位置关系，进而确定公切线的数量.
【详解】两个圆与，
圆圆心为，半径为，圆圆心为，半径为，
两圆圆心距为，
，
两圆相交，有条公切线.
故选：B.
4．若直线过点P（﹣3，﹣），且被圆x2+y2=25截得的弦长是8，则这条直线的方程是
A．3x+4y+15=0B．x=﹣3或y=﹣
C．x=﹣3D．x=﹣3或3x+4y+15=0
【答案】D
【详解】试题分析：根据垂径定理及勾股定理，由圆的半径和截得的弦长的一半求出弦心距，即圆心到直线的距离等于所求的弦心距，分斜率存在和不存在两种情况：当斜率存在时，设直线的斜率为k，根据P的坐标写出直线的方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，让d等于求出的弦心距列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，确定出所求直线的方程；当斜率不存在时，因为圆心到直线x=﹣3的距离等于弦心距3，显然直线x=﹣3满足题意，综上，得到满足题意的两直线的方程．
解：由圆的方程x2+y2=25，得到圆心坐标为（0，0），半径r=5，
又直线被圆截得的弦长为8，根据垂径定理得到圆心到直线的距离即弦心距为=3，
当所求直线的斜率存在时，设直线的方程为：y+=k（x+3）即kx﹣y+3k﹣=0，
所以圆心到直线的距离d==3，
化简得：9k=﹣9即k=﹣，所以所求直线的方程为：3x+4y+15=0；
当所求直线的斜率不存在时，显然所求直线的方程为：x=﹣3，
综上，满足题意的直线方程为x=﹣3或3x+4y+15=0．
故选D
【解析】直线的一般式方程；直线与圆相交的性质．
5．若两条直线与互相垂直，则的值等于（ ）
A．B．或C．或或D．
【答案】C
【分析】根据即可得结果.
【详解】由两条直线垂直知，
即，
即，
解得，，．
故选：．
6．作直线与圆相切且在两轴上的截距相等，这样的直线有（ ）
A．4条B．3条C．2条D．1条
【答案】A
【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，讨论直线截距为零和截距不为零，结合相切关系及点线距离公式分别求出对应切线方程即可.
【详解】化简圆为：，
圆心，半径，
若截距为0，设，则，
解得：或，
若截距不为0，设，则，
综上，共有4条件满足条件的直线l.
故选：A.
7．已知椭圆以及椭圆内一点P(4，2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为( )
A．－B．C．－2D．2
【答案】A
【分析】由于是弦的中点，根据点差法求出弦所在直线的斜率.
【详解】设以为中点的弦的两个端点分别为，
所以由中点坐标公式可得，
把两点坐标代入椭圆方程得
两式相减可得
所以，即所求的直线的斜率为.
故选A项.
【点睛】本题考查通过点差法求弦中点所在直线的斜率，属于中档题.
8．过椭圆的一个焦点作弦，若，，则的数值为（ ）
A．B．C．D．与弦斜率有关
【答案】B
【分析】利用椭圆的焦半径公式，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，将式子化简整理可得．
【详解】令，设，，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
由，解得，则，所以；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由，整理得：，
所以，，
又，，所以，
综上，.
故选：B.
9．椭圆的两焦点为，，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是A，B，易得，，由此建立a，c的齐次式，进而可得结果.
【详解】设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是A，B，
易得，，
∴，∴，
∴，
故选：D.
10．设椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点，且与椭圆相交于，两点，为线段的中点.下列说法正确的个数（ ）
①直线与垂直
②若点的坐标为，则直线方程为
③若直线方程为，则点的坐标为
④若直线方程为，则
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】设，利用点差法可得，判断①错误；利用点差法的结论可以求出直线方程，进而判断②正确；利用点差法的结论可以求出，判断③错误；结合弦长的求解方法求出，判断④正确；
【详解】不妨设坐标为，则，两式作差可得：
，设，则.
对①：，故直线不垂直，则①错误；
对②：：若点M坐标为,则，则，
又过点，则直线的方程为，即，故②正确.
对③：若直线方程为，故可得，即，又，
解得，即，故③错误；
对④：若直线方程为，联立椭圆方程，
可得：，解得，故，
则，故④正确；
故选：C.
二、填空题
11．直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】首先确定直线和曲线的图形特征，然后考查临界值即可确定实数的取值范围．
【详解】解：如图所示，是一个以原点为圆心，长度为半径的半圆，
是一个斜率为的直线，
要使两图有两个交点，连接和，直线必在以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切，则可求出两个临界位置直线的值，
当直线与重合时，；
当直线与半圆相切时，
圆心到的距离，
即，解得：或（舍去）．
所以的取值范围是．
故答案为：

12．若圆上恰有相异两点到直线的距离等于1，则r的取值范围是
【答案】
【分析】利用圆的性质，结合点到直线的距离公式进行求解即可.
【详解】该圆的圆心到直线的距离为，
因为圆上恰有相异两点到直线的距离等于1，
所以有，
故答案为：
13．已知P是直线上的动点，是圆的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形面积的最小值为 ．
【答案】
【分析】确定圆心为，半径，将四边形的面积转化为，计算点到直线的距离得到答案.
【详解】，即，圆心为，半径，
，即最小时，面积最小.
，故四边形面积的最小值为.
故答案为：
14．已知椭圆（）的离心率为，短轴长为2，点P为椭圆上任意一点，则的最小值是 .
【答案】
【分析】根据离心率以及短轴长，求得，再利用均值不等式，即可求得和的最小值.
【详解】据题意，，解得，，于是，
所以
，
当且仅当，即，时等号成立.
故答案为：.
【点睛】本题考查椭圆中的最值，涉及椭圆定义以及均值不等式的使用，属综合中档题.
15．已知椭圆：（）的左焦点为，经过原点的直线与交于，两点，总有，则椭圆离心率的取值范围为 .
【答案】
【分析】设椭圆右焦点为，由对称性知，，从而有，设，，由椭圆定义结合基本不等式得，在焦点三角形中应用余弦定理，代入，结合余弦函数性质可得离心率的范围．
【详解】如图，设椭圆右焦点为，由对称性知是平行四边形，，
∵，∴，
设，，由椭圆定义知，则，当且仅当时等号成立，
在中，由余弦定理得，
又，，∴，解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查求椭圆离心率的范围，解题关键是把已知条件转化为焦点中，，然后椭圆定义，余弦定理，基本不等式求得结论．
三、解答题
16．如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，是棱PD的中点，且，．
（I）求证：； （Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）若是上一点，且直线与平面成角的正弦值为，求的值．
【答案】（I）见解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ）1．
【详解】试题分析：(I)，，所以平面PAC；(II)建立空间直角坐标系，求出两个法向量，平面MAB的法向量，是平面ABC的一个法向量，求出二面角；(III)设，平面MAB的法向量，解得答案．
试题解析：
证明：(I)连结AC．因为为在中，
，，
所以，所以．
因为AB//CD，所以．
又因为地面ABCD，所以．因为，
所以平面PAC．
(II)如图建立空间直角坐标系，则．
因为M是棱PD的中点，所以．
所以，． 设为平面MAB的法向量，
所以，即，令，则，
所以平面MAB的法向量．因为平面ABCD，
所以是平面ABC的一个法向量．
所以．因为二面角为锐二面角，
所以二面角的大小为．
(III)因为N是棱AB上一点，所以设，．
设直线CN与平面MAB所成角为，
因为平面MAB的法向量，
所以．
解得，即，，所以．
四、未知
17．从圆外一点向圆作切线，为切点，且（为原点），求的最小值以及此刻点的坐标.
【答案】，.
【分析】根据给定条件，结合圆的切线性质求出的关系，再借助二次函数求解即可.
【详解】圆：的圆心，半径，
如图，连结、，则，
由，得，整理得，即，
显然点到直线的距离，即点在圆外，
因此，当且仅当时取等号，
所以的最小值为，此时点的坐标是.
五、解答题
18．已知椭圆的一个焦点为，上顶点为，原点O到直线的距离为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点T在圆上，点A为椭圆的右顶点，是否存在过点A的直线l交椭圆C于点B（异于点A），使得成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) (2) 存在满足条件的直线，其方程为.
【分析】（1）根据条件列方程组，解得即可，（2）设直线方程，与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理解得B点坐标，再根据条件得T点坐标，代入圆方程，解得直线斜率，即得结果.
【详解】解：（1）由椭圆的一个焦点为知:，即.①.
又因为直线的方程为，即，所以.
由①解得.
故所求椭圆的标准方程为.
（2）假设存在过点的直线适合题意，则结合图形易判断知直线的斜率必存在，
于是可设直线的方程为，
由，得.（*）
因为点是直线与椭圆的一个交点，且
所以，所以，
即点.
所以，即.
因为点在圆上，所以，
化简得，解得，所以.
经检验知，此时（*）对应的判别式，满足题意.
故存在满足条件的直线，其方程为.
【点睛】本题考查椭圆标准方程以及直线与椭圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.