2023-2024学年广东省深圳中学共同体八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省深圳中学共同体八年级（下）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.以下图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列各式从左到右的变形属于因式分解的是( )
A. 6x2y3=2x2⋅3y3B. x2+2x+1=x(x+2+1x)
C. x2−9=(x−3)(x+3)D. (x+3)(x−3)=x2−x−6
3.若a>b，则下列不等式成立的是( )
A. a−5b2
4.将分式x−yx+y中的x，y的值同时扩大2倍，则分式的值( )
A. 扩大2倍B. 缩小到原来的12C. 保持不变D. 无法确定
5.不等式组2x+4>0x−1≤0的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
6.如图，已知△ABC，ABA. B.
C. D.
7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=2∠A，BD=2，CD是高，则AD的长为( )
A. 4
B. 6
C. 2 3
D. 4 3
8.如图所示，一次函数y=kx+b(k,b是常数，k≠0)与正比例函数y=mx(m是常数，m≠0)的图象相交于点M(1,2)，下列判断错误的是( )
A. 关于x的方程mx=kx+b的解是x=1
B. 关于x的不等式mx≥kx+b的解集是x>1
C. 当x<0时，函数y=kx+b的值比函数y=mx的值大
D. 关于x，y的方程组y−mx=0y−kx=b的解是x=1y=2
9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=23，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点.若点B′恰好落在AB边上，则点A到直线A′C的距离等于( )
A. 1B. 3C. 2D. 23 3
10.如图，将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子，其中AB=AC=AG=FG，∠BAC=∠AGF=90°，AF、AG分别与BC交于D、E两点，将△ACE绕着点A顺时针旋转90°得到△ABH，则下列结论：①BH⊥BC；②AD平分∠HDE；③若BD=3，当DE=2CE时，则AB=32 2+32 3；④若AB平分∠HAD，则S△ABD= 22S△ADE，其中正确的个数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.把多项式x3−4x分解因式的结果为______．
12.若在解分式方程x−1x+2=kx+2去分母时产生增根，则k= ______．
13.“绿水青山就是金山银山”某乡村为美化环境，计划种植树木1000棵.由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划增加了25%，结果提前2天完成任务.则实际每天植树______棵.
14.《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某兴趣小组阅读四大名著的人数，同时满足以下三个条件：
①阅读过《水浒传》的人数等于阅读过《西游记》的人数的整数倍；
②阅读过《水浒传》的人数是阅读过《三国演义》的人数的1.5倍；
③阅读过《三国演义》的人数多于阅读过《西游记》的人数的1.5倍．
若阅读过《西游记》的人数为4，则阅读过《水浒传》的人数的最小值为______．
15.如图，在△ABC中，∠BAC=45°，∠ACB=60°，BC=5，将△ABC沿着射线BC方向平移得到△DEF，A与D为对应点，连结CD.在整个平移过程中，若∠CDE=45°，则平移的距离为______．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
(1)因式分解：3x2−6xy+3y2；
(2)解不等式组：x+3>22x−13<1．
17.(本小题8分)
(1)先化简：(1−1m−1)÷m2−4m+4m2−m，再从−1≤m≤2中选取合适的整数代入求值．
(2)解分式方程：x+1x+1x−2=1．
18.(本小题7分)
在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系△ABC是格点三角形(顶点在网格线的交点上)．
(1)作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点坐标A1(______)，B1(______)，C1(______)；
(2)把△A1B1C1向上平移4个单位长度得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
(3)△A2B2C2与△ABC成中心对称，请直接写出对称中心的坐标(______).
19.(本小题7分)
如图，在△ABC中，DE为BC边上的垂直平分线，与∠BAC的平分线交于点E，过点E作EF⊥AB，交AB的延长线于点F，作EG⊥AC，交AC于点G．
(1)求证：BF=CG；
(2)若AB=6，AC=15，求CG的长．
20.(本小题8分)
某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降.今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为90万元，今年销售额只有80万元．
(1)今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？
(2)为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用少于105万元且多于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有哪几种进货方案？
21.(本小题8分)
阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”．
例：将分式1−3xx2−1表示成部分分式，解：设1−3xx2−1=Mx+1+Nx−1，将等式右边通分，得M(x−1)+N(x+1)(x+1)(x−1)=(M+N)x+(N−M)x2−1，依据题意，得M+N=3N−M=1，解得M=−2N=−1，所以1−3xx2−1=−2x+1+−1x−1.请你适用上面所学到的方法，解决下面的问题：
(1)1n(n+1)=An+Bn+1(A,B为常数)，则A= ______，B= ______；
(2)一个容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出12L，第2次倒出的水量是12L的13，第3次倒出的水量是13L的14，第4次倒出的水量是14L的15…第n次倒出的水量是1nL的1n+1…按照这种倒水的方法，这1L的水是否能倒完？如果能，多少次能倒完？如果不能，请说明理由；
(3)按照(2)的条件，现在开始重新实验，按照如下要求把水倒出：第1次倒出13L，第2次倒出的水量是115L，第3次倒出的水量是135L，第4次倒出的水量是163L，请问经过多少次操作后，杯内剩余水量能否变成原来水量的100199？试说明理由．
22.(本小题9分)
如图△ABC与△ACD为正三角形，点O为射线CA上的动点，作射线OM与直线BC相交于点E，将射线OM绕点O逆时针旋转60°，得到射线ON，射线ON与直线CD相交于点F．
(1)如图①，点O与点A重合时，点E，F分别在线段BC，CD上，求证：△AEC≌△AFD；
(2)如图②，当点O在CA的延长线上时，E，F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上，请写出CE，CF，CO三条线段之间的数量关系，并说明理由；
(3)点O在线段AC上，若AB=8，BO=7，当CF=1时，请直接写出BE的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断．
本题主要考查中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】C
【解析】解：6x2y3=2x2⋅3y3中等号右边是单项式，则A不符合题意；
x2+2x+1=x(x+2+1x)中等号右边不是整式的积的形式，则B不符合题意；
x2−9=(x−3)(x+3)符合因式分解的定义，则C符合题意；
(x+3)(x−3)=x2−x−6左右两边不相等且不符合因式分解的定义，则D不符合题意；
故选：C．
将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此逐项判断即可．
本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：a>b，根据不等式的性质1，a−5>b−5，故A不成立；
a>b，根据不等式的性质3，−2a<−2b，故B成立；
a>b，根据不等式的性质1，a+3>b+3，
根据不等式的性质2，a+32>b+32，故C不成立；
∵1>−2，12<(−2)2，故D不成立．
故选：B．
利用不等式的性质，逐个判断得结论．
本题考查了不等式的性质，掌握不等式的三个性质是解决本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵2x−2y2x+2y=2(x−y)2(x+y)=x−yx+y，
∴将分式x−yx+y中的x，y的值同时扩大2倍，则分式的值保持不变，
故选：C．
运用分式的基本性质进行化简、计算．
此题考查了分式基本性质的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行变形、化简．
5.【答案】A
【解析】解：由2x+4>0得x>−2，
由x−1≤0得x≤1，
解集在数轴上表示为：
，
则不等式组的解集为−2故选：A．
先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式组的解集表示在数轴上即可．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画；<，≤向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了基本作图−线段的垂直平分线，属于基础题．
由PB+PC=BC和PA+PC=BC易得PA=PB，可得点P在AB的垂直平分线上，于是可判断D选项正确．
【解答】
解：∵PB+PC=BC，
而PA+PC=BC，
∴PA=PB，
∴点P在AB的垂直平分线上，
即点P为AB的垂直平分线与BC的交点．
故选：D．
7.【答案】B
【解析】解：由∠ACB=90°，∠B=2∠A，
得∠B=60°，∠A=30°，
由CD是高，BD=2，
得CD= 3BD=2 3，AD= 3CD=6．
故选：B．
由∠ACB=90°，∠B=2∠A，得∠B=60°，∠A=30°，由CD是高，BD=2，得CD= 3BD=2 3，AD= 3CD=6．
本题主要考查了直角三角形，解题关键是正确找到直角三角形的边的关系．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了一次函数与二元一次方程(组)，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
根据条件结合图象对各选项进行判断即可．
【解答】
解：
∵一次函数y=kx+b(k,b是常数，k≠0)与正比例函数y=mx(m是常数，m≠0)的图象相交于点M(1,2)，
∴关于x的方程mx=kx+b的解是x=1，选项A判断正确，不符合题意；
关于x的不等式mx≥kx+b的解集是x≥1，选项B判断错误，符合题意；
当x<0时，函数y=kx+b的值比函数y=mx的值大，选项C判断正确，不符合题意；
关于x，y的方程组y−mx=0y−kx=b的解是x=1y=2，选项D判断正确，不符合题意；
故选：B．
9.【答案】A
【解析】解：作AH⊥A′C于H，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=23，
∴∠B=60°，AC=2 33，
∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，
∴CB=CB′，∠A′CB′=∠ACB=90°，
∴∠B=∠CB′B=60°，
∴∠BCB′=60°，
∴∠ACH=∠BCB′=60°，
∵∠AHC=90°，
∴∠CAH=30°，
∴AH=AC×cs30°=2 33× 32=1，
∴点A到直线A′C的距离等于1，
故选：A．
作AH⊥A′C于H，根据含30°角的直角三角形的性质得∠B=60°，AC=2 33，再根据旋转的性质可得∠ACH=∠BCB′=60°，从而得出答案．
本题主要考查了旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵AB=AC=AG=FG，
∠BAC=∠AGF=90°，
∴∠ABC=∠C=∠FAG=45°，
BC= 2AB，
由旋转性质可知△ABH≌△ACE，
∴∠ABH=∠ACE=45°，BH=CE，
AH=AE，∠BAH=∠CAE，
∠HBD=∠ABH+∠ABC=45°+45°=90°，
∴BH⊥BC，故①正确；
∵∠BAH=∠CAE，
∴∠BAH+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC−∠FAG=45°，
即∠DAH=45°，
∴∠DAH=∠DAE，
在△ADH和△ADE中，
AD=AD∠DAH=∠DAEAH=AE，
∴△ADH≌△ADE(SAS)，
∴DH=DE，∠ADH=∠ADE，
∴AD平分∠HDE，故②正确；
在Rt△BDH中，BD2+BH2=DH2，
∵BH=CE，DH=DE，
∴BD2+CE2=DE2，
当BD=3，DE=2CE时，
根据勾股定理得：32+CE2=4CE2，
解得：CE= 3，
∴DE=2 3，
∴BC=BD+DE+CE=3+3 3，
∵BC= 2AB，
∴AB=3 2+3 62，故③错误；
∵AB平分∠HAD，
∴∠HAB=∠DAB，
∵∠ABD=∠ABH=45°，AB=AB，
∴△ABH≌△ADB(ASA)，
∴BH=BD，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴DH= 2BD，
∵DE= 2BD，
设A到BC边距离为h，
S△ABD=12×BD×h，S△ADE=12×DE×h，
∴S△ABDS△ADE=BDDE= 22，
∴S△ABD= 22S△ADE，故④正确；
综上①②④正确．
故选：C．
根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得△ABH和△ACE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAH=∠CAE，然后求出∠EAF=45°，判断出①正确；通过证明△ADH≌△ADE，根据全等三角形的性质可得DH=DE，∠ADH=∠ADE，判断出②正确；利用勾股定理得到③错误；根据角的度数得到∠ADE=∠BEA，然后利用“角角边”证明△ABD和△ACE全等，根据三角形面积公式即可求得，判断出④正确．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
11.【答案】x(x+2)(x−2)
【解析】解：x3−4x，
=x(x2−4)，
=x(x+2)(x−2)．
先提取公因式x，然后再利用平方差公式进行二次分解．
本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，关键在于要进行二次分解因式．
12.【答案】−3
【解析】解：分式方程去分母得：x−1=k，
由分式方程有增根，得到x+2=0，即x=−2，
把x=−2代入整式方程得：k=−2−1=−3．
故答案为：−3．
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出k的值．
此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
13.【答案】125
【解析】解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树(1+25%)x棵，
依题意得：1000x−1000(1+25%)x=2，
解得x=100，
经检验，x=100是原方程的解，且符合题意，
∴(1+25%)x=125，
即实际每天植树125棵，
故答案为：125．
设原计划每天植树x棵，则实际每天植树(1+25%)x棵，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前2天完成任务，列出分式方程，解之经检验后即可得出x的值，再将其代入(1+25%)x中即可求出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
14.【答案】12
【解析】解：设阅读过《三国演义》的人数为x，则阅读过《水浒传》的人数为1.5x，
根据题意得：1.5x=4nx>4×1.5，
∴4n>1.5×4×1.5=9，
又∵n为正整数，
∴n的最小值为3，
∴4n的最小值为12，
即阅读过《水浒传》的人数的最小值为12．
故答案为：12．
设阅读过《三国演义》的人数为x，则阅读过《水浒传》的人数为1.5x，根据“阅读过《水浒传》的人数等于阅读过《西游记》的人数的整数倍，且阅读过《三国演义》的人数多于阅读过《西游记》的人数的1.5倍”，可列出关于x的一元一次方程及一元一次不等式，解之可得出4n>9，结合n为正整数，可得出n的最小值，再将其代入1.5x=4n中，即可求出结论．
本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应该，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式(或一元一次方程)是解题的关键．
15.【答案】5+5 3
【解析】解：过B作BH⊥AC于H，
∴∠AHB=∠CHB=90°，
∵∠ACB=60°，
∴CH=12BC=52，
∵∠A=45°，
∴AH=BH= 32BC=5 32，
∴AC=AH+CH=5+5 32，
第一种情况：当点E在BC上时，∵∠CDE=∠CAB=45°，A与D为对应点，
∴点E与B重合，(不合题意舍去)
第二种情况：当点E在BC的延长线上时，
∵△DEF由△ABC平移得到，
∴∠EDF=∠A=45°，∠DFC=∠ACB=60°，DF=AC=5+5 32，EF=BC=5，
∵∠CDE=45°，
∴∠CDF=90°，
∴CF=2DF=5+5 3，
∴平移的距离为5+5 3，
故答案为：5+5 3．
根据△ABC的平移过程，分为了点E在BC上和点E在BC外两种情况，根据平移的性质得到AB//DE，根据平行线的性质得到∠ACD和∠CDE和∠BAC之间的等量关系，列出方程求解即可．
本题主要考查了平移的性质，直角三角形的性质，熟练掌握平移前后对应线段相等是解题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=3(x2−2xy+y2)
=3(x−y)2；
(2)解第一个不等式得：x>−1，
解第二个不等式得：x<2，
故原不等式组的解集为−1【解析】(1)提公因式后利用完全平方公式因式分解即可；
(2)解各不等式后即可求得不等式组的解集．
本题考查因式分解及解一元一次不等式组，熟练掌握因式分解及解不等式组的方法是解题的关键．
17.【答案】解：(1)(1−1m−1)÷m2−4m+4m2−m
=m−1−1m−1⋅m(m−1)(m−2)2
=m−2m−1⋅m(m−1)(m−2)2
=mm−2，
∵m−1≠0，m≠0，m−2≠0，
∴m≠1，m≠0，m≠2，
∴当m=−1时，原式=−1−1−2=13；
(2)x+1x+1x−2=1，
(x+1)(x−2)+x=x(x−2)，
解得：x=1，
检验：当x=1时，x(x−2)≠0，
∴x=1是原方程的根．
【解析】(1)先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把m的值代入化简后的式子进行计算，即可解答；
(2)按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了分式的化简求值，解分式方程，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】3，0 5，−3 1，−1 0，2
【解析】解：(1)如图1，△A1B1C1为所求作的三角形；
根据图可知，A1(3,0)，B1(5,−3)，C1(1,−1)．
故答案为：3，0；5，−3；1，−1；
(2)如图2，△A2B2C2为所求作的三角形；
(3)连接BB2、CC2，则BB2、CC2的交点即为对称中心，如图3，
∵B(−5,3)，B2(5,1)，
∴对称中心的坐标为(−5+52,3+12)，
即对称中心的坐标为(0,2)．
故答案为：(0,2)．
(1)根据中心对称的性质作出点A、B、C的对应点A1，B1，C1，然后顺次连接即可；
(2)根据平移特点先作出点A1，B1，C1平移后的对应点A2，B2，C2，然后顺次连接即可；
(3)连接两组对称点的交点即为对称中心，然后根据中点坐标公式求出此点的坐标即可．
此题考查中心对称图形的画法，平移图形的画法，中心对称的性质及平移的性质，对称中心的确定方法，正确掌握中心对称的性质及平移的性质是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：如图，连接BE、CE，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，
∴EF=EG，∠F=∠EGC=∠AGE=90°，
∵DE垂直平分BC，
∴BE=CE，
在Rt△BEF和Rt△CEG中
BE=CEEF=EG，
∴Rt△BEF≌Rt△CEG(HL)，
∴BF=CG．
(2)解：在△AEB和Rt△AEGRt中，
AE=AEEF=EG，
∴Rt△AEB≌Rt△AEG(HL)，
∴AF=AG，
∴AB+BF=AC−CG，
∵AB=6，AC=15，BF=CG，
∴6+CG=15−CG，
∴CG=92，
∴CG的长为92．
【解析】(1)连接BE、CE，由AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC得EF=EG，由DE垂直平分BC得BE=CE，即可证明Rt△BEF≌Rt△CEG，得BF=CG；
(2)先根据直角三角形全等的判定定理“HL”证明Rt△AEB≌Rt△AEG，得AF=AG，即可由AB+BF=AC−CG，且AB=6，AC=15求出CG的长．
此题重点考查角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
20.【答案】解：(1)设今年5月份A款汽车每辆售价x万元．根据题意得：
90x+1=80x，
解得：x=8，
经检验知，x=8是原方程的解．
所以今年5月份A款汽车每辆售价8万元；
(2)设A款汽车购进y辆．则B款汽车每辆购进(15−y)辆．根据题意得：
7.5y+6(15−y)<1057.5y+6(15−y)>99，
解得：6所以有3种方案：
方案一：A款汽车购进7辆；B款汽车购进8辆；
方案二：A款汽车购进8辆；B款汽车购进7辆；
方案三：A款汽车购进9辆；B款汽车购进6辆．
【解析】(1)设今年5月份A款汽车每辆售价x万元，根据题意可得，去年销售额90万元与今年销售额80万元所卖的车辆数量相等，据此列方程求解；
(2)关系式为：99本题考查分式方程和一元一次不等式组的综合应用，找到合适的等量关系及不等关系是解决问题的关键．
21.【答案】1 −1
【解析】解：(1)∵1n(n+1)=An+Bn+1，
∴1n(n+1)=A(n+1)n(n+1)+Bnn(n+1)，
∴1n(n+1)=A(n+1)+Bnn(n+1)，
∴1n(n+1)=(A+B)n+An(n+1)，
∴A+B=0，A=1，
解得：A=1，B=−1；
故答案为：A=1，B=−1；
(2)∵12+12×13+13×14++1n×1n+1
=12+12−13+13−14+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+1n−1n+1
=1−1n+1=nn+1≠1
∴这1L水永远倒不完；
(3)1−11×3−13×5−15×7−⋅⋅⋅⋅⋅⋅−1(2n−1)(2n+1)
=1−12(1−13+13−15+15−17+…+12n−1−12n+1)
=1−n2n+1
=n+12n+1，
∴n+12n+1=100199，
解得n=99，
经检验，n=99是原方程的根；
答：经过99次操作之后能达到．
(1)根据题干提示进行通分，从而可得A+B=0，A=1，从而可得答案；
(2)根据题意先列式表示倒出的水，再求和，根据结果即可判断；
(3)先列式表示剩余水量，再建立方程求解即可．
本题考查的是分式运算的规律探究，分式方程的解法，掌握探究的方法并应用规律解题是关键．
22.【答案】(1)证明：如图①中，
因为△ABC与△ACD为正三角形，
所以AB=AC=BC=AD=CD，∠BCA=∠D=∠DAC=60°，
因为将射线OM绕点O逆时针旋转60°，
所以∠EAF=60°=∠DAC，
所以∠EAC=∠DAF，
在△AEC和△AFD中
∠EAC=∠FADAC=AD∠ACE=∠D,
所以△AEC≌△AFD(ASA)；
(2)解：CE+CO=CF，理由如下：
如图②，过点O作OH/​/BC，交CF于H，
所以∠HOC=∠BCA=60°，∠OHC=∠HCE=60°，
所以△COH是等边三角形，
所以OC=CH=OH，
因为∠EOF=∠COH=∠CHO=∠BCA=60°，
所以∠COE=∠FOH，∠OCE=∠OHF=120°，
在△OHF和△OCE中，
∠OHF=∠OCEOH=OC∠HOF=∠COE
所以△OHF≌△OCE(ASA)，
所以CE=FH，
因为CF=CH+FH，
所以CF=CO+CE；
(3)BE的值为4或2或6．
【解析】解：(1)见答案；
(2)见答案；
(3)作BH⊥AC于H.因为AB=8，
所以AH=CH=4，
所以BH= AB2−AH2= 82−42=4 3，
如图③−1中，当点O在线段AH上，点F在线段CD上，点E在线段BC上时．
因为OB=7，
所以OH= OB2−BH2= 49−48=1，
所以OC=OH+CH=4+1=5，
过点O作ON/​/AB，交BC于N，
∠BAC=∠NOC=60°，∠ABC=∠ONC=60°，
所以△ONC是等边三角形，
所以ON=OC=CN=5，∠NOC=∠EOF=60°=∠ONC=∠OCF，
所以∠NOE=∠COF，
在△ONE和△OCF中，
∠NOE=∠COF ON=OC∠ONE=∠OCF
所以△ONE≌△OCF(ASA)，
所以CF=NE，
所以CO=CE+CF，
因为OC=5，CF=1，
所以CE=OC−CF=5−1=4，
所以BE=BC−CE=8−4=4；
如图③−2中，当点O在线段AH上，点F在线段DC的延长线上，点E在线段BC上时．
同法可证：CE−CF=OC，
所以CE=5+1=6，
所以BE=BC−CE=8−6=2；
如图③−3中，当点O在线段CH上，点F在线段CD上，点E在线段BC上时．
同法可证：OC=CE+CF，
因为OC=CH−OH=4−1=3，CF=1，
所以CE=OC−CF=3−1=2，
所以BE=BC−CE=8−2=6；
如图③−4中，当点O在线段CH上，点F在线段DC的延长线上，点E在线段BC上时．
同法可知：CE−CF=OC，
而OC=CH−OH=4−1=3，
所以CE=OC+CF=3+1=4，
所以BE=BC−CE=8−4=4；
综上所述，满足条件的BE的值为4或2或6．
(1)由等边三角形的性质可得AB=AC=BC=AD=CD，∠BCA=∠D=∠DAC=60°，由旋转的性质可得∠EAF=60°，进而得到∠EAC=∠DAF，由“ASA”可证△AEC≌△AFD；
(2)过点O作OH/​/BC，交CF于H，可证△COH是等边三角形，可得OC=CH=OH，由“ASA”可证△OHF≌△OCE，可得CE=FH，即可得CE+CO=CF；
(3)分四种情形画出图形分别求解即可解决问题．
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．