2023-2024学年广东省深圳外国语学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省深圳外国语学校八年级（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 等边三角形B. 等腰梯形C. 正方形D. 平行四边形
2.如图，CD是△ABC的中线，E，F分别是AC，DC的中点，EF=3，则BD的长为( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
3.分式|x|−4x−4的值为0，则x的值是( )
A. 0B. −4C. 4D. −4或4
4.在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.7左右，则布袋中白球可能有( )
A. 15个B. 20个C. 30个D. 35个
5.如图，在▱ABCD中，AD=5，对角线AC与BD相交于点O，AC+BD=12，则△BOC的周长为( )
A. 10
B. 11
C. 12
D. 17
6.下列判断错误的是( )
A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形B. 四个内角都相等的四边形是矩形
C. 对角线相等的四边形是矩形D. 四条边都相等的四边形是菱形
7.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA=OC，且AB/​/CD，则添加下列一个条件能判定四边形ABCD是菱形的是( )
A. AC=BD
B. ∠ADB=∠CDB
C. ∠ABC=∠DCB
D. AD=BC
8.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点G是AB的中点，若OG=2.5，BD=8，则菱形ABCD的面积是( )
A. 48
B. 36
C. 24
D. 18
9.某校组织540名学生去外地参观，现有A，B两种不同型号的客车可供选择.在每辆车刚好满座的前提下，每辆B型客车比每辆A型客车多坐15人，单独选择B型客车比单独选择A型客车少租6辆.设A型客车每辆坐x人，根据题意可列方程( )
A. 540x−15−540x=6B. 540x−540x+15=6
C. 540x+15−540x=6D. 540x−540x−15=6
10.如图，E，F是正方形ABCD的边BC上两个动点，BE=CF.连接AE，BD交于点G，连接CG，DF交于点M.若正方形的边长为2，则线段BM的最小值是( )
A. 1
B. 2−1
C. 3−1
D. 5−1
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.要使分式1x−5有意义，则x需满足的条件是______．
12.已知ab=23(b≠0)，则a+bb的值为______．
13.如图，六边形ACDEFB是由正△ABC和正五边形BCDEF组成的，则∠ABE的度数是______．
14.若关于x的分式方程m2x−4=1−x2−x−2的根是正数，则实数m的取值范围是______．
15.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处(不与B、D重合)，折痕为EF，若DG=2，BG=6，则BE的长为 ．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
计算：
(1)a−12a+4÷a2−1a2−4．
(2)2aa2−4−1a−2．
17.(本小题5分)
解方程：xx−1+2=32x−2．
18.(本小题7分)
先化简：(1x−1−1x+1)÷x2x2−2，再从0，1，−1，12中选取一个合适的数代入求值．
19.(本小题9分)
在庆祝龙年的元旦联欢会上，八年级某班进行抽奖活动，活动规则如下：将4张正面标有龙、蛇、马、羊的纸牌(纸牌反面完全相同)洗匀后，反面朝上放在桌子上，参与者每次随机从中抽取两张纸牌，只有当抽到“龙”和“马”，即组成“龙马精神”这个成语，则参与者可获得奖品．
(1)王小虎随机抽出一张纸牌，抽到“龙”牌的概率是______；
(2)丽丽决定参加游戏，请用树状图说明丽丽获得奖品的概率；
(3)游戏规定：所抽取的2张卡片中，能够组成“龙马精神”的，则丽丽获胜，否则小虎获胜，你觉得这个游戏公平吗？请说明理由．
20.(本小题8分)
如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF=BE，连接DF．
(1)求证：四边形AEFD是矩形；
(2)连接OF，若AD=5，EC=2.求OF的长．
21.(本小题9分)
“菊润初经雨，橙香独占秋”，橙子是一种甘甜爽口的水果，富含维生素C.某水果商城购进了一批质量相等的“果冻橙”和“脐橙”，其中购买“果冻橙”用了6300元，“脐橙”用了4200元，已知每千克“果冻橙”进价比每千克“脐橙”贵4元．
(1)问每千克“果冻橙”和“脐橙”进价各是多少元？
(2)若该水果商城决定再次购买同种“果冻橙”和“脐橙”共600千克，再次购买的费用不超过6000元，且每种橙子进价保持不变.若每千克“果冻橙”的售价为18元，每千克“脐橙”的售价为12元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“果冻橙”和“脐橙”售完后获得利润最大？最大利润是多少？
22.(本小题9分)
在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动.在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形ABCD，旋转角为α(0°<α<180°)，得到矩形AEFG，点B，C，D的对应点分别为点E，F，G．

(1)初步感知
如图①，当点E落在DC边上时，线段DE的长度为______；
(2)迁移探究
如图②，当点E落在线段CF上时，AE与DC相交于点H，连接AC.求线段DH的长度．
(3)拓展应用
如图③设点P为边FG的中点，连接PB，PE，在矩形ABCD旋转过程中，△BEP的面积存在最大值，请直接写出这个最大值为______．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、B都只是轴对称图形；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形；
D、只是中心对称图形．
故选C．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，即可求解．
掌握好中心对称图形与与轴对称图形的概念：
判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，两边图形沿对称轴折叠后与原图可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】D
【解析】解：∵E，F分别是AC，DC的中点，
∴EF是△ACD的中位线，
∴AD=2EF=2×3=6，
∵CD是△ABC的中线，
∴BD=AD=6，
故选：D．
根据三角形中位线定理求出AD，再根据三角形的中线的概念解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、三角形的中线的概念，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵分式|x|−4x−4的值为0，
∴|x|−4=0且x−4≠0，
解得x=−4．
故选：B．
根据分母不为零分子为零的条件进行解题即可．
本题考查分式的值为零的条件，掌握分母不为零分子为零的条件是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵摸到黄球的频率稳定在0.7左右，
∴黄球的个数为50×0.7=35(个)，
∴布袋中白球可能有50−35=15(个)．
故选：A．
利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为0.7，根据概率公式求出黄球的个数，即可求解．
本题考查了利用频率估计概率，正确记忆大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC=12AC，BO=OD=12BD，
∵AC+BD=12，
∴OC+BO=6，
∵BC=5，
∴△BOC的周长=OC+OB+BC=6+5=11．
故选：B．
根据平行四边形对角线互相平分，求出OC+OB的长，即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质以及三角形周长等知识，解题的关键是记住平行四边形的对角线互相平分，属于中考基础题．
6.【答案】C
【解析】解：A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故A正确，不符合题意；
B.四个内角都相等的四边形是矩形，故B正确，不符合题意；
C.两条对角线互相垂直且相等的四边形不一定是矩形，故C错误，符合题意；
D.四条边都相等的四边形是菱形，故D正确，不符合题意；
故选：C．
根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理逐项判断即可．
本题考查了平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定，解题的关键是掌握矩形，菱形，正方形的判定定理．
7.【答案】B
【解析】解：∵AB/​/CD，
∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO，
∵OA=OC，
∴△AOB≌△COD(AAS)，
∴AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
A、当AC=BD时，四边形ABCD是矩形；故选项A不符合题意；
B、∵AB/​/CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∵∠ADB=∠CDB，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AD=AB，
∴四边形ABCD为菱形，故选项B符合题意；
C、∵AB/​/CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠ABC=∠DCB
∴∠ABC=∠DCB=90°，
∴四边形ABCD是矩形；故选项C不符合题意；
D、当AD=BC时，不能判定四边形ABCD为菱形；故选项D不符合题意．
故选：B．
根据菱形的判定方法分别对各个选项进行判定，即可得出结论．
本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，AC=2AO，BO=12BD，
∵OG=2.5，BD=8，
∴AB=2OG=5，BO=4，
∴AO= AB2−BO2=3，
∴AC=2AO=6，
∴菱形ABCD的面积是12AC⋅BD=24．
故选：C．
根据菱形的性质和已知条件可得OG是Rt△AOB斜边上的中线，由此可求出AB的长，再根据勾股定理可求出OA的长，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可．
本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上中线的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的两条对角线互相垂直平分是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：由题意可得：540x−540x+15=6，
故选：B．
根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以得到哪个选项是正确的．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．
10.【答案】D
【解析】解：如图，在正方形ABCD中，AB=AD=CB，∠EBA=∠FCD，∠ABG=∠CBG，
在△ABE和△DCF中，
AB=CD∠EBA=∠FCDBE=CF，
∴△ABE≌△DCF(SAS)，
∴∠BAE=∠CDF，
在△ABG和△CBG中，
AB=BC∠ABG=∠CBGBG=BG，
∴△ABG≌△CBG(SAS)，
∴∠BAG=∠BCG，
∴∠CDF=∠BCG，
∵∠DCM+∠BCG=∠FCD=90°，
∴∠CDF+∠DCM=90°，
∴∠DMC=180°−90°=90°，
取CD的中点O，连接OB、OM，
则OM=CO=12CD=1，
在Rt△BOC中，OB= CB2+OC2= 22+12= 5，
根据三角形的三边关系，OM+BM>OB，
∴当O、M、B三点共线时，BM的长度最小，
∴BM的最小值=OB−OF= 5−1．
故选：D．
证明△ABE≌△DCF(SAS)由全等三角形的性质得出∠BAE=∠CDF，证明△ABG≌△CBG(SAS)，由全等三角形的性质得出∠BAG=∠BCG，取CD的中点O，连接OB、OF，则OM=CO=12CD=1，由勾股定理求出OB的长，当O、M、B三点共线时，BM的长度最小，则可求出答案．
本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
11.【答案】x≠5
【解析】解：由题意得：x−5≠0，
解得：x≠5，
故答案为：x≠5．
根据分母不为0可得：x−5≠0，然后进行计算即可解答．
本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分母不为0是解题的关键．
12.【答案】53
【解析】解：∵ab=23(b≠0)，
∴设a=2x，b=3x，
则a+bb的值为：2x+3x3x=53．
故答案为：53．
直接利用已知设a=2x，b=3x，进而代入求出答案．
此题主要考查了比例的性质，正确假设出未知数是解题关键．
13.【答案】132°
【解析】解：∵△ABC是正三角形，
∴∠ABC=60°，
∵五边形BCDEF是正五边形，
∴∠CBF=∠F=(5−2)×180°5=108°，BF=EF，
∴∠EBF=180°−108°2=36°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBF−∠EBF=60°+108°−36°=132°，
故答案为：132°．
利用等边三角形的性质求得∠ABC的度数，再利用多边形的内角和及正多边形的性质求得∠BCF，∠F的度数，根据等腰三角形及三角形的内角和求得∠EBF的度数，最后利用角的和差计算即可．
本题考查多边形的内角和，正多边形的性质，等边及等腰三角形的性质，三角形的内角和，结合已知条件求得∠BCF，∠F，∠EBF的度数是解题的关键．
14.【答案】m<6且m≠2
【解析】解：去分母得：m=2x−2−4x+8，
解得：x=6−m2，
由分式方程的根是正数，得到6−m2>0，且6−m2≠2，
解得：m<6且m≠2．
∴实数m的取值范围是m<6且m≠2．
故答案为：m<6且m≠2．
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有正根确定出m的范围即可．
此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．
15.【答案】2.8
【解析】【分析】
本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、解直角三角形，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
作EH⊥BD于H，根据折叠的性质得到EG=EA，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到△ABD为等边三角形，得到AB=BD=8，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】
解：作EH⊥BD于H，
由折叠的性质可知，EG=EA，
由题意得，BD=DG+BG=8，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，∠ABD=∠CBD=12∠ABC=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴AB=BD=8，
设BE=x，则EG=AE=8−x，
在Rt△EHB中，BH=12x，EH= 32x，
在Rt△EHG中，EG2=EH2+GH2，即(8−x)2=( 32x)2+(6−12x)2，
解得，x=2.8，即BE=2.8，
故答案为2.8．
16.【答案】解：(1)a−12a+4÷a2−1a2−4
=a−12(a+2)÷(a+1)(a−1)(a+2)(a−2)
=a−12(a+2)⋅(a+2)(a−2)(a+1)(a−1)
=a−22a+2；
(2)2aa2−4−1a−2
=2a(a+2)(a−2)−a+2(a+2)(a−2)
=a−2(a+2)(a−2)
=1a+2．
【解析】(1)先将分子分母因式分解，然后将除法转化成乘法，然后求解即可；
(2)先通分，然后利用同分母分式的运算法则求解即可．
本题考查分式的减法和除法运算，掌握分式的运算法则是解题的关键．
17.【答案】解：原方程去分母得：2x+4(x−1)=3，
去括号得：2x+4x−4=3，
移项，合并同类项得：6x=7，
系数化为1得：x=76，
检验：将x=76代入2(x−1)得2×16=13≠0，
故原分式方程的解为x=76．
【解析】利用解分式方程的步骤解方程即可．
本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
18.【答案】解：原式=x+1−x+1(x−1)(x+1)⋅2(x+1)(x−1)x
=2(x+1)(x−1)⋅2(x+1)(x−1)x
=4x，
∵x+1≠0，x−1≠0，x≠0，
∴x≠±1，0，
∴当x=12时，原式=412=8．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
19.【答案】14
【解析】解：(1)由题意得，王小虎随机抽出一张纸牌，抽到“龙”牌的概率是14．
故答案为：14．
(2)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中丽丽抽到“龙”和“马”的结果有2种，
∴丽丽获得奖品的概率为212=16．
(3)这个游戏不公平，理由：因为丽丽获得奖品的概率为16，而小虎则为56，56>16，
故不公平．
(1)利用概率公式进行解答即可；
(2)画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出丽丽获得奖品的结果数，然后根据概率公式求解．
(3)根据(2)中求出的概念判断即可．
此题考查了概率公式和树状图或列表法求概率，熟练掌握树状图或列表法求概率是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD/​/BC且AD=BC，
∵BE=CF，
∴BC=EF，
∴AD=EF，
∵AD/​/EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF=90°，
∴四边形AEFD是矩形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，AD=5，
∴AD=AB=BC=5，
∵EC=2，
∴BE=5−2=3，
∵四边形AEFD是矩形，
∴EF=AD=5，DF=AE，
∴BF=BE+EF=3+5=8，
在Rt△ABE中，AE= AB2−BE2= 52−32=4，
∴DF=AE=4，
在Rt△BDF中，BD= BF2+DF2= 82+42=4 5，
∵∠BFD=90°，BO=DO，
∴OF=12BD=2 5．
【解析】(1)根据菱形的性质得到AD//BC且AD=BC，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
(2)根据菱形的性质得到AD=AB=BC=5，根据勾股定理和直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设每千克“脐橙”的进价是x元，则每千克“果冻橙”的进价是(x+4)元，
根据题意得：4200x=6300x+4，
解得：x=8，
经检验，x=8是所列方程的解，且符合题意，
∴x+4=8+4=12(元)．
答：每千克“果冻橙”的进价是12元，每千克“脐橙”的进价是8元；
(2)设再次购买m千克“果冻橙”，则购买(600−m)千克“脐橙”，
根据题意得：12m+8(600−m)≤6000，
解得：m≤300．
设第二批购进的“果冻橙”和“脐橙”售完后获得的总利润为w元，则w=(18−12)m+(12−8)(600−m)，
即w=2m+2400，
∵2>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=300时，w取得最大值，最大值为2×300+2400=3000(元)，此时600−m=600−300=300(千克)．
答：该水果商城再次购买300千克“果冻橙”，300千克“脐橙”时，获得的利润最大，最大利润是3000元．
【解析】(1)设每千克“脐橙”的进价是x元，则每千克“果冻橙”的进价是(x+4)元，利用质量=总价÷单价，结合用6300元购进“果冻橙”的质量等于用4200元购进“脐橙”的质量，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出每千克“脐橙”的进价，再将其代入(x+4)中，即可求出每千克“果冻橙”的进价；
(2)设再次购买m千克“果冻橙”，则购买(600−m)千克“脐橙”，利用总价=单价×质量，结合总价不超过6000元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设第二批购进的“果冻橙”和“脐橙”售完后获得的总利润为w元，利用总利润=每千克的销售利润×销售数量(购进数量)，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
22.【答案】4 3 16+16 2
【解析】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，BC=4，
∴AD=BC=4，∠D=90°，
∵AB=8，逆时针旋转矩形ABCD得到矩形AEFG，
∴AE=AB=8，
∴DE= AE2−AD2= 82−42=4 3，
故答案为：4 3；
(2)∵四边形ABCD是矩形，逆时针旋转矩形ABCD得到矩形AEFG，
∴∠D=∠AEC=90°，AE=AB=DC，
在△ACD与△CAE中，
CD=AEAC=CA，
∴Rt△ACD≌Rt△CAE(HL)，
∴∠ACD=∠CAE，
∴AH=CH，
∴DH=EH，
设DH=x，则CH=8−x，
在Rt△ADH中，由勾股定理得AH2=AD2+DH2，
∴(8−x)2=x2+42，
解得：x=3，
∴DH=3；
(3)∵P为边FG的中点，
∴PF=12FG=4，
∴PE= PF2+EF2=4 2，
过A作AM⊥PE于E，
∵点B到PE的距离小于BM≤AB+AM，
∴当A，M，B三点共线时高最大，△PBE的面积最大如图所示，
∵S△APE=12PE⋅AM=12S矩形AGFE，
∴AM=4×84 2=4 2，
∴BM=AM+AB=8+4 2，
∴S△BEP最大=12MB⋅PE=12×(8+4 2)×4 2=16+16 2．
(1)根据旋转得到AE=AB=8，根据矩形得到∠D=90°，结合勾股定理即可得到答案；
(2)首先证明出△ACD≌△CAE(HL)，得到∠ACD=∠CAE，从而得到AH=CH，即可得到DH=EH，利用勾股定理求解即可得到答案；
(3)根据矩形的性质，勾股定理求出PE固定，即可得到高最大，面积最大，结合三角形三边关系得到最大高即可得到答案．
本题考查矩形的性质，旋转的性质与勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．