2024年安徽省合肥市肥东县中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相反数，绝对性，根据绝对性的性质先化简，再根据相反数的定义即可求解，掌握绝对性的性质和相反数的定义是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴的相反数是，
故选：．
2. 《合肥市2023年国民经济和社会发展统计公报》显示，初步核算，全市2023年生产总值（GDP）为亿元，按常住人口计算，人均GDP为元，首次突破13万元．其中13万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键．
【详解】∵13万元，
故选：D．
3. 用6个同样的小正方体摆成一个大的几何体，要求它的主视图如图所示，下面摆法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三视图画法，根据各个几何体三视图的特点进行求解即可，正确画三视图是解题的关键．
【详解】主视图分别为
故选B．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据运算法则逐一计算判断即可本题考查了同底数幂的乘法和除法，积的乘方，负整数指数幂，熟练掌握公式和运算的法则是解题的关键．
【详解】解：∵，
故A不合题意．
∵，
∴B不合题意．
∵，
∴C合题意．
∵，
∴D不合题意．
故选：C．
5. 如图，将一副三角板的直角顶点重合并部分重叠，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据三角形内角和定理求出的度数，进而根据三角形外角的性质求出的度数，再由三角形外角的性质求出的度数，最后根据对顶角相等即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选B．

6. 在一次数学课上，老师利用光的三原色设计了一个“配紫色”游戏，如图所示是一个可以自由转动的转盘，转盘被分成三个大小一样的扇形，分别对应红、绿、蓝三种颜色，转动转盘2次，记下两次指针指向的区域（若指针指向扇形分界线，则需要重新转动），如果转出的两种颜色分别是红色和蓝色，则可以配成紫色．若转动2次转盘，恰好可以配成紫色的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．根据题意直接列表即可，由表格可得出所有等可能的结果数以及转出的两种颜色分别是红色和蓝色的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：列表如下：
由表格可知，共有种等可能的结果，转出的两种颜色分别是红色和蓝色的结果有种，
转动次转盘，恰好可以配成紫色的概率为．
故选A．
7. 如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据作图可得，进而逐项分析判断即可求解．
【详解】解：根据作图可得，故A，C正确；
∴在的垂直平分线上，
∴，故D选项正确，
而不一定成立，故B选项错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了作角平分线，垂直平分线的判定，熟练掌握基本作图是解题的关键．
8. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分析图象，确定，a，b的符号一致的，才是可能的，本题考查了函数图象的分布于特征，熟练掌握图象的分布特征是解题的关键
【详解】A、 根据一次函数图象分布，得到即，根据抛物线的图象，得，矛盾，不符合题意；
B、根据一次函数图象分布，得到即，根据抛物线的图象，得，即，，矛盾，不符合题意；
C、根据一次函数图象分布，得到即，，根据抛物线的图象，得，即，矛盾，不符合题意；
D、根据一次函数图象分布，得到即，，根据抛物线的图象，得，即，一致，符合题意；
故选D
9. 若实数a，b，c满足，，则下列结论中正确的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】根据得，结合，得到，判断选择即可．本题考查了不等式的性质，完全平方公式的应用，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】∵，
∴，，
∵，
∴
∴，
∴．
故选A．
10. 如图，已知正方形中，，点E是边上的点（不与点B，C重合），等腰直角的斜边与边交于点Q，连接，则的最小值等于（ ）

A. 1B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图，过作的延长线于，证明，则，由，可得，则，如图，连接，作的延长线于，则是等腰直角三角形，，，在与夹角为的直线上运动，则的最小值为，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，过作的延长线于，

由题意知，，，
∵正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图，连接，作的延长线于，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∴在与夹角为的直线上运动，
∴的最小值为，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，垂线段最短，正弦等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，垂线段最短，正弦是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 比较大小：________2（填“＞”“=”或“＜”）．
【答案】＞
【解析】
【分析】先估算，再比较大小即可，本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算的基本方法是解题的关键．
【详解】∵
∴，
故答案：＞．
12. 因式分解：_______________________．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式，再用平方差公式分解．
【详解】解：
【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键．
13. 如图，正五边形内接于，点F在弧上．若，则的大小等于________°．
【答案】48
【解析】
【分析】连接，利用中心角，圆周角定理，三角形内角和定理计算即可．
本题考查了正多边形的中心角，圆周角定理，三角形内角和定理，熟练掌握中心角的计算，圆周角定理是解题的关键．
【详解】连接，
∵正五边形内接于，点F在弧上．
∴，
∵，
∴，
故答案为：48．
14. 如图，点A是反比例函数在第二象限分支上的一个动点，连接并延长交另一分支于点B．以为底作等腰，点C在第一象限，且．当点A运动时，点C也随之运动，点C的运动路线形成一个函数图象．
（1）若点A的坐标是，则点B的坐标为________；
（2）若，则点C在第一象限的运动路线对应函数的解析式是________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）根据反比例函数的中心对称性质，得到点A与点B关于原点对称，根据对称的特点，确定坐标即可；
（2）设，连接，过点A作轴于点D，过点C作轴于点E，
利用三角形相似的性质，反比例函数k的几何意义解答即可．
【详解】（1）∵反比例函数的图象是中心对称图形，
∴点A与点B关于原点对称，
∵点A的坐标是，
∴点B的坐标为；
故答案为：．
（2）设，
连接，过点A作轴于点D，过点C作轴于点E，
∵反比例函数的图象是中心对称图形，
∴点A与点B关于原点对称，，，
∵等腰，点C在第一象限，且．
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的中心对称图形，反比例函数k的几何意义，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一性质，特殊角的正切值，正确添加辅助线，灵活运用相似三角形的性质是解题关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解不等式组，并将解集在数轴上表示出来：
【答案】，数轴见详解
【解析】
【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集．本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键．
【详解】∵
∴解不等式①，得，解不等式,②，得，
∴不等式组的解集为，画数轴表示如下：
．
16. 为了缓解交通拥堵状况，某市决定新建一座互通式立交桥．某工程队在开始施工之前，由于购进了新型施工设备，使得施工效率提高了，这样就能比原计别提前三个月完成施工，求实际完成施工用了多少个月？
【答案】实际完成施工用了15个月
【解析】
【分析】设实际完成施工用了x个月，则原计划完成施工用个月，根据“施工效率提高了”，列出方程求解即可．
【详解】解：设实际完成施工用了x个月，则原计划完成施工用个月，
，
解得：；
经检验，是原分式方程的解．
答：实际完成施工用了15个月．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的13×12的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的．
（1）以点C为中心，将在网格上放大到原来的2倍，得到．点A，B对应点分别是，画出；
（2）以点为中心，将线段逆时针旋转，得到线段，画出线段；
（3）填空： °．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据位似比为2，画图即可．
（2）根据旋转的全等性，注意旋转方向，画图即可．
（3）连接，证明四边形是正方形即可．
【小问1详解】
根据位似比为2，画图如下：
则即为所求．
【小问2详解】
根据旋转的性质，画图如下：
则即为所求．
【小问3详解】
如图，连接，
根据题意，得，且，
∴四边形是正方形，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了位似比作图，旋转作图，勾股定理，正方形的判定和性质，熟练掌握位似作图，勾股定理，正方形的判定和性质是解题的关键．
18. 先阅读、观察、理解，再解答后面的问题：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
（1）依此规律，猜想：________（直接写出最后结果）；
（2）依据上述规律计算：．
【答案】（1）
（2）8660
【解析】
【分析】（1）根据前三个式子得到结果是三个连续自然数的积的 ，其中第一个自然数等于式子的个数，总结出规律；
（2）利用（1）的结论，分别求出1×2+2×3+3×4+4×5+……+29×30， 1×2+2×3+3×4+4×5+……+9×10的结果，进而即可求解．
【小问1详解】
解：根据已知条件知：第1个式子为 ，
第2个式子为 ，
第3个式子为 ，
……
故第n个式子结果为 ，
故答案为．
【小问2详解】
由规律知
∵1×2+2×3+3×4+4×5+……+29×30=，
1×2+2×3+3×4+4×5+……+9×10=，
∴10×11+11×12+12×13+⋯+29×30=-=8660．
【点睛】本题是式子的规律探究题，解决问题的关键是确定式子的个数与结果之间的变化关系．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 智能测量是一款非常有创意且使用性很高的手机测距软件，它可以利用手机上的摄像头和距离传感器来测量目标的距离、高度、宽度、角度和面积，测量过程非常简单，如图①，打开手机软件后将手机摄像头的屏幕准星对准雕像低部按键，再对准顶部按键即可测量出雕像的高度，其数学原理如图②所示，测量者与雕像垂直于底面，若手机显示
（1）求雕像的高度；
（2）求测量者离雕像底部的距离的长．
（结果保留1位小数，参考数据，）
【答案】（1）雕像的高度是
（2）测量者离雕像底部的距离为
【解析】
【分析】（1）过点C作于F，在中，求出的长，在中，求出的长即可；
（2）过A作于G，求出，在中求出的长．
【小问1详解】
过点C作于F

在中，
∴
在中，
答：雕像高度是．
【小问2详解】
过A作于G，则四边形为矩形
在中，由于
∴
在中，
∴
∴
答：测量者离雕像底部的距离为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，将解直角三角形与实际问题结合，需要构造合适的直角三角形．
20. 如图，四边形为平行四边形，边是的直径，交于F点，为的切线，交于E，．
（1）求证：；
（2）求证：四边形为菱形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）由切线可得，由平行四边形可得，则；
（2）如图，连接，由是的直径，可得，证明，则，证明，则，进而可证四边形为菱形．
【小问1详解】
证明：∵为的切线，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴四边形为菱形．
【点睛】本题考查了切线的性质，平行四边形的性质，直径所对的圆周角为直角，全等三角形的判定与性质，菱形的判定等知识．熟练掌握切线的性质，平行四边形的性质，直径所对的圆周角为直角，全等三角形的判定与性质，菱形的判定是解题的关键．
21. 为了解学生体育中考的准备情况，张老师对九年级全体学生进行了一次摸底测试，测试内容为必考项目中长跑和选考项目跳绳、坐位体前屈，中长跑项目满分30分，跳绳和坐位体前屈满分各15分．现随机抽取20名学生的成绩（成绩均为整数，单位：分）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
信息1．该20名学生中长跑项目成绩如下：
18 18 21 21 24
24 27 27 27 27
27 27 30 30 30
30 30 30 30 30
信息2．该20名学生选考项目总成绩和跳绳项目成绩情况统计表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）该20名学生中长跑测试成绩的中位数是______，众数是______；
（2）坐位体前屈得分最低是______分；坐位体前屈得14分及以上的人数有______人；
（3）总成绩不低于57分的为优秀等级，抽取的学生中，优秀等级的最多有多少人？若该校九年级共有400名学生，请估计本次测试总成绩达到优秀等级的大约有多少人．
【答案】（1）27分，27分
（2）12分，11人 （3）优秀等级的最多有13人，人，
【解析】
【分析】（1）按照中位数，众数的含义直接可得答案；
（2）分别统计坐位体前屈得分情况，从而可得答案；
（3）由或再结合三项得分分析可得优秀等级的最多的人数，再由总人数乘以最多时的优秀率即可．
【小问1详解】
解：由信息1：可得：排在最中间的第10个，第11个数据分别为27，27，
所以中位数为（分），
出现次数最多数据是27，所以众数是27分．
【小问2详解】
解：由信息2：可得：
坐位体前屈得分情况为：
6人得：（分），
2人得：（分），3人得：（分），
2人得：（分），4人得：（分），1人得：（分），
1人得：（分），1人得：（分）．
坐位体前屈得分最低是12分，
坐位体前屈得14分及以上的人数有（人）．
【小问3详解】
解：或
长跑得分不低于27分的有：
27，27，27，27，27，27，30，30，30，30，30，30，30，30，
跳绳、坐位体前屈不低于27分的有：
27，27，28，28，28，29，29，30，30，30，30，30，30，
所以样本中总成绩不低于57分的为优秀等级，抽取的学生中，优秀等级的最多有13人，
所以，
答该校九年级共有400名学生，估计本次测试总成绩达到优秀等级的最多大约有260人．
【点睛】本题考查的是频数分布表，中位数，众数的含义，利用样本估计总体，从频数分布表中获取相关的信息是解本题的关键．
七、（本题满分12分）
22. 在四边形中，，对角线，相交于点P．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，E、F分别为边、上的点，连接、、，已知．
①若，，求的长度；
②若，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）①；②见解析
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，平行线分线段成比例，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
（1）首先由得到，然后证明出，然后结合证明出；
（2）①首先证明出，得到，然后证明出，得到，然后代数求解即可；
②延长交于点M，首先由得到，然后证明出，得到，进而得到，即，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可．
【小问1详解】
∵
∴
∵
∴
∵
∴；
【小问2详解】
①∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴，即
∴；
②证明：如图，延长交于点M，
∵，
∴，
∵
∴
∴
∵，
∴，即，
∵，
∴在中，．
八、（本题满分14分）
23. 综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于点，连接．
（1）求抛物线解析式；
（2）P是下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点C，过点P作轴于点D．
①求的最大值；
②连接，是否存在点P，使得线段把的面积分成两部分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为
（2）①当时，取得最大值，最大值为；②存在，点P的坐标为或
【解析】
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）①设设，交于点E，则，，利用等腰直角三角形性质可得，进而可得，运用二次函数的性质即可求得答案；②延长交y轴于点F，设，则，分两种情况：当时，当时，分别得出或，建立方程求解即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点，，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为；
小问2详解】
解：①设，交于点E，如图1所示，
则，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，轴，
∴，，
∴，均为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为；
②存在，点P的坐标为或，
如图2，延长交y轴于点F，
设，则，
当时，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
即，解得或（舍去），
∴，
当时，同理可得，
即，解得或（舍去），
∴，
综上所述，点P的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，三角形的面积，等腰直角三角形的判定和性质.熟练掌握二次函数图象和性质，灵活运用分类讨论思想，方程思想是解题的关键．红
绿
蓝
红
红，红
红，绿
红，蓝
绿
绿，红
绿，绿
绿，蓝
蓝
蓝，红
蓝，绿
蓝，蓝
跳绳成绩
人数
选考项目总成绩
15
14
13
12
30
6
29
2
28
3
27
2
26
4
25
1
1
24
1