2024年中考数学精选压轴题之反比例函数与几何综合练习附解析

这是一份2024年中考数学精选压轴题之反比例函数与几何综合练习附解析，共39页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．如图，Rt△OBC的斜边OB落在x轴上，∠OCB=90°，CO=CB=22，以O为圆心．OB长为半径作弧交OC的延长线于点D，过点C作CE∥OB，交圆弧于点E．若反比例函数y=kx(k≠0,x>0)的图像经过点E，则k的值是（ ）
A．33B．35C．43D．45
2．如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴，OAOB=34．∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y=kx的图象过点C．当以CD为边的正方形的面积为27时，k的值是（ ）
A．2B．3C．5D．7
3．如图，Rt△AOB的直角顶点O与坐标原点重合，∠OAB=30°，若A点在反比例函数y=6x(x>0)的图象上，则过B点的反比例函数的比例系数为（ ）
A．−4B．−2C．4D．2
4．如图，在平面直角坐标系中，点A、B都在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，延长AB交y轴于点C，作BD⊥x轴于点D，连接CD、AD，并延长AD交y轴于点E.若AB=2BC，△DCE的面积是4.5，则k的值为（ ）
A．2B．3C．6D．9
5．如图，已知：在直角坐标系中，有菱形OABC，A点的坐标为(10，0)，对角线OB、AC相交于D点，双曲线y=kx(x>0)经过D点，交BC的延长线于E点，且OB⋅AC=160，有下列四个结论：
①双曲线的解析式为y=40x(x>0)；②E点的坐标是(5，8)；③sin∠COA=45；④AC+OB=125．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6． 如图，平面直角坐标系中，过原点的直线AB与双曲线交于A、B两点，在线段AB左侧作等腰三角形ABC，底边BC//x轴，过点C作CD⊥x轴交双曲线于点D，连接BD，若S△BCD=16，则k的值是（ ）
A．−4B．−6C．−8D．−16
7． 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=−2x+b(b为常数)的图象与x、y轴分别交于点A、B，直线AB与双曲线y=kx(k≠0)分别交于点P、Q、若BQ⋅QA=10，则k的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
8．如图，一次函数y=−x+b与反比例函数y=4x(x>0)的图像相交于A、B两点，与x轴，y轴分别相交于C、D两点，连接OA、OB．过点A作AE⊥x轴于点E，交OB于点F．设点A的横坐标为m．若S△OAF+S四边形EFBC=4，则m的值为（ ）
A．1B．2C．2D．4
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是(5，0)，点B是函数y=6x(x>0)图象上的一个动点，过点B作BC⊥y轴交函数y=−2x(x<0)的图象于点C，点D在x轴上（D在A的左侧），且AD=BC，连接AB，CD．有如下四个结论：
①四边形ABCD可能是菱形；②四边形ABCD可能是正方形；③四边形ABCD的周长是定值；④四边形ABCD的面积是定值．所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．③④C．①③D．①④
10．y=3x与y=kx交于A、B两点，AC⊥AB交y轴于点C，BC延长线交双曲线于点D，若BD=5，则AD为（ ）
A．2B．3C．3D．533
11．如图，点A，B分别在y轴正半轴、x轴正半轴上，以AB为边构造正方形ABCD，点C，D恰好都落在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，点E在BC延长线上，CE=BC，EF⊥BE，交x轴于点F，边EF交反比例函数y=kx(k≠0)的图象于点P，记△BEF的面积为S，若S=k2+12，则△CEP的面积是（ ）
A．217+2B．217−2C．17+2D．17−2
12．如图，在Rt△OAB中，OC平分∠BOA交AB于点C，BD平分∠OBA交OA于点D，交OC于点E，反比例函数y=kx，经过点E，若OB=2，CEOE=12，则k的值为（ ）
A．49B．89C．43D．83
二、填空题
13． 如图，在平面直角坐标系中，C，A 分别为x轴、y轴正半轴上的点，以 OA，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，且S催化剂OABC=82,将矩形 OABC翻折，使点 B与原点O 重合，折痕为 MN，点C 的对应点 C'落在第四象限，过 M点的反比例函数y=kxk≠0的图象恰好过MN的中点，则点 C'的坐标为 .
14．直线y＝－x＋2a（常数a>0）和双曲线y=kx(k>0，x>0)的图象有且只有一个交点B，一次函数y＝－x＋2a与x轴交于点A，点P是线段OA上的动点，点Q在反比例函数图象上，且满足∠BPO＝∠QPA．设PQ与线段AB的交点为M，若OM⊥BP，则sin∠AMP的值为 ．
15．如图，在Rt△OAB中，∠OBA=90°，OA在x轴上，AC平分∠OAB，OD平分∠AOB，AC与OD相交于点E，且OC=5，CE=2，反比例函数y=kx(k≠0，x>0)的图象经过点E，则k的值为 ．
16．如图，点A是函数 y=1x 的图象上的点，点B、C的坐标分别为B(﹣ 2 ，﹣ 2 )、C( 2 ， 2 ).试利用性质：点“函数 y=1x 的图象上任意一点A都满足 |AB−AC|=22 ”求解下面问题：作∠BAC的内角平分线AE，过B作AE的垂线交AE于F.已知当A在函数 y=1x 的图象上运动时，OF的长度总等于 .
17．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴，AO＝AB＝2，将△OAB沿OA所在的直线翻折后，点B落在点C处，且CA∥y轴，反比例函数y=kx的图象经过点C，则k的值为 ．
18．如图所示，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴上，对角线交于点E，反比例函数y=kx(x>0，k>0)的图象经过点C，E.若点A(3，0)，则k的值是 .
19．如图， 已知点A(2，3)，B(0，2)，点 A 在反比例函数 y=kxk≠0的图象上，作射线 AB，再将射线 AB绕点 A 按逆时针方向旋转 45°，交反比例函数的图象于点 C，则点 C 的坐标为 .
20．如图，在矩形OABC中，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，点B在第一象限内，反比例函数y=kx（x>0）的图像分别与OB，BC，AB交于D，E，F三点，EF与OB交于点H，连接DE，DF，若BHOH=35，S△DEF=32，则k的值为 ．
三、解答题
21．如图，OA=OB，∠AOB=90°，点A(1，4)，B分别在反比例函数y=k1xk10，x>0)x>0)和 y=k2xk2<0x>0的图像上.
（1）求 k₁，k₂的值.
（2）若点 C，D分别在反比例函数 y=k1xx0)和y=k2xx0)的图像上，且不与点 A，B 重合，则是否存在点 C，D，使得△COD≌△AOB? 若存在，请直接写出点 C，D的坐标；若不存在，请说明理由.
22．如图，▱OABC 的边 OA 在x 轴的正半轴上，∠AOC=60°，OC=12，∠OCB的平分线交OA 于点D，过点D作DE⊥CD，交 AB 于点E，反比例函数 y=kxk≠0x0)的图象经过点C与点E.
（1）求k 的值及点D 的坐标.
（2）求证：AD=AE.
（3）求点 E的坐标.
23．如图，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B．OB是一元二次方程x2−x−30=0的一个根，且tan∠OAB=34，点D为AB的中点，E为x轴正半轴上一点，BE=210，直线OD与BE相交于点F．
（1）求点A及点D的坐标；
（2）反比例函数y=kx经过点F关于y轴的对称点F'，求k的值；
（3）在直线AB上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点B、C都在第一象限内，CA⊥x轴，垂足为点A，反比例函数y1= 4x 的图象经过点B；反比例函数y2= 2x 的图象经过点C（ 2 ，m）．
（1）求点B的坐标；
（2）△ABC的内切圆⊙M与BC，CA，AB分别相切于D，E，F，求圆心M的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：过点E作EH⊥OB，CM⊥OB，连接OE，如图所示：
由题意得四边形CMHE是矩形，
∵∠OCB=90°，CO=CB=22，
∴OB=2OC=2×22=4，
∴OE=4，
∵CO=CB=22，CM⊥OB，
∴CM=12OB=2，
∵四边形CMHE是矩形，
∴EH=CM=2，
∴OH=OE2−EH2=42−22=23，
∴E(23,2)，
将E(23,2)代入y=kx得：2=k23，
解得：k=43，
故答案为：C
【分析】过点E作EH⊥OB，CM⊥OB，连接OE，先根据等腰直角三角形的性质得到OB=2OC=2×22=4，进而结合题意根据矩形的性质得到EH=CM=2，再运用勾股定理求出OH，从而得到点E的坐标，最后代入反比例函数解析式即可求解。
2．【答案】D
【解析】【解答】设OA=3a，则OB=4a，设直线AB的解析式是y=kx+b，则根据题意得：3ak+b=0b=4a，解得：k=−43b=4a，则直线AB的解析式是y=﹣43x+4a，
直线CD是∠AOB的平分线，则OD的解析式是y=x．根据题意得：y=xy=−43x+4a，解得：x=127ay=127a则D的坐标是（127a，127a），
OA的中垂线的解析式是x=32a，则C的坐标是（32a，32a），则k=94a2．∵以CD为边的正方形的面积为27，∴2（127a﹣32a）2=27，则a2=289，
∴k=94×289=7．故选D．
【分析】设OA=3a，则OB=4a，利用待定系数法即可求得直线AB的解析式，直线CD的解析式是y=x，OA的中垂线的解析式是x=32a，解方程组即可求得C和D的坐标，根据以CD为边的正方形的面积为27，即CD2=27，据此即可列方程求得a2的值，则k即可求解．
3．【答案】B
【解析】【解答】解：过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，如图所示：
∵∠BOA=90°，
∴∠BOC+∠AOD=90°，
∵∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠BOC=∠OAD，
又∵∠BCO=∠ADO=90°，
∴△BCO∽△ODA，
∴S△BCOS△ODA=(OBOA)2，
∵OBOA=tan30°=33，
∴S△BCOS△ODA=(33)2=13，
∵A点在反比例函数y=6x(x>0)的图象上，
∴S△AOD=3，
∴S△BCO=13S△AOD=1，
∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，
∴过B点的反比例函数的比例系数k=−2．
故答案为：B
【分析】过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，先结合题意证明∠BOC=∠OAD，进而根据相似三角形的判定与性质证明△BCO∽△ODA得到S△BCOS△ODA=(OBOA)2，从而结合题意根据锐角三角形的定义即可得到S△BCOS△ODA=(33)2=13，再结合反比例函数k的几何意义，反比例函数的图象即可求解。
4．【答案】C
【解析】【解答】根据题意，设 B的坐标为（m，km）
∵△DCE的面积是4.5
即12×CE×OD=4.5
∵BD⊥x
∴BD∥y轴
∴OD=m
∴12×CE×m=4.5
∴CE=4.5×2m=9m
∵AB=2BC
∴ABAC=BDCE
∴BDCE=2BC2BC+BC=23=km9m=k9
∴k=23×9=6
故选：C
【分析】根据题意设B的坐标，根据已知三角形的面积列出等量关系式，三角形的高即是B的横坐标，可求出三角形的底CE的表达式，根据平行线平分线段成比例定理，由已知AB=2BC的关系式可推导出B的纵坐标和底边CE的比例关系，k值可求。
5．【答案】B
【解析】【解答】解：过点C作CF⊥x轴于点F，如图所示：
∵OB⋅AC=160，点A的坐标为（10，0），
∴OA×AC=12OB×AC=12×160=80，菱形OABC的边长为10，
∴CF=80OA=8010=8，
在Rt△OCF中，OC=10，CF=8，
∴OF=OC2−CF2=6，
∴点C的坐标为（6，8），
∵点D是线段AC的中点，
∴点D的坐标为（8，4），
∵双曲线y=kx(x>0)经过点D，
∴4=k8，
解得：k=32，
∴双曲线的解析式为：y=32x(x>0)，
∴①不正确；
∵CF=8，
∴直线BC的解析式为y=8，
联立方程组y=32xy=8，
解得：x=4，y=8，
∴点E的坐标为（4，8），
∴②不正确；
∵CF=8，OC=10，
∴sin∠COA=CFOC=810=45，
∴③正确；
∵A（10，0），C（6，8），
∴AC=10−62+0−82=45，
∵OB⋅AC=160，
∴OB=160AC=16045=85，
∴AC+OB=45+85=125，
∴④正确，
综上，正确的结论是③④，共有2个，
故答案为：B.
【分析】先求出点C的坐标，再利用中点坐标公式求出点D的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式判断①是否正确；再联立方程方程组求出点E的坐标判断②是否正确；再利用正弦的定义求出sin∠COA=CFOC=810=45判断③是否正确；先利用勾股定理求出AC的长，再求出OB的长，最后利用线段的和差判断④是否正确即可.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于H，设BC与y轴交于E，
则OE//AH，
∵△ABC是等腰三角形，且底边BC//x轴，
∴BH=CH，
∵过原点的直线AB与双曲线交于A、B两点，
∴A、B关于原点O对称，即O为AB的中点，
∴点E为BH的中点，
∴BH=2BE，
∴BC=4BE，
设BE=a，则CE=3a，BC=4a，
∴A(−a，−ka)，B(a，ka)，C(−3a，ka)，D(−3a，−k3a)，
∴CD=−k3a−ka=−4k3a，
∵S△BCD=12BC⋅CD=16，
∴12⋅4a⋅(−4k3a)=16，
解得：k=−6，
故选：B．
【分析】过点A作AH⊥BC于H，设BC与y轴交于E，则OE//AH，由等腰三角形三线合一的性质可得BH=CH，由A、B关于原点O对称可得点E为BH的中点，从而得出BH=2BE，即得BC=4BE，设BE=a，则CE=3a，BC=4a，根据反比例函数图象上点的坐标特征表示出点A、C、D的坐标，根据S△BCD=12BC⋅CD=16建立方程，即可求出k值.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，过点Q作QM⊥x轴，QN⊥y轴，
设OM=m，则有Q(m，−2m+b)，
由y=−2x+b得：B(0，b)，A(b2，0)，
∴OA=b2，OB=b，QN=m，ON=−2m+b，
∴AM=OA−OM=b2−m，BN=OB−ON=2m，
在Rt△AMQ中：QA=QM2+AM2=(−2m+b)2+(b2−m)2=52(b−2m)，
同理可求：BQ=5m；
∵BQ⋅QA=10，
∴5m⋅52(b−2m)=10，
整理得：m⋅(b−2m)=4，
即：ON⋅OM=4，
∴S矩形OMQN=4，
∴k=4．
故选：B．
【分析】根据题意先求出AM=OA−OM=b2−m，BN=OB−ON=2m，再利用勾股定理求出QA，BQ，最后列方程求解即可。
8．【答案】B
【解析】【解答】解：∵点A的横坐标为m，
∴A（m，4m）.
令y=-x+b中的x=m，得-m+b=4m，
∴b=m+4m，
∴y=-x+m+4m.
作AM⊥OD于点M，BN⊥OC于点N，
设S△AOF=S，则S△OEF=2-S，S四边形EFBC=4-S，S△OBC=S△OAD=6-2S，S△ADM=4-2S，
∴S△ADM=2S△OEF.
由对称性可得AD=BC，OD=OC，∠ODC=∠OCD=45°，△AOM≌△BON，AM=NB=DM=NC，
∴EF=12AM=12NB，
∴EF为△OBN的中位线，
∴N（2m，0），B（2m，2m）.
将B（2m，2m）代入y=-x+m+4m中可得2m=-2m+m+4m，
∴m2=2，
∴m=2.
故答案为：B.
【分析】由题意可得A（m，4m），代入y=-x+b中可得b=m+4m，则y=-x+m+4m，作AM⊥OD于点M，BN⊥OC于点N，设S△AOF=S，则S△OEF=2-S，S四边形EFBC=4-S，S△OBC=S△OAD=6-2S，S△ADM=4-2S，推出S△ADM=2S△OEF，由对称性可得AD=BC，OD=OC，AM=NB=DM=NC，进而得到EF为△OBN的中位线，则N（2m，0），B（2m，2m），然后将点B的坐标代入直线解析式中计算即可.
9．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，
∵BC⊥y轴，
∴BC∥AD，
∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
设点B(6a，a)，则C(−2a，a)，
①若四边形ABCD是菱形，则BC=AB，
∴BC=6a−(−2a)=8a，
∵点A的坐标是(5，0)，
∴AB=(5−6a)2+a2，
∴8a=(5−6a)2+a2，解得：a4+25a2−60a−28=0，该方程有解，
∴四边形ABCD可能是菱形，故①符合题意；
②若四边形ABCD是正方形，则AB⊥x轴，AB⊥BC，BC=AB，
∵点A的坐标是(5，0)，
∴点B的横坐标为5，
∵点B是函数y=6x(x>0)图象上，
∴点B的纵坐标为65，
∴AB=65
∵BC⊥y轴，
∴点C的纵坐标为65，
∵点C是函数y=−2x(x<0)的图象的一点，
∴点C的横坐标为−53，
∴此时BC=5−(−53)=203≠AB，
∴四边形ABCD不可能是正方形，故②不符合题意；
③若a=1时，点B(6，1)，则C(−1，1)，
∴AD=BC=7，CD=AB=(6−5)2+12=2，
∴此时四边形ABCD的周长为2(7+2)=14+22，
若a=2时，点B(3，2)，则C(−1，2)，
∴AD=BC=4，CD=AB=(3−5)2+22=22，
∴此时四边形ABCD的周长为2(4+22)=8+42，
∴四边形ABCD的周长不是定值，故③不符合题意；
∵B(6a，a)，C(−2a，a)，
∴AD=BC=6a−(−2a)=8a，点B到x轴的距离为a，
∴四边形ABCD的面积为8a×a=8，
∴四边形ABCD的面积是定值，故④符合题意；
∴正确的有①④．
故答案为：D
【分析】利用反比例函数图象上点坐标的特征，菱形、正方形的判定及四边形的周长公式和面积公式逐项判断即可。
10．【答案】A
【解析】【解答】解：∵y=3x与y=kx交于A、B两点，
∴设B(t，3t)，则A(−t，−3t)，
∴k=t⋅3t=3t2，
∴反比例函数解析式为y=3t2x，
由题意得：∠AOC=30°，AO=2t，
∴OC=433t，即C(0，−433t)，
设直线BC的解析式为y=mx−433t，
把B(t，3t)代入得：mt−433t=3t，
解得：m=733，
∴直线BC的解析式为y=733x−433t，
y=3t2xy=733x−433t，解得x=ty=3t，x=−37ty=−733t，
∴D(−37t，−733t)，
过点B作BE⊥y轴，过点D作DF⊥y轴，则BE∥DF，
∴△BEC∽△DFC，
∴BCCD=BEDF，
∴BC+CDCD=BE+DFDF，
∴5CD=107t37t=103，
∴CD=1.5，
∴CD2=(37t)2+[−433t−（−733t)]2=94，
AD2=[−37t−(−t)]2+[−3t−(−733t)]2，
解得：AD2=4，
∴AD=2（负值舍去），
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数与正比例函数的对称性设B(t，3t)，则A(−t，−3t)，根据反比例函数图象上点的坐标特点可得k=t⋅3t=3t2，易得∠AOC=30°，AO=2t，则C(0，−433t)，设直线BC的解析式为y=mx−433t，将点B的坐标代入可求出m的值，从而得到直线BC的解析式，联立直线BC与反比例函数的解析式，求解可得点D的坐标；过点B作BE⊥y轴，过点D作DF⊥y轴，则BE∥DF，推出△BEC∽△DFC，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出CD，进而根据两点间的距离公式由CD的长建立方程求出t的值，最后再根据两点间的距离公式可算出AD的长.
11．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，作DM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N， 设OA=b，OB=a，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∵AD=AB=BC ， ∠DAB=∠ABC=90° ，
易证 △AOB ≌ △BNC ≌ △DMA ，
∴DM=OA=BN=b ， AM=OB=CN=a ，
∴D(b，a+b) ， C(a+b，a) ，
∵ 点 C ， D 恰好都落在反比例函数 y=kx(k≠0) 的图象上，
∴b(a+b)=a(a+b) ，
∵a+b≠0 ，
∴a=b ，
∴OA=OB ，
∴∠ABO=45° ， ∠EBF=45° ，
∵BE⊥EF ，
∴△BEF 是等腰直角三角形，
∵BC=EC ，
∴ 可得 E(3a，2a) ， F(5a，0) ，
∴12×4a×2a=k2+12 ，
∵D(a，2a) ，
∴2a2=k ，
∴a=2 ， k=8 ，
∴E(6，4) ， F(10，0) ，
∴ 直线 EF 的解析式为 y=−x+10 ，
由 y=8xy=−x+10 ，解得 x=5+17y=5−17 或 x=5−17y=5+17 ，
∴p(5+17，5−17) ，
∴PE=34−2 ，
∴S△ECP=12⋅EC⋅EP=12⋅(34−2)×22=217−2 ，
故答案为：B.
【分析】作DM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N， 设OA=b，OB=a，易证△AOB≌△BNC≌△DMA，得DM=OA=BN=b，AM=OB=CN=b，从而可用含a、b的式子表示出点C、D的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特点得b（a+b）=a（a+b），据此可得a=b，判断出△BEF是等腰直角三角形，进而可表示出点E、F的坐标，根据三角形的面积计算公式结合三角形BEF的面积建立关于字母a、k方程；再根据点D在反比例函数图象上可得关于字母a、k方程，联立求解可求出a、k的值，从而得出点E、F的坐标，利用待定系数法求出直线EF的解析式，联立两函数解析式求解可得点P的坐标，从而可求出PE的长，最后再根据三角形的面积计算公式即可求出答案.
12．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，过点E作EF⊥OA于点F，EM⊥AB于点M，EN⊥OB于点N．
∵OC平分∠BOA，BD平分∠OBA，
∴EM=EN=EF，
∵∠OBA=∠ENB=∠EMB=90°，
∴四边形EMBN是正方形，
∴EM∥OB，
∴△CEM∽△COB，
∴EMOB=CECO，
∵CEOE=12，
∴EMOB=13，
∴EM=23，
∴EF=EN=BN=23，
∴ON=OF=OB−BN=43，
∴S△OEF=12OF⋅EF=12×43×23=49，
∴k=89．
故答案为：B
【分析】过点E作EF⊥OA于点F，EM⊥AB于点M，EN⊥OB于点N，先证出△CEM∽△COB，可得EMOB=CECO，将数据代入求出EM=23，利用线段的和差求出ON的长，利用三角形的面积公式求出S△OEF=12OF⋅EF=12×43×23=49，再利用反比例函数k的几何意义可得k=89。
13．【答案】83−223
【解析】解：连接OB，交MN于点Q，如图所示：
∵矩形OABC翻折，使点B与原点重合，折痕为MN，
∴BQ=OQ，BM=OM，
∵AB∥OC，
∴∠MBQ=∠NOQ，
在△BQM和△OQN中
∠MBQ=∠NOQ∠BQM=∠OQNBQ=OQ
∴△BQM≌△OQN(AAS)，
∴QM=QN，即点Q是MN的中点，
∴点Q是反比例函数上的点，S△OHQ=12k
过点Q作QH⊥BC于点H，则QH是△OBC的中位线，
∴Rt△OHQ∽Rt△OCB，
∴S△OHQS△OCB=(OQOB)2=14，
∵S△OBC=12S矩形AOCB=42，
∴S△OHQ=14×42=12k，
解得k=22，
∵点M是反比例函数上的点，
∴S△AOM=12k=12×22=2，
∵S△ABO=S△OBC=42=4S△AOM，
∴MA=14AB，
设MA=a，
则MB=3a=MO，
在Rt△AOM中，根据勾股定理可得，
OA=(3a)2−a2=22a，
则S△AOM=12MA⋅OA=12×a×22a=2
解得a=1（负值已舍去），
则MA=a=1，AB=4AM=4，OM=3，
连接BN，作C'G⊥ON于G，
∵QO=QB，QM=QN，
∴四边形MONB是平行四边形，
∴ON=BN=OM，
∵OC'=BC=OA，
∴Rt△AOM≌Rt△CBN≌Rt△C'ON(HL)，
∴S△C'ON=S△AOM=2，ON=OM=3，OC'=OA=22a=22，
∴12ON⋅C'G=12×3×C'G=2，
∴C'G=223，
在△OC'G中，根据勾股定理得，
∴OG=OC'2−C'G2=(22)2−(223)2=83，
∵点C'第四象限，
∴C'的坐标为(83,−223)，
故答案为：(83,−223)．
【分析】如图，连接OB，交MN于点Q，根据矩形的性质和平行线的性质可证△BQM≌△OQN(AAS)，进而可知Q是MN的中点，根据反比例函数比例系数k的几何意义可知S△OHQ=12k，由QH是△OBC的中位线可得Rt△OHQ∽Rt△OCB，进而可得S△OHQS△OCB=(OQOB)2=14，结合S矩形OABC=82计算可求得k=22，根据△ABO和△AOM的面积关系得到MA=14AB，设MA=a，在Rt△AOM中运用勾股定理并结合S△AOM=12MA⋅OA=12×a×22a=2可求出a=1，连接BN，作C'G⊥ON于G，通过已知条件可证Rt△AOM≌Rt△CBN≌Rt△C'ON(HL)，根据△OC'N和△AOM面积相等的关系可求得C'G=223，在△OC'G中运用勾股定理求得OG=83，最后确定点C'所在象限即可求解。
14．【答案】255
【解析】【解答】解：由y=−x+2ay=kx消去y得到x2-2ax+k=0，
∵直线y=-x+2a，（常数a＞0）和双曲线 y=kx(k>0，x>0)的图象有且只有一个交点 ，
∴△=0，即4a2-4k=0，
∴k=a2，
解方程组得x=ay=a，
∴点B（a，a），
令y=0得-x+2a=0，
解得x=2a，
∴A（2a，0）；
过点B作BH⊥OA于点H，交OM于点J，设OM交PB于点k，
∵A（2a，0），B（a，a），
∴OH=BH=AH=a，
∵OM⊥PB，BH⊥OA，
∴∠OHJ=∠BJK=90°，
∵∠OJH=∠BJK，
∴∠HOJ=∠HBP，
又∵∠OHJ=∠BHP=90°，OH=BH，
∴△OHJ≌△BHP（ASA），
∴OJ=PB，JH=PH，∠OJH=∠BPH，AP=BJ，
∵∠AHB=90°，HB=HA，
∴∠PAM=∠JBM=45°，
∵∠BPH=∠APM，∠OJH=∠BJM，
∴∠BJM=∠APM
∴△BJM≌△APM（ASA），
∴BM=AM，∠BMJ=∠AMP，
∴点M32a，12a，
∴BM=32a−a2+12a−a2=22a，
设直线OM的解析式为y=kx，则12a=32ak，
∴k=13，
∴直线OM的解析式为y=13x，
∴J（a，13a），
∴JH=PH=13a，
∴BP=OJ=OH2+JH2=103a，
∵∠OHJ=∠OKP=90°，∠HOJ=∠HOP，
∴△OHJ∽△OKP，
∴HJKP=OJOP，即13aKP=103aa+13a，
解得KP=21015a，
∴BK=BP−KP=103a−21015a=105a，
∴sin∠AMP=sin∠BMK=BKBM=255.
故答案为：255.
【分析】过点B作BH⊥OA于点H，交OM于点J，设OM交PB于点k，由直线与双曲线的图象只有一个交点得b2-4ac=0，据此建立方程求出k=a2，从而得x=a，y=a，则点B（a，a），点A（2a，0），用ASA证出△OHJ≌△BHP，得到OJ=PB，JH=PH，∠OJH=∠BPH，AP=BJ，再利用ASA证出△BJM≌△APM，得BM=AM，∠BMJ=∠AMP，点M32a，12a，用两点间的距离公式表示出BM，利用待定系数法求出直线OM的解析式为y=13x，则J（a，13a），BP=OJ=OH2+JH2=103a，证出△OHJ∽△OKP，由相似三角形对应边成比例建立方程可表示出KP，进而根据BK=BP-KP表示出BK，由等角的同名三角函数值相等及正弦函数的定义，由sin∠AMP=sin∠BMK=BKBM即可得出答案.
15．【答案】185
【解析】【解答】解：过点C作CF⊥OD，垂足为F，延长CF交OA于点G，过点E作EH⊥OA，垂足为H，
∵AC平分∠OAB，OD平分∠AOB，∠OBA=90°，
∴∠EOA+∠EAO=12(∠BOA+∠BAO)=12(180°−90°)=45°=∠CEF，
在Rt△CEF中，∠CEF=45°，CE=2，
∴CF=EF=22×2=1，
在Rt△COF中，OC=5，CF=1，
∴OF=OC2−CF2=2，
在Rt△COF和Rt△OGF中，
∵∠OFC=∠OFG=90°，OF=OF，∠COF=∠GOF，
∴Rt△OCF≌Rt△OGF(ASA)，
∴OG=OC=5，FC=FG=1，
∵∠OFG=90°=∠OHE，∠FOG=∠HOE，
∴△FOG∽△HOE，
∴S△FOGS△HOE=OG2OE2=(5)2(2+1)2=59，
又∵S△FOG=12×1×2=1，
∴S△HOE=12|k|=95，
∴k=185( 负值舍去)，
故答案为：185．
【分析】利用勾股定理，相似三角形的判定与性质，结合函数图象求解即可。
16．【答案】2
【解析】【解答】解：延长BF、AC交于点G.
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAF=∠GAF，
∵BF⊥AE，
∴∠AFB=∠AFG=90°，
在△ABF和△AGF中，
∠BAF=∠GAFAF=AF∠BFA=∠GFA ，
∴△ABF≌△AGF（ASA），
∴AB=AG，BF=GF.
∵B（- 2 ，- 2 ）、C（ 2 ， 2 ），
∴OB=OC，
∴OF= 12 CG= 12 |AB−AC|=2 2 × 12 = 2 .
∴点F在以点O为圆心，以 2 为半径的圆上运动.
故答案为： 2 .
【分析】延长BF、AC交于点G，根据角平分线的概念可得∠BAF=∠GAF，证明△ABF≌△AGF，得到AB=AG，BF=GF，根据点B、C的坐标可得OB=OC，然后根据OF=12CG=12 |AB−AC|进行计算.
17．【答案】33
【解析】【解答】解：如图所示：
延长CA交x轴于点D.
∵CA//y轴，
∴CA⊥x轴.
∵AO=AB=2，
∴OD=DB，∠OAD=∠BAD.
∵将△OAB沿OA所在的直线翻折后，点B落在点C处，
∴△AOC≌△AOB，
∴∠CAO=∠BAO=2∠OAD.
又∵∠CAO+∠OAD=180°，
∴∠OAD=60°，
∴∠AOD=30°，
∴AD=12OA=1，OD=3.
∴点C坐标为3，3
∵反比例函数y=kx的图象经过点C，
∴k=33.
故答案为：33.
【分析】延长CA交x轴于点D，由CA//y轴，得CA⊥x轴.于是得∠OAD=∠BAD.再由翻折得到∠CAO=∠BAO=2∠OAD，从而得到∠OAD=60°，∠AOD=30°，所以可以根据OA=2，得到OD，AD的值，进而得到点C的坐标，k的值可求.
18．【答案】4
【解析】【解答】设点C的坐标为（m，km），
∵四边形ABCD是正方形，
∴E(m+32，k2m)，
∵点E在反比例函数图象上，
∴m+32×k2m=k，
∴m=1，
作CH⊥y轴，垂足为点H，如图，
∴CH=1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠OAB=∠HCB，
∵∠AOB=∠BHC，
∴△AOB≅△BHC(AAS),
∴BH=OA=3，OB=CH=1，
∴点C的坐标为（1，4），
∴K=4，
【分析】设点C的坐标为（m，km），由正方形的性质可得E(m+32，k2m)，进而求出m=1，再根据中点坐标公式求得点C的横坐标为1，作CH⊥y轴，垂足为点H，利用AAS证明△AOB≅△BHC，得到BH=OA=3，OB=CH=1，进而得到点C的坐标，从而求解.
19．【答案】(-1，-6)
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥x轴于点E，以AE为边在AE左侧作正方形AEFG，交AB于点P，点A绕点B点D为AC与x轴的交点，
如图所示：
设AB所在的直线方程为y=kx+b(k≠0)，A(2，3)，B(0，2)，可得
2k+b=3b=2，解得k=12b=2，
∴ 一次函数解析式为y=12x+2.
∵A(2，3)，
∴ AE=3，EF=3，E（2，0），F（-1，0），P（−1，32），则PF=32，PG=32.
将△AGP绕点A逆时针旋转90°得到△AEH，则△ADP≅△ADH，
∴ DP=DH，PG=EH.
设DE=x，则DH=DP=x+32，FD=3-x，
在Rt△PDF中，由勾股定理可得(32)2+(3−x)2=(x+32)2，解得x=1，
∴ OD=1，D（1，0），
设AC的函数解析式为y=ax+d(a≠0)，将D（1，0），A(2，3)代入可得
a+d=02a+d=3，解得a=3d=−3，
AC所在函数解析式为y=3x−3.
∴y=3x−3y=6x，解得x=2y=3或x=−1y=−6，
∴C(-1，-6).
故答案为：(-1，-6).
【分析】根据待定系数法先求出AB所在直线的函数解析式，再根据三角形全等和勾股定理求得OD，同理用待定系数法求AC所在直线的函数解析式，最后与反比例函数联立求解即可.
20．【答案】4
【解析】【解答】解：连接EA，过点E作EP⊥OA于P，过点F作FN⊥OC于点N，连接CA交OB于点M，过点D作DG⊥OA于点G，
.∵四边形OABC是矩形，
∴OM=MB，
∵BHOH=35，
∴BHOB=35+3=38，
∴BHOB=35+3=38，
∴BHBM=34，
∵反比例函数y=kxx＞0的图象分别于OB，BC，AB交于D，E，F三点，
∴设Em，km，Fn，kn，
∴CE =m，BA =km，BC=n，AF=kn，
∴BE=BC-CE=n -m，
BF=BA-AF=km−kn=kn−mmn ，
∴BEBC=BFBA=n−mn，
∵∠CBA= ∠EBF，
∴△ABC~△FBE，
∴∠BAC = ∠BFE，
∴EF//CA，
∴BHBM=BEBC=BFBA=34，
∴CEBC=AFAB=14，
设E(a，4b)，F(4a，b)，
∴B (4a，4b)，
∴M (2a， 2b)，
将E(a，4b)代入 y=kx（x>0） 得：k =4ab，
∵DG//BA，
∴△ABO~△GDO，
∵S△GDO=12k=12·4a·b=2ab，
∴S△ABOS△GDO=4a·b·124a·4b·12=14，
∴MGAB=12，
∴D(2a，2b)，
则D，M两点重合，
∵EF//CA，
∴S△EDF=S△EFA=12b4a−a=32，
解得：ab=1，
∴k=4ab =4，
故答案为：4.
【分析】利用矩形的性质先求出OM=MB，再利用相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式计算求解即可。
21．【答案】（1）解：过点A作AG⊥y轴于G，过点B作BH⊥y轴于H，如图：
∵A（1，4）在反比例函数y=k1x上，
将（1，4）代入y=k1x得：4=k11，解得：k1=4；
则AG=1，OG=4；
∵∠AOB=∠AOG+∠BOH=∠BOH+∠OBH=90°，
∴∠AOG=∠OBH，
∵OA=OB，∠AGO=∠BHO=90°，
∴△AGO≌△OHB（AAS），
∴OH=AG=1，BH=OG=4，
∴B（4，-1），
∵B（4，-1）在反比例函数y=k2x上，
将（4，-1）代入y=k2x得：−1=k24，解得：k2=−4.
（2）解：存在，理由如下：
如图，
∵△COD≌△AOB，
∴OA=OB=OC=OD，
∴B与C关于x轴对称，A与D关于x轴对称，
∴C（4，1），D（1，-4）.
【解析】【分析】（1）过点A作AG⊥y轴于G，过点B作BH⊥y轴于H，根据待定系数法求出反比例函数y=k1x的解析式，根据点A的坐标可得AG=1，OG=4，结合题意，根据两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等得△AGO≌△OHB，由全等三角形的对应边相等可得OH=AG=1，BH=OG=4，求得点B的坐标，根据待定系数法求出反比例函数y=k2x的解析式即可；
（2）根据全等三角形的对应边相等可得OA=OB=OC=OD，即可推得B与C关于x轴对称，A与D关于x轴对称，根据关于对称轴对称的点的坐标特征即可求解.
22．【答案】（1）解：如图，过点C作CF⊥x轴，
∵∠AOC=60°，OC=12 ，
∴∠OCF=30°，
∴OF=12OC=6，CF=3OF=63，
∴C（6，63），
把点C（6，63）代入y=kx中，得k=6×63=363，
在▱OABC中，BC∥OA，
∴∠BCD=∠ODC，
∵CD平分 ∠OCB ，
∴∠BCD=∠OCD，
∴∠ODC=∠OCD，
∴OD=OC=12，
∴D（12，0）.
（2）证明：∵OD=OC，∠AOC=60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠CDO=60°，
∵ DE⊥CD，
∴∠EDA=30°
∵AB∥OC，
∴∠BAx=∠AOC=60°，
∴∠AED=60°-30°=30°
∴∠AED=∠ADE，
∴AE=AD.
（3）解：设AD=AE=a，则E（12+32a，32a），
把点E坐标代入y=363x中，得（12+32a）·32a=363，
解得：a=4或-12（舍），
∴E(18，2 3).
【解析】【分析】（1）过点C作CF⊥x轴，利用直角三角形的性质求出OF、CF的长，即得点C坐标；由平行四边形的性质及角平分线的定义可得∠ODC=∠OCD，可得OD=OC=12，继而求出点D坐标；
（2）易得△OCD是等边三角形，利用平行四边形的性质及三角形外角的性质可得∠AED=∠ADE=30°，可得AE=AD.
（3）设AD=AE=a，则E（12+32a，32a），把点E坐标代入y=363x中可得关于a方程并解之即可.
23．【答案】（1）解：∵x2−x−30=0，
∴x1=−5，x2=6，
∴OB=6，
∵tan∠OAB=34，
∴OBOA=34，
∴OA=8，
∴A(8，0)，B(0，6)，
∵点D为AB的中点，
∴点D的坐标为(8+02，0+62)，即D(4，3)．
（2）解：在Rt△OBE中，由勾股定理得：
OE=BE2−OB2=40−36=2，
∴E(2，0)，
设直线BE的函数解析式为y=kx+b(k≠0)，
把B(0，6)，E(2，0)代入得：
2k+b=0b=6，
解得：k=−3b=6
∴直线BE的函数解析式为y=−3x+6，
∵D(4，3)，
设直线OD的函数解析式为y=mx，
∴4m=3，解得，m=34，
∴直线OD的函数解析式为y=34x，
当−3x+6=34x时，x=85，
此时y=65，
∴F(85，65)，
∴点F关于y轴的对称点F'为(−85，65)，
∵反比例函数y=kx经过点F'，
∴k=−85×65=−4825．
（3）点P的坐标为(143，52)或(825，14825)或(40+8510，−24−6510)或(40−8510，−24+6510)．
【解析】【解答】解：（3）设直线AB的解析式为y=ax+b，
将点A(8，0)，B(0，6)的坐标代入得，
8a+b=0b=6，解得：a=−34n=6
∴直线AB的解析式为y=−34x+6
∵点P在直线AB上，
∴设点P(t，−34t+6)，
∴PE2=(t−2)2+(−34t+6−0)2=2516t2−13t+40，AE2=(8−2)2=36，AP2=(8−t)2+(−34t+6)2=2516t2−25t+96
下面分三种情况讨论：
①当PE=AP时， 2516t2−13t+40=2516t2−25t+96
解得：t=143，
∴−34t+6=−34×143+6=52
∴点P的坐标为(143，52)；
②当PE=AE时， 2516t2−13t+40=36
解得：t1=8，t2=825
∴−34t+6=−34×8+6=0，此时点P不存在，
−34t+6=−34×825+6=14825，
∴点P的坐标为(825，14825)；
③当AP=AE时， 2516t2−25t+96=36
解得：t1=40+8510，t2=40−8510
∴点P的坐标为(40+8510，−24−6510)或(40−8510，−24+6510)；
综上，点P的坐标为(143，52)或(825，14825)或(40+8510，−24−6510)或(40−8510，−24+6510)．
【分析】（1）先根据一元二次方程的根即可得到OB的长，进而运用锐角三角函数的定义结合题意即可得到A(8，0)，B(0，6)，进而根据中点坐标的定义即可求解；
（2）先根据勾股定理即可求出OE，进而运用待定系数法即可求出直线BE的解析式，再结合题意即可得到OD的解析式，再根据关于坐标轴对称的点的坐标即可得到F'，进而根据反比例函数的图象即可求解；
（3）先运用待定系数法求出直线AB的解析式，设点P(t，−34t+6)，进而即可得到PE2=(t−2)2+(−34t+6−0)2=2516t2−13t+40，AE2=(8−2)2=36，AP2=(8−t)2+(−34t+6)2=2516t2−25t+96，进而结合题意分类讨论：①当PE=AP时，③当AP=AE时， 从而即可列出一元二次方程，进而即可求解。
24．【答案】（1）解：∵CA⊥x轴，∠ACB=90°，
∴CB∥x轴．
∵将C（ 2 ，m）代入函数y2= 2x 得：n= 22 = 2 ，
∴点C（ 2 ， 2 ）．
∴点B的纵坐标为 2 ．
∵将y1= 2 代入得： 4x = 2 ，解得；x=2 2 ，
∴点B的坐标为（2 2 ， 2 ）。
（2）解：如图所示：连接ME、MD、MF．
∵⊙M与BC，CA，AB分别相切于D，E，F，
∴ME⊥AC，MD⊥BC，MF⊥AB．
∴∠ECD=∠CDM=∠CEM=90°．
∴四边形CDME为矩形．
∵MD=ME，
∴四边形CDME为正方形．
∵在Rt△ACB中，AC= 2 ，BC= 2 ，
∴AB=2．
∵S△ACB= 12 AC•BC= 12 （AC+BC+AB）•r，
∴⊙M的半径= AC·BCAC+BC+AB=2×222+2 = 2 ﹣1．
∴点M的坐标为（2 2 ﹣1，1）．
【解析】【分析】（1）由 y2= 2x 的图象经过点C（ 2 ，m)可得m=2，再由 CB∥x轴 可知点B纵坐标为2，代入 y1= 4x 即可得B点坐标；
（2） 连接ME、MD、MF，由切线的性质及同圆半径相等可得 四边形CDME为正方形 ，再根据面积法即可 ⊙M的半径 ，据此可得点M的坐标。