2012年全国各地中考数学压轴题精选讲座五：一次函数、反比例函数的图象与几何

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2012年全国各地中考数学压轴题精选讲座五
一次函数、反比例函数的图象与几何
【知识纵横】
一次函数、反比例函数与几何问题，往往以计算为主线，侧重决策问题，或综合各种几何知识命题，近年全国各地中考试卷中占有相当的分量。这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活。考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力，要求学生熟练掌握三角形、四边形、三角函数、圆等几何知识，较熟练地应用转化思想、方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等常见的数学思想。解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系，在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形，或通过添加辅助线补全或构造基本图形，并善于联想所学知识，突破思维障碍，合理运用方程等各种数学思想才能解决。
解函数图象与几何的综合题，应善于运用坐标，线段长度，函数解析式三者关系，要充分发挥形的因素，数形互动，把证明与计算相结合是解题的关键。
【选择填空】
1. （浙江义乌）如图，已知点A（0，2）、B（，2）、C（0，4），过点C向右作平行于x轴的射线，点P是射线上的动点，连接AP，以AP为边在其左侧作等边△APQ，连接PB、BA．若四边形ABPQ为梯形，则：
（1）当AB为梯形的底时，点P的横坐标是　 　；
（2）当AB为梯形的腰时，点P的横坐标是　 　
2. （浙江衢州）如图，已知函数y=2x和函数的图象交于A、B两点，过点A作AE⊥x轴于点E，若△AOE的面积为4，P是坐标平面上的点，且以点B、O、E、P为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的P点坐标是　 　．
3. （浙江温州）如图，已知动点A在函数(x>o)的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点Ｅ，使AE=AC.直线DE分别交x轴，y轴于点P,Q.当QE：DP=4:9时，图中的阴影部分的面积等于 _.

4. （浙江绍兴）如图，矩形OABC的两条边在坐标轴上，OA=1，OC=2，现将此矩形向右平移，每次平移1个单位，若第1次平移得到的矩形的边与反比例函数图象有两个交点，它们的纵坐标之差的绝对值为0.6，则第n次（n＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为 （用含n的代数式表示）
【典型试题】
1. （浙江金华）在△ABC中，∠ABC＝45°，tan∠ACB＝．如图，把△ABC的一边BC放置在x轴上，有OB＝14，OC＝，AC与y轴交于点E．2

(1)求AC所在直线的函数解析式；
(2)过点O作OG⊥AC，垂足为G，求△OEG的面积；
(3)已知点F(10，0)，在△ABC的边上取两点P，Q，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形与△OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】一次函数综合题，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，锐角三角函数定义，全等三角形的判定和应用。
【分析】(1)根据三角函数求E点坐标，运用待定系数法求解。
(2)在Rt△OGE中，运用三角函数和勾股定理求EG，OG的长度，再计算面积。
(3)分两种情况讨论求解：①点Q在AC上；②点Q在AB上．求直线OP与直线AC的交点坐标即可。






2. （山东济南）如图，已知双曲线，经过点D（6，1），点C是双曲线第三象限上的动点，过C作CA⊥x轴，过D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC．
（1）求k的值；
（2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；
（3）判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平行的判定。
【分析】（1）把点D的坐标代入双曲线解析式，进行计算即可得解。
（2）先根据点D的坐标求出BD的长度，再根据三角形的面积公式求出点C到BD的距离，然后求出点C的纵坐标，再代入反比例函数解析式求出点C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答。
（3）根据题意求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB的解析式，可知与直线CD的解析式k值相等，所以AB、CD平行。







3. （浙江义乌）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA=．
（1）求边AB的长；
（2）求反比例函数的解析式和n的值；
（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长．
【考点】反比例函数综合题，锐角三角函数定义，曲线上点的坐标与方程的关系，折叠对称的性质，勾股定理。
【分析】（1）由点E的纵坐标得出OA=4，再根据tan∠BOA= 即可求出AB的长度；
（2）根据（1）求出点B的坐标，再根据点D是OB的中点求出点D的坐标，然后利用待定系数法求函数解析式求出反比例函数解析式，再把点E的坐标代入进行计算即可求出n的值。
（3）利用反比例函数解析式求出点F的坐标，从而得到CF的长度，连接FG，根据折叠的性质可得FG=OG，然后用OG表示出CG的长度，再利用勾股定理列式计算即可求出OG的长度。








4. （广西玉林）如图，在平面直角坐标系O中，梯形AOBC的边OB在轴的正半轴上，AC//OB,BC⊥OB,过点A的双曲线的一支在第一象限交梯形对角线OC于点D,交边BC于点E.
（1）填空：双曲线的另一支在第 象限，的取值范围是 ；
（2）若点C的坐标为（2,2），当点E 在什么位置时，阴影部分面积S最小？
（3）若，S△OAC=2 ，求双曲线的解析式.

【考点】反比例函数综合题，反比例函数图象与性质，曲线上点的坐标与方程的关系，梯形的性质，二次函数的最值。
【分析】（1）根据反比例函数图象与性质得到：双曲线 的一支在第一象限，则k＞0，得到另一支在第三象限。
（2）根据梯形的性质，AC∥x轴，BC⊥x轴，而点C的坐标为（2，2），则A点的纵坐标为2，E点的横坐标为2，B点坐标为（2，0），再分别把y=2或x=2代入可得到A点的坐标和E点的坐标，然后计算出阴影部分面积S关于k的二次函数关系式，应用二次函数的最值求法即可求得阴影部分面积S最小时点E 的位置。
（3）设D点坐标为（a，），由得OD=DC，即D点为OC的中点，从而可得 C点坐标为（2a，），得到A点的纵坐标为，代入 可确定A点坐标为（，），根据三角形面积公式由S△OAC=2列式求解即可求出k的值，从而得到双曲线的解析式。








5. （广东深圳）如图，在平面直角坐标系中，直线：y=－2x＋b (b≥0)的位置随b的不同取值而变化．
(1)已知⊙M的圆心坐标为(4，2)，半径为2．
当b=　　　　时，直线：y=－2x＋b (b≥0)经过圆心M：
当b=　　　　时，直线：y=－2x＋b(b≥0)与OM相切：
(2)若把⊙M换成矩形ABCD，其三个顶点坐标分别为：A(2，0)、B（6，0）、C(6，2).
设直线扫过矩形ABCD的面积为S，当b由小到大变化时，请求出S与b的函数关系式。
【考点】直线平移的性质，相似三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，直线与圆相切的性质，勾股定理，解一元二次方程，矩形的性质。
【分析】（1）①∵直线y=－2x＋b (b≥0)经过圆心M(4，2)，
∴2=－2×4＋b，解得b=10。
②如图，作点M垂直于直线y=－2x＋b于点P，过点
P作PH∥x轴，过点M作MH⊥PH，二者交于点H。设直线y=－2x＋b与x，y轴分别交
于点A，B。
则由△OAB∽△HMP，得。
∴可设直线MP的解析式为。
由M(4，2)，得，解得。∴直线MP的解析式为。
联立y=－2x＋b和，解得。
∴P（）。
由PM=2，勾股定理得，，化简得。
解得。
（2）求出直线经过点A、B、C、D四点时b的值，从而分0≤b≤4，4＜b≤6，6＜b≤12，
12＜b≤14，b＞14五种情况分别讨论即可。








【自主训练】
1. （江苏无锡）对于平面直角坐标系中的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1、P2两点间的直角距离，记作d（P1，P2）．
（1）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）=1，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；
（2）设P0（x0，y0）是一定点，Q（x，y）是直线y=ax+b上的动点，我们把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直线y=ax+b的直角距离．试求点M（2，1）到直线y=x+2的直角距离．

2. （四川凉山）如图，已知直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，连接PC并延长PC交y轴于点D（0，3）．
（1） 求证：△POD≌△ABO；
（2） 若直线l：y=kx+b经过圆心P和D，求直线l的解析式

3. （四川巴中）如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴上，四边形ABCO
为矩形，AB=16，点D与点A关于y轴对称，tan∠ACB=，点E，F分别是线段AD，AC上的动点（点
E不与点A，D重合），且∠CEF=∠ACB。
（1）求AC的长和点D的坐标；
（2）说明△AEF与△DCE相似；
（3）当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标。

4. （江苏泰州） 如图，已知一次函数的图象与x轴相交于点A，与反比例函数的图象相交于B（－1，5）、C（，d）两点．点P（m，n）是一次函数的图象上的动点．
（1）求k、b的值；
（2）设，过点P作x轴的平行线与函数的图象相交于点D．试问△PAD的面积
是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3） 设，如果在两个实数m与n之间（不包括m和n）
有且只有一个整数，求实数a的取值范围．


参考答案
【选择填空】
1. （浙江义乌）
【答案】，。
【分析】（1）如图1：当AB为梯形的底时，PQ∥AB，
∴Q在CP上。
∵△APQ是等边三角形，CP∥x轴，
∴AC垂直平分PQ。
∵A（0，2），C（0，4），∴AC=2。
∴。
∴当AB为梯形的底时，点P的横坐标是：。
（2）如图2，当AB为梯形的腰时，AQ∥BP，∴Q在y轴上。∴BP∥y轴。
∵CP∥x轴，∴四边形ABPC是平行四边形。∴CP=AB=。
∴当AB为梯形的腰时，点P的横坐标是：。
2. （浙江衢州）
【答案】（0，﹣4），（﹣4，﹣4），（4，4）。
【分析】先求出B、O、E的坐标，再根据平行四边形的性质画出图形，即可求出P点的坐标：
如图，∵△AOE的面积为4，函数的图象过一、三象限，∴k=8。
∴反比例函数为
∵函数y=2x和函数的图象交于A、B两点，
∴A、B两点的坐标是：（2，4）（﹣2，﹣4），
∵以点B、O、E、P为顶点的平行四边形共有3个，
∴满足条件的P点有3个，分别为：P1（0，﹣4），
P2（﹣4，﹣4），P3（4，4）。

3. （浙江温州）

【答案】。
【分析】过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EF⊥y轴于点F。
∵A在函数(x>o)的图象上，∴设A（t，），
则AD=AB=DG= ，AE=AC=EF=t。
在Rt△ADE中，由勾股定理，得
。
∵△EFQ∽△DAE，∴QE：DE=EF：AD。∴QE=。
∵△ADE∽△GPD，∴DE：PD=AE：DG。∴DP=。
又∵QE：DP=4：9，∴ 。解得。
∴图中阴影部分的面积=。
4. （浙江绍兴）
【答案】或。
【分析】设反比例函数解析式为，则
① 与BC，AB平移后的对应边相交时，则由两交点纵坐标之差的绝对值为0.6和反比例函数
② 关于对称的性质，得
与AB平移后的对应边相交的交点的坐标为（2，1.4），代入，得，解得。
∴反比例函数解析式为。
则第n次（n＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对
值为：。
②与OC，AB平移后的对应边相交时，由得。
∴反比例函数解析式为。
则第n次（n＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对
值为：。
综上所述，第n次（n＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为或。
【典型试题】
1. （浙江金华）
【答案】解：(1) 在Rt△OCE中，OE＝OCtan∠OCE＝，∴点E(0，。
设直线AC的函数解析式为y＝kx＋，有，解得：k＝。
∴直线AC的函数解析式为y＝。
(2) 在Rt△OGE中，tan∠EOG＝tan∠OCE＝，
设EG＝3t，OG＝5t，，∴，得t＝2。
∴EG＝6，OG＝10。∴/
(3) 存在。
①当点Q在AC上时，点Q即为点G，
如图1，作∠FOQ的角平分线交CE于点P1，
由△OP1F≌△OP1Q，则有P1F⊥x轴，
由于点P1在直线AC上，当x＝10时，
y＝
∴点P1(10，)。
②当点Q在AB上时，如图2，有OQ＝OF，作∠FOQ
的角平分线交CE于点P2，过点Q作QH⊥OB于点
H，设OH＝a，
则BH＝QH＝14－a，
在Rt△OQH中，a2＋(14－a)2＝100，
解得：a1＝6，a2＝8，∴Q(－6，8)或Q(－8，6)。
连接QF交OP2于点M．
当Q(－6，8)时，则点M(2，4)；当Q(－8，6)时，则点M(1，3)。
设直线OP2的解析式为y＝kx，则2k＝4，k＝2。∴y＝2x。
解方程组，得。
∴P2()；
当Q(－8，6)时，则点M(1，3)．同理可求P2′()。
综上所述，满足条件的P点坐标为
(10，)或()或()。
2. （山东济南）
【答案】解：（1）∵双曲线经过点D（6，1），∴，解得k=6。
（2）设点C到BD的距离为h，
∵点D的坐标为（6，1），DB⊥y轴，∴BD=6，∴S△BCD=×6•h=12，解得h=4。
∵点C是双曲线第三象限上的动点，点D的纵坐标为1，∴点C的纵坐标为1－4= －3。
∴，解得x= －2。∴点C的坐标为（－2，－3）。
设直线CD的解析式为y=kx＋b，
则，解得。
∴直线CD的解析式为。
（3）AB∥CD。理由如下：
∵CA⊥x轴，DB⊥y轴，点C的坐标为（－2，－3），点D的坐标为（6，1），
∴点A、B的坐标分别为A（－2，0），B（0，1）。
设直线AB的解析式为y=mx+n，
则，解得。
∴直线AB的解析式为。
∵AB、CD的解析式k都等于相等。
∴AB与CD的位置关系是AB∥CD。
3. （浙江义乌）
【答案】解：（1）∵点E（4，n）在边AB上，∴OA=4，
在Rt△AOB中，∵tan∠BOA=，∴AB=OA×tan∠BOA=4×=2。
（2）由（1），可得点B的坐标为（4，2），
∵点D为OB的中点，∴点D（2，1）。
∵点D在反比例函数（k≠0）的图象上，∴，解得k=2。
∴反比例函数解析式为。
又∵点E（4，n）在反比例函数图象上，∴。
（3）如图，设点F（a，2），
∵反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，
∴，解得a=1。∴CF=1。
连接FG，设OG=t，则OG=FG=t，CG=2﹣t，
在Rt△CGF中，GF2=CF2+CG2，即t2=（2﹣t）2+12，
解得t=，∴OG=t=。
4. （广西玉林）
【答案】解：（1）三，k＞0，
（2）∵梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，
而点C的坐标标为（2，2），
∴A点的纵坐标为2，E点的横坐标为2，B点坐标为（2，0），
把y=2代入得；把x=2代入得。
∴A点的坐标为（，2），E点的坐标为（2，）。
∴

当k=2时，S阴影部分最小，最小值为1.5。
此时E点的坐标为（2，1），即E点为BC的中点。
∴当点E在BC的中点时，阴影部分的面积S最小。
（3）设D点坐标为（a，），
∵，∴OD=DC，即D点为OC的中点。∴C点坐标为（2a，）。
∴A点的纵坐标为。
把y=代入得x=，∴A点坐标为（，），
又∵S△OAC=2，∴×（2a－）×=2，∴k=。
∴双曲线的解析式为。
5. （广东深圳）
【答案】解：（1）10；。
（2）由A(2，0)、B（6，0）、C(6，2)，根据矩形的性质，得D
（2，2）。
如图，当直线经过A(2，0)时，b=4；当直线经过D（2，2）
时，b=6；当直线经过B（6，0）时，b=12；当直线经过
C(6，2)时，b=14。
当0≤b≤4时，直线扫过矩形ABCD的面积S为0。
当4＜b≤6时，直线扫过矩形ABCD的面积S为△EFA的面积（如图1），
在 y=－2x＋b中，令x=2，得y=－4＋b，则E（2，－4＋b），
令y=0，即－2x＋b=0，解得x=，则F（，0）。
∴AF=，AE=－4＋b。
∴S=。
当6＜b≤12时，直线扫过矩形ABCD的面积S为直角梯形
DHGA的面积（如图2），
在 y=－2x＋b中，令y=0，得x=，则G（，0），
令y=2，即－2x＋b=2，解得x=，则H（，2）。
∴DH=，AG=。AD=2
∴S=。
当12＜b≤14时，直线扫过矩形ABCD的面积S为五
边形DMNBA的面积=矩形ABCD的面积－△CMN的面
积（如图2）
在 y=－2x＋b中，令y=2，即－2x＋b=2，解得x=，
则M（，0），
令x=6，得y=－12＋b，，则N（6，－12＋b）。
∴MC=，NC=14－b。
∴S=。
当b＞14时，直线扫过矩形ABCD的面积S为矩形ABCD的面积，面积为民8。
综上所述。S与b的函数关系式为：



【自主训练】
1. （江苏无锡）
【答案】解：（1）由题意，得|x|+|y|=1。
所有符合条件的点P组成的图形如图所示：

（2）∵d（M，Q）=|x﹣2|+|y﹣1|=|x﹣2|+|x+2﹣1|=|x﹣2|+|x+1|，
又∵x可取一切实数，|x﹣2|+|x+1|表示数轴上实数x所对应的点到数2和﹣1所对
应的点的距离之和，其最小值为3。
∴点M（2，1）到直线y=x+2的直角距离为3。
2. （四川凉山）
【答案】（1）证明：连接PB，
∵直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，
∴∠APB=∠DPO=×180°=60°，∠ABO=∠POD=90°。
∵PA=PB，∴△PAB是等边三角形。
∴AB=PA，∠BAO=60°，
∴AB=OP，∠BAO=∠OPD。
在△POD和△ABO中，
∵∠OPD=∠BAO， OP=BA ，∠POD=∠ABO ，
∴△POD≌△ABO（ASA）。
（2）解：由（1）得△POD≌△ABO，∴∠PDO=∠AOB。
∵∠AOB=∠APB=×60°=30°，∴∠PDO=30°。
∴OP=OD•tan30°=3×。∴点P的坐标为：（－，0）。
∵点P，D在直线y=kx+b上，
∴ ，解得： 。
∴直线l的解析式为：y=x+3。
3. （四川巴中）
【答案】解：（1）∵四边形ABCO为矩形，∴∠B=90°。
在Rt△ABC中，BC=AB÷tan∠ACB=16÷=12 ，AC=。
则AO=BC=12。∴ A（-12，0）。
∵点D与点A关于轴对称，∴D（12，0）。
（2）∵点D与点A关于y轴对称，∴∠CDE=∠CAO。
∵∠CEF=∠ACB，∠ACB=∠CAO，∴∠CDE=∠CEF。
又∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠CDE+∠DCE（三角形外角性质），∴∠AEF=∠DCE。
则在△AEF与△DCE中，∠CDE=∠CAO，∠AEF=∠DCE，
∴△AEF∽△DCE。
（3）当△EFC为等腰三角形时，有以下三种情况：
①当CE=EF时，∵△AEF∽△DCE，∴△AEF≌△DCE。∴AE=CD=20。
∴OE=AE－OA=20－12=8。∴E（8，0）。
②当EF=FC时，如图所示，过点F作FM⊥CE于M，
则点M为CE中点。
∴CE=2ME=2EF•cos∠CEF=2EF•cos∠ACB=EF。
∵点D与点A关于y轴对称，∴CD=AC=20。
∵△AEF∽△DCE，
∴ ，即 ，解得。
∴OE=AE－OA=，∴E（ ，0）。
③当CE=CF时，则有∠CFE=∠CEF，
∵∠CEF=∠ACB=∠CAO，∴∠CFE=∠CAO。
即此时F点与A点重合，这与已知条件矛盾。
综上所述，当△EFC为等腰三角形时，点E的坐标为（8，0）或（，0）。
4. （江苏泰州）
【答案】解：（1）将点B 的坐标代入，得 ，解得。
∴反比例函数解析式为。
将点C（，d）的坐标代入，得。∴C（，－2）。
∵一次函数的图象经过B（－1，5）、C（，－2）两点，
∴，解得。
（2）存在。
令，即，解得。∴A（，0）。
由题意，点P（m，n）是一次函数的图象上的动点，且
∴点P在线段AB 上运动（不含A、B）。设P（）。
∵DP∥x轴，且点D在的图象上，
∴，即D（）。
∴△PAD的面积为。
∴S关于n的二次函数的图象开口向下，有最大值。
又∵n=，，得，而。
∴当时，即P（）时，△PAD的面积S最大，为。
（3）由已知，P（）。
易知m≠n，即，即。
若，则。
由题设，，解出不等式组的解为。
若，则。
由题设，，解出不等式组的解为。
综上所述，数a的取值范围为，。