2024年中考数学精选压轴题之折叠问题练习附解析

这是一份2024年中考数学精选压轴题之折叠问题练习附解析，共43页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，实践探究题等内容，欢迎下载使用。

1．数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，小明把矩形ABCD沿DE折叠，使点C落在AB边的点F处，其中DE=55，且sin∠DFA=45，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．80B．64C．36D．18
2．如图，已知长方形纸片 ABCD，点E，F分别在边AD和BC上，且∠EFC=53°，H和G 分别是边AD和 BC 上的动点，现将点 A，B 沿 EF 向下折叠至点N，M 处，将点 C，D沿GH 向上折叠至点P，K 处，若 MN∥PK，则∠KHD的度数为 （ ）
A．37°或143°B．74°或96°C．37°或105°D．74°或106°
3．如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF.将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF.则下列结论不正确的是（ ）
A．BD＝10B．HG＝2C．EG∥FHD．GF⊥BC
4．如图，将矩形ABCD沿GE，EC，GF翻折，使得点A，B，D恰好都落在点O处，且点G，O，C在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB=435AD；circle3GE=6DF，circle4OC=22OF，⑤△COF∽△CEG.其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①④⑤D．②③④
5．如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在边AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在边AD上的点H处，点D落在点G处，有下列四个结论：①四边形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③线段BF长的取值范围是3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF= 25，其中，正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
6．如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点C的对称点E落在边AB上，点D的对称点为点F，EF为交AD于点G，连接CG交PQ于点H，连接CE．下列四个结论中：①△PBE∽△QFG；②S△CEG＝S△CBE+S四边形CDQH；③EC平分∠BEG；④EG2﹣CH2＝GQ•GD，正确的是（ ）
A．①③B．①③④C．①④D．①②③④
7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，将边AB沿着AE翻折，使点B落在BC上的点D处，再将边AC沿着AF翻折，使得C落在AD延长线上的点C′处，两条折痕与斜边BC分别交于E，F．以下四个结论正确的是（ ）
①∠EAF＝45°；②FC′＝BE；③EC＝3BE；④FC＝(3－1)AE．
A．①②③B．②④C．①③④D．①②③④
8．如图所示，D是等边三角形ABC的边AB上一点，且AD：DB=1：2.现将△ABC折叠，使点C与点D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF等于（ ）.
A．34B．45C．56D．67
9．如图所示，在⊙O中，点C在优弧AB上，将弧BC沿BC折叠后，刚好经过AB的中点D.若⊙O的半径为25，AB=8，则BC的长是（ ）.
A．53B．2552C．62D．1453
10．如图，在矩形ABCD中，将△CDE沿DE折叠，点C与点M重合，连结EM并延长EM分别交BD，AD于点N，F，且BE＝BN，若AB＝6，BC＝8，则AF的长是（ ）
A．5-10B．10-210C．4-10D．8-210
11．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=221，E是BC的中点，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处，连接CF，则CF的长为（ ）
A．8B．425C．172D．9215
12．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，将纸片折叠，点A，D分别落在点A'，D'处，且A'D'经过点B，EF为折痕，当D'F⊥CD时，CFDF的值为（ ）
A．3−12B．36C．23−16D．3+18
二、填空题（每题3分，共18分）
13． 如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，连接BE，将△ABE沿着BE翻折得到△FBE，EF交BC于点H，延长BF，DC相交于点G，若DG=8，BC=12，则EH= ．
14．如图是一张菱形纸片，∠DAB=60°，AB=5，点E在边AD上，且DE=2，点F在AB边上，把△AEF沿直线EF对折，点A的对应点为点A′，当点A′落在菱形对角线上时，则AF= 。
15．如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，将△ABE沿着直线AE翻折得到△AFE，点B的对应点F恰好落在线段DE上，线段AF的延长线交边CD于点G，如果BE：EC＝3：2，那么AF：FG的值等于 ．
16．如图，在扇形AOB中，点C，D在AB上，将D沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F.已知∠AOB=120°，OA=6，则EF的度数为 ，折痕CD的长为 .
17．如图，腰长为22+2的等腰△ABC中，顶角∠A＝45°，D为腰AB上的一个动点，将△ACD沿CD折叠，点A落在点E处，当CE与△ABC的某一条腰垂直时，BD的长为 ．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，AB=3，BC=3，点D是边AC上一动点．连接BD，将△ABD沿BD折叠，得到△EBD，其中点A落在E处，BE交AC于点F，当△EDF为直角三角形时，EF长度是 ．
三、解答题（共2题，共13分）
19．等边△ABC中，BC=4，AH⊥BC于点H，点D为BC边上一动点，连接AD，点B关于直线AD的对称点为点E，连接AE，DE，CE．
（1）如图1，点E恰好落在AH的延长线上，则求∠BCE= °；
（2）过点D作DG∥AC交AB于点G，连接GE交AD于点F．
①如图2，试判断线段AF、EF和CE之间的数量关系，并说明理由：
②如图3，直线GE交AH于点M，连接BM，D点运动的过程中．当BM+GM取最小值时，请直接写出线段DG的长度．
20．如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=4，点E是BC边上一点，连接AE，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，边AF，EF分别交CD于点M，N．
（1）求证：△ADM∽△NCE；
（2）当CE=FM时．
①求BE的长；
②若点P是AB边上的动点，连接PF，过点A作PF的垂线交线段BE于点Q，试探究PFAQ的值是否发生变化，若变化，请说明理由；若不变，请求出PFAQ的值．
四、实践探究题（共4题，共33分）
21．如图，在△ABC中，已知∠BAC =45°，AD⊥BC于点 D，BD=2，DC=3，求AD 的长.
小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.
请按照小萍同学的思路，探究并解答下列问题：
（1）分别以 AB，AC 为对称轴，作出△ABD，△ACD的轴对称图形，点 D 的对称点分别为E，F，延长 EB，FC相交于点G.求证：四边形AEGF 是正方形.
（2）设 AD=x，利用勾股定理，建立关于 x的方程，求出 AD的长.
22．
（1）【初步探究】把矩形纸片ABCD如图①折叠，当点B的对应点B'在MN的中点时，填空：△EB'M △B'AN（“≌”或“∽”）．
（2）【类比探究】
如图②，当点B的对应点B'为MN上的任意一点时，请判断（1）中结论是否成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由．
（3）【问题解决】
在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△BPE沿PE折叠得到△B'PE，连接DE，DB'，当△EB'D为直角三角形时，BP的长为 ．
23．【提出问题】如图1，在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB，AC为边作等边△ABE和等边△ACD，DC与BE相交于点F，连接CE．
（1）【初步探究】如图1，连接DB，求证：△ADB≌△AEC．
（2）【深入探究】如图2，将△ADC沿AC翻折得到△AD'C，连接D'E，BD'，类比(1)的探究方法发现：
结论①：_▲_≌△ABC；
结论②：BD'//CE．
请证明结论②．
（3）如图3、在(2)的情况下将线段AB沿AE翻折得到线段AB'，连接B'D'，AF，试判断线段B'D'与AF的位置关系．
24．
（1）【探究发现】如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交CD边于G点．求证：△BFG≌△BCG
（2）【类比迁移】如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD=8，AB=6，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交BC边于点G，延长BF交CD边于点H，且FH=CH，求AE的长．
（3）【拓展应用】如图③，在菱形ABCD中，AB=6，E为CD边上的三等分点，∠D=60°，将△ADE沿AE翻折得到△AFE，直线EF交BC于点P，求CP的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD沿DE折叠，使点C落在AB边的点F处，
∴∠DFC=∠C=90°，
∴∠DFA+∠BFE=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠DFA=∠BEF，
∴sin∠BEF=sin∠DFA=45，
∴设BF=4x，EF=5x，则BE=3x，CE=FE=5x，
∴AD=BC=8x，
∵sin∠DFA=45，
∴DF=10x，
∵∠DFC=∠C=90°，DE=55，
∴DF2+EF2=DE2，即(10x)2+(5x)2=(55)2，
∴解得：x=1，负值舍去，
∴AD=8x=8，DC=DF=10x=10，
∴矩形ABCD的面积=AD⋅CD=8×10=80．
故选：A．
【分析】根据折叠的性质得到∠DFC=∠C=90°，由矩形的性质可得∠A=∠B=90°，利用同角的余角相等证得∠DFA=∠BEF，进而得到sin∠BEF=sin∠DFA=45，设BF=4x，则EF=5x，BE=3x，CE=FE=5x，故AD=BC=BE+CE=8x，进而得到DF=10x，在直角三角形DEF中，由勾股定理解得x=1，再根据矩形的面积公式计算即可.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：当PK在AD上方时，延长MN、KH交于点Q，
∵∠EFC=53°，AD∥BC，
∴∠AEF=∠EFC=53°，
由折叠知∠K=∠D=90°，∠ENM=∠A=90°，∠AEF=∠FEN=53°，
∴∠AEN=106°，
∵PK∥MN，
∴∠K+∠Q=180°，
∴∠Q=90°，
∴∠ENM=∠Q=90°，
∴EN∥KQ，
∴∠AHQ=∠AEN=106°，
∵∠KHD与∠AHQ是对顶角，
∴∠KHD=∠AHQ=106°；
当PK在AD下方时，延长HK，MN交于点T，
∵∠EFC=53°，AD∥BC，
∴∠AEF=∠EFC=53°，
由折叠得∠HKP=∠D=∠PKT=90°，∠ENM=∠A=90°，∠AEF=∠FEN=53°，
∴∠AEN=106°，
∵PK∥MN，
∴∠PKT=∠T=90°，
∴∠ENM=∠T=90°，
∴EN∥HT，
∴∠AHT=∠AEN=106°，
∴∠KHD=180°-∠AHT=74°，
综上，∠KHD的度数为74°或106°.
故答案为：D.
【分析】①当PK在AD上方时，延长MN、KH交于点Q，由平行线的性质得∠AEF=∠EFC=53°，由折叠知∠K=∠D=90°，∠ENM=∠A=90°，∠AEF=∠FEN=53°，则∠AEN=106°，由二直线平行，同旁内角互补可推出∠ENM=∠Q=90°，由同位角相等，两直线平行得EN∥KQ，进而根据二直线平行，同位角相等得∠AHQ=∠AEN=106°，最后根据对顶角相等可得∠KHD=∠AHQ=106°；当PK在AD下方时，延长HK，MN交于点T，由平行线的性质得∠AEF=∠EFC=53°，由折叠知∠K=∠D=90°，∠ENM=∠A=90°，∠AEF=∠FEN=53°，则∠AEN=106°，由二直线平行，内错角相等可推出∠PKT=∠T=90°，进而得∠ENM=∠T=90°，由同位角相等，两直线平行得EN∥HT，进而根据二直线平行，同位角相等得∠AHQ=∠AEN=106°，最后根据邻补角可得∠KHD=180°-∠AHT=74°，综上即可得出答案.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：∵BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，
∴BC=AD=8，AB=CD=6
∴BD=BC2+CD2=10
故A选项正确；
∵将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，
∴BG=AB=6，DH=CD=6
∴DG=4，BH=BD−HD=4
∴HG=10−BH−DG=10−4−4=2
故B选项正确；
∵EG⊥BD，HF⊥DB，
∴EG∥HF，
故C正确；
设AE=a，则EG=a，
∴ED=AD−AE=8−a，
∵∠EDG=∠ADB
∴tan∠EDG=tan∠ADB
即EGDG=ABAD=68=34
∴a4=34
∴AE=3，同理可得CF=3
若FG∥CD
则CFBF=GDBG
∵CFBF=35，GDBG=46=23，
∴CFBF≠GDBG，
∴FG不平行CD，
即GF不垂直BC，
故D不正确.
故答案为：D.
【分析】由矩形的性质得BC=AD=8，AB=CD=6，用勾股定理算出BD=10，据此可判断A选项；由翻折的性质得BG=AB=6，DH=CD=6，根据线段的和差可得DG=BH=4，HG=2，据此可判断B选项；由翻折可得∠EGB=∠A=∠DHF=∠C=90°，由内错角相等，两直线平行，可得EG∥HF，据此判断C选项；设AE=a，则EG=a，ED=8-a，由∠ADB的正切函数的定义可得EGDG=ABAD=68=34，据此可求出AE的长，同理可得CF的长，若FG∥CD，由平行线分线段成比例定理得CFBF=GDBG，而根据线段的长度可得CFBF≠GDBG，故FG不平行CD，即GF不垂直BC，据此可判断D选项.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：由折叠性质可得：DG=OG=AG，AE=OE=BE，OC=BC，
∠DGF=∠FGO，∠AGE=∠OGE，∠AEG=∠OEG，∠OEC=∠BEC，
∴∠FGE=∠FGO+∠OGE=90°，∠GEC=∠OEG+∠OEC=90°，
∴∠FGE+∠GEC=180°，
∴GF∥CE，①正确；
设AD=2a，AB=2b，
则DG=OG=AG=a，AE=OE=BE=b，
∴CG=OG+OC=3a，
在Rt△AGE中，GE2=AG2+AE2=a2+b2，
在Rt△CGE中，CE2=BE2+CB2=b2+（2a）2，
在Rt△CGE中，CG2=GE2+CE2，
即（3a）2=a2+b2+b2+（2a）2，
解得：b=2a；
∴AB=2AD；②错误；
设OF=DF=x，则CF=2b−x=22a−x，
在Rt△COF中，CF2=OF2+OC2，
∴22a−x2=x2+2a2，
解得：x=22a；
∴6DF=6×22a=3a，22OF=22×22a=2a，
在Rt△AGE中，GE=AG2+AE2=a2+2a2=3a，
∴GE=6DF，OC=22OF；③④正确；
根据题意，无法得出∠FCO=∠GCE，
∴无法判断△COF∽△CEG；⑤错误；
综上，正确的是①③④，
故答案为：B.
【分析】根据折叠前后图形的对应边和对应角相等可推得∠FGE+∠GEC=180°，根据同旁内角互补，两直线平行即可得出GF∥CE，判断①正确，设AD=2a，AB=2b，求得CG=3a，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可求得b=2a，即可求得AB与AD的数量关系，判断②错误，设OF=DF=x，求得CF的值，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方得出x与a的关系式，GE的值，即可判断③④正确，结合题意无法得出△COF∽△CEG；判断⑤错误，即可得出答案.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：∵HE∥CF，
∴∠HEF=∠EFC，
∵∠EFC=∠HFE，
∴∠HEF=∠HFE，
∴HE=HF，
∵FC=FH，
∴HE=CF，
∵EH∥CF，
∴四边形CFHE是平行四边形，
∵CF=FH，
∴四边形CFHE是菱形，故①正确；
∵四边形CFHE是菱形，
∴∠ECH=∠FCH，
若EC平分∠DCH，
∴∠ECD=∠ECH，
∴∠ECD=∠ECH=∠FCH=30°，
∵点C落在AD上的一点H处，
∴∠ECD不一定等于30°
∴EC不一定平分∠DCH，故②错误；
当点H与点A重合时，BF有最小值，
设BF=x，则AF=FC=8−x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，
即42+x2=(8−x)2，解得x=3，
∴BF=3，
若CD落在AD上时，BF有最大值，
∴四边形CDHF是正方形，
∴CF=4，
∴BF最大值为4，
∴3≤BF≤4，故③正确；
如图，过点F作FM⊥BC于M，
∴四边形HMFB是矩形，
∴AB=MF=4，AM=BF=3，
∵四边形AFCE是菱形，
∴AE=AF=5，
∴ME=2，
∴EF=ME2+MF2=25，故④正确，
故答案为：C.
【分析】根据直线平行性质可得∠HEF=∠EFC，根据角之间的关系可得HE=CF，再根据平行四边形判定定理可得四边形CFHE是平行四边形，则CF=FH，再根据菱形判定定理可判断①正确；根据菱形性质及角平分线性质∠ECD=∠ECH=∠FCH=30°，再根据题意可判断②错误；设BF=x，则AF=FC=8−x，在Rt△ABF中，根据勾股定理列出方程，解方程可得BF=3，再根据正方形性质可判断③正确；过点F作FM⊥BC于M，根据矩形性质，勾股定理可判断④正确；
6．【答案】B
【解析】【解答】解：①四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°，
由折叠可知：∠GEP=∠BCD=90°，∠F=∠D=90°，
∴∠BEP+∠AEG=90°，
∴∠A=90°，
∴∠AEG+∠AGE=90°，
∴∠BEP=∠AGE，
∵∠FGQ=∠AGE，
∴∠BEP=∠FGQ，
∵∠B=∠F=90°，
∴△QFG∽△PBE.
故①正确；
②过点C作CN⊥EG于N，
由折叠可得：∠GEC=∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠BEC=∠DCE，
∴∠BEC=∠GEC，
在△NEC和△BEC中，
∠EMC=∠B=90°∠NEC=∠BECCE=CE
∴△NEC≌△BEC(AAS).
∴CN=CB=CD，S△NEC=S△BEC，
在Rt△CNG和Rt△CDG中，
CN=CDCG=CG
∴Rt△CNG≌Rt△CDG(HL)，
∴S△CNG=S△CDG
S△CEG=S△BEC+S△CDG＞S△BEC+S四边形CDQH，
∴②不正确；
③由折叠可得：∠GEC=∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠BEC=∠DCE，
∴∠BEC=∠GEC，
即EC平分∠BEG.
∴③正确；
④连接DH，NH，HE，如图，
∵△BEC≌△NEC，△CNG≌△CDG，
∴∠BCE=∠NCE，∠NCG=∠DCG，
∴∠ECG=∠ECN+∠GCN=12∠BCD=45°，
∵EC⊥HP，
∴∠CHP=45°，
∴∠GHQ=∠CHP=45°，
由折叠可得：∠EHP=∠CHP=45°，
∴EH⊥CG，
∴EG2-EH2=GH2.
由折叠可知：EH=CH.
∴EG2-CH2=GH2，
∵CN⊥EG，EH⊥CG，
∴∠ENC=∠EHC=90°，
∴E，N，H，C四点共圆，
∴∠HNC=∠HEC=45°.
在△CNH和△CDH中，
CN=CD∠NCG=∠DCG，CH=CH
∴△CNH≌△CDH(SAS)，
∴∠CDH=∠CNH=45°，
∵∠CDA=90°，
∴∠GDH=45°，
∵∠GHQ=∠CHP=45°，
∴∠GHQ=∠GDH=45°，
∵∠HGQ=∠DGH，
∴△GHQ∽△GDH，
∴GQGH=GHGD，
∴GH2=GQ⋅GD，
∴GE2-CH2=GQ⋅GD，
∴④正确；
综上可得，正确的结论有：①③④.
故答案为：B.
【分析】①根据有两个角对应相等的两个三角形相似进行判定即可；
②过点C作CN⊥EG于N，通过证明△BEC≌△NEC，进而说明△CNG≌△CDG，可得S△CEG=S△BEC+S△CDG＞S△BEC+S四边形CDQH，可得②不正确；
③由折叠可得：∠GEC=∠DCE，由AB∥CD可得∠BEC=∠DCE，结论③成立；
④连接DH，NH，HE，由△BEC≌△NEC，△CNG≌△CDG可知：∠BCE=∠NCE，∠NCG=∠DCG，所以∠ECG=∠ECN+∠GCN=∠BCD=45°，由于EC⊥HP，则∠CHP=45°，由折叠可得：∠EHP=∠CHP=45°，则EH⊥CG，利用勾股定理可得EG2-EH2=GH2.由CN⊥EG，EH⊥CG，得到∠ENC=∠EHC=90°，所以E，N，H，C四点共圆，所以∠HNC=∠HEC=45°，通过△CNH≌△CDH，可得∠CDH=∠CNH=45°，这样，∠GDH=45°，因为∠GHQ=∠CHP=45°，易证△GHQ∽△GDH，则得GH2= GQ⋅GD，从而说明④成立.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：∵ 将边AB沿着AE翻折，使点B落在BC上的点D处，再将边AC沿着AF翻折，使得C落在AD延长线上的点C′处，
∴∠BAE=∠EAD=12∠BAD，∠CAF=∠DAF=12∠CAD，
∴∠EAF=∠EAD+∠DAF=12（∠BAD+∠CAD）=12∠BAC=12×90°=45°，故①正确；
∵∠BAC=90°，∠C=30°，
∴∠B=60°=∠BDA=∠CDF，∠C'=30°，
∴△ABD是等边三角形，∠C'FD=90°，DF=m，则C'D=2m，C'F=CF=3m，
∴CD=DF+CF=1+3m，
∵∠BDA=60°，∠C=30°，
∴∠DAC=∠C=30°，
∴DC=AD=1+3m=BD
∴BE=DE=12BD=1+32m，而C'F=3m，
∴C'F≠BE，故②错误；
∵CD=1+3m，BE=DE=1+32m，
∴CE=CD+CD=1+32m+1+3m=3+332m=3BE，故③正确；
∵∠BEC=90°，∠C=30°，
∴AE=33CE=33×3+332m=31+32m，
∴3−1AE=3−1×33+12m=3m，
∴FC= (3－1)AE ，故④正确，
综上，正确的有①③④.
故答案为：C.
【分析】由翻折得∠BAE=∠EAD=12∠BAD，∠CAF=∠DAF=12∠CAD，进而根据∠EAF=∠EAD+∠DAF可判断①；由三角形的内角和定理及翻折得∠B=60°=∠BDA=∠CDF，∠C'=30°，则△ABD是等边三角形，∠C'FD=90°，DF=m，则C'D=2m，C'F=CF=3m，进而根据三角形外角性质得∠DAC=∠C=30°，由等边对等角及线段的和差得DC=AD=1+3m=BD，则E=DE=12BD=1+32m，可判断②；由CE=CD+CD算出CE的长，可判断③；由含30°角直角三角形的性质得AE=33CE=31+32m，从而代入 (3－1)AE 算出结果可判断④.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：∵AD∶DB=1∶2，
∴设AD=a，则BD=2a，AB=3a，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=BC=3a，∠A=∠B=∠C=60°，
由折叠得CE=DE，CF=DF，∠C=∠EDF=60°，
∵∠A+∠AED=∠EDF+∠FDB，即60°+∠AED=60°+∠FDB，
∴∠AED=∠FDB，
∴△ADE∽△BFD，
∴EDFD=ADBF=AEBD，
设CE=x，则ED=x，AE=3a-x，
设CF=y，则DF=y，FB=3a-y，
∴xy=a3a−y=3a−x2a，
∴ay=x3a−y2ax=y3a−x，
∴xy=45，即CECF=45.
故答案为：B.
【分析】由已知设AD=a，则BD=2a，AB=3a，由等边三角形性质得AC=AB=BC=3a，∠A=∠B=∠C=60°，由折叠的性质得CE=DE，CF=DF，∠C=∠EDF=60°，根据三角形外角性质及角的和差可推出∠AED=∠FDB，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ADE∽△BFD，由相似三角形对应边成比例得EDFD=ADBF=AEBD，设CE=x，则ED=x，AE=3a-x，CF=y，则DF=y，FB=3a-y，代入比例式可得方程组ay=x3a−y2ax=y3a−x，求解即可得出答案.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于E，
∵D为AB的中点，
∴OD⊥AB，AD=BD=12AB=4，
在Rt△OBD中，OD=252−42=2，
∵将孤BC沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，
∴孤AC和弧CD所在的圆为等圆，
∴弧AC=弧CD，
∴AC=DC，
∴AE=DE=2，
易证四边形ODEF为正方形，
∴OF=EF=2 ，
在Rt△OCF中，CF=252−22=4
∴CE=CF+EF=4+2=6， 而BE=BD+DE=4+2=6，BC=62.
故答案为：C.
【分析】连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于E，如图，利用垂径定理得到OD⊥AB，AD=BD=12AB=4，在Rt△OBD中，根据勾股定理可计算出OD=2，再利用折叠的性质可判断弧AC和弧CD所在的圆为等圆，则根据圆周角定得到AC=CD，所以AC=DC，利用等腰三角形的性质得AE=DE=2，接着证明四边形ODEF为正方形得到OF=EF=2，然后计算出CF后得到CE=BE=6，由勾股定理可得到BC的长.
10．【答案】D
【解析】【解答】解：∵ 在矩形ABCD中，将△CDE沿DE折叠，点C与点M重合，
∴DM=CD=6，ME=CE，∠DEC=∠MED，∠DME=∠C=90°，AD∥BC，BD=62+82=10，
∴∠FDE=∠DEC，∠DFE=∠BEN，
∴∠FDE=∠DEF，
∴DF=EF，
∵BE＝BN，
∴∠BEN=∠BNE，
∵∠BNE=∠FND，
∴∠FND=∠DFN，
∴DF=DN=EF，
设CE=EM=x，则BE=EN=8-x，EF=DN=BD-BN=2+x，
∴MF=EF-ME=2+x-x=2，
∴在Rt△DMF中，DF=DM2+MF2=210，
∴AF=AD-DF=8-210，
故答案为：D.
【分析】由矩形的性质及旋转可得DM=CD=6，ME=CE，∠DEC=∠MED，∠DME=∠C=90°，AD∥BC，BD=62+82=10，结合平行线的性质可推出∠FDE=∠DEF，可得DF=EF， 由BE＝BN，∠BNE=∠FND，可得∠FND=∠DFN，从而得出DF=DN=EF，设CE=EM=x，则BE=EN=8-x，EF=DN=BD-BN=2+x，从而可得MF=EF-ME=2+x-x=2，在Rt△DMF中，由勾股定理求出DF的长，利用AF=AD-DF即可求解.
11．【答案】B
【解析】【解答】解：过点E作EG⊥CF于点G，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=90°.
∵AB=2，BC=221，点E是BC的中点，
∴BE=CE=21，
∴AE=AB2+BE2=5.
由折叠可得∠AEB=∠AEF=12∠BEF，BE=EF，
∴CE=EF.
∵EG⊥CF，
∴∠CEG=∠FEG=12∠CEF，CG=FG，
∴∠AEB+∠CEG=12∠BEF+12∠CEF=12(∠BEF+∠CEF)=90°.
∵∠ECG+∠CEG=90°，
∴∠AEB=∠ECG.
∵∠B=∠CGE=90°，
∴△ABE∽△EGC，
∴AECE=BECG，
∴521=21CG，
∴CG=215，
∴CF=2CG=425.
故答案为：B.
【分析】过点E作EG⊥CF于点G，根据矩形的性质可得∠B=90°，由中点的概念可得BE=CE=21，利用勾股定理可得AE的值，由折叠可得∠AEB=∠AEF=12∠BEF，BE=EF，则CE=EF，结合等腰三角形的性质可得∠CEG=∠FEG=12∠CEF，CG=FG，则∠AEB+∠CEG=12(∠BEF+∠CEF)=90°，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△ABE∽△EGC，根据相似三角形的性质可得CG，进而可得CF.
12．【答案】A
【解析】【解答】解：延长DC和A'D'，两延长线相交于点G，
∵菱形ABCD，∠A＝60°，
∴∠A＝∠DCB＝60°，AB＝BC＝DC
∴∠BCG＝180°－60°＝120°，
∵将纸片折叠，点A，D分别落在点A'，D'处，且A'D'经过点B，EF为折痕，
∴∠D＝∠A'D'F＝120°，DF＝D'F
∵D'F⊥DC，
∴∠D'FG＝90°，
∴∠G＝90°－60°＝30°
∴∠CBG＝180°－∠G－∠BCG＝180°－30°－120°＝30°
∴∠CBG＝∠G
∴BC＝CG，
设CF＝x，DF＝y，则DC＝CG＝x＋y
∴FG＝2x＋y，
在Rt△D'FG中，
tan∠G=D'FFG
∴tan30°=y2x+y=33
∴x=3−12y
∴CFDF=xy=3−12yy=3−12.
故答案为：A.
【分析】延长DC和A'D'，两延长线相交于点G，由菱形的性质可得∠A＝∠DCB＝60°，AB＝BC＝DC，利用邻补角的定义可得∠BCG＝120°，由折叠的性质可得∠D＝∠A'D'F＝120°，DF＝D'F，易求∠CBG＝∠G，可得BC＝CG，设CF＝x，DF＝y，则DC＝CG＝x＋y，FG＝2x＋y，在Rt△D'FG中，由tan∠G=D'FFG可求出x=3−12y，从而求出CFDF=xy的值.
13．【答案】2116
【解析】【解答】解：如图，连接EG，
，
∵E是AD的中点，
∴DE=AE，
由折叠的性质可得：AE=EF，∠A=∠BFE，∠AEB=∠BEH，
∴DE=AE=EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=∠BFE=90°，AD∥BC，
∵EG=EG，
∴Rt△EFG≌Rt△EDG(HL)，
∴FG=DG=8，
设DC=x，则CG=8−x，BG=x+8，
在Rt△BCG中，BG2=CG2+BC2，即(x+8)2=122+(8−x)2，
解得：x=92，
∴DC=AB=BF=92，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBH，
∴∠EBH=∠BEH，
∴HB=HE，
设FH=m，则HB=HE=AE−m=6−m，
在Rt△BFH中，HB2=BF2+HF2，
∴(6−m)2=(92)2+m2，
解得：m=2116，
∴FH=2116，
故答案为：2116．
【分析】连接EG，由折叠的性质可得AE=EF，∠A=∠BFE，∠AEB=∠BEH，得出DE=AE=EF，然后证明Rt△EFG≌Rt△EDG(HL)，可得FG=DG=8，设DC=x，则CG=8−x，BG=x+8，利用勾股定理构建方程，求出DC=AB=BF=92，设FH=m，则HB=HE=AE−m=6−m，再次利用勾股定理构建方程求解即可．
14．【答案】12−362或3
【解析】【解答】解：由题意可分两种情况讨论：
①当点A´落在菱形的对角线BD上时，如图：
在菱形ABCD中，∠A=60°，AD=AB=5，
∴∠ADC=∠ABC=120°，
∴∠ADB=∠ABD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=5，
由折叠的性质可得：∠FA´E=60°，FA´=FA，A´E=AE，
∴∠DA´E+∠BA´F=120°，
∵∠DEA´+∠DA´E=120°，
∴∠DEA=∠BA´F，
∴△DEA∽△BA´F，
∴DEA'B=A'EA'F=A'DBF，
设A´F=AF=x，
∵DE=2，
∴AE=A´E=5-2=3，
∴2A'B=3x，3x=A'D5−x，
∴A´B=23x，
∴3x=5−23x5−x，解得：x=6＋6(舍去）或x=6-6，
∴AF=6-6；
②当点A´落在菱形的对角线BD上时，如图：
在菱形ABCD中，∠DAB=60°，
∴∠DAC=∠BAC=30°，
由折叠的性质可得：∠A´EF=∠AEF，A´E=AE，
∴∠A´AE=∠EA´A=30°，
∴∠AEA´=120°，
∴∠AEF=60°，
∴∠AFE=180°-60°-60°=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AF=AE=5-2=3，
综上可得，AF的长为6-6或3.
故答案为：6-6或3.
【分析】由题意可分两种情况讨论：①当点A´落在菱形的对角线BD上时，根据菱形的性质可证△DEA∽△BA´F，于是可得比例式DEA'B=A'EA'F=A'DBF可求解；②当点A´落在菱形的对角线BD上时，根据菱形的性质和折叠的性质可求解.
15．【答案】214
【解析】【解答】解：延长AG、BC交于点H，如图，
∵BE：EC＝3：2，
∴可设BE=3a，EC=2a，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=5a，AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
由折叠的性质可得∠AEB=∠AEF，BE=BF=3a，
∴AD=DE=5a，
∴DF=2a，
∵AD∥BC，
∴△ADF~△HEF,
∴ADEH=DFEF=AFHF,
∴5aEH=23=AFHF,
∴EH=15a2，AF=23HF,
∴CH=HE−CE=112a，
∵AD∥BC，
∴△ADG~△HCG,
∴ADCH=AGHG,
∴ADCH=AGHG=5a112a=1011,
设AG=10b，GH=11b，
∴AH=21b，
∴AF=21b5×2=425b，
∴FG=AG−AF=85b，
∴AFFG=214,
故答案为：214.
【分析】延长AG、BC交于点H，设BE=3a，EC=2a，利用平行四边形的性质得到AD=DE=5a，根据AD∥BC和折叠的性质得到∠AEB=∠AEF，BE=BF=3a，再证明△ADF~△HEF,△ADG~△HCG,求出AF=425b，最后根据FG=AG−AF，即可求解.
16．【答案】60°；46
【解析】【解答】解：设折叠后弧的圆心为O'，连接O'E，O'F，OO'，O'C，OO'交CD于点H，
∴OO'⊥CD，CH=DH，O'C=OA=6，
∵ 将CD沿CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F.
∴∠O'EO=∠O'FO=90°，
∵∠AOB=120°，
∴∠EO'F=60°，∠OO'C=60°，则 EF的度数为 60°，
∵EO'⊥OA，EO'=6，∠EO'O=30°，
∴OO'=43，
∴O'H=23，
∴CH=O'C2−O'H2=26
∴CD=2CH=46.
故答案为： 60°，46.
【分析】设折叠后弧的圆心为O'，连接O'E，O'F，OO'，O'C，OO'交CD于点H，求出∠EO'F的度数，即得 EF的度数，根据切线的性质可求EO'⊥OA，∠EO'O=30°，从而求出OO'的长，再利用对称性质及勾股定理求出O'H，CH的长，由CD=2CH即得结论.
17．【答案】2或22
【解析】【解答】解：当CE⊥AB 时，如图，
设垂足为M，在Rt△AMC中，∠A＝45°，
由折叠得：∠ACD＝∠DCE＝22.5°，
∵等腰△ABC中，顶角∠A＝45°，
∴∠B＝∠ACB＝67.5°，
∴∠BCM＝22.5°，
∴∠BCM＝∠DCM，
在△BCM和△DCM中，
∠BMC=∠DMC=90°CM=CM∠BCM=∠DCM，
∴△BCM≌△DCM（ASA），
∴BM＝DM，
由折叠得：∠E＝∠A＝45°，AD＝DE，
∴△MDE是等腰直角三角形，
∴DM＝EM，
设DM＝x，则BM＝x，DE=2x，
∴AD=2x．
∵AB＝22+2，
∴2x+2x＝22+2，解得：x=2，
∴BD＝2x＝22；
当CE⊥AC时，如图，
∴∠ACE＝90°，
由折叠得：∠ACD＝∠DCE＝45°，
∵等腰△ABC中，顶角∠A＝45°，
∴∠E＝∠A＝45°，AD＝DE，
∴∠ADC＝∠EDC＝90°，即点D、E都在直线AB上，且△ADC、△DEC、△ACE都是等腰直角三角形，
∵AB＝AC＝＝22+2，
∴AD=22AC＝2+2，
BD＝AB﹣AD＝（22+2）﹣（2+2）=2，
综上，BD的长为2或22．
故答案为：2或22．
【分析】本题分两种情况讨论，当CE⊥AB 时，当CE⊥AC时，根据折叠的性质，等腰直角三角形的性质与判定，以及全等三角形的判定与性质，等量代换，找到与BD有关的边，列式求解.
18．【答案】3−3或32
【解析】【解答】 解：∵∠ABC=90°，∠A=30°，AB=3，BC=3，
∴∠C=60°，
由折叠可知：∠E=∠A=30°，BE=AB=3，
当∠EDF=90°时，可得∠BFC=∠DFE=60°，
又∵∠C=60°，
∴△BCF是等边三角形，
∴BF=BC=3，
∴EF=BE−BF=3−3；
当∠DFE=90°时，∠BFA=90°，（平角的定义）
∵∠A=30°，AB=3，
∴BF=12AB=32，
∴EF=BE−BF=3−32=32；
综上可得：EF的长度为 3−3或32 .
故答案为：3−3或32 .
【分析】先根据折叠的性质得∠E=∠A=30°，BE=AB=3，再分两种情况讨论，当∠EDF=90°时，根据三角形内角和定理和对顶角相等可证△BCF是等边三角形，即可得到BF的长，再由线段的和差即可求解；当∠DFE=90°时，利用直角三角形BFA中，30°所对的边等于斜边的一半可得BF=12AB=32，再由线段的和差即可求解.
19．【答案】（1）15
（2）解：①AF=CE+EF；
理由如下：
如图，延长CE，AD交于点N；
设∠BAD=α，
由折叠性质得：∠EAD=∠BAD=α，AB=AE，GD=ED，∠AED=∠B=60°；
∴∠CAE=60°−2α，∠BAE=2α；
∵AB=AC=AE，
∴∠ACE=∠AEC=12(180°−∠CAE)=60°+α，∠DCE=∠ACE−∠ACB=α，
∵DG∥AC，
∴∠GDB=∠ACB=60°，∠BGD=∠BAC=60°，
∴∠AGD=∠GDC=180°−60°=120°，
∵∠AGD+∠AED=180°，
∴∠GDE+∠GAE=180°，
∴∠GDE=180°−∠BAE=180°−2α，
∴DG=DE，
∴∠DGE=∠DEG=α，
∴∠AEG=∠AED−∠DEG=60°−α，
∴∠CEG=∠AEC+∠AEG=60°+α+60°−α=120°，
∴∠FEN=60°；
∵∠EFN=∠EAD+∠AEG=α+60°−α=60°，
∴∠FEN=∠EFN=60°，
∴△EFN为等边三角形，
∴EF=EN，∠N=∠EFN=∠AFG=60°；
∵∠GDB=∠BGD=60°，
∴△BDG是等边三角形，
∴BD=BG，
∵AB=AC，
∴AG=CD，
∵∠GAF=∠DCN=α，∠N=∠AFG=60°
∴△AGF≌△CDN(AAS)，
∴AF=CN，
∴AF=CE+NE=CE+EF．
②DG=2．
【解析】【解答】解：（1）解：∵△ABC是等边三角形，AH⊥BC，
∴AB=AC，∠ACB=∠BAC=60°，∠CAH=12∠BAC=30°；
由折叠性质得：AB=AE；
∴AE=AC，
∴∠ACE=12(180°−∠CAH)=75°，
∴∠BCE=∠ACE−∠ACB=75°−60°=15°；
故答案为：15；
（2）解：①AF=CE+EF；
理由如下：
如图，延长CE，AD交于点N；
设∠BAD=α，
由折叠性质得：∠EAD=∠BAD=α，AB=AE，GD=ED，∠AED=∠B=60°；
∴∠CAE=60°−2α，∠BAE=2α；
∵AB=AC=AE，
∴∠ACE=∠AEC=12(180°−∠CAE)=60°+α，∠DCE=∠ACE−∠ACB=α，
∵DG∥AC，
∴∠GDB=∠ACB=60°，∠BGD=∠BAC=60°，
∴∠AGD=∠GDC=180°−60°=120°，
∵∠AGD+∠AED=180°，
∴∠GDE+∠GAE=180°，
∴∠GDE=180°−∠BAE=180°−2α，
∴DG=DE，
∴∠DGE=∠DEG=α，
∴∠AEG=∠AED−∠DEG=60°−α，
∴∠CEG=∠AEC+∠AEG=60°+α+60°−α=120°，
∴∠FEN=60°；
∵∠EFN=∠EAD+∠AEG=α+60°−α=60°，
∴∠FEN=∠EFN=60°，
∴△EFN为等边三角形，
∴EF=EN，∠N=∠EFN=∠AFG=60°；
∵∠GDB=∠BGD=60°，
∴△BDG是等边三角形，
∴BD=BG，
∵AB=AC，
∴AG=CD，
∵∠GAF=∠DCN=α，∠N=∠AFG=60°
∴△AGF≌△CDN(AAS)，
∴AF=CN，
∴AF=CE+NE=CE+EF．
②如图，连接CM，取AB中点P，连接CP，
∵△ABC是等边三角形，
∴CP⊥AB，AC=BC=4；
∵AH⊥BC，BH=CH，
∴BM=CM，
∴BM+GM=CM+GM≥PC，
当C、M、G三点共线且与CP重合时，BM+GM最短，此时点D与H点重合，点G与点P重合，
∵P、H分别是AB，BC的中点，
∴DG=12AC=2．
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，最短距离，线段垂直平分线的性质．
（1）由折叠的性质AB=AE、由等边三角形的性质可推出：AB=AC，∠ACB=∠BAC=60°，∠CAH=30°， 再利用等腰三角形的性质可得：∠ACE=75°，利用角的运算可求出答案；
（2）①延长CE，AD交于点N；利用角的运算可求出∴∠FEN=60°；∠FEN=∠EFN=60°，
进而证明△EFN为等边三角形；再结合已知条件∠GDB=∠BGD=60°，可证明△BDG是等边三角形，利用等边三角形的性质可得：BD=BG，进而证明△AGF≌△CDN，利用全等三角形的性质可得AF=CN，利用线段的运算可得线段AF、EF和CE之间的数量关系；
②连接CM，取AB中点P，连接CP，观察图形可知当C、M、G三点共线且与CP重合时，BM+GM最短，此时点D与H点重合，利用线段中点的定义可求出DG长度．
20．【答案】（1）证明：∵矩形ABCD，
∴AB=CD=5，BC=AD=4，∠B=∠C=∠D=90°，
∵折叠，
∴△ABE≌△AFE，
∴∠F=∠B=90°，FE=BE，AB=AF，
∴∠AMD+∠DAM=∠FMN+∠FNM=90°，
又∠AMD=∠NMF，
∴∠DAM=∠FNM=∠CNE，
又∠C=∠D，
∴△ADM∽△NCE；
（2）解：①∵CE=FM，∠C=∠F=90°，∠FNM=∠CNE，
∴△FNM≌△CNE，
∴FN=CN，MN=EN，
∴FN+EN=CN+MN，即FE=CM=BE，
设CE=x，则BE=4−x，AM=5−x，DM=DC−CM=x+1，
在Rt△ADM中，AD2+DM2=AM2，
∴42+(x+1)2=(5−x)2，
解得x=23，
∴BE=BC−CE=103；
②PFAQ的值不变，值为1213．
理由：连接FQ，BF交AE于点O，过F作FH⊥AB于H，
∵折叠，
∴BO=FO，BF⊥AE，
∵∠ABE=90°，AB=5，BE=103，
∴AE=AB2+BE2=5313，
∴BO=AB⋅BEAE=101313，
∴BF=2BO=201313，
∵BF⊥AE，∠ABE=90°，
∴∠FBH=90°−∠OBE=∠AEB，
又∠FHB=∠ABE=90°，
∴△FBH∽△AEB，
∴FHAB=FBAE，即FH5=2013135313，
解得FH=6013，
∵FP⊥AQ，∠ABC=90°，
∴∠APF=90°−∠BAQ=∠AQB，
又∠FHP=∠ABQ=90°，
∴△FHP∽△ABQ，
∴FPAQ=FHAB=60135=1213．
【解析】【分析】(1)先证明∠DAM=∠CNE，再结合∠D=∠C=90°，根据两角对就相等的三角形相似即可证明结论.
(2)①根据AAS证明△CNE≌△FNM，得到CN=FN，EN=MN，CE=x，则BE=4-x，AM=5-x，DM=x+1，在Rt△ADM中根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可求解.
②PFAQ的值不变.连接FQ，BF交AE于点O，过点F作FH⊥AB，垂足为点H，证明△AOB∽△ABE，求出BF，证明△FBH∽△AEB，求出FH，证明△FHP∽△ABQ，得FPAQ=FHAB，从而求解.
21．【答案】（1）证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，∴∠DAB＝∠EAB，∠DAC＝∠FAC．
又∵∠BAC＝45°，
∴∠EAF＝2∠BAD+2∠DAC＝2∠BAC＝90°．
又∵AD⊥BC，
∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°．
∴四边形AEGF是矩形．
又∵AE＝AD，AF＝AD，
∴AE＝AF，
∴四边形AEGF是正方形；
（2）解：设AD＝x，则AE＝EG＝GF＝x．
∵BD＝2，DC＝3，
∴BE＝2，CF＝3，
∴BG＝x﹣2，CG＝x﹣3．
在Rt△BGC中，BG2+CG2＝BC2，
∴（x﹣2）2+（x﹣3）2＝52，
解得x1＝6，x2＝﹣1（舍去），
∴AD＝6．
【解析】【分析】（1）先根据△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF＝90°；从而可证明四边形AEGF是矩形，然后再根据轴对称的性质得到AE＝AF，即可证明四边形AEGF是正方形；
（2）在Rt△BGC中，利用勾股定理可得BG2+CG2＝BC2，然后建立关于x的方程（x﹣2）2+（x﹣3）2＝52，解方程可求得AD＝x＝6即可解答．
22．【答案】（1）∽
（2）解：（1）中结论成立，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵矩形纸片ABCD如图①折叠，
∴∠EB'A=∠B=90°，
∴∠EB'M=90°−∠AB'N=∠B'AN，
∵∠EMB'=90°=∠B'NA，
∴△EB'M∽△B'AN；
（3）94或1
23．【答案】（1）证明：∵△ACD和△ABE是等边三角形，
∴AD=AC，AB=AE，∠CAD=∠BAE=60°，
∴∠CAD−∠BAC=∠BAE−∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ADB≌△AEC(SAS)；
（2）解：①∵△ACD是等边三角形，△ADC沿AC翻折得到△AD'C，
∴△AD'C是等边三角形，
同理(1)可知：△AED'≌△ABC(SAS)，
故答案为：△AED'；
②证明：如图，
作AW⊥CE，交BD'于V，
∵△ABE是等边三角形，
∴AB=AE，
∵AB=AC，
∴AC=AE，
∴∠CAW=∠EAW，
由①知：△AED'≌△ABC，
∴AB=AD'，∠BAC=∠EAD'，
∴∠BAC+∠CAW=∠EAD'+∠EAW，
∴∠BAW=∠D'AW，
∴AV⊥BD'，
∴BD'//CE；
（3）解：B'D'//AF，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵△ACD和△ABE是等边三角形，
∴∠ABE=∠ACD=60°，
∴∠ABC−∠ABE=∠ACB−∠ABE，
∴∠CBF=∠BCF，
∴BF=CF，
∵AB=AC，AF=AF，
∴△ABF≌△ACF(SSS)，
∴∠BAF=∠CAF，
设∠BAF=∠CAF=α，
∴∠FAD'=∠CAF+∠CAD=α+60°，
∵线段AB沿AE翻折得到线段AB'，
∴∠EAB'=∠BAE=60°，
∵∠EAD'=BAC=2α，
∴∠B'AD'=∠EAB'−∠EAD'=60°−2α，
∵AB'=AB=AC=AD=AD'，
∴∠AD'B'=∠AB'D'=180°−∠B'AD'2=60°+α，
∴∠AD'B'=∠FAD'，
∴B'D'//AF．
【解析】【分析】(1)根据 △ACD和△ABE是等边三角形，得AD=AC，AB=AE，∠CAD=∠BAE=60°，利用SAS可得解；
（2）①△AED'≌△ABC，由翻折性质得△AED'≌△ABC(SAS).
②作AW⊥CE，交BD'于V， 由等边三角形的性质得 ∠CAW=∠EAW，由①得△AED'≌△ABC，从而证得∠BAW=∠D'AW，因此AV⊥BD'，从而得证；
（3）结合等边三角形的性质，利用SSS得△ABF≌△ACF，因此∠BAF=∠CAF，设∠BAF=∠CAF=α，AB'=AB=AC=AD=AD'，得∠AD'B'=∠AB'D'=180°−∠B'AD'2=60°+α，根据内错角相等，两直线平行可得证.
24．【答案】（1）解：∵将ΔAEB沿BE翻折到ΔBEF处，四边形ABCD是正方形，
∴AB=BF，∠BFE=∠A=90°，
∴∠BFG=90°=∠C，
∵AB=BC=BF，BG=BG，
∴Rt△BFG≌Rt△BCG(HL)
（2）解：延长BH，AD交于Q，如图：
设FH=HC=x，
在Rt△BCH中，BC2+CH2=BH2，
∴82+x2=(6+x)2，
解得x=73，
∴DH=DC−HC=113，
∵∠BFG=∠BCH=90°，∠HBC=∠FBG，
∴ΔBFG∽ΔBCH，
∴BFBC=BGBH=FGHC，即68=BG6+73=FG73，
∴BG=254，FG=74，
∵EQ//GB，DQ//CB，
∴ΔEFQ∽ΔGFB，ΔDHQ∽ΔCHB，
∴BCDQ=CHDH，即8DQ=736−73，
∴DQ=887，
设AE=EF=m，则DE=8−m，
∴EQ=DE+DQ=8−m+887=1447−m，
∵ΔEFQ∽ΔGFB，
∴EQBG=EFFG，即1447−m254=m74，
解得m=92，
∴AE的长为92；
（3）解：（Ⅰ）当DE=13DC=2时，延长FE交AD于Q，过Q作QH⊥CD于H，如图：
设DQ=x，QE=y，则AQ=6−x，
∵CP//DQ，
∴ΔCPE∽ΔQDE，
∴CPDQ=CEDE=2，
∴CP=2x，
∵ΔADE沿AE翻折得到ΔAFE，
∴EF=DE=2，AF=AD=6，∠QAE=∠FAE，
∴AE是ΔAQF的角平分线，
∴AQAF=QEEF，即6−x6=y2①，
∵∠D=60°，
∴DH=12DQ=12x，HE=DE−DH=2−12x，HQ=3DH=32x，
在Rt△HQE中，HE2+HQ2=EQ2，
∴(1−12x)2+(32x)2=y2②，
联立①②可解得x=34，
∴CP=2x=32；
（Ⅱ）当CE=13DC=2时，延长FE交AD延长线于Q'，过D作DN⊥AB交BA延长线于N，如图：
同理∠Q'AE=∠EAF，
∴AQ'AF=Q'EEF，即6+x6=y4，
由HQ'2+HD2=Q'D2得：(32x)2+(12x+4)2=y2，
可解得x=125，
∴CP=12x=65，
综上所述，CP的长为32或65．
【解析】【分析】（1）根据翻折性质，利用HL可证得 △BFG≌△BCG；
（2） 延长BH，AD交于Q，如图：设FH=HC=x，在直角三角形BCH中，根据勾股定理可求得方程82+x2=(6+x)2， 即可求得x的值，进一步得出DH的值，然后再根据 ΔBFG∽ΔBCH， 可求得BG和FG的长度，然后根据△DHQ∽△CHB，即可得出DQ的长度， 设AE=EF=m，则DE=8−m， 即可得出EQ=DE+DQ，然后再根据 ΔEFQ∽ΔGFB，可得EQBG=EFFG，即1447−m254=m74，解得m=92，即可得出答案；
（3）分两种情况进行讨论：①当DE=13DC=2时， 延长FE交AD于Q，过Q作QH⊥CD于H，如图，设DQ=x，QE=y，则AQ=6−x ，利用相似三角形的性质，可得CP=2x，由翻折性质得到∠QAE=∠FAE， 根据角平分线的性质可得： AQAF=QEEF，即6−x6=y2①，在Rt△HQE中，HE2+HQ2=EQ2，(1−12x)2+(32x)2=y2②，解方程组，即可求得CP的长度；
②当当DE=23DC=2时，延长FE交AD延长线于Q'，过D作DN⊥AB交BA延长线于N，如图，同①可得 AQ'AF=Q'EEF，即6+x6=y4， 由HQ'2+HD2=Q'D2得：(32x)2+(12x+4)2=y2 ，解方程组可得x的值，进一步求出CP=12x，即可得出CP的值。