广东省揭阳市揭东区2023_2024学年高一数学上学期期中试题含解析

这是一份广东省揭阳市揭东区2023_2024学年高一数学上学期期中试题含解析，共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题目要求）
1. 设集合，，则（）
A. B.
C. D.
2. 已知函数，则（）
A. -3B. 2C. 10D. 5
3. 命题：“，”否定是（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
4. 下列函数中与函数相等的函数是（）
A. B. C. D.
5. “”是“是幂函数”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 已知函数的定义域为，则的定义域为（）
A. B.
C. D.
7. 设，，，则（）
AB. C. D.
8. 已知，，且，若不等式恒成立，则a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错得0分）
9. 下列函数中是偶函数，且在区间上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知关于x的不等式的解集为，则（）
A.
B.
C. 不等式的解集为
D. 不等式的解集为
11. 德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数称为狄利克雷函数，则关于函数f(x)有（ ）
A. f(f(x))＝1B. 函数=f(x)的图象是两条直线
C. >f(1)D. x∈R，都有f(1－x)＝f(1＋x)
12. 若函数在R上满足对任意都有成立，则实数b的值可以为（）
A. 0B. -1C. -2D.
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13. 当时，函数的最大值为______．
14. 函数单调递增区间为__________.
15. 已知定义在上的函数满足，，则__________.
16. 设函数为奇函数，且，则__________．
四、解答题（共6小题，共70分）
17. 已知全集，集合，集合.求：
（1）；
（2）
18. 实数a，b满足，.
（1）求实数a，b取值范围；
（2）求的取值范围.
19. 已知函数，点，是图象上的两点.
（1）求a，b的值；
（2）根据定义判断并证明函数的奇偶性.
20. 已知函数.
（1）当时，求函数的零点；
（2）当时，求不等式的的解集.
21. 为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为.设直角梯形的高为.
（1）当时，求海报纸的面积；
（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？
22. 函数是定义在实数集R上的奇函数，当时，.
（1）判断函数在的单调性，并给出证明：
（2）求函数的解析式；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围.
2023-2024学年度第一学期期中教学质量监测
高一级数学科试题
温馨提示：请将答案写在答题卡上，考试时间为120分钟.满分150分
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题目要求）
1. 设集合，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接用交集的定义即可.
【详解】因为，，所以，
故选：D.
2. 已知函数，则（）
A. -3B. 2C. 10D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意对分段函数，先求出，然后再求的值，从而可求解.
【详解】由题意知：当时，，
所以：，故C项正确.
故选C
3. 命题：“，”的否定是（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定求解.
【详解】命题：“，”的否定是，，
故选：C.
4. 下列函数中与函数相等的函数是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据相等函数的要求一一判定即可.
【详解】两函数若相等，则需其定义域与对应关系均相等，易知函数的定义域为R，
对于函数，其定义域为，对于函数，其定义域为，
显然定义域不同，故A、D错误；
对于函数，定义域为R，符合相等函数的要求，即B正确；
对于函数，对应关系不同，即C错误.
故选：B
5. “”是“是幂函数”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】运用幂函数定义及集合包含关系即可求得结果.
【详解】因为是幂函数，
所以，解得或，
故“”是“是幂函数”充分不必要条件.
故选：A.
6. 已知函数的定义域为，则的定义域为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】定义域是的范围，分清定义域是关键；或简化为括号内取值范围一样.
【详解】已知函数的定义域为，
所以对有，
所以，
故选：A
7. 设，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由指数运算得出，再由幂函数的单调性得出大小关系.
【详解】因为，所以，又函数在上单调递增，所以.
故选：B
8. 已知，，且，若不等式恒成立，则a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】确定，变换，展开利用均值不等式计算最值得到答案.
【详解】，故，，
，，故，
当且仅当，即时取等号，故，
最小值是16，由不等式恒成立可得.
a的取值范围是，
故选：B.
二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错得0分）
9. 下列函数中是偶函数，且在区间上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性的定义判断奇偶性，根据函数解析式判断单调性.
【详解】A，因为，是偶函数，在区间上为增函数，符合题意；
B，因为，是奇函数，且在区间上为减函数，不符合题意；
C，因为，是偶函数，当时，单调递减，不符合题意；
D，因为，是偶函数，且在区间上为增函数，符合题意.
故选：AD
10. 已知关于x的不等式的解集为，则（）
A.
B.
C. 不等式的解集为
D. 不等式的解集为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解与二次方程的根之间的关系可得，即可结合选项逐一求解.
【详解】由于不等式的解集为，
所以和是的两个实数根，
所以，故，
，故AB正确，
对于C,不等式为，故，故C错误，
对于D, 不等式可变形为，
解得，故D正确，
故选：ABD
11. 德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数称为狄利克雷函数，则关于函数f(x)有（ ）
A. f(f(x))＝1B. 函数=f(x)的图象是两条直线
C. >f(1)D. x∈R，都有f(1－x)＝f(1＋x)
【答案】AD
【解析】
【分析】
利用题中的定义，直接分析求解即可
【详解】对于A，当为有理数时，，所以，，当为无理数时，，，所以，A正确；
对于B，明显地，函数=f(x)的图象是断续的点集，不是两条直线，B错误；
对于C，，，所以，，C错误；
对于D，明显地，定义域为，且，所以，为偶函数，若是有理数，则也是有理数；若是无理数，则也是无理数；所以，根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数，对恒成立，取，则有，所以，x∈R，都有f(1－x)＝f(1＋x)，所以，D正确
故选：AD
【点睛】关键点睛：利用题中的新定义，进行代值和求出单调性以及周期，然后逐个判断选项，属于基础题
12. 若函数在R上满足对任意都有成立，则实数b的值可以为（）
A. 0B. -1C. -2D.
【答案】CD
【解析】
【分析】首先由任意都有成立可判断该分段函数在R上为单调递减函数，再结合单调性知识求解即可.
【详解】因为函数在满足对任意都有成立，
所以函数在R上为单调减函数，
所以，解得，由选项可知，b可以为-2，.
故选：CD.
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13. 当时，函数的最大值为______．
【答案】8
【解析】
【分析】对函数配方后，利用二次函数的性质求解即可.
【详解】，对称性为，
因为，
所以当时，函数的最大值为，
故答案为：8
14. 函数的单调递增区间为__________.
【答案】和
【解析】
【分析】画函数图像，再根据图像得出结果.
【详解】函数，开口向上与轴的两个交点
对称轴为，
图像如下
所以函数单调递增区间为
故答案为：
15. 已知定义在上的函数满足，，则__________.
【答案】1
【解析】
【分析】当时，，当时，，解得答案.
【详解】定义在上函数满足，，
当时，；当时，，解得.
故答案为：
16. 设函数为奇函数，且，则__________．
【答案】27
【解析】
【分析】根据奇函数的定义求解即可.
【详解】因为，所以，
因为为奇函数，所以，则，
所以，
故答案为: .
四、解答题（共6小题，共70分）
17. 已知全集，集合，集合.求：
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用交集概念及运算即可得到结果；
（2）先求交集，进而求补集即可.
【小问1详解】
∵集合，集合.
∴；
【小问2详解】
∵集合，集合.
∴，
∴.
18. 实数a，b满足，.
（1）求实数a，b的取值范围；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）应用不等式性质线性运算可得；
（2）用已知式子表示所求式子结合不等式性质线性运算即可.
【小问1详解】
∵，
∴，.
【小问2详解】
，
因为，所以，
又，所以，
所以.
19. 已知函数，点，是图象上的两点.
（1）求a，b的值；
（2）根据定义判断并证明函数的奇偶性.
【答案】（1），
（2）为奇函数，证明见解析
【解析】
分析】（1）将两点坐标代入函数解析式，列出方程组，求解即可得出答案；
（2）先求出函数的定义域，然后求出的表达式，即可得出答案.
【小问1详解】
因为点，是图象上的两点，
所以，解得.
所以函数.
【小问2详解】
函数为奇函数，理由如下：
由（1）知：函数，
由，得且，
所以函数的定义域为，关于原点对称.
且对任意，
都有，
所以函数为奇函数.
20. 已知函数.
（1）当时，求函数的零点；
（2）当时，求不等式的的解集.
【答案】（1）2或3 （2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据零点 定义计算求解即可；
（2）分类讨论结合根的情况解不等式.
【小问1详解】
当时，，
令，
得或，
所以的零点为2或3.
【小问2详解】
当时，，则为，得；
当时，，
当即时，的解为或；
当即时，的解为；
当即时，的解为或，
综上所述，当时，的解集为；
当即时，的解集为或
当时，的解集为；
当即时，的解集为或.
21. 为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为.设直角梯形的高为.
（1）当时，求海报纸的面积；
（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？
【答案】（1）
（2）当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少．
【解析】
【分析】（1）根据已知条件，先求出梯形长的底边，再分别求出，，即可求解；
（2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
【小问1详解】
宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为，直角梯形的高为，
则梯形长的底边，
海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，
，，
故海报面积为．
【小问2详解】
直角梯形的高为，宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为，
，
海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，
海报宽，海报长，
故，
当且仅当，即，
故当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少．
22. 函数是定义在实数集R上的奇函数，当时，.
（1）判断函数在的单调性，并给出证明：
（2）求函数的解析式；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围.
【答案】（1）单调递增，证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数单调性定义证明即可；
（2）令，则，代入的解析式，根据奇偶性即可求得的解析式；
（3）判断函数的单调性，根据函数单调性列出定义域的不等式，反解算出范围即可.
【小问1详解】
当时，，函数在上单调递增.
证明如下：任取，且，
，
∵，，∴，，
又，∴，
∵，即，
∴函数在上单调递增；
【小问2详解】
因为当时，，
所以，当时，，∴，
又因为是定义在实数集R上的奇函数，
所以，，
即当时，.
所以，函数的解析式为；
【小问3详解】
∵函数在上单调递增，且，
又因为是定义在实数集R上的奇函数，
所以，函数在上单调递增，且时，，
所以，函数在实数集R上单调递增；
那么不等式，
即：，
则有，
即恒成立，
所以，
又当时，，当时，，
所以，实数k的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用函数单调性列出定义域的不等式，解出不等式即可.