2022-2023学年广东省揭阳市揭东区高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年度第一学期期末教学质量监测

高一级数学科试题

考试时间为120分钟，满分150分.

一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 已知集合，，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】首先根据补集的运算得到，再根据交集的运算即可得出答案.

【详解】因为，

所以或.

所以

故选：B

2. 命题“，”的否定是（）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】根据存在量词的命题的否定是全称量词的命题解答.

【详解】因为存在量词的命题的否定是全称量词的命题，

命题“，”是存在量词的命题，

所以命题“，”的否定是“，”.

故选：C

3. “”是“”的（）

A. 充要条件 B. 充分不必要条件

C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】

【分析】先研究方程的根的情况，再利用充分条件与必要条件的概念判定即可．

【详解】因为的判别式，

所以方程无实数根，

所以是的既不充分也不必要条件．

故选：D．

4. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（）

A.  B.  C. y=|x| D.

【答案】D

【解析】

【分析】判断每个函数的奇偶性与单调性得答案.

【详解】，都是奇函数，排除A，B.

，都是偶函数，在上递增，在递减，

故选：D．

5. 已知角终边上一点的坐标为，则等于（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据正弦函数的定义直接得出.

【详解】因为角终边上一点M的坐标为，

设为原点，则，

由正弦函数的定义，得.

故选：D.

6. 若一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为(　　)

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】依题设可知，蜡烛高度h与燃烧时间t之间构成一次函数关系，

又∵函数图象必过点(0,20)、(4,0)两点，且该图象应为一条线段．∴选B.

7. 已知，且满足，则有（    ）

A. 最大值 B. 最小值 C. 最大值1 D. 最小值1

【答案】A

【解析】

【分析】由基本不等式即可求解.

【详解】，当且仅当，即时等号成立.

故选：A.

8. 设，二次函数的图象可能是

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】因为,二次函数，那么可知，

在A中，a<0,b<0,c<0，不合题意；

B中，a<0,b>0,c>0，不合题意；

 C中，a>0,c<0,b>0,不合题意，故选D.

二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．）

9. 下列结论正确是（）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】CD

【解析】

【分析】根据不等式性质分析判断.

【详解】对A：若，则，A错误；

对B：若，则，B错误；

对C：若，根据不等式性质可得：，C正确；

对D：若，根据不等式性质可得：即

故选：CD.

10. 若集合，满足：，，则下列关系可能成立的是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据子集的定义以及特殊例子一一说明即可；

【详解】解：若，则，则，故不，，即A一定错误，

若，时，满足“，”，此时，即B正确.

若，时，满足“，”成立，此时，即C正确.

若，时满足条件“，”且有，则D正确.

故选：BCD.

11. 对于定义域为D的函数，若存在区间，同时满足下列条件：①在上是单调的；②当定义域是时，的值域也是，则称为该函数的“和谐区间”．下列函数存在“和谐区间”的是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据“和谐区间”的定义依次计算判断.

【详解】对A，是单调递减函数，若存在区间，则有，则有，取，则存在区间符合要求，所以A正确；

对B，在单调递增函数，若存在区间，使，即有两个不等实数根，解得，但在上不是单调函数，舍；

在为减函数，若存在区间，则，解得，舍，所以B不正确；

对C，因为在整个定义域上单调递增，若存在区间，则有，解得，或或，可取，即存在区间符合题意，故C正确；

对D，是单调递增函数，定义域是，若存在区间，使，即有两个不等实数根，转化为即与有两个不同的交点，满足条件，所以D正确．

故选：ACD.

12. 设函数（，是常数，，），若在区间上具有单调性，且，则下列说法正确的是（）

A. 的周期为

B. 的单调递减区间为

C. 的对称轴为

D. 图象可由的图象向左平移个单位得到

【答案】ABD

【解析】

【分析】由单调性和函数值分析周期，得出相邻的对称轴和对称中心，求得周期后得，然后由得值，最后利用余弦函数性质确定减区间，对称轴，并利用图象变换判断各选项．

【详解】由在区间上具有单调性知，的周期T满足，所以，又因为，所以，在同一个周期内且，故的一条对称轴为，又由知的一个对称中心为，且所求得的对称轴与对称中心是相邻的，所以，得，即，A正确．

又因为的一个对称中心为，所以，，由知，，故.

，解得，，B正确；

，，，C错误；

的图象向左平移个单位得，D正确．

故选：ABD．

【点睛】本题考查由三角函数性质求函数解析式，并确定函数的其他性质，考查图象平移变换．解题关键是掌握正（余）弦函数图象的“五点法”，通过五点确定周期，单调性，最值，对称性等等，从而可求得函数解析式．在求函数性质时，利用整体思想求解，把作为一个整体，掌握正弦函数（余弦函数）性质即可很方便地解题．

三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13. __________.

【答案】1

【解析】

【分析】应用诱导公式化简求值即可.

【详解】原式.

故答案为：1.

14. 写一个定义域为，值域为的幂函数_____________．

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据已知条件写出一个符合题意的幂函数的解析式即可.

【详解】因为的定义域为，值域为，

所以幂函数符合题意，

故答案为：（答案不唯一）.

15. 定义域为的函数满足条件：

①，，恒有；

②；

③，

则不等式的解集是___________.

【答案】

【解析】

【分析】结合函数的单调性、奇偶性求得正确答案.

【详解】①，，，恒有，

所以在上单调递增；

②，，

所以是偶函数；所以在上递减；

③，；

不等式可转化为或，

所以不等式的解集是.

故答案为：

【点睛】

16. 设0≤α≤π，不等式8x2﹣（8sinα）x+cos2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为　_________　．

【答案】[0，]∪[，π]

【解析】

【详解】由题意可得，△=64sin2α﹣32cos2α≤0，

得2sin2α﹣（1﹣2sin2α）≤0

∴sin2α≤，

﹣≤sinα≤，

∵0≤α≤π

∴α∈[0，]∪[，π]

四、解答题（共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17. 计算：

（1）已知扇形的圆心角是，半径为，求扇形的弧长；

（2）．

【答案】（1）cm

（2）1

【解析】

【分析】(1)根据弧长公式计算即可;

(2)应用指数对数运算律化简求值.

【小问1详解】

因为，所以cm.

【小问2详解】

原式．

18. 已知函数（）的最小正周期为.

（1）求的值；

（2）求函数的单调递减区间.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）由最小正周期求出，进而得到，代入求值即可；

（2）整体法求解函数单调递减区间

【小问1详解】

由最小正周期公式得：，故，

所以，所以

【小问2详解】

令，

解得：，

故函数的单调递减区间.是

19. 若，.

（1）若的解集为，求的值；

（2）当时，求关于的不等式的解集.

【答案】（1）；

（2）答案见解析.

【解析】

【分析】（1）分析可知、是方程的解，利用韦达定理可求得实数的值；

（2）由可得或，对与的大小进行分类讨论，利用二次不等式的解法解不等式，即可得解.

【小问1详解】

解：因为关于的不等式的解集为，则，

所以，、是方程的解，，解得.

【小问2详解】

解：，，由得或.

当时，，原不等式的解为，原不等式的解集为；

当时，，不等式的解为，原不等式的解集为；

当时，原不等式为，不等式的解集为.

综上：当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为.

20. 为节约能源，倡导绿色环保，某主题公园有60辆电动观光车供租赁使用，管理这些电动观光车的费用是每日120元.根据经验，若每辆电动观光车的日租金不超过5元，则电动观光车可以全部租出；若超过5元，则每超过1元，租不出的电动观光车就增加2辆．为了便于结算，每辆电动观光车的日租金x（元）只取整数，并且要求出租电动观光车一日的收入必须高于这一日的管理费用，用y（元）表示出租电动观光车的日净收入（即一日出租电动观光车的总收入减去管理费用后的所得）．

（1）求函数；

（2）试问当每辆电动观光车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？

【答案】（1）

（2）当每辆电动观光车的日租金定在17或18元时，才能使一日的净收入最多.

【解析】

【分析】（1）一日出租电动观光车的总收入减去管理费用后的所得即为净收入，根据题意建立函数关系即可.

（2）根据函数解析式，利用一次函数、二次函数、分段函数，求出最值.

【小问1详解】

当时，，令，解得，

，，，，

当时，，

令，其整数解为：，，

所以，，

所以

【小问2详解】

对于，显然当时，元，

对于，

因为，

所以当或时，元，，

当每辆电动观光车的日租金定在17或18元时，才能使一日的净收入最多.

21. 某大桥是交通要塞，每天担负着巨大的车流量.已知其车流量（单位：千辆）是时间（，单位：）的函数，记为，下表是某日桥上的车流量的数据：

经长期观察，函数的图象可以近似地看做函数（其中，，，）的图象.

(1)根据以上数据，求函数近似解析式；

(2)为了缓解交通压力，有关交通部门规定：若车流量超过4千辆时，核定载质量10吨及以上的大货车将禁止通行，试估计一天内将有多少小时不允许这种货车通行？

【答案】（1）（2） 8个小时

【解析】

【分析】（1）根据函数的最大最小值可求出和，根据周期求出，根据一个最高点的横坐标可求得；
（2）解不等式可得．

【详解】(1)根据表格中的数据可得:

由，

,解得：
由当时，有最大值，则

即，得.
所以函数的近似解析式

（2）若车流量超过4千辆时，即
所以，则

所以，且.

所以和满足条件.

所以估计一天内将有8小时不允许这种货车通行．

【点睛】本题考查了根据一些特殊的函数值观察周期特点，求解三角函数解析式以及简单应用，属中档题．

22. 已知函数.

（1）求的值；

（2）求函数的值域；

（3）若，且对任意的、，都有，求实数的取值范围.

【答案】（1）；

（2）；

（3）.

【解析】

【分析】（1）代值计算即可得解；

（2）利用指数函数的值域以及不等式的性质可求得函数的值域；

（3）令，，分、、三种情况讨论，分析函数在上的单调性，根据题意可得出关于的不等式，综合可得出实数的取值范围.

【小问1详解】

解：.

【小问2详解】

解：.

，则，则，所以，，

函数的值域为 .

【小问3详解】

解：，

令，则，，函数的对称轴为直线.

①当时，函数在上单调递减，，

，解得，此时的取值不存在；

②当时，函数在上单调递增，，

，解得，此时的取值不存在；

③当时，函数在上单调递减，在上单调递增，

，且，

所以， ，解得，此时.

综上，实数的取值范围为.