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2023-2024学年辽宁省辽阳二中协作校八年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年辽宁省辽阳二中协作校八年级（下）期中数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.若m>n，则下列不等式中正确的是( )
A. m−2−12nD. n−m>0
3.下列式子从左到右的变形是因式分解的是( )
A. (a−3)(a+2)=a2−a−6B. x2−1+y2=(x+1)(x−1)+y2
C. 2x2y=2x⋅xyD. a2+2a=a(a+2)
4.如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF，DF交BC于点H，CH=2cm，EF=5cm，则阴影部分的面积为( )
A. 6cm2
B. 8cm2
C. 12cm2
D. 16cm2
5.如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC=105°，则∠C的度数是( )
A. 55°
B. 45°
C. 42°
D. 40°
6.若关于x的不等式组x>−ax≥−b的解为x≥−b，则下列各式正确的是( )
A. a>bB. a7.如图，已知△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，点M，N为垂足，若BD=32，DE=2，EC=52，则AC的长为( )
A. 3 22B. 3 32C. 3 52D. 3 102
8.若一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示，则关于x的不等式0A. x<3
B. −2C. 1D. 09.如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.△ABC的面积为12，AB=7，DE=2，则BC的长为( )
A. 7
B. 6
C. 5
D. 4
10.已知如图，等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②∠APO=∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB=AO+AP.其中正确的是( )
A. ①③④B. ①②③C. ①③D. ①②③④
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.用反证法证明：“在△ABC中，若AB=AC，则∠C<90°”，则应先假设______．
12.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则等腰三角形的底角度数为 ．
13.在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：a△b=2a−b，已知不等式x△k≥2的解集在数轴上如图表示，则k的值是______．
14.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(−3,0)，B(0,4)，对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…则△2022的直角顶点的坐标为______．
15.若关于x的不等式组x−14(4a−2)≤123x−12三、解答题：本题共8小题，共71分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)因式分解：9(m+n)2−3(m−n)(m+n)．
(2)利用因式分解计算：(−2)2023+(−2)2022．
17.(本小题8分)
解不等式组x−3(x−1)>11+3x2>x−1，并写出它的所有非负整数解．
18.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点都在格点上，坐标分别为A(2,4)，B(1,2)，C(5,3)．
(1)画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
(2)将△ABC绕原点O顺时针旋转90°，得到△A2B2C2，写出B2点坐标．
(3)在x轴上找一点P，使PB+PC的和最小，求出P点坐标．
19.(本小题8分)
“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期.基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元．
(1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？
(2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？
20.(本小题8分)
如图，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，过E作EG⊥BA交BA的延长线于点G，EF⊥AC交AC于点F．
(1)求证：EG=EF；
(2)联结AE，求证：∠AEG=∠AEF．
21.(本小题8分)
如图1，在△ABC中，BA=BC，D、E是AC边上的两点，且满足∠DBE=12∠ABC.以点B为旋转中心，将△CBE按逆时针方向旋转得到△ABF，连接DF．
(1)求证：DF=DE；
(2)如图2，若AB⊥BC，其他条件不变．求证：DE2=AD2+EC2．
22.(本小题8分)
如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，连接OD．
(1)求证：△OCD是等边三角形；
(2)当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
23.(本小题12分)
【数学阅读】
如图1，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任意一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，求证：PD+PE=CF．
小尧的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．
【推广延伸】
如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方法，猜想PD，PE与CF的数量关系，并证明．
【解决问题】
如图4，在平面直角坐标系中有两条直线l1：y=−34x+3，l2：y=3x+3，l1，l2与x轴的交点分别为A，B．
(1)两条直线的交点C的坐标为______；
(2)说明△ABC是等腰三角形；
(3)若l2上的一点M到l1的距离是1，运用上面的结论，求点M的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度与自身重合．
2.【答案】B
【解析】解：A.由m>n，得m−2>n−2，那么A错误，故A不符合题意．
B.由m>n，得−2m<−2n，推断出1−2m<1−2n，那么B正确，故B符合题意．
C.由m>n，得−12m<−12n，那么C错误，故C不符合题意．
D.由m>n，得n−m<0，那么D错误，故D不符合题意．
故选：B．
根据不等式的性质解决此题．
本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解决本题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A. (a−3)(a+2)=a2−a−6，是多项式的乘法运算，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
B.x2−1+y2=(x+1)(x−1)+y2，等式的右边不是整式的乘积的形式，故该选项不正确，不符合题意；
C.2x2y=2x⋅xy，等式的左边不是多项式，故该选项不正确，不符合题意；
D.a2+2a=a(a+2)，是因式分解，故该选项正确，符合题意．
故选：D．
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
本题考查了因式分解的定义，明确因式分解的结果应是整式的积的形式．
4.【答案】B
【解析】解：由平移的性质可知BC=EF=5cm，BE=AD=2cm，∠DEC=∠B=90°，S阴影=S直角梯形BEFH，
∴BH=BC−CH=3cm，
∴S阴影=S直角梯形BEFH
=(3+5)×2×12
=8(cm2).
故选：B．
由平移的性质可知BC=EF，BE=AD=2cm，∠ABC=∠E=90°，进而得出BH的长，根据S阴影=S直角梯形BEFH，即可得出答案．
本题主要考查了平移的性质，求阴影部分的面积等，将阴影部分的面积转化为规则图形面积是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，
∴∠AOD=∠BOC=40°，OA=OD，∠B=∠C，
∴∠A=70°，
∵∠AOC=105°，
∴∠AOB=65°，
∴∠B=180°−∠A−∠AOB=180°70°−65°=45°，
∴∠C=45°，
故选：B．
由旋转的性质可得∠AOD=∠BOC=40°，OA=OD，∠B=∠C，由等腰三角形的性质可求∠A=70°，由三角形内角和定理可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵关于x的不等式组x>−ax≥−b的解为x≥−b，
∴−a<−b，
∴a>b，
故选：A．
根据判断不等式组的解集口诀：同大取大，求出−a与−b的大小关系，再根据不等式的性质求出a，b的大小即可．
本题主要考查了不等式的解集，解题关键是熟练掌握判断不等式组的解集口诀：同大取大．
7.【答案】D
【解析】【分析】
根据线段垂直平分线的性质得出AD，AE当长，利用勾股定理逆定理得出△ADE是直角三角形，进而利用勾股定理解答即可．
本题考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理的应用，解题关键是是添加辅助线构造直角三角形．
【解答】
解：连接AD，AE，
∵AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，
∴AD=BD=32，AE=EC=52，
∵DE=2，
∴AD2+DE2=94+4=254=AE2，
∴△ADE是直角三角形，∠ADE=90°，
由勾股定理可得：AC= AD2+DC2= (32)2+(92)2=3 102，
故选D．
8.【答案】C
【解析】解：根据图象可得：关于x的不等式0故选：C．
根据函数图象，找出满足题意x的范围即可．
此题考查了一次函数与一元一次不等式，以及一次函数的性质，利用了数形结合的思想，熟练掌握一次函数性质是解本题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：作DF⊥BC于F，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DF=DE=2，
∴12×AB×DE+12×BC×DF=12，
∴12×7×2+12×BC×2=12，
∴BC=5，
故选：C．
作DF⊥BC于F，根据角平分线的性质得到DF=DE，根据三角形面积公式计算即可．
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，①利用等边对等角，即可证得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，则∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，据此即可求解；②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，可作判断；③证明∠POC=60°且OP=OC，即可证得△OPC是等边三角形；④首先证明△OPA≌△CPE，则AO=CE，AB=AC=AE+CE=AO+AP．
【解答】
解：①如图1，连接OB，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠BAD=12∠BAC=12×120°=60°，
∴OB=OC，∠ABC=90°−∠BAD=30°
∵OP=OC，
∴OB=OC=OP，
∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，
∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°；故①正确；
②由①知：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，
∵点O是线段AD上一点，
∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，故②不正确；
③∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，
∴∠APC+∠DCP=150°，
∵∠APO+∠DCO=30°，
∴∠OPC+∠OCP=120°，
∴∠POC=180°−(∠OPC+∠OCP)=60°，
∵OP=OC，
∴△OPC是等边三角形；故③正确；
④如图2，在AC上截取AE=PA，连接PE，
∵∠PAE=180°−∠BAC=60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，
∴∠APO+∠OPE=60°，
∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，
∴∠APO=∠CPE，
∵OP=CP，
在△OPA和△CPE中，
PA=PE∠APO=∠CPEOP=CP,
∴△OPA≌△CPE(SAS)，
∴AO=CE，
∴AB=AC=AE+CE=AO+AP；故④正确；
本题正确的结论有：①③④，
故选A．
11.【答案】∠C≥90°
【解析】解：由反证法的定义可知，假设需要否定结论，
所以先假设∠C≥90°
故答案为：∠C≥90°．
根据反证法证明命题的步骤求解即可．
本题考查了反证法的概念，牢记反证法先假设否定结论是解题的关键．
12.【答案】75°或30°
【解析】解：在等腰△ABC中，AB=AC，BD为腰AC上的高，∠ABD=60°，
当BD在△ABC内部时，如图1，
∵BD为高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°−60°=30°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=12(180°−30°)=75°；
当BD在△ABC外部时，如图2，
∵BD为高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°−60°=30°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
而∠BAC=180°−∠BAD=120°，
∴∠ABC=∠ACB=12(180°−120°)=30°；
综上所述，这个等腰三角形底角的度数为75°或30°．
故答案为：75°或30°．
在等腰△ABC中，AB=AC，BD为腰AC上的高，∠ABD=60°，讨论：当BD在△ABC内部时，如图1，先计算出∠BAD=50°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出∠ACB；当BD在△ABC外部时，如图2，先计算出∠BAD=50°，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出∠ACB．
本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
13.【答案】−4
【解析】解：根据图示知，已知不等式的解集是x≥−1．
则2x−1≥−3
∵x△k=2x−k≥2，
∴2x−1≥k+1且2x−1≥−3，
∴k=−4．
故答案是：−4．
根据新运算法则得到不等式2x−k≥2，通过解不等式即可求k的取值范围，结合图象可以求得k的值．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
14.【答案】(8088,0)
【解析】解：∵点A(−3,0)，B(0,4)，
∴AB= 32+42=5．
由图可知，△OAB每旋转三次为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为4+5+3=12．
∵2022÷3=674，
∴△2020的直角顶点是第674个循环组的最后一个三角形的直角顶点．
∵674×12=8088，
∴△2022的直角顶点的坐标为(8088,0)．
故答案为(8088,0)．
由图可知，△OAB每旋转三次为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为4+5+3=12，探究规律求解即可．
本题考查旋转变换，勾股定理，规律型−点的坐标等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
15.【答案】−12
【解析】解：x−14(4a−2)≤12①3x−12解不等式①得x≤a，
解不等式②得x<5，
由题意得a<5，
解方程2y=7+a得，y=7+a2，
∵关于y的方程2y=7+a有非负整数解，
∴7+a2≥0且a为奇数，
解得，a≥−7，
∴a的取值范围为：−7≤a<5，
∵a为奇数，
∴整数a的取值为−7，−5，−3，−1，1，3，
∴符合条件的所有整数a的和为：−7−5−3−1+1+3=−12．
故答案为：−12．
先解该不等式组并求得符合题意的a的取值范围，再解关于y的方程2y=7+a并求得符合题意的a的取值范围，然后确定a的所有取值，最后计算出此题结果．
此题考查了解一元一次不等式，一元一次方程的解，一元一次不等式的整数解，关键是能准确求解，并根据题意确定字母参数的取值．
16.【答案】解：(1)原式=3(m+n)×[3(m+n)−(m−n)]
=3(m+n)×(3m+3n−m+n)
=3(m+n)×(2m+4n)
=6(m+n)(m+2n)；
(2)原式=(−2)2022×(−2)+22022
=(−2)2022×(−2+1)
=−22022．
【解析】(1)利用提公因式法进行计算即可；
(2)利用提公因式法进行计算即可．
本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
17.【答案】解：x−3(x−1)>11+3x2>x−1，
解不等式①得，x<1，
解不等式②得，x>−3，
所以不等式组的解集是−3所以不等式组的非负整数解是0．
【解析】分别求出两个不等式的解集，然后求出两个解集的公共部分，再写出范围内的非负整数解即可．
本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)．
18.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，△A2B2C2即为所求，B2(2,−1)；
(3)作点B关于x轴的对称点B3，再连接B3C与x轴的交点即为所求点P，
由题意可得B3(1,−2)，C(5,3)，
设直线B3C解析式为y=kx+b，代入得：
−2=k+b3=5k+b，
解得k=54b=−134，
∴直线B3C解析式为y=54x−134，
令y=54x−134=0得x=135，
∴P(135,0)．
【解析】(1)根据中心对称的性质作图，即可得出答案．
(2)根据旋转的性质作图，即可得出答案；
(3)作点B关于x轴的对称点B3，再连接B3C与x轴的交点即为所求点P.再利用一次函数解析式求点坐标即可．
本题主要考查中心对称作图，旋转变换作图，轴对称作图，求一次函数解析式，熟练掌握旋转变换的定义和性质是解题的关键．
19.【答案】解：(1)设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是(x−40)元，
由题意可得5x+10(x−40)=1100，
解得x=100，
x−40=60．
答：每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是60元；
(2)设需购进乙种型号“文房四宝”m套，则需购进甲种型号“文房四宝”(120−m)套，
由题意可得：100(120−m)+60m≤8600m<3×(120−m)，
解得85≤m<90，
又∵m为正整数，
∴m可以取85，86，87，88，89；
∴共有5种购买方案，
方案1：购进35套甲型号“文房四宝”，85套乙型号“文房四宝”；
方案2：购进34套甲型号“文房四宝”，86套乙型号“文房四宝”；
方案3：购进33套甲型号“文房四宝”，87套乙型号“文房四宝”；
方案4：购进32套甲型号“文房四宝”，88套乙型号“文房四宝”；
方案5：购进31套甲型号“文房四宝”，89套乙型号“文房四宝”；
∵每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，
∴甲型号“文房四宝”的套数越少，总费用就越低，
∴最低费用是31×100+60×89=8440(元)．
【解析】(1)根据每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元，得出方程，解方程即可；
(2)设需购进乙种型号“文房四宝”m套，则需购进甲种型号“文房四宝”(120−m)套，根据题意得到不等式组，解不等式组即可得到结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，正确地列出一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键．
20.【答案】证明：(1)如图，过点E作EH⊥BD于点H，
∵BE平分∠ABC，EG⊥BA，EH⊥BD，
∴EG=EH，
∵CE平分∠ACD，EF⊥AC，EH⊥CD，
∴EF=EH，
∴EG=EF．
(2)∵EG⊥BA，EF⊥AC，
∴∠AGE=90°=∠AFE，
再Rt△AEG和Rt△AEF中，
EG=EFAE=AE，
∴Rt△AEG≌Rt△AEF(HL)，
∴∠AEG=∠AEF．
【解析】(1)过点E作EH⊥BD于点H，利用角平分线的性质即得证；
(2)通过HL证明Rt△AEG≌Rt△AEF即可．
本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
21.【答案】(1)证明：∵∠DBE=12∠ABC，
∴∠ABD+∠CBE=∠DBE=12∠ABC，
∵△ABF由△CBE旋转而成，
∴BE=BF，∠ABF=∠CBE，
∴∠DBF=∠DBE，
在△DBE与△DBF中，
BE=BF∠DBE=∠DBFBD=BD，
∴△DBE≌△DBF(SAS)，
∴DF=DE；
(2)证明：∵将△CBE按逆时针方向旋转得到△ABF，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠BCE=45°，
∴图形旋转后点C与点A重合，CE与AF重合，
∴AF=EC，
∴∠FAB=∠BCE=45°，
∴∠DAF=90°，
在Rt△ADF中，DF2=AF2+AD2，
∵AF=EC，
∴DF2=EC2+AD2，
同(1)可得DE=DF，
∴DE2=AD2+EC2．
【解析】(1)先根据∠DBE=12∠ABC可知∠ABD+∠CBE=∠DBE=12∠ABC，再由图形旋转的性质可知BE=BF，∠ABF=∠CBE，故可得出∠DBF=∠DBE，由全等三角形的性质即可得出△DBE≌△DBF，故可得出结论；
(2)把△CBE逆时针旋转90°，由于△ABC是等腰直角三角形，故可知图形旋转后点C与点A重合，∠FAB=∠BCE=45°，所以∠DAF=90°，由(1)证DE=DF，再根据勾股定理即可得出结论．
本题考查的是图形的旋转及勾股定理，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵△BOC≌△ADC，
∴OC=DC．
∵∠OCD=60°，
∴△OCD是等边三角形．
(2)解：△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∵△BOC≌△ADC，∠α=150°，
∴∠ADC=∠BOC=∠α=150°，
∴∠ADO=∠ADC−∠ODC=150°−60°=90°，
∴△AOD是直角三角形．
(3)解：∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD=∠ODC=60°．
∵∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=α，
∴∠AOD=360°−∠AOB−∠BOC−∠COD=360°−110°−α−60°=190°−α，
∠ADO=∠ADC−∠ODC=α−60°，
∴∠OAD=180°−∠AOD−∠ADO=180°−(190°−α)−(α−60°)=50°．
①当∠AOD=∠ADO时，190°−α=α−60°，
∴α=125°．
②当∠AOD=∠OAD时，190°−α=50°，
∴α=140°．
③当∠ADO=∠OAD时，
α−60°=50°，
∴α=110°．
综上所述：当α=110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
【解析】(1)根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证；
(2)根据全等易得∠ADC=∠BOC=∠α=150°，结合(1)中的结论可得∠ADO为90°，那么可得所求三角形的形状；
(3)根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可．
综合考查了全等三角形的性质及等腰三角形的判定；注意应分类探讨三角形为等腰三角形的各种情况．
23.【答案】解：【数学阅读】如图②，连接AP，
∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，
∴S△ABP=12AB⋅PD，S△ACP=12AC⋅PE，S△ABC=12AB⋅CF，
∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，
∴12AB⋅PD+12AC⋅PE=12AB⋅CF，
又∵AB=AC，
∴PD+PE=CF；
【推广延伸】
如图③，连接AP，
∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，
∴S△ABP=12AB⋅PD，S△ACP=12AC⋅PE，S△ABC=12AB⋅CF，
∵S△ABP−S△ACP=S△ABC，
∴12AB⋅PD−12AC⋅PE=12AB⋅CF，
又∵AB=AC，
∴PD−PE=CF；
【解决问题】
(1)(0,3)；
(2)l1：y=−34x+3，令y=0，则x=4，
∴A(4,0)．
l2：y=3x+3，令y=0，则x=−1，
∴B(−1,0)，
∴AB=5，
在Rt△AOC中，∠AOC=90°，
∴AC2=AO2+CO2 ，
∴AC=5，
∴AB=AC=5，
∴△ABC是等腰三角形．
(3)当M在线段BC上时，过M分别作MP⊥x轴，MQ⊥BC，垂足分别为P、Q，
∵l2上的一点M到l1的距离是1，
∴MQ=1，
由图②的结论得：MP+MQ=3，
∴MP=2，
∴M点的纵坐标为2，
又∵M在直线y=3x+3，
∴当y=2时，x=−13，
∴M坐标为(−13,2)；
同理，由前面结论可知当M点在线段BC外时，有|MP−MQ|=OC，
可求得MP=4或MP=−2，即M点的纵坐标为4或−2，
分别代入y=−3x+3，可求得x=13或x=53(舍，因为它到l1的距离不是1)，
∴M点的坐标为(13,4)；
综上可知M点的坐标为(−13,2)或(13,4)．
【解析】【分析】
本题是一次函数的综合运用，涉及等腰三角形的性质、三角形的面积、勾股定理和等积法等知识，考查了用面积法证明几何问题，考查了运用已有的经验解决问题的能力，体现了自主探究与合作交流的新理念，是充分体现新课程理念难得的好题．
【数学阅读】
连接AP，由S△ABP=12AB⋅PD，S△ACP=12AC⋅PE，S△ABC=12AB⋅CF且S△ABP+S△ACP=S△ABC知12AB⋅PD+12AC⋅PE=12AB⋅CF，结合AB=AC即可得证；
【推广延伸】连接AP，同理利用△ABP与△ACP面积之差等于△ABC的面积可以证得结论；
【解决问题】(1)联立方程组，解之可得交点C的坐标；
(2)先求出点A，B坐标，利用勾股定理可求得AC，AB的长，即可得证；
(3)分M在线段BC上和M在线段BC外两种情况，再分别根据图②和③的结论，求得M到AC的距离，即M点的纵坐标，再代入l2的解析式可求出M的坐标．
【解答】
解：【数学阅读】
见答案；
【推广延伸】
见答案；
【解决问题】
(1)由题意得y=−34x+3y=3x+3，
解得x=0y=3，
则两条直线的交点C的坐标为(0,3)，
故答案为：(0,3)；
(2)(3)见答案．
1.下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.若m>n，则下列不等式中正确的是( )
A. m−2
3.下列式子从左到右的变形是因式分解的是( )
A. (a−3)(a+2)=a2−a−6B. x2−1+y2=(x+1)(x−1)+y2
C. 2x2y=2x⋅xyD. a2+2a=a(a+2)
4.如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF，DF交BC于点H，CH=2cm，EF=5cm，则阴影部分的面积为( )
A. 6cm2
B. 8cm2
C. 12cm2
D. 16cm2
5.如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC=105°，则∠C的度数是( )
A. 55°
B. 45°
C. 42°
D. 40°
6.若关于x的不等式组x>−ax≥−b的解为x≥−b，则下列各式正确的是( )
A. a>bB. a
A. 3 22B. 3 32C. 3 52D. 3 102
8.若一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示，则关于x的不等式0
B. −2
A. 7
B. 6
C. 5
D. 4
10.已知如图，等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②∠APO=∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB=AO+AP.其中正确的是( )
A. ①③④B. ①②③C. ①③D. ①②③④
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.用反证法证明：“在△ABC中，若AB=AC，则∠C<90°”，则应先假设______．
12.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则等腰三角形的底角度数为 ．
13.在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：a△b=2a−b，已知不等式x△k≥2的解集在数轴上如图表示，则k的值是______．
14.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(−3,0)，B(0,4)，对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…则△2022的直角顶点的坐标为______．
15.若关于x的不等式组x−14(4a−2)≤123x−12
16.(本小题10分)
(1)因式分解：9(m+n)2−3(m−n)(m+n)．
(2)利用因式分解计算：(−2)2023+(−2)2022．
17.(本小题8分)
解不等式组x−3(x−1)>11+3x2>x−1，并写出它的所有非负整数解．
18.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点都在格点上，坐标分别为A(2,4)，B(1,2)，C(5,3)．
(1)画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
(2)将△ABC绕原点O顺时针旋转90°，得到△A2B2C2，写出B2点坐标．
(3)在x轴上找一点P，使PB+PC的和最小，求出P点坐标．
19.(本小题8分)
“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期.基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元．
(1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？
(2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？
20.(本小题8分)
如图，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，过E作EG⊥BA交BA的延长线于点G，EF⊥AC交AC于点F．
(1)求证：EG=EF；
(2)联结AE，求证：∠AEG=∠AEF．
21.(本小题8分)
如图1，在△ABC中，BA=BC，D、E是AC边上的两点，且满足∠DBE=12∠ABC.以点B为旋转中心，将△CBE按逆时针方向旋转得到△ABF，连接DF．
(1)求证：DF=DE；
(2)如图2，若AB⊥BC，其他条件不变．求证：DE2=AD2+EC2．
22.(本小题8分)
如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，连接OD．
(1)求证：△OCD是等边三角形；
(2)当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
23.(本小题12分)
【数学阅读】
如图1，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任意一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，求证：PD+PE=CF．
小尧的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．
【推广延伸】
如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方法，猜想PD，PE与CF的数量关系，并证明．
【解决问题】
如图4，在平面直角坐标系中有两条直线l1：y=−34x+3，l2：y=3x+3，l1，l2与x轴的交点分别为A，B．
(1)两条直线的交点C的坐标为______；
(2)说明△ABC是等腰三角形；
(3)若l2上的一点M到l1的距离是1，运用上面的结论，求点M的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度与自身重合．
2.【答案】B
【解析】解：A.由m>n，得m−2>n−2，那么A错误，故A不符合题意．
B.由m>n，得−2m<−2n，推断出1−2m<1−2n，那么B正确，故B符合题意．
C.由m>n，得−12m<−12n，那么C错误，故C不符合题意．
D.由m>n，得n−m<0，那么D错误，故D不符合题意．
故选：B．
根据不等式的性质解决此题．
本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解决本题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A. (a−3)(a+2)=a2−a−6，是多项式的乘法运算，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
B.x2−1+y2=(x+1)(x−1)+y2，等式的右边不是整式的乘积的形式，故该选项不正确，不符合题意；
C.2x2y=2x⋅xy，等式的左边不是多项式，故该选项不正确，不符合题意；
D.a2+2a=a(a+2)，是因式分解，故该选项正确，符合题意．
故选：D．
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
本题考查了因式分解的定义，明确因式分解的结果应是整式的积的形式．
4.【答案】B
【解析】解：由平移的性质可知BC=EF=5cm，BE=AD=2cm，∠DEC=∠B=90°，S阴影=S直角梯形BEFH，
∴BH=BC−CH=3cm，
∴S阴影=S直角梯形BEFH
=(3+5)×2×12
=8(cm2).
故选：B．
由平移的性质可知BC=EF，BE=AD=2cm，∠ABC=∠E=90°，进而得出BH的长，根据S阴影=S直角梯形BEFH，即可得出答案．
本题主要考查了平移的性质，求阴影部分的面积等，将阴影部分的面积转化为规则图形面积是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，
∴∠AOD=∠BOC=40°，OA=OD，∠B=∠C，
∴∠A=70°，
∵∠AOC=105°，
∴∠AOB=65°，
∴∠B=180°−∠A−∠AOB=180°70°−65°=45°，
∴∠C=45°，
故选：B．
由旋转的性质可得∠AOD=∠BOC=40°，OA=OD，∠B=∠C，由等腰三角形的性质可求∠A=70°，由三角形内角和定理可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵关于x的不等式组x>−ax≥−b的解为x≥−b，
∴−a<−b，
∴a>b，
故选：A．
根据判断不等式组的解集口诀：同大取大，求出−a与−b的大小关系，再根据不等式的性质求出a，b的大小即可．
本题主要考查了不等式的解集，解题关键是熟练掌握判断不等式组的解集口诀：同大取大．
7.【答案】D
【解析】【分析】
根据线段垂直平分线的性质得出AD，AE当长，利用勾股定理逆定理得出△ADE是直角三角形，进而利用勾股定理解答即可．
本题考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理的应用，解题关键是是添加辅助线构造直角三角形．
【解答】
解：连接AD，AE，
∵AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，
∴AD=BD=32，AE=EC=52，
∵DE=2，
∴AD2+DE2=94+4=254=AE2，
∴△ADE是直角三角形，∠ADE=90°，
由勾股定理可得：AC= AD2+DC2= (32)2+(92)2=3 102，
故选D．
8.【答案】C
【解析】解：根据图象可得：关于x的不等式0
根据函数图象，找出满足题意x的范围即可．
此题考查了一次函数与一元一次不等式，以及一次函数的性质，利用了数形结合的思想，熟练掌握一次函数性质是解本题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：作DF⊥BC于F，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DF=DE=2，
∴12×AB×DE+12×BC×DF=12，
∴12×7×2+12×BC×2=12，
∴BC=5，
故选：C．
作DF⊥BC于F，根据角平分线的性质得到DF=DE，根据三角形面积公式计算即可．
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，①利用等边对等角，即可证得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，则∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，据此即可求解；②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，可作判断；③证明∠POC=60°且OP=OC，即可证得△OPC是等边三角形；④首先证明△OPA≌△CPE，则AO=CE，AB=AC=AE+CE=AO+AP．
【解答】
解：①如图1，连接OB，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠BAD=12∠BAC=12×120°=60°，
∴OB=OC，∠ABC=90°−∠BAD=30°
∵OP=OC，
∴OB=OC=OP，
∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，
∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°；故①正确；
②由①知：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，
∵点O是线段AD上一点，
∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，故②不正确；
③∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，
∴∠APC+∠DCP=150°，
∵∠APO+∠DCO=30°，
∴∠OPC+∠OCP=120°，
∴∠POC=180°−(∠OPC+∠OCP)=60°，
∵OP=OC，
∴△OPC是等边三角形；故③正确；
④如图2，在AC上截取AE=PA，连接PE，
∵∠PAE=180°−∠BAC=60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，
∴∠APO+∠OPE=60°，
∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，
∴∠APO=∠CPE，
∵OP=CP，
在△OPA和△CPE中，
PA=PE∠APO=∠CPEOP=CP,
∴△OPA≌△CPE(SAS)，
∴AO=CE，
∴AB=AC=AE+CE=AO+AP；故④正确；
本题正确的结论有：①③④，
故选A．
11.【答案】∠C≥90°
【解析】解：由反证法的定义可知，假设需要否定结论，
所以先假设∠C≥90°
故答案为：∠C≥90°．
根据反证法证明命题的步骤求解即可．
本题考查了反证法的概念，牢记反证法先假设否定结论是解题的关键．
12.【答案】75°或30°
【解析】解：在等腰△ABC中，AB=AC，BD为腰AC上的高，∠ABD=60°，
当BD在△ABC内部时，如图1，
∵BD为高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°−60°=30°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=12(180°−30°)=75°；
当BD在△ABC外部时，如图2，
∵BD为高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°−60°=30°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
而∠BAC=180°−∠BAD=120°，
∴∠ABC=∠ACB=12(180°−120°)=30°；
综上所述，这个等腰三角形底角的度数为75°或30°．
故答案为：75°或30°．
在等腰△ABC中，AB=AC，BD为腰AC上的高，∠ABD=60°，讨论：当BD在△ABC内部时，如图1，先计算出∠BAD=50°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出∠ACB；当BD在△ABC外部时，如图2，先计算出∠BAD=50°，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出∠ACB．
本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
13.【答案】−4
【解析】解：根据图示知，已知不等式的解集是x≥−1．
则2x−1≥−3
∵x△k=2x−k≥2，
∴2x−1≥k+1且2x−1≥−3，
∴k=−4．
故答案是：−4．
根据新运算法则得到不等式2x−k≥2，通过解不等式即可求k的取值范围，结合图象可以求得k的值．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
14.【答案】(8088,0)
【解析】解：∵点A(−3,0)，B(0,4)，
∴AB= 32+42=5．
由图可知，△OAB每旋转三次为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为4+5+3=12．
∵2022÷3=674，
∴△2020的直角顶点是第674个循环组的最后一个三角形的直角顶点．
∵674×12=8088，
∴△2022的直角顶点的坐标为(8088,0)．
故答案为(8088,0)．
由图可知，△OAB每旋转三次为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为4+5+3=12，探究规律求解即可．
本题考查旋转变换，勾股定理，规律型−点的坐标等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
15.【答案】−12
【解析】解：x−14(4a−2)≤12①3x−12
解不等式②得x<5，
由题意得a<5，
解方程2y=7+a得，y=7+a2，
∵关于y的方程2y=7+a有非负整数解，
∴7+a2≥0且a为奇数，
解得，a≥−7，
∴a的取值范围为：−7≤a<5，
∵a为奇数，
∴整数a的取值为−7，−5，−3，−1，1，3，
∴符合条件的所有整数a的和为：−7−5−3−1+1+3=−12．
故答案为：−12．
先解该不等式组并求得符合题意的a的取值范围，再解关于y的方程2y=7+a并求得符合题意的a的取值范围，然后确定a的所有取值，最后计算出此题结果．
此题考查了解一元一次不等式，一元一次方程的解，一元一次不等式的整数解，关键是能准确求解，并根据题意确定字母参数的取值．
16.【答案】解：(1)原式=3(m+n)×[3(m+n)−(m−n)]
=3(m+n)×(3m+3n−m+n)
=3(m+n)×(2m+4n)
=6(m+n)(m+2n)；
(2)原式=(−2)2022×(−2)+22022
=(−2)2022×(−2+1)
=−22022．
【解析】(1)利用提公因式法进行计算即可；
(2)利用提公因式法进行计算即可．
本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
17.【答案】解：x−3(x−1)>11+3x2>x−1，
解不等式①得，x<1，
解不等式②得，x>−3，
所以不等式组的解集是−3
【解析】分别求出两个不等式的解集，然后求出两个解集的公共部分，再写出范围内的非负整数解即可．
本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)．
18.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，△A2B2C2即为所求，B2(2,−1)；
(3)作点B关于x轴的对称点B3，再连接B3C与x轴的交点即为所求点P，
由题意可得B3(1,−2)，C(5,3)，
设直线B3C解析式为y=kx+b，代入得：
−2=k+b3=5k+b，
解得k=54b=−134，
∴直线B3C解析式为y=54x−134，
令y=54x−134=0得x=135，
∴P(135,0)．
【解析】(1)根据中心对称的性质作图，即可得出答案．
(2)根据旋转的性质作图，即可得出答案；
(3)作点B关于x轴的对称点B3，再连接B3C与x轴的交点即为所求点P.再利用一次函数解析式求点坐标即可．
本题主要考查中心对称作图，旋转变换作图，轴对称作图，求一次函数解析式，熟练掌握旋转变换的定义和性质是解题的关键．
19.【答案】解：(1)设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是(x−40)元，
由题意可得5x+10(x−40)=1100，
解得x=100，
x−40=60．
答：每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是60元；
(2)设需购进乙种型号“文房四宝”m套，则需购进甲种型号“文房四宝”(120−m)套，
由题意可得：100(120−m)+60m≤8600m<3×(120−m)，
解得85≤m<90，
又∵m为正整数，
∴m可以取85，86，87，88，89；
∴共有5种购买方案，
方案1：购进35套甲型号“文房四宝”，85套乙型号“文房四宝”；
方案2：购进34套甲型号“文房四宝”，86套乙型号“文房四宝”；
方案3：购进33套甲型号“文房四宝”，87套乙型号“文房四宝”；
方案4：购进32套甲型号“文房四宝”，88套乙型号“文房四宝”；
方案5：购进31套甲型号“文房四宝”，89套乙型号“文房四宝”；
∵每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，
∴甲型号“文房四宝”的套数越少，总费用就越低，
∴最低费用是31×100+60×89=8440(元)．
【解析】(1)根据每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元，得出方程，解方程即可；
(2)设需购进乙种型号“文房四宝”m套，则需购进甲种型号“文房四宝”(120−m)套，根据题意得到不等式组，解不等式组即可得到结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，正确地列出一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键．
20.【答案】证明：(1)如图，过点E作EH⊥BD于点H，
∵BE平分∠ABC，EG⊥BA，EH⊥BD，
∴EG=EH，
∵CE平分∠ACD，EF⊥AC，EH⊥CD，
∴EF=EH，
∴EG=EF．
(2)∵EG⊥BA，EF⊥AC，
∴∠AGE=90°=∠AFE，
再Rt△AEG和Rt△AEF中，
EG=EFAE=AE，
∴Rt△AEG≌Rt△AEF(HL)，
∴∠AEG=∠AEF．
【解析】(1)过点E作EH⊥BD于点H，利用角平分线的性质即得证；
(2)通过HL证明Rt△AEG≌Rt△AEF即可．
本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
21.【答案】(1)证明：∵∠DBE=12∠ABC，
∴∠ABD+∠CBE=∠DBE=12∠ABC，
∵△ABF由△CBE旋转而成，
∴BE=BF，∠ABF=∠CBE，
∴∠DBF=∠DBE，
在△DBE与△DBF中，
BE=BF∠DBE=∠DBFBD=BD，
∴△DBE≌△DBF(SAS)，
∴DF=DE；
(2)证明：∵将△CBE按逆时针方向旋转得到△ABF，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠BCE=45°，
∴图形旋转后点C与点A重合，CE与AF重合，
∴AF=EC，
∴∠FAB=∠BCE=45°，
∴∠DAF=90°，
在Rt△ADF中，DF2=AF2+AD2，
∵AF=EC，
∴DF2=EC2+AD2，
同(1)可得DE=DF，
∴DE2=AD2+EC2．
【解析】(1)先根据∠DBE=12∠ABC可知∠ABD+∠CBE=∠DBE=12∠ABC，再由图形旋转的性质可知BE=BF，∠ABF=∠CBE，故可得出∠DBF=∠DBE，由全等三角形的性质即可得出△DBE≌△DBF，故可得出结论；
(2)把△CBE逆时针旋转90°，由于△ABC是等腰直角三角形，故可知图形旋转后点C与点A重合，∠FAB=∠BCE=45°，所以∠DAF=90°，由(1)证DE=DF，再根据勾股定理即可得出结论．
本题考查的是图形的旋转及勾股定理，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵△BOC≌△ADC，
∴OC=DC．
∵∠OCD=60°，
∴△OCD是等边三角形．
(2)解：△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∵△BOC≌△ADC，∠α=150°，
∴∠ADC=∠BOC=∠α=150°，
∴∠ADO=∠ADC−∠ODC=150°−60°=90°，
∴△AOD是直角三角形．
(3)解：∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD=∠ODC=60°．
∵∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=α，
∴∠AOD=360°−∠AOB−∠BOC−∠COD=360°−110°−α−60°=190°−α，
∠ADO=∠ADC−∠ODC=α−60°，
∴∠OAD=180°−∠AOD−∠ADO=180°−(190°−α)−(α−60°)=50°．
①当∠AOD=∠ADO时，190°−α=α−60°，
∴α=125°．
②当∠AOD=∠OAD时，190°−α=50°，
∴α=140°．
③当∠ADO=∠OAD时，
α−60°=50°，
∴α=110°．
综上所述：当α=110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
【解析】(1)根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证；
(2)根据全等易得∠ADC=∠BOC=∠α=150°，结合(1)中的结论可得∠ADO为90°，那么可得所求三角形的形状；
(3)根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可．
综合考查了全等三角形的性质及等腰三角形的判定；注意应分类探讨三角形为等腰三角形的各种情况．
23.【答案】解：【数学阅读】如图②，连接AP，
∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，
∴S△ABP=12AB⋅PD，S△ACP=12AC⋅PE，S△ABC=12AB⋅CF，
∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，
∴12AB⋅PD+12AC⋅PE=12AB⋅CF，
又∵AB=AC，
∴PD+PE=CF；
【推广延伸】
如图③，连接AP，
∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，
∴S△ABP=12AB⋅PD，S△ACP=12AC⋅PE，S△ABC=12AB⋅CF，
∵S△ABP−S△ACP=S△ABC，
∴12AB⋅PD−12AC⋅PE=12AB⋅CF，
又∵AB=AC，
∴PD−PE=CF；
【解决问题】
(1)(0,3)；
(2)l1：y=−34x+3，令y=0，则x=4，
∴A(4,0)．
l2：y=3x+3，令y=0，则x=−1，
∴B(−1,0)，
∴AB=5，
在Rt△AOC中，∠AOC=90°，
∴AC2=AO2+CO2 ，
∴AC=5，
∴AB=AC=5，
∴△ABC是等腰三角形．
(3)当M在线段BC上时，过M分别作MP⊥x轴，MQ⊥BC，垂足分别为P、Q，
∵l2上的一点M到l1的距离是1，
∴MQ=1，
由图②的结论得：MP+MQ=3，
∴MP=2，
∴M点的纵坐标为2，
又∵M在直线y=3x+3，
∴当y=2时，x=−13，
∴M坐标为(−13,2)；
同理，由前面结论可知当M点在线段BC外时，有|MP−MQ|=OC，
可求得MP=4或MP=−2，即M点的纵坐标为4或−2，
分别代入y=−3x+3，可求得x=13或x=53(舍，因为它到l1的距离不是1)，
∴M点的坐标为(13,4)；
综上可知M点的坐标为(−13,2)或(13,4)．
【解析】【分析】
本题是一次函数的综合运用，涉及等腰三角形的性质、三角形的面积、勾股定理和等积法等知识，考查了用面积法证明几何问题，考查了运用已有的经验解决问题的能力，体现了自主探究与合作交流的新理念，是充分体现新课程理念难得的好题．
【数学阅读】
连接AP，由S△ABP=12AB⋅PD，S△ACP=12AC⋅PE，S△ABC=12AB⋅CF且S△ABP+S△ACP=S△ABC知12AB⋅PD+12AC⋅PE=12AB⋅CF，结合AB=AC即可得证；
【推广延伸】连接AP，同理利用△ABP与△ACP面积之差等于△ABC的面积可以证得结论；
【解决问题】(1)联立方程组，解之可得交点C的坐标；
(2)先求出点A，B坐标，利用勾股定理可求得AC，AB的长，即可得证；
(3)分M在线段BC上和M在线段BC外两种情况，再分别根据图②和③的结论，求得M到AC的距离，即M点的纵坐标，再代入l2的解析式可求出M的坐标．
【解答】
解：【数学阅读】
见答案；
【推广延伸】
见答案；
【解决问题】
(1)由题意得y=−34x+3y=3x+3，
解得x=0y=3，
则两条直线的交点C的坐标为(0,3)，
故答案为：(0,3)；
(2)(3)见答案．
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