2022-2023学年山东省青岛市莱西市七年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省青岛市莱西市七年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山东省青岛市莱西市七年级（下）期末数学试卷（五四学制）
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在“石头、剪刀、布”游戏中，对方出“剪刀”.这个事件是(    )
A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 确定性事件
2. x的2倍减去7的差不大于−1，可列关系式为(    )
A. 2x−7≤−1 B. 2x−7<−1 C. 2x−7=−1 D. 2x−7≥−1
3. 下列命题中，为假命题的是(    )
A. 对顶角相等
B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
4. 已知x=2y=−1是二元一次方程2x+my=1的一个解，则m的值为(    )
A. 3 B. −5 C. −3 D. 5
5. 若a>b，c≠0，则下列选项中正确的是(    )
A. a−cbc C. ac2>bc2 D. ca 6. 不等式组x−1<1▫的解集为x<2，则□表示的不等式可以是(    )
A. x<1 B. x>1 C. x<3 D. x>3
7. 如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，若已知∠1=126°，则∠2的度数为(    )


A. 54° B. 63° C. 72° D. 45°
8. 甲、乙两名同学在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出的统计图如图所示，符合这一结果的试验可能是(    )

A. 掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的概率
B. 任意写一个正整数，它能被3整除的概率
C. 抛一枚硬币，出现正面朝上的概率
D. 从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到白球的概率
9. 如图，∠ABC=∠BCD=90°，AC⊥BD，下列推理依据，错误的是(    )
A. ∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3(等量代换)
B. ∵∠ABC+∠BCD=180°，∴AB//CD(同旁内角互补，两直线平行)
C. ∵AB//CD，∴∠1=∠D(两直线平行，内错角相等)
D. ∵∠1=∠D，∠1=∠3，∴∠D=∠3(等量代换)



10. 如图，△ABC中，若∠BAC=80°，∠ACB=70°，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是(    )
A. ∠BAQ=40°
B. DE=12BD
C. AF=AC
D. ∠EQF=25°


第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 对于二元一次方程x+2y=5，用含有y的代数式表示x= ______ ．
12. 如果事件A是“上学时，在路上遇到班主任老师”，事件B是“上学时，在路上遇到同班同学”，那么P(A) ______ P(B).(填“>”、“<”或“=”)
13. 用两个相同的三角板如图所示摆放，直线a//b，画图依据是：______．


14. 如图，△ABC中，∠C=80°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=______．


15. 某品牌电脑，成本价3000元，售价4125元，现打折销售，要使利润率不低于10%，最低可以打______折．
16. 图1是由3个相同小长方形拼成的图形其周长为24cm，图2中的长方形ABCD内放置10个相同的小长方形，则长方形ABCD的周长为______ cm．


三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
17. 解不等式组2x≥5x−34x+23>x，并写出它的所有整数解．
四、解答题（本大题共10小题，共74.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题4.0分)
已知：如图，在四边形ABCD中，AB=AD.求作：求作一点P，使P在BC上，且△ABP≌△ADP．

19. (本小题8.0分)
解方程组
(1)2x+y=3①3x−5y=11②
(2)x+13=y2①2y−(2x−3)=−1②
20. (本小题6.0分)
已知：如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE.求证：∠1>∠2．

21. (本小题7.0分)
在一个不透明的袋子中装有4个红球和6个白球，每个球除颜色外其余都相同．
(1)从中任意摸出1个球，摸到______球的可能性大；
(2)摸出红球和白球的概率分别是多少？
(3)如果另拿红球和白球共8个放入袋中并搅匀，使得从中任意摸出1个球，摸到红球和白球的可能性大小相等，那么应放入______个红球，______个白球．
22. (本小题7.0分)
某种零件的形状如图所示，现要判断AB与CD是否平行，工人师傅分别测量了∠ABE，∠CDE和∠BED的度数后，就做出了判断.试猜想∠ABE，∠CDE和∠BED之间满足什么关系时AB//CD，并证明你的猜想．

23. (本小题8.0分)
越来越多的人在用微信付款、转账把微信账户里的钱转到银行卡叫做提现.自2016年3月1日起，每个微信账户终身享有1000元的免费提现额度，当累计提现金额超过1000元时，累计提现金额超出1000元的部分需支付0.1%的手续费，以后每次提现支付的手续费为提现金额的0.1%．
(1)小明在今天第1次进行了提现，金额为1800元，他需支付手续费______ 元；
(2)小亮今年5月份共提现3次，3次提现金额和手续费分别如表：求小明3次提现金额共计多少元？

第1次
第2次
第3次
提现金额(元)
a
b
3a+2b
手续费(元)
0
0.4
3.4

24. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，D是边BC的中点，E是边AC的中点，连接AD，BE．
(1)若CD=8，CE=6，AB=20，求证：∠C=90°；
(2)若∠C=90°，AD=13，AE=6，求△ABC的面积．

25. (本小题8.0分)
某单位计划在五一小长假期间，组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10至25人，甲乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人2000元，经过协商，甲旅行社表示，可给予每位游客七五折优惠，乙旅行社表示，可先免去一位游客的旅游费用，其余游客八折优惠，设该单位参加旅游的人数是x人，选择甲旅行社时，需费用为y1元，选择以旅行社所需费用为y2元.
(1)请分别写出y1，y2与x之间的关系式．
(2)何时选择甲旅行社比较合算？
(3)若该单位最多愿意出的费用为19400元，则选择哪家旅行社可以使较多的员工去旅行？
26. (本小题10.0分)
为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到M，使DM=AD，连接BM．

【探究发现】(1)图1中AC与BM的数量关系是______ ，位置关系是______ ；
【初步应用】(2)如图2，在△ABC中，若AB=12，AC=8，求BC边上的中线AD的取值范围；
【探究提升】(3)如图3，AD是△ABC的中线，过点A分别向外作AE⊥AB、AF⊥AC，使得AE=AB，AF=AC，延长DA交EF于点P，判断线段EF与AD的数量关系和位置关系，请说明理由．
27. (本小题8.0分)
附加题(本题供学有余力的学生尝试解答，不作为考试内容)
已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC>∠BAC，在∠ABC内部作∠ABE=∠BAC，BE交AC于点D.将一个含有45°角的三角板FGH如图放置，使直角边FH与BE重合，三角板FGH沿EB平移．
(1)如图1，当三角板FGH的另一条直角边FG过点A时，试证明AF=BC；
(2)将三角板FGH沿EB平移至图2的位置，FG与AB交于点M，过点M作MN⊥AC，垂足为点N，试判断线段MN，MF，BC之间的关系．


答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：对方出“剪刀”.这个事件是随机事件，
故选：B．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．掌握其概念是解题关键．

2.【答案】A 
【解析】解：根据题意，得
2x−7≤−1．
故选：A．
理解：不大于−1，即是小于或等于−1．
本题考查把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．

3.【答案】B 
【解析】解：A、对顶角相等，为真命题，不符合题意；
B、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题为假命题，符合题意；
C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，为真命题，不符合题意；
D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，为真命题，不符合题意；
故选：B．
根据对顶角的性质，平行公理，平行线的性质，垂线的性质等知识是解题的关键．
本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握对顶角的性质，平行公理，平行线的性质，垂线的性质是解答此题的关键．

4.【答案】A 
【解析】解：将x=2y=−1代入2x+my=1，得4−m=1，
解得m=3．
故选：A．
将x=2y=−1代入2x+my=1，即可转化为关于m的一元一次方程，解答即可．
此题考查了二元一次方程的解，对方程解的理解，直接代入方程求值即可．

5.【答案】C 
【解析】解：A、∵a>b，∴a−c>b−c，原变形错误，不符合题意；
B、当c<0时，ac C、∵a>b，c≠0，∴ac2>bc2，正确，符合题意；
D、无法比较ca与cb的大小，原变形错误，不符合题意．
故选：C．
根据不等式的基本性质对各选项进行逐一判断即可．
本题考查的是不等式的基本性质，熟知：①不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．

6.【答案】C 
【解析】解：不等式x−1<1，
解得：x<2，
∵不等式组x−1<1▫的解集为x<2，
∴□表示的不等式可以是x<3．
故选：C．
求出已知不等式的解集，根据不等式组取解集的方法判断即可得到结果．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

7.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查了平行线的性质以及折叠的性质，牢记“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
由CD//AB，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出∠3的度数，再利用折叠的性质，可求出∠2的度数．

【详解】如图，由长方形的性质得：AB//CD

∴∠1+∠3=180∘，
∵∠1=126∘，
∴∠3=180∘−∠1=54∘，
由折叠的性质得：2∠2+∠3=180∘，即2∠2+54∘=180∘，
解得∠2=63∘
故选B．  
8.【答案】B 
【解析】解：A、掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的概率为16，故此选项不符合题意；
B、任意写出一个正整数，能被3整除的概率为13，故此选项符合题意；
C、抛一枚硬币，出现正面朝上的概率为12，故此选项不符合题意；
D、从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到白球的概率为23，故此选项不符合题意．
故选：B．
根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．
此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．

9.【答案】A 
【解析】解：A、∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3(同角的余角相等)，故A符合题意；
B、∵∠ABC+∠BCD=180°，∴AB//CD(同旁内角互补，两直线平行)，故B不符合题意；
C、∵AB//CD，∴∠1=∠D(两直线平行，内错角相等)，故C不符合题意；
D、∵∠1=∠D，∠1=∠3，∴∠D=∠3(等量代换)，故D不符合题意；
故选：A．
根据平行线的判定与性质，并结合图形逐一判断即可解答．
本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．

10.【答案】D 
【解析】解：A.由作图可知，AQ平分∠BAC，
∴∠BAQ=∠CAQ=12∠BAC=40°，
故选项A正确，不符合题意；
B.由作图可知，GQ是BC的垂直平分线，
∴∠DEB=90°，
∵∠B=180°−∠BAC−∠ACB=30°，
∴DE=12BD，
故选项B正确，不符合题意；
C.∵∠B=30°，∠BAP=40°，
∴∠AFC=70°，
∵∠ACB=70°，
∴AF=AC，
故选项C正确，不符合题意；
D.∵∠EFQ=∠AFC=70°，∠QEF=90°，
∴∠EQF=20°；
故选项D错误，符合题意．
故选：D．
根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质判断即可．
本题考查了尺规作图−作角的平分线及线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．

11.【答案】5−2y 
【解析】解：x+2y=5，
移项得，x=5−2y，
故答案为：x=5−2y．
将y看作已知数求x即可．
本题考查解二元一次方程，将y看作已知数求x是解题的关键．

12.【答案】< 
【解析】解：如果事件A是“上学时，在路上遇到班主任老师”，事件B是“上学时，在路上遇到同班同学”，那么P(A) 故答案为：<．
根据概率的意义，即可解答．
本题考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解题的关键．

13.【答案】内错角相等，两直线平行 
【解析】解：如图：

由题意得：∠1=∠2，
∴a//b(内错角相等，两直线平行)，
故答案为：内错角相等，两直线平行．
根据题意可得：∠1=∠2，从而利用内错角相等，两直线平行，即可解答．
本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．

14.【答案】260° 
【解析】解：如图，

∵∠C+∠3=∠2，∠C+∠4=∠1，
∴∠1+∠2=∠C+∠3+∠4+∠C，
∵∠C+∠3+∠4=180°，∠C=80°，
∴∠1+∠2=180°+80°=260°，
故答案为：260°．
利用三角形外角的性质得∠C+∠3=∠2，∠C+∠4=∠1，则∠1+∠2=∠C+∠3+∠4+∠C，再利用三角形内角和定理即可．
本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，熟练利用三角形外角的性质是解题的关键．

15.【答案】八 
【解析】解：设打x折，由题意得：
4125× x10−3000≥3000×10%，
解得：x≥8，
故答案为：八．
设打x折，由题意得不等关系：售价×打折−进价≥进价×利润率，根据不等关系列出不等式，再解即可．
此题主要考查了一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系，设出未知数，列出不等式．

16.【答案】48 
【解析】解：设小长方形的长为x cm，宽为y cm，

由图1得：4x+4y=24，
∴x+y=6，
由图2得：长方形ABCD的长AB表示为：3x+y，宽AD表示为x+3y，
∴长方形ABCD的周长为：2(3x+y+x+3y)=8x+8y=48(cm)；
故答案为：48．
设小长方形的长为x cm，宽为y cm，根据题意列出代数式，然后表示出长方形ABCD的边长，求解即可．
本题主要考查根据图形列代数式及求代数式的值，找出图形各边的数量关系是解题关键．

17.【答案】解：2x≥5x−3①4x+23>x②
由①得：x≤1；
由②得：x>−2；
∴−2 ∴该不等式组所有的整数解为：−1，0，1． 
【解析】本题考查解不等式组及求不等式组的整数解，解题的关键是掌握解不等式组的一般方法．先解出各不等式，再找出其公共解集，得到x的范围，最后在求出的x范围内取整数即可．

18.【答案】解：如下图：点P即为所求．
 
【解析】作∠BAD的平分线与BC的交点即可．
本题考查了复杂作图，掌握三角形的判定定理是解题的关键．

19.【答案】解：(1)2x+y=3①3x−5y=11②，
①×5+②，得13x=26，
解得x=2，
把x=2代入①，得y=−1，
故原方程组的解为x=2y=−1；
(2)x+13=y2①2y−(2x−3)=−1②，
由①得，2x−3y=−2③，
由②，得−2x+2y=−4④，
③+④，得−y=−6，
解得y=6，
把y=6代入④，得−2x=−16，
解得x=8，
故原方程组的解为x=8y=6． 
【解析】(1)用①×5+②，可消去未知数y，求出未知数x，再把x的值代入①求出y即可；
(2)方程组整理后，利用加减消元法求解即可．
本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键．

20.【答案】证明：∵∠1是△ABC的一个外角，
∴∠1>∠3，
∵∠3是△DEC的一个外角，
∴∠3>∠2，
∴∠1>∠2． 
【解析】根据三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角证明即可．
本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角是解题的关键．

21.【答案】白  5  3 
【解析】解：(1)从中任意摸出1个球，摸到白球的可能性大；
故答案为：白；
(2)摸到红球的概率=410=25，摸到白球的概率=610=35，
(3)设应放入x个红球，(8−x)个白球，
根据题意得4+x10+8=6+8−x10+8，
解得x=5，
8−x=3，
所以应放入5个红球，3个白球．
故答案为：5；3．
(1)由于白球比红球多，所以摸到白球的可能性大；
(2)根据概率公式求解；
(3)设应放入x个红球，(8−x)个白球，根据概率公式得到4+x10+8=6+8−x10+8，然后解方程即可．
本题考查了概率公式：正确理解概率公式是解决问题的关键．

22.【答案】解：∠ABE=∠CDE+∠BED时，AB//CD，理由如下：
如图，延长AB交DE于点M，

∵∠ABE=∠CDE+∠BED，∠ABE=∠BME+∠BED，
∴∠BME=∠CDE，
∴AB//CD． 
【解析】根据三角形外角性质及平行线的判定定理求解即可．
此题考查了平行线的判定，熟记“同位角相等，两直线平行”是解题的关键．

23.【答案】0.8 
【解析】解：(1)(1800−1000)×0.1%=0.8(元)．
故答案为：0.8；
(2)根据题意得：0.1%×(a+b−1000)=0.40.1%×(3a+2b)=3.4，
解得：a=600b=800，
∴a+b+(3a+2b)
=4a+3b
=4×600+3×800
=4800(元)．
答：小亮3次提现金额共计4800元．
(1)根据应付手续费=(提现金额−1000)×0.1%，即可求出结论；
(2)根据第一次和第二次提现支付的手续费及第三次提现支付的手续费，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可求出a，b的值，将其代入a+b+(3a+2b)中即可求出结论．
本题考查了代数式的求值，根据数量关系，列式计算和根据等量关系，列出二元一次方程组是关键．

24.【答案】解：(1)∵D是边BC的中点，E是边AC的中点，CD=8，CE=6，
∴AC=2CE=12，BC=2CD=16，
∵AB=20，
∴AB2=AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠C=90°；
(2)∵E是边AC的中点，AE=6，
∴AC=2AE=12．
在Rt△ACD中，∵∠C=90°，AC=12，AD=13，
∴CD= AD2−AC2= 132−122=5，
∴BC=2CD=10，
∴△ABC的面积=12AC⋅BC=12×12×10=60． 
【解析】(1)根据中点的定义和勾股定理的逆定理即可证明；
(2)根据中点的定义求出AC，根据勾股定理求出CD，再求出BC，然后利用三角形面积公式列式计算即可求解．
此题考查了勾股定理及其逆定理，线段中点的定义，三角形的面积，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解本题的关键．

25.【答案】解：1)由题意可知：y1=2000×0.75x=1500x，y2=2000×0.8(x−1)=1600x−1600；
(2)令y1 解得：x>16，
∴当人数大于16人时，选择甲旅行社比较合算；
(3)令y1=19400，则1500x=19400，
解得：x=121415，
令y2=19400，则1600x−1600=19400，
解得：x=1318，
∴选择甲旅行社最多可以使12名员工旅行，选择乙旅行社最多可以使13名员工旅行，
即选择乙旅行社可以使较多的员工去旅行． 
【解析】(1)根据甲、乙旅行社的不同的优惠方案，可求出函数关系式；
(2)y1 (3)分别令y1=19400，y2=19400，求出对应x值，比较大小可得结论．
本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出两个解析式．

26.【答案】AC=BM  AC//BM 
【解析】解：(1)∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△ADC和△MDB中，
CD=BD∠CDA=∠BDMAD=MD，
∴△ADC≌△MDB(SAS)，
∴AC=BM，∠CAD=∠M，
∴AC//BM，
故答案为：AC=BM，AC//BM；
(2)如图2，延长AD到M，使DM=AD，连接BM，

由(1)可知，△MDB≌△ADC(SAS)，
∴BM=AC=8，
在△ABM中，AB−BM ∴12−8 即4<2AD<20，
∴2 即BC边上的中线AD的取值范围为2 (3)EF=2AD，EF⊥AD，理由如下：
如图3，延长AD到M，使得DM=AD，连接BM，

由(1)可知，△BDM≌△CDA(SAS)，
∴BM=AC，
∵AC=AF，
∴BM=AF，
由(2)可知，AC//BM，
∴∠BAC+∠ABM=180°，
∵AE⊥AB、AF⊥AC，
∴∠BAE=∠FAC=90°，
∴∠BAC+∠EAF=180°，
∴∠ABM=∠EAF，
在△ABM和△EAF中，
AB=EA∠ABM=∠EAFBM=AF，
∴△ABM≌△EAF(SAS)，
∴AM=EF，∠BAM=∠E，
∵AD=DM，
∴AM=2AD，
∴EF=2AD，
∵∠EAM=∠BAM+∠BAE=∠E+∠APE，
∴∠APE=∠BAE=90°，
∴EF⊥AD．
(1)证△ADC≌△MDB(SAS)，得AC=BM，∠CAD=∠M，再由平行线的判定即可得出AC//BM，
(2)延长AD到M，使DM=AD，连接BM，由(1)可知，△MDB≌△ADC(SAS)，得BM=AC=8，再由三角形的三边关系即可得出结论；
(3)延长AD到M，使得DM=AD，连接BM，由(1)可知，△BDM≌△CDA(SAS)，得BM=AC，再证△ABM≌△EAF(SAS)，得AM=EF，∠BAM=∠E，则EF=2AD，然后由三角形的外角性质证出∠APE=∠BAE=90°，即可得出结论．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、倍长中线法、三角形的三边关系、平行线的判定与性质以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．

27.【答案】(1)证明：∵∠ABE=∠BAC，
∴AD=BD，
在△ADF与△BDC中，
∠AFD=∠C=90°∠ADF=∠BDCAD=BD，
∴△ADF≌△BDC(AAS)，
∴AF=BC；
(2)解：MN+MF=BC，
理由：过A作AP⊥FG于P，AQ⊥BE于Q，

则四边形APFQ是矩形，
∴AQ=PF，AP//FQ，
∴∠PAM=∠ABF，
∵∠ABE=∠BAC，
∴∠MAN=∠PAM，
∵MN⊥AC，
∴MN=MP，
由(1)知，AQ=BC，
∴PF=BC，
∵PF=FM+PM，
∴BC=FM+MN． 
【解析】(1)根据等腰三角形的性质得到AD=BD，根据全等三角形的性质即可得到结论；
(2)过A作AP⊥FG于P，AQ⊥BE于Q，则四边形APFQ是矩形，根据矩形的性质得到AQ=PF，AP//FQ，根据平行线的性质得到∠PAM=∠ABF，得到MN=MP，由(1)知，AQ=BC，等量代换得到PF=BC，于是得到结论．
本题考查了作图−平移变换，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，矩形 的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．