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浙教版初中数学七年级下册第四单元《因式分解 》单元测试卷（困难）（含详细答案解析）
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浙教版初中数学七年级下册第四单元《因式分解》单元测试卷考试范围：第四章；考试时间：120分钟；总分：120分一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如果多项式x2−mx−35分解因式为(x−5)(x+7)，那么m的值为( )A. −2 B. 2 C. 12 D. −122.已知在x2+mx−16=(x+a)(x+b)中，a，b为整数，能使这个因式分解过程成立的m值的个数有( )A. 4个 B. 5个 C. 8个 D. 10个3.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( )A. (3−x)(3+x)=9−x2 B. m4−n4=(m2+n2)(m+n)(m−n) C. (x+y)2=x2+2xy+y2 D. 6a3b+3ab2+3ab=3ab(2a2+b)4.下列各多项式从左到右变形是因式分解，并分解正确的是( )A. (a−b)2−(b−a)=(a−b)(a−b+1) B. (x+2)(x+3)=x2+5x+6 C. 4a2−9b2=(4a−9b)(4a+9b) D. m2−n2+2=(m+n)(m−n)+25.三个多项式：x2y−4y，x2y−2xy，x2y−4xy+4y的最大公因式是( )A. y(x+2) B. y(x−4) C. y(x−2)2 D. y(x−2)6.(−2)2018+(−2)2019的值是( )A. −2 B. −22018 C. 0 D. 220187.设p(≥3)是质数，并且8p2+1也是质数，则8p2−p+2是 ( )A. 质数 B. 合数 C. 分数 D. 无法判断8.多项式8xmyn−1−12x3myn的公因式是()A. xmyn B. xmyn−1 C. 4xmyn D. 4xmyn−19.如图为乘法表的一部分，每一个空格填入该格最上方与最左方的两数之积，则16个阴影空格中填入的数之和是( ) A. 87 464 B. 87 500 C. 87 536 D. 87 57210.已知实数a，b满足4a2+ 7b=n,b2+2 7a=n,b≠2a，其中n为自然数，则n的最小值是 ( )A. 4 B. 5 C. 6 D. 711.下列多项式中，能用公式法分解因式的是( )A. a2−a B. a2+b2 C. −a2+9b2 D. a2+4ab−4b212.把多项式xy2−16x分解因式的结果正确的是( )A. x(y2−16) B. x(y−4)2 C. x(y+4)2 D. x(y+4)(y−4)二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。13.如果x3+ax2+bx+8有两个因式x+1和x+2，那么a+b= ．14.在x3−4x2+5x−k中，有一个因式为(x+2)，则k的值为________．15.分解因式：3xm+n−6ym+n=________．16.已知a、b、c为三角形的三边，且则a2+b2+c2=ab+bc+ac，则三角形的形状是______．三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)阅读下列材料，然后解答问题：分解因式：x3+4x2−5．解答：把x=1代入多项式x3+4x2−5，发现此多项式的值为0，由此确定多项式x3+4x2−5中有因式(x−1)，于是可设x3+4x2−5=(x−1)(x2+mx+n)，分别求出m，n的值．再代入x3+4x2−5=(x−1)(x2+mx+n)，就容易分解多项式x3+4x2−5，这种分解因式的方法叫做“试根法”．(1)求上述式子中m，n的值；(2)请你用“试根法”分解因式：x3+x2−9x−9．18.(本小题8分) 分解因式： (1)x(x−y)+y(y−x)； (2)(x+y)(x+y−1)+14．19.(本小题8分) (1)因式分解：(x−y)(3x−y)+2x(3x−y)； (2)设y=kx，是否存在实数k，使得上式的化简结果为x2？求出所有满足条件的k的值.若不能，请说明理由．20.(本小题8分)阅读下列分解因式的过程，并回答所提出的问题：1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)(1+x)2=(1+x)3．(1)上述分解因式的步骤中，第一步运用的是 法；(2)直接写出分解因式1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n(n为正数，n>2)的结果．21.(本小题8分) 先将代数式因式分解，再求值：(1) 2x(a−2)−y(2−a)，其中a=0.5，x=1.5，y=−2;(2)x2(b+c−d)−4x(d−b−c)+4d−4c−4b，其中b+c−d=8，x2+4x=1．22.(本小题8分) 【发现】两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数． (1)【验证】(3+1)2−(3−1)2= ______； (2)【证明】设两个正整数为m、n，请验证“发现”中的结论正确； (3)【拓展】请说明当两个正整数m、n同为偶数或同为奇数时，这两个数的积可以表示为两个整数的平方差．23.(本小题8分) 对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 例如，由图1可以得到：(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2． (1)由图2可以得到：______； (2)利用图2所得的等式解答下列问题： ①若实数a，b，c满足a+b+c=11，ab+bc+ac=38，则a2+b2+c2的值为______； ②若实数x，y，z满足8x×4y÷2z=4，9x2+4y2+z2=44，求6xy−3xz−2yz的值． 24.(本小题8分) (1)已知x2y=2，x−2y=5，求x3y−2x2y2的值． (2)化简求值：(a2b3+2a3b)÷(2ab)−(a+2b)(a−2b)，其中a=1，b=12．25.(本小题8分) 定义：任意两个数a，b，按规则c=a2+b2−ab运算得到一个新数c，称c为a，b的“和方差数”． (1)求2，−3的“和方差数”． (2)若两个非零数a，b的积是a，b的“和方差数”，求2a−2b的值． (3)若a+b=3，ab=4，求a，b的“和方差数”c． 答案和解析1.【答案】A 【解析】【分析】 本题主要考查了因式分解与多项式相乘是互逆运算，解答此题要熟练掌握多项式乘法的运算法则； 解答此题把多项式相乘展开，然后利用系数对应即可求解． 【解答】 解：∵(x−5)(x+7) =x2+7x−5x−35 =x2+2x−35 =x2−mx−35， ∴−m=2， ∴m=−2． 故选A．2.【答案】B 【解析】解：∵−16=−1×16=−2×8=−4×4=4×(−4)=2×(−8)=1×(−16)=a×b， ∴m=a+b=−1+16或−2+8或−4+4或4+(−4)或2+(−8)或1+(−16)， 即m=±15或±6或0． 则m的可能值的个数为5， 故选：B． −16=−1×16=−2×8=−4×4=4×(−4)=2×(−8)=1×(−16)=a×b，m=a+b，m的取值有五种可能． 本题考查的是二次三项式的因式分解，掌握十字相乘法是解题的关键．3.【答案】B 【解析】解：A.(3−x)(3+x)=9−x2，是整式乘法，故选项不合题意； B.m4−n4=(m2+n2)(m+n)(m−n)，是因式分解，故选项符合题意； C.(x+y)2=x2+2xy+y2，是整式乘法，故选项不合题意； D.6a3b+3ab2+3ab=3ab(2a2+b+1)，故选项不合题意． 故选：B． 把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式．据此作答即可． 本题考查了因式分解，解题的关键是理解因式分解的定义．4.【答案】A 【解析】解：A、(a−b)2−(b−a)=(a−b)(a−b+1)，是因式分解，故本选项符合题意； B、(x+2)(x+3)=x2+5x+6，是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； C、4a2−9b2≠(4a−9b)(4a+9b)，不是因式分解，故本选项不符合题意； D、m2−n2+2=(m+n)(m−n)+2，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意． 故选：A． 直接利用因式分解的定义进而分析得出答案． 本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．5.【答案】D 【解析】解：∵x2y−4y=y(x+2)(x−2)，x2y−2xy=xy(x−2)，x2y−4xy+4y=y(x−2)2． ∴最大公因式是y(x−2)，故D正确． 故选：D． 先把多项式因式分解，再进行解答即可． 本题主要考查了最大公因式，熟练掌握最大公因式的定义，将三个多项式分解因式，是解题的关键．6.【答案】B 【解析】【分析】 此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键.直接利用提取公因式法分解因式进而计算得出答案． 【解答】 解：(−2)2018+(−2)2019 =(−2)2018×(1−2) =−22018． 故选B．7.【答案】A 【解析】【分析】 本题考查了完全平方公式、因式分解的提公因式法及质数合数的问题，分P=3及P>3两种情况讨论即可解答．【解答】 解：当p=3时，8p2+1=73是质数，8p2−p+2=71也是质数，符合题意，当p>3时，质数p就不是3的倍数，不妨设p=3k+1或3k+2，k是正整数．(1)若p=3k+1，则8p2+1=8(3k+1)2+1=3(24k2+16k+3)，是合数，舍去；(2)若p=3k+2，则8p2+1=8(3k+2)2+1=3(24k2+32k+11)，也是合数，舍去，所以p既不是3k+1型质数，也不是3k+2型质数．因此p=3是质数，并且8p2+1也是质数，则8p2−p+2是质数．故选：A．8.【答案】D 【解析】【分析】 本题主要考查了多项式中公因式的提取方法，根据公因式的概念及确定方法，从系数、相同字母、指数三个方面进行确定，即可求得多项式的公因式． 【解答】 解：根据找公因式的方法，可得 8xmyn−1、−12x3myn的各项整数系数的最大公约数为4， 各项的相同字母为x、y，且x的最小指数m，y的最小指数n−1， 所以多项式8xmyn−1−12x3myn的公因式是4xmyn−1， 故选D．9.【答案】B 【解析】【分析】根据题意，列式计算即可．【详解】解：∵每一个空格填入该格最上方与最左方的两数之积，∴16个阴影空格中填入的数之和是：61×86+87+88+89+62×86+87+88+89+63×86+87+88+89+64×86+87+88+89=61+62+63+64×86+87+88+89=250×350=87500；故选B．本题考查有理数的混合运算．正确的理解题意，列出算式，是解题的关键．10.【答案】C 【解析】【分析】由原式知，(4a2+ 7b)−(b2+2 7a)=0，进一步变形得(2a−b)(2a+b− 7)=0，因为b≠2a，所以2a+b− 7=0，得b= 7−2a;代入b2+2 7a=n得，( 7−2a)2+2 7a=n，配方法求极值．【详解】由原式知，(4a2+ 7b)−(b2+2 7a)=0∴(4a2−b2)−(2 7a− 7b)=0(2a+b)(2a−b)− 7(2a−b)=0∴(2a−b)(2a+b− 7)=0∵b≠2a∴2a+b− 7=0∴b= 7−2a代入b2+2 7a=n得，( 7−2a)2+2 7a=n，整理，得n=4a2−2 7a+7=(2a− 72)2+512≥512∴自然数n的最小值为6故选C．11.【答案】C 【解析】【分析】 考查了公式法分解因式，解题关键是正确应用公式法因式分解． 直接利用公式法或提取公因式法分解因式进而判断． 【解答】 A、a2−a=a(a−1)，故此选项错误； B、a2+b2，无法分解因式，故此选项错误； C、−a2+9b2=(3b+a)(3b−a)，故此选项正确； D、a2+4ab−4b2，无法分解因式，故此选项错误． 故选：C．12.【答案】D 【解析】解：xy2−16x， =x(y2−16)， =x(y+4)(y−4)． 故选：D． 应先提取公因式x，然后根据平方差公式的特点，再利用平方差公式分解． 本题考查因式分解．因式分解的步骤为：一提公因式；二看能否用公式．注意分解要彻底．13.【答案】21 【解析】由题意得x=−1与x=−2均为x3+ax2+bx+8=0的解， 则−1+a−b+8=0,−8+4a−2b+8=0, 即a−b=−7 ①,2a−b=0 ②, ②− ①得a=7，将a=7代入 ①得b=14， 所以a+b=7+14=21．14.【答案】−34 【解析】【分析】 本题主要考查了因式分解的定义，以及整式的乘法，根据原多项式正确设出另一个因式是解题的关键，要注意总结．认真审题，根据多项式中含有x3−4x2，并且进行因式分解后含有一个因式(x+2)，所以可以设出另一个因式，据此即可得出本题的答案． 【解答】 解：设另一个因式为：(x2−6x+m)， 则：x3−4x2+5x−k=(x+2)(x2−6x+m) =x3−4x2+(m−12)x+2m， ∴m−12=5， 解得：m=17， ∴−k=2m=2×17=34， ∴k=−34．15.【答案】3(m+n)(x−2y) 【解析】【分析】 此题考查了因式分解−提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．原式提取公因式即可得到结果． 【解答】 解：原式=3(m+n)(x−2y)， 故答案为：3(m+n)(x−2y)16.【答案】等边三角形 【解析】解：∵a2+b2+c2=ab+bc+ac， ∴a2+b2+c2−ab−bc−ac=0， ∴2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ac=0， ∴a2−2ab+b2+b2−2bc+c2+a2−2ac+c2=0， 即(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2=0， ∴a−b=0，b−c=0，c−a=0， ∴a=b=c， ∴△ABC为等边三角形． 故答案为：等边三角形． 分析题目所给的式子，将等号两边均乘以2，利用配方法变形，得(a−b)2+(a−c)2+(b−c)2=0，再利用非负数的性质求解即可． 本题考查了配方法的应用，用到的知识点是配方法、非负数的性质、等边三角形的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题17.【答案】【小题1】x3+4x2−5=(x−1)(x2+mx+n)=x3+(m−1)x2+(n−m)x−n，∴m−1=4，n−m=0，∴m=5，n=5．【小题2】把x=−1代入x3+x2−9x−9，多项式的值为0，则多项式x3+x2−9x−9中有因式(x+1)，于是可设x3+x2−9x−9=(x+1)(x2+mx+n)=x3+(m+1)x2+(n+m)x+n，∴m+1=1，n+m=−9.∴m=0，n=−9.∴x3+x2−9x−9=(x+1)(x2−9)=(x+1)(x+3)(x−3)． 【解析】1. 见答案 2. 见答案18.【答案】解：(1)x(x−y)+y(y−x)， =x(x−y)−y(x−y)， =(x−y)(x−y)， =(x−y)2； (2)原式=(x+y)[(x+y)−1]+14， =(x+y)2−(x+y)+14， =(x+y−12)2． 【解析】(1)把第二项整理为含(x−y)的式子，提取公因式(x−y)，进而整理为完全平方公式即可； (2)把第二个括号内的式子整理为(x+y)−1，进而整理用完全平方公式分解即可． (1)考查了提公因式法分解因式，两个因式互为相反数，公因式应是其中的一个，另一个的系数的符号与原符号相反；(2)考查了利用完全平方公式分解因式，注意运用整体思想与公式法结合进行因式分解．19.【答案】解：(1)原式=(3x−y)(x−y+2x)=(3x−y)(3x−y)=(3x−y)2； (2)将y=kx代入上式得： (3x−kx)2=[(3−k)x]2=(3−k)2x2； 令(3−k)2=1， 3−k=±1， 解得：k=4或2． 【解析】(1)首先提取公因式(3x−y)，进而分解因式得出答案； (2)将y=kx代入进而利用使得上式的化简结果为x2，即可得出关于k的等式求出答案． 此题主要考查了提取公因式法分解因式，关键是正确找出公因式．关键是掌握具体方法：(1)当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．(2)如果多项式的第一项是负的，一般要提出“−”号，使括号内的第一项的系数成为正数．注意提出“−”号时，多项式的各项都要变号．20.【答案】【小题1】提公因式【小题2】(x+1)n+1 【解析】1. 略 2. 略21.【答案】【小题1】原式=2x(a−2)+y(a−2)=(a−2)(2x+y)，当a=0.5，x=1.5，y=−2时，原式=(0.5−2)×(2×1.5−2)=−1.5．【小题2】原式=x2(b+c−d)+4x(b+c−d)−4b−4c+4d=x2(b+c−d)+4x(b+c−d)−4(b+c−d)=(b+c−d)(x2+4x−4)，当b+c−d=8，x2+4x=1时，原式=8×(1−4)=−24． 【解析】1. 见答案 2. 见答案22.【答案】12 【解析】解：(1)(3+1)2−(3−1)2 =(3+1+3−1)(3+1−3+1) =6×2 =12， 故答案为：12； (2)设两个正整数为m、n， 则(m+n)2−(m−n)2 =(m+n+m−n)(m+n−m+n) =2m×2n =4mn， ∴(m+n)2−(m−n)2能被4整除， 故两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数的结论正确． (3)由(2)得：4mn=(m+n)2−(m−n)2， ∴mn=(m+n2)2−(m−n2)2， ∵正整数m、n同为偶数或同为奇数， ∴m+n，m−n同为偶数， ∴m+n2，m−n2都是整数， ∴mn可以表示为两个整数的平方差． (1)根据平方差公式计算即可； (2)设两个正整数为m、n，则计算(m+n)2−(m−n)2并验证结论即可； (3)由(2)得：4mn=(m+n)2−(m−n)2，可得mn=(m+n2)2−(m−n2)2，根据偶数和奇数的知识，可知m+n2，m−n2都是整数，从而得mn可以表示为两个整数的平方差． 本题考查的是因式分解的应用和列代数式，熟练掌握上述知识点是解题的关键．23.【答案】(a+b+c)2=a2+2ac+c2+2ab+b2+2bc 45 【解析】解：(1)由图2可知，(a+b+c)2=a2+2ac+c2+2ab+b2+2bc， 故答案为：(a+b+c)2=a2+2ac+c2+2ab+b2+2bc； (2)①根据(a+b+c)2=a2+2ac+c2+2ab+b2+2bc，a+b+c=11，ab+bc+ac=38， 可得：a2+b2+c2 =(a+b+c)2−2(ac+ab+bc) =112−2×38 =121−76 =45， 故答案为：45； ②∵8x×4y÷2z=4， ∴23x×22y÷2z=22， ∴23x+2y−z=22， ∴3x+2y−z=2， ∵9x2+4y2+z2=44， ∴(3x)2+(2y)2+z2=44， ∴(3x+2y−z)2=(3x)2+(2y)2+z2+6xy−3xz−2yz， ∴6xy−3xz−2yz =(3x+2y−z)2−(3x)2−(2y)2−z2 =4−44 =−40． (1)根据长方形和正方形的面积公式计算即可； (2)①根据(1)中的(a+b+c)2=a2+2ac+c2+2ab+b2+2bc公式变形计算即可； ②根据8x×4y÷2z=4，9x2+4y2+z2=44，可知3x+2y−z=2，(3x)2+(2y)2+z2=44，则6xy−3xz−2yz=(3x+2y−z)2−(3x)2−(2y)2−z2，代入计算即可． 本题考查的是因式分解的应用，同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘和完全平方公式的几何意义，熟练掌握上述知识点是解题的关键．24.【答案】解：(1)∵x2y=2，x−2y=5， ∴原式=x3y−2x2y2 =x2y(x−2y) =2×5 =10； (2)原式=(a2b3+2a3b)÷(2ab)−(a+2b)(a−2b) =12ab2+a2−a2+4b2 =12ab2+4b2； 当a=1，b=12时，原式=12×1×(12)2+4×(12)2=18+1=98． 【解析】(1)根据提公因式法将原式进行变形，再代入计算即可； (2)根据整式的混合运算法则进行化简，再代入求值即可． 本题考查的是因式分解的应用和整式的混合运算，熟练掌握上述知识点是解题的关键．25.【答案】解：(1)22+(−3)2+2×3=19； (2)∵两个非零数a，b的积是a，b的“和方差数”， ∴ab=a2+b2−ab， ∴(a−b)2=0， ∴a−b=0， ∴2a−2b=2(a−b)=0； (3)∵a+b=3，ab=4， ∴c=a2+b2−ab =(a+b)2−3ab =9−12 =−3． 【解析】(1)根据新定义计算即可； (2)根据新定义，可得ab=a2+b2−ab，即a−b=0，再将其代入2a−2b中计算即可； (3)根据题意，可知c=a2+b2−ab=(a+b)2−3ab，再将a+b=3，ab=4代入计算即可． 本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
浙教版初中数学七年级下册第四单元《因式分解》单元测试卷考试范围：第四章；考试时间：120分钟；总分：120分一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如果多项式x2−mx−35分解因式为(x−5)(x+7)，那么m的值为( )A. −2 B. 2 C. 12 D. −122.已知在x2+mx−16=(x+a)(x+b)中，a，b为整数，能使这个因式分解过程成立的m值的个数有( )A. 4个 B. 5个 C. 8个 D. 10个3.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( )A. (3−x)(3+x)=9−x2 B. m4−n4=(m2+n2)(m+n)(m−n) C. (x+y)2=x2+2xy+y2 D. 6a3b+3ab2+3ab=3ab(2a2+b)4.下列各多项式从左到右变形是因式分解，并分解正确的是( )A. (a−b)2−(b−a)=(a−b)(a−b+1) B. (x+2)(x+3)=x2+5x+6 C. 4a2−9b2=(4a−9b)(4a+9b) D. m2−n2+2=(m+n)(m−n)+25.三个多项式：x2y−4y，x2y−2xy，x2y−4xy+4y的最大公因式是( )A. y(x+2) B. y(x−4) C. y(x−2)2 D. y(x−2)6.(−2)2018+(−2)2019的值是( )A. −2 B. −22018 C. 0 D. 220187.设p(≥3)是质数，并且8p2+1也是质数，则8p2−p+2是 ( )A. 质数 B. 合数 C. 分数 D. 无法判断8.多项式8xmyn−1−12x3myn的公因式是()A. xmyn B. xmyn−1 C. 4xmyn D. 4xmyn−19.如图为乘法表的一部分，每一个空格填入该格最上方与最左方的两数之积，则16个阴影空格中填入的数之和是( ) A. 87 464 B. 87 500 C. 87 536 D. 87 57210.已知实数a，b满足4a2+ 7b=n,b2+2 7a=n,b≠2a，其中n为自然数，则n的最小值是 ( )A. 4 B. 5 C. 6 D. 711.下列多项式中，能用公式法分解因式的是( )A. a2−a B. a2+b2 C. −a2+9b2 D. a2+4ab−4b212.把多项式xy2−16x分解因式的结果正确的是( )A. x(y2−16) B. x(y−4)2 C. x(y+4)2 D. x(y+4)(y−4)二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。13.如果x3+ax2+bx+8有两个因式x+1和x+2，那么a+b= ．14.在x3−4x2+5x−k中，有一个因式为(x+2)，则k的值为________．15.分解因式：3xm+n−6ym+n=________．16.已知a、b、c为三角形的三边，且则a2+b2+c2=ab+bc+ac，则三角形的形状是______．三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)阅读下列材料，然后解答问题：分解因式：x3+4x2−5．解答：把x=1代入多项式x3+4x2−5，发现此多项式的值为0，由此确定多项式x3+4x2−5中有因式(x−1)，于是可设x3+4x2−5=(x−1)(x2+mx+n)，分别求出m，n的值．再代入x3+4x2−5=(x−1)(x2+mx+n)，就容易分解多项式x3+4x2−5，这种分解因式的方法叫做“试根法”．(1)求上述式子中m，n的值；(2)请你用“试根法”分解因式：x3+x2−9x−9．18.(本小题8分) 分解因式： (1)x(x−y)+y(y−x)； (2)(x+y)(x+y−1)+14．19.(本小题8分) (1)因式分解：(x−y)(3x−y)+2x(3x−y)； (2)设y=kx，是否存在实数k，使得上式的化简结果为x2？求出所有满足条件的k的值.若不能，请说明理由．20.(本小题8分)阅读下列分解因式的过程，并回答所提出的问题：1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)(1+x)2=(1+x)3．(1)上述分解因式的步骤中，第一步运用的是 法；(2)直接写出分解因式1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n(n为正数，n>2)的结果．21.(本小题8分) 先将代数式因式分解，再求值：(1) 2x(a−2)−y(2−a)，其中a=0.5，x=1.5，y=−2;(2)x2(b+c−d)−4x(d−b−c)+4d−4c−4b，其中b+c−d=8，x2+4x=1．22.(本小题8分) 【发现】两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数． (1)【验证】(3+1)2−(3−1)2= ______； (2)【证明】设两个正整数为m、n，请验证“发现”中的结论正确； (3)【拓展】请说明当两个正整数m、n同为偶数或同为奇数时，这两个数的积可以表示为两个整数的平方差．23.(本小题8分) 对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 例如，由图1可以得到：(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2． (1)由图2可以得到：______； (2)利用图2所得的等式解答下列问题： ①若实数a，b，c满足a+b+c=11，ab+bc+ac=38，则a2+b2+c2的值为______； ②若实数x，y，z满足8x×4y÷2z=4，9x2+4y2+z2=44，求6xy−3xz−2yz的值． 24.(本小题8分) (1)已知x2y=2，x−2y=5，求x3y−2x2y2的值． (2)化简求值：(a2b3+2a3b)÷(2ab)−(a+2b)(a−2b)，其中a=1，b=12．25.(本小题8分) 定义：任意两个数a，b，按规则c=a2+b2−ab运算得到一个新数c，称c为a，b的“和方差数”． (1)求2，−3的“和方差数”． (2)若两个非零数a，b的积是a，b的“和方差数”，求2a−2b的值． (3)若a+b=3，ab=4，求a，b的“和方差数”c． 答案和解析1.【答案】A 【解析】【分析】 本题主要考查了因式分解与多项式相乘是互逆运算，解答此题要熟练掌握多项式乘法的运算法则； 解答此题把多项式相乘展开，然后利用系数对应即可求解． 【解答】 解：∵(x−5)(x+7) =x2+7x−5x−35 =x2+2x−35 =x2−mx−35， ∴−m=2， ∴m=−2． 故选A．2.【答案】B 【解析】解：∵−16=−1×16=−2×8=−4×4=4×(−4)=2×(−8)=1×(−16)=a×b， ∴m=a+b=−1+16或−2+8或−4+4或4+(−4)或2+(−8)或1+(−16)， 即m=±15或±6或0． 则m的可能值的个数为5， 故选：B． −16=−1×16=−2×8=−4×4=4×(−4)=2×(−8)=1×(−16)=a×b，m=a+b，m的取值有五种可能． 本题考查的是二次三项式的因式分解，掌握十字相乘法是解题的关键．3.【答案】B 【解析】解：A.(3−x)(3+x)=9−x2，是整式乘法，故选项不合题意； B.m4−n4=(m2+n2)(m+n)(m−n)，是因式分解，故选项符合题意； C.(x+y)2=x2+2xy+y2，是整式乘法，故选项不合题意； D.6a3b+3ab2+3ab=3ab(2a2+b+1)，故选项不合题意． 故选：B． 把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式．据此作答即可． 本题考查了因式分解，解题的关键是理解因式分解的定义．4.【答案】A 【解析】解：A、(a−b)2−(b−a)=(a−b)(a−b+1)，是因式分解，故本选项符合题意； B、(x+2)(x+3)=x2+5x+6，是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； C、4a2−9b2≠(4a−9b)(4a+9b)，不是因式分解，故本选项不符合题意； D、m2−n2+2=(m+n)(m−n)+2，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意． 故选：A． 直接利用因式分解的定义进而分析得出答案． 本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．5.【答案】D 【解析】解：∵x2y−4y=y(x+2)(x−2)，x2y−2xy=xy(x−2)，x2y−4xy+4y=y(x−2)2． ∴最大公因式是y(x−2)，故D正确． 故选：D． 先把多项式因式分解，再进行解答即可． 本题主要考查了最大公因式，熟练掌握最大公因式的定义，将三个多项式分解因式，是解题的关键．6.【答案】B 【解析】【分析】 此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键.直接利用提取公因式法分解因式进而计算得出答案． 【解答】 解：(−2)2018+(−2)2019 =(−2)2018×(1−2) =−22018． 故选B．7.【答案】A 【解析】【分析】 本题考查了完全平方公式、因式分解的提公因式法及质数合数的问题，分P=3及P>3两种情况讨论即可解答．【解答】 解：当p=3时，8p2+1=73是质数，8p2−p+2=71也是质数，符合题意，当p>3时，质数p就不是3的倍数，不妨设p=3k+1或3k+2，k是正整数．(1)若p=3k+1，则8p2+1=8(3k+1)2+1=3(24k2+16k+3)，是合数，舍去；(2)若p=3k+2，则8p2+1=8(3k+2)2+1=3(24k2+32k+11)，也是合数，舍去，所以p既不是3k+1型质数，也不是3k+2型质数．因此p=3是质数，并且8p2+1也是质数，则8p2−p+2是质数．故选：A．8.【答案】D 【解析】【分析】 本题主要考查了多项式中公因式的提取方法，根据公因式的概念及确定方法，从系数、相同字母、指数三个方面进行确定，即可求得多项式的公因式． 【解答】 解：根据找公因式的方法，可得 8xmyn−1、−12x3myn的各项整数系数的最大公约数为4， 各项的相同字母为x、y，且x的最小指数m，y的最小指数n−1， 所以多项式8xmyn−1−12x3myn的公因式是4xmyn−1， 故选D．9.【答案】B 【解析】【分析】根据题意，列式计算即可．【详解】解：∵每一个空格填入该格最上方与最左方的两数之积，∴16个阴影空格中填入的数之和是：61×86+87+88+89+62×86+87+88+89+63×86+87+88+89+64×86+87+88+89=61+62+63+64×86+87+88+89=250×350=87500；故选B．本题考查有理数的混合运算．正确的理解题意，列出算式，是解题的关键．10.【答案】C 【解析】【分析】由原式知，(4a2+ 7b)−(b2+2 7a)=0，进一步变形得(2a−b)(2a+b− 7)=0，因为b≠2a，所以2a+b− 7=0，得b= 7−2a;代入b2+2 7a=n得，( 7−2a)2+2 7a=n，配方法求极值．【详解】由原式知，(4a2+ 7b)−(b2+2 7a)=0∴(4a2−b2)−(2 7a− 7b)=0(2a+b)(2a−b)− 7(2a−b)=0∴(2a−b)(2a+b− 7)=0∵b≠2a∴2a+b− 7=0∴b= 7−2a代入b2+2 7a=n得，( 7−2a)2+2 7a=n，整理，得n=4a2−2 7a+7=(2a− 72)2+512≥512∴自然数n的最小值为6故选C．11.【答案】C 【解析】【分析】 考查了公式法分解因式，解题关键是正确应用公式法因式分解． 直接利用公式法或提取公因式法分解因式进而判断． 【解答】 A、a2−a=a(a−1)，故此选项错误； B、a2+b2，无法分解因式，故此选项错误； C、−a2+9b2=(3b+a)(3b−a)，故此选项正确； D、a2+4ab−4b2，无法分解因式，故此选项错误． 故选：C．12.【答案】D 【解析】解：xy2−16x， =x(y2−16)， =x(y+4)(y−4)． 故选：D． 应先提取公因式x，然后根据平方差公式的特点，再利用平方差公式分解． 本题考查因式分解．因式分解的步骤为：一提公因式；二看能否用公式．注意分解要彻底．13.【答案】21 【解析】由题意得x=−1与x=−2均为x3+ax2+bx+8=0的解， 则−1+a−b+8=0,−8+4a−2b+8=0, 即a−b=−7 ①,2a−b=0 ②, ②− ①得a=7，将a=7代入 ①得b=14， 所以a+b=7+14=21．14.【答案】−34 【解析】【分析】 本题主要考查了因式分解的定义，以及整式的乘法，根据原多项式正确设出另一个因式是解题的关键，要注意总结．认真审题，根据多项式中含有x3−4x2，并且进行因式分解后含有一个因式(x+2)，所以可以设出另一个因式，据此即可得出本题的答案． 【解答】 解：设另一个因式为：(x2−6x+m)， 则：x3−4x2+5x−k=(x+2)(x2−6x+m) =x3−4x2+(m−12)x+2m， ∴m−12=5， 解得：m=17， ∴−k=2m=2×17=34， ∴k=−34．15.【答案】3(m+n)(x−2y) 【解析】【分析】 此题考查了因式分解−提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．原式提取公因式即可得到结果． 【解答】 解：原式=3(m+n)(x−2y)， 故答案为：3(m+n)(x−2y)16.【答案】等边三角形 【解析】解：∵a2+b2+c2=ab+bc+ac， ∴a2+b2+c2−ab−bc−ac=0， ∴2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ac=0， ∴a2−2ab+b2+b2−2bc+c2+a2−2ac+c2=0， 即(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2=0， ∴a−b=0，b−c=0，c−a=0， ∴a=b=c， ∴△ABC为等边三角形． 故答案为：等边三角形． 分析题目所给的式子，将等号两边均乘以2，利用配方法变形，得(a−b)2+(a−c)2+(b−c)2=0，再利用非负数的性质求解即可． 本题考查了配方法的应用，用到的知识点是配方法、非负数的性质、等边三角形的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题17.【答案】【小题1】x3+4x2−5=(x−1)(x2+mx+n)=x3+(m−1)x2+(n−m)x−n，∴m−1=4，n−m=0，∴m=5，n=5．【小题2】把x=−1代入x3+x2−9x−9，多项式的值为0，则多项式x3+x2−9x−9中有因式(x+1)，于是可设x3+x2−9x−9=(x+1)(x2+mx+n)=x3+(m+1)x2+(n+m)x+n，∴m+1=1，n+m=−9.∴m=0，n=−9.∴x3+x2−9x−9=(x+1)(x2−9)=(x+1)(x+3)(x−3)． 【解析】1. 见答案 2. 见答案18.【答案】解：(1)x(x−y)+y(y−x)， =x(x−y)−y(x−y)， =(x−y)(x−y)， =(x−y)2； (2)原式=(x+y)[(x+y)−1]+14， =(x+y)2−(x+y)+14， =(x+y−12)2． 【解析】(1)把第二项整理为含(x−y)的式子，提取公因式(x−y)，进而整理为完全平方公式即可； (2)把第二个括号内的式子整理为(x+y)−1，进而整理用完全平方公式分解即可． (1)考查了提公因式法分解因式，两个因式互为相反数，公因式应是其中的一个，另一个的系数的符号与原符号相反；(2)考查了利用完全平方公式分解因式，注意运用整体思想与公式法结合进行因式分解．19.【答案】解：(1)原式=(3x−y)(x−y+2x)=(3x−y)(3x−y)=(3x−y)2； (2)将y=kx代入上式得： (3x−kx)2=[(3−k)x]2=(3−k)2x2； 令(3−k)2=1， 3−k=±1， 解得：k=4或2． 【解析】(1)首先提取公因式(3x−y)，进而分解因式得出答案； (2)将y=kx代入进而利用使得上式的化简结果为x2，即可得出关于k的等式求出答案． 此题主要考查了提取公因式法分解因式，关键是正确找出公因式．关键是掌握具体方法：(1)当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．(2)如果多项式的第一项是负的，一般要提出“−”号，使括号内的第一项的系数成为正数．注意提出“−”号时，多项式的各项都要变号．20.【答案】【小题1】提公因式【小题2】(x+1)n+1 【解析】1. 略 2. 略21.【答案】【小题1】原式=2x(a−2)+y(a−2)=(a−2)(2x+y)，当a=0.5，x=1.5，y=−2时，原式=(0.5−2)×(2×1.5−2)=−1.5．【小题2】原式=x2(b+c−d)+4x(b+c−d)−4b−4c+4d=x2(b+c−d)+4x(b+c−d)−4(b+c−d)=(b+c−d)(x2+4x−4)，当b+c−d=8，x2+4x=1时，原式=8×(1−4)=−24． 【解析】1. 见答案 2. 见答案22.【答案】12 【解析】解：(1)(3+1)2−(3−1)2 =(3+1+3−1)(3+1−3+1) =6×2 =12， 故答案为：12； (2)设两个正整数为m、n， 则(m+n)2−(m−n)2 =(m+n+m−n)(m+n−m+n) =2m×2n =4mn， ∴(m+n)2−(m−n)2能被4整除， 故两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数的结论正确． (3)由(2)得：4mn=(m+n)2−(m−n)2， ∴mn=(m+n2)2−(m−n2)2， ∵正整数m、n同为偶数或同为奇数， ∴m+n，m−n同为偶数， ∴m+n2，m−n2都是整数， ∴mn可以表示为两个整数的平方差． (1)根据平方差公式计算即可； (2)设两个正整数为m、n，则计算(m+n)2−(m−n)2并验证结论即可； (3)由(2)得：4mn=(m+n)2−(m−n)2，可得mn=(m+n2)2−(m−n2)2，根据偶数和奇数的知识，可知m+n2，m−n2都是整数，从而得mn可以表示为两个整数的平方差． 本题考查的是因式分解的应用和列代数式，熟练掌握上述知识点是解题的关键．23.【答案】(a+b+c)2=a2+2ac+c2+2ab+b2+2bc 45 【解析】解：(1)由图2可知，(a+b+c)2=a2+2ac+c2+2ab+b2+2bc， 故答案为：(a+b+c)2=a2+2ac+c2+2ab+b2+2bc； (2)①根据(a+b+c)2=a2+2ac+c2+2ab+b2+2bc，a+b+c=11，ab+bc+ac=38， 可得：a2+b2+c2 =(a+b+c)2−2(ac+ab+bc) =112−2×38 =121−76 =45， 故答案为：45； ②∵8x×4y÷2z=4， ∴23x×22y÷2z=22， ∴23x+2y−z=22， ∴3x+2y−z=2， ∵9x2+4y2+z2=44， ∴(3x)2+(2y)2+z2=44， ∴(3x+2y−z)2=(3x)2+(2y)2+z2+6xy−3xz−2yz， ∴6xy−3xz−2yz =(3x+2y−z)2−(3x)2−(2y)2−z2 =4−44 =−40． (1)根据长方形和正方形的面积公式计算即可； (2)①根据(1)中的(a+b+c)2=a2+2ac+c2+2ab+b2+2bc公式变形计算即可； ②根据8x×4y÷2z=4，9x2+4y2+z2=44，可知3x+2y−z=2，(3x)2+(2y)2+z2=44，则6xy−3xz−2yz=(3x+2y−z)2−(3x)2−(2y)2−z2，代入计算即可． 本题考查的是因式分解的应用，同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘和完全平方公式的几何意义，熟练掌握上述知识点是解题的关键．24.【答案】解：(1)∵x2y=2，x−2y=5， ∴原式=x3y−2x2y2 =x2y(x−2y) =2×5 =10； (2)原式=(a2b3+2a3b)÷(2ab)−(a+2b)(a−2b) =12ab2+a2−a2+4b2 =12ab2+4b2； 当a=1，b=12时，原式=12×1×(12)2+4×(12)2=18+1=98． 【解析】(1)根据提公因式法将原式进行变形，再代入计算即可； (2)根据整式的混合运算法则进行化简，再代入求值即可． 本题考查的是因式分解的应用和整式的混合运算，熟练掌握上述知识点是解题的关键．25.【答案】解：(1)22+(−3)2+2×3=19； (2)∵两个非零数a，b的积是a，b的“和方差数”， ∴ab=a2+b2−ab， ∴(a−b)2=0， ∴a−b=0， ∴2a−2b=2(a−b)=0； (3)∵a+b=3，ab=4， ∴c=a2+b2−ab =(a+b)2−3ab =9−12 =−3． 【解析】(1)根据新定义计算即可； (2)根据新定义，可得ab=a2+b2−ab，即a−b=0，再将其代入2a−2b中计算即可； (3)根据题意，可知c=a2+b2−ab=(a+b)2−3ab，再将a+b=3，ab=4代入计算即可． 本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
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