广东省广州市培英中学2023-2024学年高二下学期3月质量检测数学试题（原卷版+解析版）

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满分：150分 时间：120分钟 命题人：李一正
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若曲线在点处的切线在y轴上的截距为1，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由点在线上可得，再由导数的几何意义得曲线在点A处的切线方程为，从而求得.
【详解】因为点在曲线上，所以，得，
因为，所以该曲线在点A处的切线斜率，
所以切线方程为，
令，则，故.
故选：A.
2. 公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.甲同学是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个1不相邻，那么甲同学可以设置的不同密码个数为（ ）
A. 240B. 360C. 480D. 720
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用插空法分两步完成计算得到答案.
【详解】先把数字3，4，5，9四个数排列，共有种排列方法，四个数排列产生5个空，把两个1插到5个空里，共有种方法，根据乘法分步原理得共有种.
故选：A
3. 为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计LOGO的比赛，其中某位同学利用函数图像的一部分设计了如图的LOGO，那么该同学所选的函数最有可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用导数研究各函数的单调性，结合奇偶性判断函数图象，即可得答案.
【详解】A：，即在定义域上递增，不符合；
B：，
在上，在上，在上，
所以在、上递减，上递增，符合；
C：由且定义域为，为偶函数，
所以题图不可能在y轴两侧，研究上性质：，故递增，不符合；
D：由且定义域为R，为奇函数，
研究上性质：，故在递增，
所以在R上递增，不符合；
故选：B
4. 设是偶函数（且）的导函数，，当时，，则使成立的的取值范围是（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先令，由已知条件得到奇偶性及单调性，再由得或，分别解不等式即可.
【详解】令，由为偶函数，，得，
故为奇函数，且，又当时，，所以
在上单调递减，又为奇函数，所以在上单调递减，令
得或，解得或.
故选：D.
【点睛】本题考查构造函数，利用所构造函数的导数解决不等式的问题，涉及到函数单调性、奇偶性等性质，是一道中档题.
5. 2010年广州亚运会结束了，某运动队的7名队员合影留念，计划站成一横排，但甲不站最左端，乙不站最右端，丙不站正中间.则理论上他们的排法有( )
A. 3864种B. 3216种C. 3144种D. 2952种
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，分3种情况讨论：①、甲在右端，分乙在中间与乙不在中间，再安排丙的位置，最后再将剩余的4个人全排列；②、若甲在中间，分丙在右端与丙不在右端两种，情况同①. ③、若甲不在中间也不在右端，先排甲，有4种方法，再排乙，分乙在中间与乙不在中间，再安排丙的位置，最后再将剩余的4个人全排列；最后由分类计数原理计算可得答案．
【详解】根据题意，分3种情况讨论：
①、甲在右端，若乙在中间，则丙有5个位置可选，再将剩余的4个人全排列，安排在其余的4个位置，有种情况；
甲在右端，若乙不在中间，则乙还有5个位置可选，此时丙还有4个位置可选，再将剩余的4个人全排列，安排在其余的4个位置， 有种情况；两种情况合并，共有种情况；
②、若甲在中间，分丙在右端与丙不在右端两种，情况同①. 共有种情况；
③、若甲不在中间也不在右端，先排甲，有4种方法，再排乙，乙若在中间，则丙有5种排法；乙若不在中间，则乙有4种排法，此时丙有4种排法；最后，将剩余的4个人全排列，安排在其余的4个位置，共有种情况；
综上，则共有种不同的站法．
故选：B.
6. 设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．设，数列的通项公式为，则（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意对已知函数求两次导数可得图象关于点对称，即可得，然后利用此结论可求得答案.
【详解】由，得 ，
由 可得： ，
因为
所以的图象关于点对称，
所以，
因为，
所以，
所以，，，，
所以，
故选：D
7. 已知，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先证明此函数为偶函数，再利用其导函数得到其单调性，利用其是偶函数得到，，通过指数函数单调性得，再根据幂函数性质证明出，同取对数得到，则有，再利用单调性即可得到大小关系.
【详解】因，定义域关于原点对称，
，
所以为上的偶函数，
当时,，设，
则，，，
所以即在上单调递减,所以,
所以在上单调递减,又因为为偶函数,
所以在上单调递增，
又因为,,
又因为,
因,，所以,
所以，即,
所以,
所以,
即.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题首先证明函数的奇偶性与单调性，对于其单调性的求解需要二次求导，其次就是利用函数的奇偶性对进行一定的变形得，,然后就是比较的大小关系，需要结合指数函数的单调性以及幂函数的单调性进行合理放缩，对于这种较为接近的数字比较大小问题，通常需要利用函数的单调性以及寻找合适的中间量放缩.
8. 已知函数，若函数在内有且仅有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作出函数图象，转化为直线与函数图象交点问题，再求出边界值情况即可.
【详解】当时，，单调递增，
当时，，
根据反比例函数的平移可得到，则此时单调递增，作出图象如下图所示，
令，即，
则题意转化为函数与直线在图象上有两个交点，
，且直线过定点，
当直线经过点时，代入得，解得，设此时直线为，
当直线经过点时，代入得，解得，设此时直线为，
当直线经过点时，代入得，解得，设此时直线为，
当时，，，，
则在点处的切线斜率为9，设此时直线为，
由图知可知，
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题的关键是转化为函数图象与直线交点个数问题，同时注意找到直线与函数所过定点，最后再找到几个极端位置即可.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列等式中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】A. 利用排列数公式求解判断； B.利用组合数公式求解判断； C.利用组合数性质求解判断；D.利用组合数公式求解判断.
【详解】A.
，故正确；
B.因为 ，所以，故错误；
C. ，故错误；
D.
，故正确；
故选：AD
10. 在数列中，，，则以下结论正确的为（ ）．
A. 数列为等差数列
B.
C. 当取最大值时，n的值为51
D. 当数列的前n项和取得最大值时，n的值为49或51
【答案】ACD
【解析】
【分析】由已知结合等差中项的定义证明等差数列可判断A；令，求得判断B；由等差数列的性质及等差数列的通项公式求得，利用数列的正负可求得取最大值时n的值判断C；数列的正负，知 ，，，又，可知数列前n项和取得最大值时，n的值判断D.
【详解】对于A，由，得，
两式作差得，即，所以数列为等差数列，故A正确；
对于B，令，知，故B错误；
对于C，由等差数列的性质知，即，又，
可得公差，所以，知数列的前51项为正，从第52项开始为负，当取最大值时，n的值为51，故C正确；
对于D，由数列的前51项为正，从第52项开始为负，又，
知，，，所以数列前49项和最大，
又，所以数列前51项和最大，当时，，
所以当或51时，的前n项和取得最大值，D正确．
故选：ACD
11. 已知函数(n为正整数)，则下列判断正确的是（ ）
A. 函数始终为奇函数
B. 当n为偶数时，函数的最小值为4
C. 当n为奇数时，函数的极小值为4
D. 当时，函数的图象关于直线对称
【答案】BC
【解析】
【分析】
由已知得，分n为偶数和n为奇数得出函数的奇偶性，可判断A和；当n为偶数时，，运用基本不等式可判断B；当n为奇数时，令，则，构造函数，利用其单调性可判断C；当时，取函数上点，求出点P关于直线对称的对称点，代入可判断D.
【详解】因为函数(n为正整数)，所以，
当n为偶数时，，函数是偶函数；
当n为奇数时，，函数是奇函数，故A不正确；
当n为偶数时，，所以，当且仅当时，
即取等号，所以函数的最小值为4，故B正确；
当n为奇数时，令，则，函数化为，
而在上单调递增，在上单调递递减，
所以在时，取得极小值，故C正确；
当时，函数上点，设点P关于直线对称的对称点为，
则，解得，即，而将代入不满足，
所以函数的图象不关于直线对称，故D不正确，
故选：BC．
【点睛】本题考查综合考查函数的奇偶性，单调性，对称性，以及函数的最值，属于较难题.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数有两个不同的极值点、，且，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】由可得，分析可知函数在上有两个不等的零点，利用二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.
【详解】函数的定义域为，且，
令可得，
设，其中，则函数在上有两个不等的零点，
所以，，解得.
故答案为：.
13. 工人在悬挂如图所示的一个正六边形装饰品时，需要固定六个位置上的螺丝，首先随意拧紧一个螺丝，接着拧紧距离它最远的第二个螺丝，再随意拧紧第三个螺丝，接着拧紧距离第三个螺丝最远的第四个螺丝，第五个和第六个以此类推，则不同的固定方式有__________种．
【答案】48
【解析】
【分析】利用分步计数原理求不同的固定方式数.
【详解】先随意拧一个螺丝，接着拧它对角线上的，有种方法；
再随意拧第三个螺丝，和其对角线上的，有种方法；
然后随意拧第五个螺丝，和其对角线上的，有种方法.
共有不同的固定方式有种，
故答案为：48
14. 已知函数若在区间上存在个不同的数，，，…，，使得成立，则的最大值为______．
【答案】4
【解析】
【分析】由导数判断单调性后作出图象，数形结合求解
【详解】，
当时，，令，得，
当时，，当时，，
在单调递增，在单调递减，
作出图象，数形结合可得与在最多有4个交点，
故答案为：4
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 设函数
（1）当时，求曲线在处的切线方程.
（2）讨论函数在区间上零点的个数.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）先求得导函数，是切线的斜率，利用点斜式方程求切线方程即可；
（2）先对参数分类讨论研究函数的单调性，结合函数的最值和区间的边界值，利用零点存在性定理判断零点个数即可.
【小问1详解】
因为，所以，
则，
所以，切线方程为
即
【小问2详解】
由（1）知，.
①当时，在区间上大于零，在区间上单调递增，且，所以在区间上有一个零点.
②当时，在区间上小于零，在区间上单调递减，且，所以在区间上有一个零点.
③当时，在区间上小于零，在区间上大于零，
所以区间上单调递减，在上单调递增，
而
当，即时，在区间上有两个零点.
当，即时，在区间上有一个零点.
综上可知，当或时，在上有一个零点，
当时，在区间上有两个零点.
16. 已知数列的首项，且满足，设.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若，求满足条件的最小正整数.
【答案】（1）证明见解析
（2）140
【解析】
【分析】（1）利用等比数列的定义证明即可；
（2）利用分组求和的方法得到，然后利用的增减性解不等式即可.
【小问1详解】
，
，所以数列为首项为，公比为等比数列.
【小问2详解】
由（1）可得
，
即
∴
而随着的增大而增大
要使，即，则，
∴的最小值为140.
17. （1）求值:；
（2） 解不等式:.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据组合数性质进行计算，然后可求结果；
（2）将排列数表示为阶乘的形式，然后化简计算求解出不等式解集.
【详解】（1）因为，所以，
原式
；
（2）因为，
所以，
化简可得，解得，
所以不等式解集为.
18. 设数列的首项，前n项和为满足关系式：，．
（1）求证数列是等比数列；
（2） 设数列的公比为，构造数列，使 ，求数列的前n项和.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用进行恒等变换求出数列为等比数列；
（2）利用函数的关系式的变换得到是以3为首项，以3为公比的等比数列，即可得到的通项公式，再利用分组求和与错位相减法求出数列的和．
【详解】(1) 当时
，代入已知得，解得，
所以，
当时
又
两式相减得到，所以
又已证，所以是以1为首项， 为公比的等比数列.
（2）由题意，
得，所以数列是以3为首项，以3为公比的等比数列.
故，即.
由于
相减得
所以，
所以
19. 已知函数，，.
（1）判断是否对恒成立，并给出理由；
（2）证明：
①当时，；
②当，时，.
【答案】（1）成立，理由见解析
（2）①证明见解析；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）构造，二次求导得到其单调性，得到，得到答案;
（2）①变形后构造，只需证明，求导得到其单调性，由得到证明;
②由和得到，再分组求和得到答案.
【小问1详解】
恒成立，理由如下:
令，
则，令，
则在上恒成立，故在上单调递增，
其中，故在上恒成立，故在上单调递增，
故，即恒成立;
【小问2详解】
①时，单调递增，故，
又，故要证，
只需证，
令，
则只需证明，
令，则函数在上单调递增，
所以当时，，
所以，所以在上单调递减，
所以，故，
所以当时，;
②由（1）知，，
由于，
所以，
所以
【点睛】方法点睛：导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的， 此类问题一般至少有两问， 已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到.