2024年山东省淄博市高青县中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分．）
1. “斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可．
【详解】解：从上面看，看到的图形为一个正方形，在这个正方形里面还有一个小正方形，且在“斗”中能看到侧棱，即看到的图形为 ，
故选C．
【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，熟知俯视图是从上面看到的图形是解题的关键．
2. 将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据图象的平移规律“左减右加，上加下减”解答即可．
【详解】解：∵抛物线先向左平移2个单位，
∴，
∵抛物线向下平移3个单位，
∴，
故选：A．
3. 新高考“”选科模式是指除语文、数学、外语门科目以外，学生应在历史和物理门首选科目中选择科，在思想政治、地理、化学、生物学门再选科目中选择科．某同学从门再选科目中随机选择科，恰好选择化学和生物的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
表可得出所有等可能的结果数以及恰好选择化学和生物的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选择化学和生物的结果有2种，
恰好选择化学和生物的概率为．
故选：B．
4. 图1是一个地铁站入口的双翼闸机，如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过作于，过作于，则可得和的长，依据端点与之间的距离为，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，
在中，，
，
同理可得，，
又双翼边缘的端点与之间的距离为，
，
当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．
5. 在同一平面直角坐标系中，函数 和 交于点 ，则点 的纵坐标为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查两条直线的交点问题，先联立方程组，然后两式相加消去，即可求出y，从而得解，掌握求两直线交点的方法是解题的关键．
【详解】解：联立方程组得：，
得：，
解得：，
即点A的纵坐标为2，
故选：A．
6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示即可作答．
【详解】，
解不等式，得：；
解不等式，得：；
即不等式组的解集为：，
在数轴上表示为：

故选：C．
【点睛】本题主要考查了求解不等式组的解集并在数轴上表示解集的知识，注意，含端点时用实心点，不含端点时，用空心点．
7. 二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数图象推出，再根据一次函数，反比例函数图象与系数的关系即可得到答案．
【详解】解：由二次函数图象可知，二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧，且与y轴交于负半轴，
∴，
∴，
∴一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限，
∴四个选项中只有B选项符合题意，
故选B．
【点睛】本题主要考查了一次函数，二次函数和反比例函数图象的综合判断，熟知三个函数图象与其对应的系数关系是解题的关键．
8. 如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（ ）

A. 19B. 17C. 22D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．设的内切圆切三边于点，连接，得四边形是正方形，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，再求出内切圆的半径，进而可得的周长．
【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、，
∴四边形是正方形，

由切线长定理可知，
∵是的切线，
∴，，
∵，，，
∴，
∵是的内切圆，
∴内切圆的半径，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为：．
故选：D．
9. 如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．先证得出，再证，根据相似三角形的对应边成比例得出，即可求出的长．
【详解】解：由题意得，，，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C
10. 如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于两点．若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为（ ）
A. 12B. 24C. 14D. 28
【答案】D
【解析】
【分析】连接，根据直角三角形的性质得出，说明要使取得最大值，则需取得最大值，连接，并延长交于点，当点P位于位置时，取得最大值，
过点M作轴于点Q，根据勾股定理求出，得出答案即可．
【详解】解：连接，如图所示：
，
，
点A、点B关于原点O对称，
，
，
若要使取得最大值，则需取得最大值，
连接，并延长交于点，当点P位于位置时，取得最大值，
过点M作轴于点Q，
则，
，
又，
，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，找出取得最大值的位置．
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分．）
11. 因式分解：____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了提公因式法以及完全平方公式．
【详解】解：

故答案为：
12. 在△ABC中，若，则的度数是 _____．
【答案】##105度
【解析】
分析】本题考查了特殊角的三角函数值：记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键．也考查了非负数的性质．
先利用非负数的性质得到，即，则根据特殊角的三角函数值得到的度数，然后根据三角形内角和定理计算出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
13. 如图，二次函数的图象经过点，抛物线的对称轴是直线那么一元二次方程的根是______ ．

【答案】，
【解析】
【分析】求出关于直线对称的点是，两个点的横坐标即为所求．
【详解】关于直线对称的点是，
、是抛物线与轴的交点，
，是一元二次方程根，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了二次函数与轴的交点横坐标和一元二次方程的根的关系，关键是利用对称性确定点的坐标．
14. 如图，将一张矩形纸片折叠，折痕为，折叠后，的对应边经过点A，的对应边交的延长线于点P．若，则的长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形与折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理．连接，设，，证明，求得，由折叠的性质求得，在中，利用勾股定理列式计算，即可求解．
【详解】解：连接，设，，
由矩形的性质和折叠的性质知，，，
∵，，
∴，
∴，
由矩形的性质知：
∴，
折叠的性质知：，
∴，
∴，
由折叠的性质知，
∴，
∴，即，
中，，即，
解得，
∴，
故答案为：
15. 二次函数的图象的一部分如图所示，己知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤点是抛物线上的两点，若，则；⑥若抛物线经过点，则关于x的一元二次方程的两根分别为．其中正确的有__________（填序号）．
【答案】①③⑥
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是根据二次函数图象，确定字母系数的符号和相关式子；根据二次函数图象的性质，逐项判断即可．
【详解】解：由所给函数图象可知，
抛物线开口向下，，
因为抛物线的对称轴为直线，
所以，即，
∵抛物线与y轴交点在正半轴，
∴
所以．
故①正确．
因为抛物线与x轴有两个不同的交点，
所以．
故②错误．
由函数图象可知，
当时，函数值小于零，
则．
又因为抛物线的对称轴为直线，
所以，
即，
所以，
即．
故③正确．
因为抛物线与x轴的一个交点坐标为，且对称轴为直线，
所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
则．
又因为，
所以．
故④错误．
当点在抛物线对称轴的右侧时，
因为抛物线开口向下，
所以在对称轴右侧的部分，y随x的增大而减小，
即时，．
故⑤错误．
方程的根可看成函数的图象与直线的交点的横坐标，
因为抛物线经过点，
所以函数的图象与直线的一个交点的横坐标为．
又因为抛物线的对称轴为直线，
所以函数的图象与直线的另一个交点的横坐标为5，
所以关于x的一元二次方程的两根分别为．
故⑥正确．
故答案为：①③⑥．
三、解答题（共8小题，共90分．）
16. （1）解方程：
（2）解不等式组：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】此题考查了解分式方程，解不等式组，解题的关键是利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
（1）方程两边都乘以得出方程，求出方程的解，再进行检验即可；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【详解】解：（1）方程两边都乘以得：，
解这个方程：，
检验：把代入，
原方程的解为；
（2），
解①，得；
解②，得．
原不等式组的解集为．
17. 如图，，平分，且交于点D，过点D作交于点C．求证：四边形是菱形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定．先证明四边形平行四边形，利用平行四边形的性质和角平分线的定义求得，推出，即可证明四边形是菱形．
【详解】证明：∵,，
∴四边形平行四边形，
∴，
∴平分，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形．
18. 已知关于x的一元二次方程．
（1）若方程有两个实数根，求m的范围；
（2）若方程的两个实数根为、，且，求m的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，则．
（1）根据题意可得，据此求解即可；
（2）由根与系数的关系得到，再根据已知条件得到，解之即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为、，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴符合题意．
19. “1000米跑步”是体育中考的必考项目，某校为了了解学生长跑能力，学校从初三800名学生中随机抽取部分学生进行测试，并将跑步时间折算成得分绘制统计图（部分信息未给出），其中扇形统计图中8分的圆心角度数为90°．
由图中给出的信息解答下列问题：
（1）求抽取学生的总人数，并补全频数分布直方图；
（2）如果全体初三学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果估计该校初三学生获得10分学生的人数；
（3）经过一段时间训练，学校将从之前抽测获得7分的3位同学（2名男生，1名女生）当中抽取2人再次测试，请用列表或者画树状图的方法计算恰好抽到的都是男生概率．
【答案】（1）抽取学生的总人数为80名，补图见解析；
（2）250名； （3）．
【解析】
【分析】（1）求出抽取的总人数，即可解决问题；
（2）由初三学生总人数乘以获得10分学生的人数所占的比例即可；
（3）画树状图，共有6种等可能的结果，恰好抽到2名男生的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：获得8分的学生的人数占抽取人数的百分比为∶，
则剩余学生人数为∶（名），占抽取人数，
抽取学生的总人数为∶（名），
获得8分的学生的人数为∶
(名)，
补全频数分布直方图如下∶
【小问2详解】
解：估计该校初三学生获得10分学生的人数为∶
(名)；
【小问3详解】
解：画树状图如下∶
由树状图可知，共有6种等可能的结果，恰好抽到2名男生的结果有2种，恰好抽到抽到2名男生的概率为．
【点睛】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
20. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图1，便于社区居民休憩．在如图2的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为BC，遮阳棚长为5米，与水平面的夹角为．
（1）求点A到墙面BC的距离；
（2）当太阳光线AD与地面CE的夹角为时，量得影长CD为米，求遮阳篷靠墙端离地高BC的长．（结果精确到米；参考数据：，，）
【答案】（1）米
（2）米
【解析】
【分析】（1）作，在中，根据三角函数，求出的长，即可求解，
（2）作，依次求出，,的长，在中，根据三角函数，求出的长，即可求解，
本题考查了，解直角三角形的应用，解题的关键是：连接辅助线构造直角三角形．
【小问1详解】
解：过点A作，垂足为F，
在中，（米），
∴（米），
∴点A到墙面BC的距离约为米，
【小问2详解】
解：过点A作，垂足为G，
由题意得：，（米），
∵（米），
∴（米），
在中，，
∴（米），
∴（米），
在中，
∴（米），
∴（米），
故答案为：米．
21. 如图，直线y＝2x＋6与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A（m，8），与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM．
（1）求m的值和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当x＞0时不等式2x＋6－＞0的解集；
（3）直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？
【答案】（1）；（2）＞；（3）,△BMN的面积最大为
【解析】
【分析】（1）先求解的坐标，再利用待定系数法求解反比例函数的解析式即可；
（2）不等式2x＋6－＞0即不等式＞，结合图象可得答案；
（3）先求解的坐标，再求解的长度，利用三角形的面积公式列函数关系式，再利用二次函数的性质求解面积的最大值即可.
【详解】解：（1） 直线y＝2x＋6与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A（m，8），



反比例函数的解析式为：
（2）
观察图象，可得当x＞0时，不等式2x＋6－＞0的解集为： ＞.
（3）与x轴交于点B，
令 则

直线y＝n与 反比例函数分别交于
当时，

同理：
0＜n＜6


而函数的对称轴为：，＜
当时，最大，
最大面积为：
【点睛】本题考查的是一次函数与二次函数的性质，利用待定系数法求解函数解析式，二次函数的性质，熟练的列二次函数的关系式，再利用二次函数的性质求解面积的最值是本题的难点.
22. 【问题初探】
（1）如图1，正方形中，，点，点在边上，连接，，将沿着直线折叠，将沿着直线折叠，点，点的对称点恰好都为点，过点作垂直于，交于点，交于点，请直接写出线段的长度．
【类比分析】
（2）如图2，矩形中，，，点，点在边上，连接，，将沿着直线折叠，将沿着直线折叠，点，点的对称点恰好都为点，过点作垂直于，交于点，交于点，求线段的长度．
【学以致用】
（3）如图3，四边形中，，点为四边形内部一点，连接，，，，，，．求证：．
【答案】（1）
（2）
（3）见详解
【解析】
【分析】（1）由折叠的性质得出，，，证出，由勾股定理求出，则可得出答案；
（2）证明，得出，求出的长，由等腰三角形的性质可得出答案；
（3）延长至，使，延长至点，使，证明，得出，，同理可得，得出，，证出四边形平行四边形，则可得出结论．
【详解】（1）解：将沿着直线折叠，将沿着直线折叠，
，，，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
四边形是矩形，
，
．
（2）解：同（1）可知，，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
同理可得，
，
，
，
，
，
；
（3）证明：延长至，使，延长至点，使，
，
，
，
，
，
，
，，
同理可得，
，，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，折叠变换的性质等，熟练掌握以上知识是解本题的关键．
23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交轴于点，两点，交轴于点．

（1）求抛物线的表达式；
（2）点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点：
①当点P运动到抛物线顶点时，求此时的面积；
②点在运动的过程中，是否存在周长的最大值，若存在，请求出周长的最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）①的面积为1；②存在，周长的最大值为，点的坐标为
【解析】
【分析】（1）根据题意，运用待定系数法，将和的坐标代入，解二元一次方程组即可得到答案；
（2）①根据题意，求出和，利用待定系数法确定函数关系式，再由三角形相似的判定得到，进而结合相似性质求解即可得到答案；②根据题意，设点，则点，利用两点之间距离公式得到，由二次函数图象与性质求出最大值，借助，再由相似三角形的性质求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：将和的坐标代入，
得，解得，
抛物线的表达式为；,
【小问2详解】
解：①令，解得或3，即点，
令，则，即点，
设直线的表达式为，将和代入表达式，
得，解得，
直线的表达式为：，则，
，
，，
点是抛物线的顶点，
点，
轴，
点的横坐标为，，
点，
，
，
，
，
，
，
，
的面积为1；
②存在，设点，则点，
，
，
抛物线开口向下，
当时，最大，为，
，
，即，
当最大，即时，最大，
，
，
周长的最大值为，此时点的坐标为．
【点睛】本题考查二次函数综合，综合性强、难度较大，涉及待定系数法确定函数关系式、二次函数图象与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟记二次函数综合的常见题意，灵活运用相关性质与判定求解是解决问题的关键．思想政治
地理
化学
生物
思想政治
（思想政治，地理）
（思想政治，化学）
（思想政治，生物）
地理
（地理，思想政治）
（地理，化学）
（地理，生物）
化学
（化学，思想政治）
（化学，地理）
（化学，生物）
生物
（生物，思想政治）
（生物，地理）
（生物，化学）