2024年山东省淄博市高青县第三中学中考数学模拟预测题（原卷版+解析版）

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1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查乘方的意义，相反数的概念．掌握的奇次方是是关键．先求出的值，再确定相反数即可．
【详解】解：，的相反数是，
的相反数是．
故选：B．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据完全平方公式，整式的加减，幂的乘方，算术平方根，去计算判断即可．
【详解】∵，
∴A错误，不符合题意；
∵不是同类项，无法计算，
∴B错误，不符合题意；
∵，
∴C错误，不符合题意；
∵，
∴D正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了完全平方公式，幂的乘方，整式的加减，算术平方根的计算，熟练掌握完全平方公式和幂的乘方运算法则是解题的关键．
3. 将一副三角板如图所示放置，斜边平行，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得：，，利用平行线的性质可求，进而可求解．
【详解】解：如图，，，

，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质．
4. 我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？（ ）
A. 8尺B. 12尺C. 16尺D. 18尺
【答案】A
【解析】
【分析】设井深x尺，则绳长可以表示为3（x+4）或4（x+1），列方程即可.
【详解】解：井深x尺，根据题意得
3（x+4）=4（x+1），
解得x=8，
故井深8尺，
故答案为A.
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解决问题的关键是找到满足题意的等量关系.
5. 分式方程－1＝的解为( )
A. x＝1B. x＝－1C. 无解D. x＝－2
【答案】C
【解析】
【详解】解：去分母得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=3，整理得：2x﹣x+2=3，解得：x=1，检验：把x=1代入（x﹣1）（x+2）=0，所以分式方程无解．故选C．
点睛：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
6. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】A
【解析】
【分析】先化成一般式后，在求根的判别式，即可确定根的状况．
【详解】解：原方程可化为：，
，，，
，
方程由两个不相等的实数根．
故选A．
【点睛】本题运用了根的判别式的知识点，把方程转化为一般式是解决问题的关键．
7. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据圆周角定理求得的度数，然后根据圆内接四边形的性质求出的度数即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
故选：B.
【点睛】此题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理，比较简单，牢记有关定理是解答本题的关键．
8. 小明从图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条信息：
①c＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＞0；④2a﹣3b＝0；⑤c﹣4b＞0，
你认为其中正确信息个数有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】C
【解析】
【分析】观察图象易得a＞0，＞0，所以b＜0，2a-3b＞0，因此abc＞0，由此可以判定①②是正确的，而④是错误的；
当x=-1，y=a-b+c，由点（-1，a-b+c）在第二象限可以判定a-b+c＞0，③是正确的；
当x=2时，y=4a+2b+c=2×（-3b）+2b+c=c-4b，由点（2，c-4b）在第一象限可以判定c-4b＞0⑤是正确的．
【详解】解：∵抛物线开口方向向上，
∴a＞0，
∵与y轴交点在x轴的下方，
∴c＜0，
∵＞0，
∵a＞0，
∴b＜0，
∴2a﹣3b＞0，
∴abc＞0，
∴①②是正确的，
∵对称轴x，
∴3b＝﹣2a，
∴2a+3b＝0，
∴④是错误的；
当x＝﹣1，y＝a﹣b+c，
而点（﹣1，a﹣b+c）在第二象限，
∴a﹣b+c＞0
∴③是正确的；
当x＝2时，y＝4a+2b+c＝2×（﹣3b）+2b+c＝c﹣4b，
而点（2，c﹣4b）在第一象限，
∴c﹣4b＞0
∴⑤是正确的．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质．能从函数图象中正确获取信息是解题的关键．
9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，如果将沿轴翻折，得到△，那么点的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由折叠的性质可求解．
【详解】解：将沿轴翻折，得到△，
点与点关于轴对称，
，
故选：．
【点睛】本题考查了翻折变换，坐标与图形变换-对称，关键是掌握点的坐标的变化规律．
10. 如图，矩形的一边在轴上，顶点、分别落在双曲线、上，边交于点，连接，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由双曲线的解析式设出点B的坐标，然后表示出点A和点E的坐标，用矩形ABCD的面积减去梯形ADCE的面积即可．
【详解】如图所示：过点B作BF⊥y轴于点F，
∵点B在上，
∴设点B的坐标为（a，），
∴点A的纵坐标为，点E的横坐标为a，
∵点A在y＝上，
∴点A的横坐标为，
∵A，B分别落在双曲线y＝、上，
∴矩形AFOD的面积为1，矩形BFOC的面积为4，
∴矩形BADC的面积为3，
∴S△ABE＝S矩形BADC﹣S梯形AECD＝3﹣（a﹣）×（+）＝＝．
故选：D．
【点睛】考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，解题关键是正确的用点B的坐标表示出其他点的坐标，从而表示出三角形的面积．
11. 已知，是抛物线上两点，则正数（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数对称性可得，代入二次函数解析式即可求解．
【详解】解：∵，是抛物线上两点，
∴，
∴且n为正数，
解得，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
12. 如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点A落在上的点N处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点D恰好落在上的点F处，为折痕，连接并延长交于点P，若，则线段的长等于（ ）

A. 22B. 20C. 18D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】根据折叠可得是正方形，，可求出三角形的三边为9，12，15，在中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证，三边占比为，设未知数，通过，列方程求出待定系数，进而求出的长，然后求的长．
【详解】解：过点P作，垂足为G、H，

由折叠得：是正方形，，
，
∴，
在中，，
∴，
在中，设，则，由勾股定理得，，
解得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，正方形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．
13. 已知，，则的值为__________．
【答案】8
【解析】
【分析】根据平方差公式直接计算即可求解．
【详解】解：∵，，
∴
故答案为：8
【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握平方差公式是解题的关键．
14. 如图，，，，则的度数为______．
【答案】##96度
【解析】
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求解即可．
【详解】解∶∵ ，
∴，
∵，，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
15. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是____．（写出一个即可）
【答案】0（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式求出的取值范围，由此即可得出答案．
【详解】解：由题意得：此一元二次方程根的判别式，
解得，
则的值可以是0，
故答案为：0（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
16. 如图，是用一把直尺、含角的直角三角板和光盘摆放而成，点为角与直尺交点，点为光盘与直尺唯一交点，若则光盘的直径是____________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，点C为光盘与直角三角板唯一的交点，连接OB，利用切线的性质得到OB⊥AB，OA平分∠BAC，则可计算出∠OAB=60°，然后在Rt△OAB中利用含30度的直角三角形三边的关系求出OB，从而得到光盘的直径．
【详解】解：如图，
点C为光盘与直角三角板唯一的交点，
连接OB，
∴OB⊥AB，OA平分∠BAC，
∵∠BAC=180°-60°=120°，
∴∠OAB=60°，
在Rt△OAB中，OB=AB=3，
∴光盘的直径为6．
故答案为6．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系；若没有已知切点，则作垂线段得到圆的半径．
17. 如图，已知长方形ABCD顶点坐标为A（1，1），B（3，1），C（3，4），D（1，4），一次函数y＝2x＋b的图像与长方形ABCD的边有公共点，则b的变化范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】由于一次函数y=2x+b的图象与长方形ABCD的边有公共点，观察图象可知，有公共点时最左端是D点，最右端是B点，于是把D、B的坐标代入分别求得b值即可．
【详解】解：由直线y=2x+b随b的数值不同而平行移动，可知：
当直线通过点D时，，
解得：b=2；
当直线通过点B时，，
解得：．
则b的范围为：．
故答案为：.
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系以及矩形的性质；在直线的平行移动过程中，按题意找出直线经过的关键点是解题的关键．
三、解答题：本题共7小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
18. （1）计算：．
（2）解不等式组：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查实数混合运算，不等式组的解法，掌握特殊角锐角三角函数，二次根式化简，负指数运算，同类二次根式，不等式组的解法是解题关键．
（1）先代入锐角余弦值，化简二次根式，负整数指数幂和零指数幂，再合并同类二次根式即可；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【详解】（1）
；
（2）
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为．
19. 某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字个，比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图的一部分．
根据以上信息解决下列问题：
（1）在统计表中， ，_ ；并补全条形统计图．
（2）扇形统计图中“组”所对应的圆心角的度数_ ；
（3）若该校共有名学生，如果听写正确的个数少于个定为不合格，请你估计这所学校本次比赛听写不合格的学生人数．
【答案】（1）30，20；补全条形统计图见解析；（2）90°；（3）这所学校本次比赛听写不合格的学生人数约为450人．
【解析】
【分析】（1）根据B组有15人，所占的百分比是15%即可求得总人数，然后用求出的总人数分别乘以D、E两组所占的百分比即可求出m、n的值，进而可补全条形统计图；
（2）用360°乘以扇形统计图中C组所占百分比解答即可；
（3）先求出“听写正确的个数少于24个”的人数，再利用总人数900乘以对应的比例即可．
【详解】解：（1）抽查的总人数是：15÷15%＝100（人），
则m＝100×30%＝30，n＝100×20%＝20．
故答案是：30，20；
补全条形统计图如图所示：
（2）扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是：360°×＝90°．
故答案是：90°；
（3）“听写正确的个数少于24个”的人数有：10+15+25＝50 （人），900×＝450 （人）．
答：这所学校本次比赛听写不合格的学生人数约为450人．
【点睛】本题考查了扇形统计图、条形统计图、频数分布表以及利用样本估计总体等知识，属于常考题型，正确读懂图象信息、熟练掌握上述知识是解题的关键．
20. 如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=x与直线l2交点A的横坐标为2，将直线l1沿y轴向下平移4个单位长度，得到直线l3，直线l3与y轴交于点B，与直线l2交于点C，点C的纵坐标为﹣2．直线l2与y轴交于点D．
（1）求直线l2解析式；
（2）求△BDC的面积．
【答案】直线l2的解析式为y=﹣x+4；（2）16.
【解析】
【分析】（1）把x=2代入y=x，得y=1，求出A（2，1）．根据平移规律得出直线l3的解析式为y=x-4，求出B（0，-4）、C（4，-2）．设直线l2的解析式为y=kx+b，将A、C两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出直线l2的解析式；
（2）根据直线l2的解析式求出D（0，4），得出BD=8，再利用三角形的面积公式即可求出△BDC的面积．
【详解】（1）把x=2代入y=x，得y=1，
∴A的坐标为（2，1）．
∵将直线l1沿y轴向下平移4个单位长度，得到直线l3，
∴直线l3的解析式为y=x-4，
∴x=0时，y=-4，
∴B（0，-4）．
将y=-2代入y=x-4，得x=4，
∴点C的坐标为（4，-2）．
设直线l2的解析式为y=kx+b，
∵直线l2过A（2，1）、C（4，-2），
∴，解得，
∴直线l2的解析式为y=-x+4；
（2）∵y=-x+4，
∴x=0时，y=4，
∴D（0，4）．
∵B（0，-4），
∴BD=8，
∴△BDC的面积=×8×4=16．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，正确求出求出直线l2的解析式是解题的关键．
21. 为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有两种型号的挖掘机,已知3台型和5台型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台型和7台型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台型挖掘机一小时的施工费用为300元,每台型挖掘机一小时的施工费用为180元．
(1)分别求每台型, 型挖掘机一小时挖土多少立方米?
(2)若不同数量型和型挖掘机共12台同时施工4小时,至少完成1080立方米的挖土量,且总费用不超过12960元．问施工时有哪几种调配方案,并指出哪种调配方案的施工费用最低,最低费用是多少元?
【答案】（1）每台型挖掘机一小时挖土30立方米,每台型挖据机一小时挖土15立方米；
（2）共有三种调配方案．方案一: 型挖据机7台,型挖掘机5台；方案二: 型挖掘机8台,型挖掘机4台；方案三: 型挖掘机9台,型挖掘机3台．当A型挖掘机7台, 型挖掘机5台的施工费用最低,最低费用为12000元．
【解析】
【详解】分析：（1）根据题意列出方程组即可；
（2）利用总费用不超过12960元求出方案数量，再利用一次函数增减性求出最低费用．
详解：(1)设每台型,型挖掘机一小时分别挖土立方米和立方米,根据题意,得
解得
所以,每台型挖掘机一小时挖土30立方米,每台型挖据机一小时挖土15立方米．
(2)设型挖掘机有台,总费用为元,则型挖据机有台．根据题意,得
，
因为，解得，
又因为,解得,所以．
所以,共有三种调配方案．
方案一:当时, ,即型挖据机7台,型挖掘机5台；
方案二:当时, ,即型挖掘机8台,型挖掘机4台；
方案三:当时, ,即型挖掘机9台,型挖掘机3台．
,由一次函数的性质可知,随的减小而减小,
当时，，
此时型挖掘机7台, 型挖掘机5台的施工费用最低,最低费用为12000元．
点睛：本题考查了二元一次方程组和一次函数增减性，解答时先根据题意确定自变量取值范围，再应用一次函数性质解答问题．
22. 如图，在中，，平交于点，为上一点，经过点，的分别交，于点，，连接交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）连接，由为角平分线得到一对角相等，再由等边对等角得到一对角相等，等量代换得到内错角相等，进而得到与平行，得到与垂直，即可得证；
（2）连接，证明，，由相似三角形的性质即可证得结论；
（3）连接，设圆的半径为，由的值，利用锐角三角函数定义求出的值，由直径所对的圆周角为直角，得到与平行，得到，进而求出的长，再根据（2）的结论即可求得的长．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵为的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴为的切线；
【小问2详解】
证明：连接，
由（）知为的切线，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：连接，
在中，，
设圆的半径为，可得，
解得：，
∴，，
∵是直径，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴．
【点睛】本题是圆的综合题，考查的知识点有切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义以及平行线的判定与性质，熟练掌握各知识点是解本题的关键．
23. 如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度数；
（3）求证：CD＝2BF+DE．
【答案】（1）见解析；
（2）；
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）先根据等角余角相等证得，再根据全等三角形的判定证明即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质求得，再根据直角三角形的两锐角互余求得即可求解；
（3）延长BF到G，使得，根据全等三角形的判定与性质证明，得到即可证得结论．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，，
∴，
在△BAC和△DAE中，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
证明：延长BF到G，使得，
∵，
∴，
在△AFB和△AFG中，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，，，
∴，，
∴，
∵，
∴在△CGA和△CDA中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、线段的和差等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形求解线段问题是解答的关键．
24. 如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，且过点．点P、Q是抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线OD下方时，求面积的最大值．
(3)直线OQ与线段BC相交于点E，当与相似时，求点Q的坐标．
【答案】(1)抛物线的表达式为：；(2)有最大值，当时，其最大值为；(3) 或或或．
【解析】
【分析】（1）函数的表达式为：y=a（x+1）（x-3），将点D坐标代入上式，即可求解；
（2）设点，求出，根据，利用二次函数的性质即可求解；
（3）分∠ACB=∠BOQ、∠BAC=∠BOQ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线OQ倾斜角，进而求解．
【详解】解：(1)函数的表达式为：，将点D坐标代入上式并解得：，
故抛物线的表达式为：…①；
(2)设直线PD与y轴交于点G，设点，
将点P、D的坐标代入一次函数表达式：并解得，直线PD的表达式为：，则，
，
∵，故有最大值，当时，其最大值为；
(3)∵，∴，
∵，故与相似时，分为两种情况：
①当时，，，，
过点A作AH⊥BC与点H，
，解得：，
∴CH＝
则，
则直线OQ的表达式为：…②，
联立①②并解得：，
故点或；
②时，
，
则直线OQ的表达式为：…③，
联立①③并解得：，
故点或；
综上，点或或或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．组别
正确字数
人数