上海市第二中学2023-2024学年高二下学期期中数学试题

这是一份上海市第二中学2023-2024学年高二下学期期中数学试题，共11页。试卷主要包含了05，; 2，B 14等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（每题3分，共36分）
1．抛物线的准线方程是________．
2．已知直线的一个法向量是，则它的斜率为________．
3．设，若直线与直线之间的距离为，则的值
为________．
4．设，若方程表示圆，则的取值范围是________．
5．如果双曲线关于原点对称，它的焦点在轴上，实轴的长为8，焦距为10．则双曲线的标准方程为________．
6．设椭圆的焦距为．若，则该椭圆的离心率为________．
7．设圆与双曲线的渐近线相切，且圆心在双曲线的右焦点，则圆的标准方程为________．
8．圆内有一点，为过点的弦．当弦被点平分时，则直线的方程为________．
9．已知直线与曲线只有一个公共点，则实数的值为________．
10．如图，点是以为直径的半圆上异于、的动点，点与点在直线的两侧，且，，若，则的最大值为________．
11．过焦点在轴上的椭圆的顶点引一条弦，弦的最大长度为，则________．
12．若恰有三组不全为0的实数对满足关系，则实数的所有可能的值为________．
二、单选题（每题4分，共16分）
13．“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（ ）条件
A．充分非必要B．必要非充分条件 C．充要D．既非充分也非必要
14．设是椭圆上一点，到两焦点，的距离之差为2，则是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形 C．钝角三角形D．等腰直角三角形
15．直线绕原点按逆时针方向旋转后所得的直线与圆的位置关系是（ ）
A．直线过圆心 B．直线与圆相交，但不过圆心
C．直线与圆相切 D．直线与圆无公共点
16．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：
①曲线恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线上任意一点到原点的距离都不超过；
③曲线所围成的“心形”区域的面积小于3；
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．② C．①② D．①②③
三、解答题（8分+8分+10分+10分+12分，共48分）
17．已知点，．
（1）设，若直线与直线垂直，求的值；（3分）
（2）求过点且与直线夹角的余弦值为的直线方程．（5分）
18．已知圆．
（1）求直线被圆截得弦长；（4分）
（2）已知圆过点且与圆相切于原点，求圆的方程．（4分）
19．设为抛物线上的动点．
（1）若点的纵坐标为，求点与抛物线的焦点之间的距离；（4分）
（2）过点分别作两条直线交抛物线于、两点，交直线于、两点，求的值．（6分）
20．已知、、是我方三个炮兵阵地，地在地的正东方向，相距6km；地在地的北偏西，相距4km．为敌方炮兵阵地．某时刻地发现地产生的某种信号，12s后地也发现该信号（该信号传播速度为）．以方向为轴正方向，中点为坐标原点，与垂直的方向为轴建立平面直角坐标系．
（1）判断敌方炮兵阵地可能分布在什么样的轨迹上，并求该轨迹的方程；（4分）
（2）若地与地同时发现该信号，求从地应以什么方向炮击地？（6分）
21．太曲线由曲线和曲线组成，其中点、为曲线所在圆锥曲线的焦点，点、为曲线所在圆锥曲线的焦点．
（1）若，，求曲线的方程；（2分）
（2）作曲线第一象限中渐近线的平行线，若与曲线有两个公共点、，求证：弦的中点必在曲线的另一条渐近线上；（4分）
（3）设，，若直线过点交曲线于点，，求的面积的最大值．（6分）
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.或或
12．若恰有三组不全为0的实数对满足关系，则实数的所有可能的值为________．
【答案】或或
【解析】由已知得, 整理得,
可看成有且仅有三条直线满足和到直线;(不过原点) 的距离等于.
(1) 当时,易得符合题意的直线为线段的垂直平分线,
以及与直线平行的两条直线和；
(2) 当时, 有 4 条直线会使得点和到它们的距离都相等,
注意到直线不过原点, 所以当其中一条直线过原点时, 会作为增根被舍去.
设点到直线的距离为,
①作为增根被舍去的直线, 过原点和的中点, 其方程为, 此时, 符合题意;
②作为增根被舍去的直线, 过原点且与平行, 其方程为, 此时, 符合题意.
综上, 满足题意的实数为
二、选择题
13.B 14.B 15.C 16.B
15．直线绕原点按逆时针方向旋转后所得的直线与圆的位置关系是（ ）
A．直线过圆心 B．直线与圆相交，但不过圆心
C．直线与圆相切 D．直线与圆无公共点
【答案】C
【解析】直线的斜率为, 所以其倾斜角为,
则该直线绕原点按逆时针方向旋转后的直线的倾斜角为,
即直线的方程为, 即,
由圆的方程可得圆心,半径,
所以圆心到直线的距离,所以直线与圆相切,故选:.
16．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：
①曲线恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线上任意一点到原点的距离都不超过；
③曲线所围成的“心形”区域的面积小于3；
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．② C．①② D．①②③
【答案】B
【解析】将换成方程不变, 所以图形关于轴对称,
当时，代入得, 即曲线经过;
当时, 方程变为,所以, 解得,
所以只能取整数 1 , 当时,,解得或, 即曲线经过,
根据对称性可得曲线还经过,故曲线一共经过 6 个整点, 故(1)正确.
当时, 由得(当时取等号),
, 即曲线上轴右边的点到原点的距离不超过,
根据对称性可得：曲线上任意一点到原点的距离都不超过, 故(2)正确.
在轴上方图形面积大于矩形面积,轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积, 因此曲线所围成的“心形”区域的面积大于, 故(3)错误.故选B.
三．解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1） (2)
20．已知、、是我方三个炮兵阵地，地在地的正东方向，相距6km；地在地的北偏西，相距4km．为敌方炮兵阵地．某时刻地发现地产生的某种信号，12s后地也发现该信号（该信号传播速度为）．以方向为轴正方向，中点为坐标原点，与垂直的方向为轴建立平面直角坐标系．
（1）判断敌方炮兵阵地可能分布在什么样的轨迹上，并求该轨迹的方程；（4分）
（2）若地与地同时发现该信号，求从地应以什么方向炮击地？（6分）
【答案】（1） （2）炮击的方位角为北偏东.
【解析】(1) 如图,则、,
又, 故在以为焦点的双曲线右支上,
设, 则双曲线方程为
(2)因为,所以点在线段的垂直平分线上,
因为中点,
所以直线的方程为①,
由 (1) 知点还在上, 联立方程①解得,所以,
因此,故炮击的方位角为北偏东.
21．太曲线由曲线和曲线组成，其中点、为曲线所在圆锥曲线的焦点，点、为曲线所在圆锥曲线的焦点．
（1）若，，求曲线的方程；（2分）
（2）作曲线第一象限中渐近线的平行线，若与曲线有两个公共点、，求证：弦的中点必在曲线的另一条渐近线上；（4分）
（3）设，，若直线过点交曲线于点，，求的面积的最大值．（6分）
【答案】（1）和 （2）见解析 （3）
【解析】(1) 由, 以及它们分别为的焦点,有,
解得,因此曲线的方程为和
(2)证明: 由题意曲线的渐近线为:, 设直线,
由，得,
所以, 解得:,
又由数形结合知. 设点,,
则, 所以,所以,
即点在射线,弦的中点必在曲线的另一条渐近线上.
(3) 由题意, 曲线,点,设直线的方程为:,
由, 得
所以
设, 所以
所以
所以面积:
令, 所以, 所以
当且仅当, 即时取等号, 所以面积的最大值为.