山东省枣庄市山亭区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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2024.04
注意事项：
1．本试卷满分120分．考试时间为120分钟．
2．答卷时，考生务必将第Ⅰ卷和第Ⅱ卷的答案填涂或书写在答题卡指定位置上，并在本页上方空白处写上姓名和准考证号．考试结束，将试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．
1. 下列垃圾分类图标分别表示：“可回收垃圾”、“有害垃圾”、“厨余垃圾”、“其它垃圾”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得，然后根据数的乘法和加法法则以及不等式的性质进行判断即可.
【详解】解：由题意可得：，所以，
∴，
观察四个选项可知：只有选项D的结论是正确的；
故选：D.
【点睛】本题考查了实数与数轴以及不等式的性质，正确理解题意、得出是解题的关键.
3. 如图，在中，，，是的角平分线．若点D到的距离为3，则的长为（ ）
A. 12B. 7.5C. 9D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了角平分线性质，点到直线的距离，含30度角的直角三角形，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．过点作于点，根据角平分线的性质，得到，再由30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，即可求出的长．
【详解】解：如图，过点作于点，
是的角平分线，，
，
点D到的距离为3，
，
在中，，
，
，
故选：C．
4. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则的值为（ ）
A. B. C. 1D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，求得的值即可求解．
【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称，
∴，
，
故选C．
【点睛】本题考查了关于原点对称两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，代数式求值，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键．
5. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式里面被开方数即可求解．
【详解】解：由题意知：被开方数，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，必须保证被开方数大于等于0．
6. 关于，的方程组的解中与的和不小于5，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由两式相减，得到，再根据x 与 y 的和不小于5列出不等式即可求解．
【详解】解：把两个方程相减，可得，
根据题意得：，
解得：．
所以的取值范围是．
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程组、不等式，将两式相减得到x与y的和是解题的关键．
7. 如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（ ）
A. B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可．
【详解】解：由作法得EF垂直平分AB，
∴MB＝MA，
∴BM+MD＝MA+MD，
连接MA、DA，如图，
∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），
∴MA+MD的最小值为AD，
∵AB＝AC，D点为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵
∴
∴BM+MD长度的最小值为5．
故选：D．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，利用轴对称求线段和的最小值，三角形的面积，两点之间，线段最短，掌握以上知识是解题的关键．
8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）

A. 随的增大而增大
B.
C. 当时，
D. 关于，的方程组的解为
【答案】C
【解析】
【分析】结合图象，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、随的增大而增大，故选项A正确；
B、由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，即，故选项B正确；
C、由图象可知：当时，，故选项C错误；
D、由图象可知，两条直线的交点为，
∴关于，的方程组的解为；
故选项D正确；
故选C．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．
9. 如图， BD 是△ABC 的角平分线， AE⊥ BD ，垂足为 F ，若∠ABC＝35°，∠ C＝50°，则∠CDE 的度数为（ ）
A. 35°B. 40°C. 45°D. 50°
【答案】C
【解析】
【分析】根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABD=∠EBD=∠ABC=，∠AFB=∠EFB=90°，推出AB=BE，根据等腰三角形的性质得到AF=EF，求得AD=ED，得到∠DAF=∠DEF，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【详解】解：∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，
∴∠ABD=∠EBD=∠ABC=，∠AFB=∠EFB=90°，
∴∠BAF=∠BEF，
∴AB=BE，AE⊥BD，
∴BD是AE的垂直平分线，
∴AD=ED，
∴∠DAF=∠DEF，
∵∠BAC=180°-∠ABC-∠C=95°，
∴∠BED=∠BAD=95°，
∴∠CDE=95°-50°=45°，
故选C．
【点睛】本题考查了三角形的内角和，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
10. 如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据旋转的性质，得到，进而得到，利用求出，再用即可得出结果．
【详解】解：∵将绕直角顶点顺时针旋转，得到，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握旋转的性质，是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共6小题，满分18分．只填写最后结果，每小题填对得3分．
11. 若点在第四象限，则m的取值范围是__________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负进行求解即可。
【详解】解：∵点在第四象限，
∴，
解得，
故答案为：。
【点睛】本题主要考查了根据点所在的象限求参数，解一元一次不等式组，熟知第四象限内点的符号特点是解题的关键。
12. 数学课上，同学们探讨利用不同画图工具画角的平分线的方法．小旭说：我用两块含的直角三角板就可以画角平分线．如图，取，把直角三角板按如图所示的位置放置，两直角边交于点P，则射线OP是的平分线．小旭这样画的理论依据是______．
【答案】HL
【解析】
【分析】由“HL”可证Rt△OMP≌Rt△ONP，可得∠MOP=∠NOP，可证OP是∠AOB的平分线．
【详解】解：∵∠OMP=∠ONP=90°，且OM=ON，OP=OP，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），
∴∠MOP=∠NOP，
∴OP是∠AOB的平分线．
故答案为：HL．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，证明Rt△OMP≌Rt△ONP是本题的关键．
13. 如图，点A的坐标为，将沿x轴向右平移得到，若点A的对应点落在直线上，则点B与其对应点间的距离为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及坐标与图形变换中的平移，将代入一次函数解析式中求出点A'的坐标是解题的关键．将代入一次函数解析式求出x值，由此即可得出点的坐标为，进而可得出沿x轴向右平移个单位得到，根据平移的性质即可得出点B与其对应点间的距离．
【详解】解：当时，，
∴点的坐标为
∴沿x轴向右平移个单位得到，
∴点B与其对应点间的距离为，
故答案为：．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标，连接，将绕点逆时针旋转，得到，则点的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】过点作轴于点A，过点作轴于点C，易证，即得出，，即．
【详解】解：如图，过点作轴于点A，过点作轴于点C，
∵将绕点逆时针旋转，得到，
∴，，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标与图形，三角形全等的判定和性质．正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
15. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为______．
【答案】6
【解析】
【分析】分类讨论：AB=AC=2BC或BC=2AB=2AC，然后根据三角形三边关系即可得出结果．
【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，底边BC=3
∴AB=AC
当AB=AC=2BC时，△ABC是“倍长三角形”；
当BC=2AB=2AC时，AB+AC=BC，根据三角形三边关系，此时A、B、C不构成三角形，不符合题意；
所以当等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为6．
故答案为6．
【点睛】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系，涉及分类讨论思想，结合三角形三边关系，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点A在轴上，点B在轴上，，连接，过点O作于点，过点作轴于点；过点作于点，过点作轴于点；过点作于点，过点作轴于点；…；按照如此规律操作下去，则点的坐标为______．

【答案】
【解析】
【分析】根据题意，结合图形依次求出的坐标，再根据其规律写出的坐标即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点A在轴上，点B在轴上，，
是等腰直角三角形，，
，
是等腰直角三角形，
同理可得：均为等腰直角三角形，
，
根据图中所有的三角形均为等腰直角三角形，
依次可得：
由此可推出：点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，以及点的坐标变化规律问题，等腰直角三角形的性质，解题的关键是依次求出的坐标，找出其坐标的规律．
三、解答题：本大题共8小题，满分72分．解答时，要写出必要的文字说明或演算步骤．
17. 解不等式（组）：
（1）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
（2）解不等式组，并写出它的所有整数解．
【答案】（1），数轴表示见解析
（2），不等式组的整数解是，0，1
【解析】
【分析】（1）运用解一元一次不等式的法则计算，并把解集表示在数轴上即可解答；
（2）把每个不等式的解集求出，再合并两个不等式的解集，并在不等式组的解集中寻找整数解，即可解答．
【小问1详解】
解：去括号：，
移项得：，
合并同类项得：，化系数为1得：，
所以原不等式的解集是：，
在数轴上表示为：
【小问2详解】
(2)解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
故该不等式组的解集是：，
∴该不等式组的整数解是，0，1．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，求一元一次不等式组的整数解，熟练运用口诀求出不等式组的解集是解题的关键．
18. 在学习完课本53页数学活动2：用全等三角形研究“筝形”后，小明同学得知：如图，四边形中，，，像这样两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，课后小明认真思考得出了下列结论：①对角线平分一组对角和；②对角线平分一组对角和；③垂直平分；④垂直平分；⑤四边形的面积；⑥任意一个对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半．
（1）你认为正确的结论有________；（只需填序号）
（2）请你任选一个你认为正确的结论进行证明．
【答案】（1）①③⑤⑥
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查中垂线的判定，等腰三角形的性质，掌握到线段两端点相等的点在线段的中垂线上以及等腰三角形三线合一，是解题的关键．
（1）根据，，得到垂直平分，等腰三角形三线合一，得到平分一组对角和，利用四边形的面积，得到四边形的面积，进而得到任意一个对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半；
（2）同（1）进行求证即可．
【小问1详解】
解：正确的有①③⑤⑥；
故答案为：①③⑤⑥．
【小问2详解】
证明：对于③：∵，，
∴点在线段的中垂线上，
∴垂直平分，
对于①：∵，，垂直平分，
∴平分，平分，
∴对角线平分一组对角和；
对于⑤：∵四边形的面积；
对于⑥：同⑤法可得：任意一个对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半．
19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．
（1）把向左平移4个单位后得到对应的A1B1C1，请画出平移后的A1B1C1；
（2）把绕原点O旋转180°后得到对应的A2B2C2，请画出旋转后的A2B2C2；
（3）观察图形可知，A1B1C1与A2B2C2关于点（ ， ）中心对称．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）﹣2，0．
【解析】
【分析】（1）依据平移的方向和距离，即可得到平移后的△A1B1C1；
（2）依据△ABC绕原点O旋转180°，即可画出旋转后的△A2B2C2；
（3）依据对称点连线的中点的位置，即可得到对称中心的坐标．
【详解】解：（1）如图所示，分别确定平移后的对应点，
得到A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，分别确定旋转后的对应点，
得到A2B2C2即为所求；

（3）由图可得，A1B1C1与A2B2C2关于点成中心对称．
故答案为：﹣2，0．
【点睛】本题考查的是平移，旋转的作图，以及判断中心对称的对称中心的坐标，掌握以上知识是解题的关键．
20. 为了拓宽学生视野，某校计划组织名师生开展以“追寻红色足迹，传承红色精神”为主题的研学活动一旅游公司有A、B两种型号的客车可以租用，已知辆A型车和辆B型车可以载乘客人，辆A型车和辆B型车可以载乘客人．
（1）求一辆A型车和一辆B型车分别可以载多少乘客；
（2）学校计划共租A、B两种型号的客车辆，其中A型车数量的一半不少于B型车的数量，共有多少种租车方案；
（3）若一辆A型车的租金为元，一辆B型车的租金为元．在（2）的条件最少租车费用是多少．
【答案】（1）一辆A型车可以载名乘客，一辆B型车可以载名乘客；
（2）种；
（3）元．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用；
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；设一辆A型车可以载名乘客，一辆B型车可以载名乘客，根据“辆A型车和辆B型车可以载乘客人，辆A型车和辆B型车可以载乘客人”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；设租用辆A型车，则租用辆B型车，根据租用的客车载客量不少于人且租用的A型车数量的一半不少于B型车的数量，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出共有种租车方案；
（3）根据各数量之间的关系，列式计算；分析两种型号客车的租金，可得出租用A型车越多，租车费用越少，结合（2）中的取值范围，即可求出最少的租车费用．
【小问1详解】
解：设一辆A型车可以载名乘客，一辆B型车可以载名乘客，
根据题意得：，
解得：．
答：一辆A型车可以载名乘客，一辆B型车可以载名乘客；
【小问2详解】
解：设租用辆A型车，则租用辆B型车，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
可以为，，，，
共有种租车方案；
【小问3详解】
解：，
租用A型车越多，租车费用越少，
当时，租车费用最少，最少租车费用为：（元）．
答：在（2）的条件最少租车费用是元．
21. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标为、、，经一次平移后得到，点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，其中的坐标为．

（1）平移的距离为______；
（2）请画出平移后的；
（3）若为边上的一个点，平移后点的对应点的坐标为______；
（4）平移过程中，边扫过的面积为______；
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
（4）7
【解析】
【分析】（1）根据对应点的坐标即可求出平移的距离，根据勾股定理求解即可；
（2）根据平移的规律，确定对应点，连接即可；
（3）根据平移坐标变换规律“左减右加，上加下减”，即可求得；
（4）利用一个矩形的面积减去4个三角形的面积计算即可．
【小问1详解】
解：，，
即：，，
平移距离为：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问3详解】
解：∵先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到，
又∵，
∴平移后点P的对应点Q的坐标为，
故答案为：；
【小问4详解】
解：平移过程中，边AB扫过的面积为：
，
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查作图—平移变换，平移坐标，解题的关键是掌握平移变换的性质，并据此得出变换后的对应点．
22. 已知：如图，在中，，于，于，相交于，连接．求证：平分．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定和角平分线判定的应用．求出，根据推出，求出，根据证出，推出即可．
【详解】证明：，，
，
在和中，
，
．
，
在和中，
，
∴，
，
平分．
23. 已知：如图，直线与轴交于点，与轴交于点，平面内有一点，直线与轴交于点．直线的解析式记作，直线解析式记作，直线与直线相交于点．
（1）求的面积；
（2）当______时，；
（3）在轴上有一动点，使得为等腰三角形，请直接写出的坐标．
【答案】（1）面积为；
（2）
（3）点H的坐标为或或或．
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法即可求出直线的解析式，再求得直线与x轴的交点坐标，结合三角形的面积公式即可得出结论；
（2）当直线在直线上方时，有．结合图象即可得出结论；
（3）设点H的坐标为，用两点间的距离公式找出的长度，结合为等腰三角形的三种情况，即可求出n的值．
【小问1详解】
解：点，点，点，
∵将、点坐标代入直线的解析式中，
得，解得：．
∴直线的解析式为．
将点，代入到直线BE的解析式中，
得，解得：．
∴直线的解析式为．
令，则有，解得，
即点C的坐标为
令，则有，解得，
即点F的坐标为．
，
∴的面积；
【小问2详解】
解：结合函数图象可知：
当时，；
故答案为：；
【小问3详解】
解：设点H的坐标为．
∵点，点，
∴，，．
为等腰三角形分三种情况：
①当时，即，解得：，
此时点H的坐标为或；
②当时，即．
解得：（舍去），或．
此时点H的坐标为；
③当时，即，解得：．
此时点H的坐标为．
综上可知：点H的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式、结合函数图象解决不等式、两点间的距离公式以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）待定系数法求函数解析式；（2）结合函数图象解不等式组；（3）分等腰三角形的三种情况考虑．
24. 关于等腰直角三角形两腰的运用：可以把两腰分散到两个三角形中用全等去思考，通常寻找或构造两腰为斜边的两个直角三角形全等，再由全等性质读出结论解决问题．
（1）已知：如图（1），等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ADC＝∠E＝90°，则△ACD≌△CBE，全等的依据是 ．
（2）已知：如图（2），梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，△EDC为等腰直角三角形，∠EDC＝90°，若AD＝2，BC＝5，求△AED的面积．
这道题，我们可构造DE，DC为斜边的两个直角三角形；具体构造如下：作DM⊥BC于M，EN⊥AD于N，根据提示，通过思考运算，请直接写出S△AED＝ ．
（3）已知：如图（3），等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BD⊥AD，BC，AD交于点E，若BD＝2，求AE的长．
【答案】（1）AAS；（2）3；（3）4
【解析】
【分析】（1）根据题意，可得∠CAD=∠BCE，再由AC＝BC，可根据AAS证得△ACD≌△CBE；
（2）作DM⊥BC于M，EN⊥AD于N，可证得△CDM≌△EDN，得到EN=CM，再根据两平行线间距离处处相等，可得到BM=AD=2，即可求解；
（3）延长BD交AC延长线于点G，可先证得△ACE≌△BCG，从而得到AE=BG，再由AD平分∠BAC，BD⊥AD，可得到△ADG≌△ADB，从而得到DG=BD=2，即可求解．
【详解】解：（1）AAS，理由如下：
∵△ABC是等腰直角，
∴∠ACB=90°，即∠ACD+∠BCE=90°，
∵∠ADC=∠E=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
∵AC＝BC，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；
（2）如图，作DM⊥BC于M，EN⊥AD于N，
∵AD∥BC，
∴AD⊥DM，即∠MDN=90°，
∴∠CDM+∠CDN=90°，
∵△EDC为等腰直角三角形，∠EDC＝90°，
∴DC=DE，∠EDN+∠CDN=90°，
∴∠EDN=∠CDM，
∵DM⊥BC于M，EN⊥AD，
∴∠DMC=∠DNE=90°，
∴△CDM≌△EDN（AAS），
∴EN=CM，
∵AB⊥BC，AD＝2，BC＝5，
∴BM=AD=2，
∴CM=BC-BM=3，
∴EN=3，
∴ ；
（3）如图，延长BD交AC延长线于点G，
∵∠ACB＝90°，BD⊥AD，
∴∠ADG=∠ACB＝90°，
∴∠G+∠CBG=90°，∠G+∠DAG=90°，
∴∠CBG=∠DAG，
∵AC=BC，
∴△ACE≌△BCG，
∴AE=BG，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAG=∠BAD，
∵AD=AD，
∴△ADG≌△ADB，
∴DG=BD=2，
∴AE=BG=2BD=4．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质定理，全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．