【二轮复习】高考数学 专题02 数列（考点精练）

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(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)（）
(2)
【解析】（1）因为，（），
所以，（），
所以，，，…，，（且），
所以（且），
整理得：（且），即，（且），
又因为，所以，（且），
当时，适合上式，
所以，（ ）.
（2）由（1）知，，
所以，
即.
2．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知等比数列的前项和为，且
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)．
【解析】（1），
当时，，两式相减可得，，故等比数列的公比为，
，，故数列的通项公式为．
（2）由得：，，故，即，
，
，
得：，
故．
3（2023秋·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）在等差数列中，，，数列的前项和为，且.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)，
(2)
【解析】（1）解：设等差数列的公差为，
则，解得，
所以，，
数列的前项和为，且，
当时，则有，
当时，由可得，
上述两个等式作差可得，即，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，则.
（2）解：因为，则，①
可得，②
①②得
，
故.
4．（2023·四川成都·校联考二模）已知数列是公差为2的等差数列，且是和的等比中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意可得，，且公差为，则，
解得，则.
（2）由（1）可知，，则，则
，
则.
5．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知数列的前n项和为，，且．
(1)证明：数列为等比数列，并求其通项公式；
(2)若______，求数列的前n项和．
从①；②；③，这三个条件中任选一个补充在上面的横线上并解答问题．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)证明见解析，
(2)答案见解析
【解析】（1）由，
得，且，（i）
所以当时，，（ii）
（i）（ii），得，所以．
当时，，即，
又，所以，所以，
所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以．
（2）若选①：，
则，
所以，
所以，
所以．
若选②：，
则
若选③：因为，
所以，
所以数列是以27为首项，为公比的等比数列，
所以．
6．（2023秋·江西南昌·高三南昌县莲塘第一中学校考阶段练习）已知数列的首项，其前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）已知，
当时，即，由解得.
当时，，
则相减得.
当时也成立.
所以对于都有成立.
上式化为，所以是等比数列，首项为4，公比为3，
则，即.
（2）因为，
则，
两式相减得
，
所以.
7．（2023·广东汕头·统考三模）等差数列和各项均为正数的等比数列满足：，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)数列是由数列和中不同的项按照从小到大的顺序排列得到的新数列，记数列的前项和为，求.
【答案】(1)，
(2)15220
【解析】（1）根据条件，设，，
又，解得，
故，.
（2）当时，，由，得，，
又，，，，
故在数列的前100项中含有数列中的4项，
所以，
所以.
8．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)求的前项和．
【答案】(1)；
(2).
【解析】（1）由，得，
令，有，，
当时，，
又满足上式，于是，则，
当时，，
又满足上式，因此，
所以数列的通项公式是．
（2）由（1）知，，
所以．
9．（2023秋·天津河东·高三校考阶段练习）正项数列的首项为3的等差数列，前项和为，且，正项数列是首项为1的等比数列，且
(1)求；
(2)设，求数列的前项的和；
(3)设，求数列的前项的和．
【答案】(1)，；
(2)
(3)
【解析】（1）根据题意可设正项数列的公差为，数列的公比为，
由可得，即，
解得或（舍）；
即
所以数列的通项公式为；
由可得，即，
解得或（舍）；
所以；
即数列的通项公式为；
（2）由（1）可知，
数列的前项的和
即可得.
（3）由（1）可得；
所以数列的前项的和，
，
两式相减可得
，
所以
10．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知数列中，，是与9的等差中项，记为数列的前项和，满足（）.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求实数的最小值.
【答案】(1)；
(2).
【解析】（1）依题意，，，当时，，两式相减得，即，
当时，，又，有，则当，，
因此数列是首项为3，公比的等比数列，
而，即，解得，则，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，数列是首项为，公比为的等比数列，，
于是不等式化为：，设，
，
当时，，当时，，
即当时，数列递增，当时，数列递减，
从而，则，所以实数的最小值为.
11.（2023·福建厦门·厦门外国语学校校考模拟预测）已知数列满足．
(1)证明为等差数列，并的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【解析】（1）证明：因为，所以，即
所以是以为首项，为公差的等差数列，则，
所以；
（2）
.
12．（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）已知各项均为正数的数列满足，其中是数列的前n项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)若对任意，且当时，总有恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【解析】（1）∵，∴
当时，，解得.
当时，，
即，
∵，∴，
∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴.
（2）因为，所以
∴当时， ，
∴
，
∴，
∴实数的取值范围为.
13．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）记为数列的前n项和，已知.
(1)求数列{}的通项公式；
(2)数列{}满足且，的前n项和为，证明:.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由，
由可得，
则时，
两式相减可得，
化为，因为，
所以，数列{}是首项与公差都是2的等差数列，
所以；
（2）由（1）得，又，
所以，
，
所以，
，
，
14．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知数列和满足：，，（为常数，且）．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若当和时，数列的前n项和取得最大值，求的表达式．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【解析】（1）因为，即，
所以，而，
所以，即，即数列是以为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）知，所以．
因为当和时，数列的前n项和取得最大值，所以，
即，解得．
所以．
经检验，当时，，当时，，所以先增后减，
在和时取得最大值，符合题意．
此时．
15．（2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求集合中元素的个数.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为，所以，
所以
所以，即.
又因为，所以，
所以.
（2）因为，
所以
令，得，
所以集合中元素的个数为.
16．（2023秋·天津红桥·高三天津市瑞景中学校考阶段练习）已知为等差数列，为等比数列，．
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
(3)设，求数列的前项和.
(4)记的前项和为，求证：；
【答案】(1)，；
(2)；
(3)；
(4)证明见解析.
【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，得，，
解得，或（舍去），
所以，.
（2）由（1）知，，，则，
所以.
（3）由（1）知，
，
于是，
两式相减得，
所以.
（4）由（1）知，，，
于是
所以.
17．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考阶段练习）已知数列为等差数列，且，．
(1)求的通项公式；
(2)数列满足，数列的前项和为，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）设等差数列的公差为，
则，解得：，
.
（2）由（1）得：，
，
，.
18．（2023·全国·统考高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
（2）因为，所以，
，
两式相减得，
，
，即，．
19．（2023·全国·统考高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【解析】（1）设等差数列的公差为，而，
则，
于是，解得，，
所以数列的通项公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
当为偶数时，，
，
当时，，因此，
当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
方法2：由（1）知，，，
当为偶数时，，
当时，，因此，
当为奇数时，若，则
，显然满足上式，因此当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
20．（2022·天津·统考高考真题）设是等差数列，是等比数列，且．
(1)求与的通项公式；
(2)设的前n项和为，求证：；
(3)求．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【解析】1）设公差为d，公比为，则，
由可得（舍去），
所以；
（2）证明：因为所以要证，
即证，即证，
即证，
而显然成立，所以；
（3）因为
，
所以
，
设
所以，
则，
作差得
，
所以，
所以.
21．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知数列与的前项和分别为和，且对任意，恒成立.
(1)若，，求；
(2)若对任意，都有及恒成立，求正整数的最小值.
【答案】(1)；
(2)3
【解析】（1）由题设，且，而，
显然也满足上式，故，
由，又，
所以是首项、公差均为2的等差数列.
综上，.
（2）由，，则，
所以，而，故，即是公比为3的等比数列.
所以，则，
，而，
所以，
所以对都成立，
所以，故，则正整数的最小值为3.
22．（2022·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）解：因为，
当时，，
两式相减得，可得，
令，可得，
所以数列的通项公式为.
（2）解：由（1）知，且，
当时，可得成立；
当时，，
所以
，
因为，可得，可得，
所以，
综上可得，.
23．（2023·河北保定·河北省唐县第一中学校考二模）在某个周末，甲、乙、丙、丁四名同学相约打台球．四人约定游戏规则：①每轮游戏均将四人分成两组，进行组内一对一对打；②第一轮甲乙对打、丙丁对打；③每轮游戏结束后，两名优胜者组成优胜组在下一轮游戏中对打，同样的，两名失败者组成败者组在下一轮游戏中对打；④每轮比赛均无平局出现．已知甲胜乙、乙胜丙、丙胜丁的概率均为，甲胜丙、乙胜丁的概率均为，甲胜丁的概率为．
(1)设在前三轮比赛中，甲乙对打的次数为随机变量X，求X的数学期望；
(2)求在第10轮比赛中，甲丙对打的概率．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题可知，甲乙在第一轮对打，且在第二轮不对打，所以的可取值为1，2，
，
则，
所以X的数学期望.
（2）设在第轮中，甲乙对打的概率为，甲丙对打的概率为，甲丁对打的概率为，
易知，，，
且，
又，所以，
整理得，
则数列是以为首项，以为公比的等比数列，
即，所以，则，
故在第10轮比赛中，甲丙对打的概率为．
24．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知各项均为正数的数列的首项，其前项和为，从①；②，；③中任选一个条件作为已知，并解答下列问题.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，设数列的前项和，求证：.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)证明见解析.
【解析】（1）选择①：因为，则，
两式相减得，即，
而，，则，因此数列是以为首项，2为公差的等差数列，
所以.
选择②：因为，则，
于是当时，，即，由，得，
即有，因此，，即数列是以为首项，2为公差的等差数列，
所以.
选择③：因为，又，
则，即，
显然，于是，即是以1为首项，1为公差的等差数列，
从而，即，因此，而满足上式，
所以.
（2）由（1）知，，，
因此，
则，
显然数列单调递减，于是，则，
所以.
25．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）某知识测试的题目均为多项选择题，每道多项选择题有A，B，C，D这4个选项，4个选项中仅有两个或三个为正确选项.题目得分规则为：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.已知测试过程中随机地从四个选项中作选择，每个选项是否为正确选项相互独立.若第一题正确选项为两个的概率为，并且规定若第题正确选项为两个，则第题正确选项为两个的概率为；第题正确选项为三个，则第题正确选项为三个的概率为.
(1)若第二题只选了“C”一个选项，求第二题得分的分布列及期望；
(2)求第n题正确选项为两个的概率；
(3)若第n题只选择B、C两个选项，设Y表示第n题得分，求证：.
【答案】(1)分布列见解析；
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）设事件表示正确选项为个，事件表示正确选项为个，
表示第题正确选项为个的概率，表示第题正确选项为个的概率.
设事件表示选项“C”为第二题的一个正确选项，用随机变量表示第二题得分.
依题得，可能取值为.
因为，，
所以
所以的分布列为:
所以.
（2）依题得，，
所以，
又因为，
所以是以为首项，以为公比的等比数列.
所以，.
（3）由（2）可知，，.
依题得，可能取值为.
，
，
所以.
26．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）已知等差数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，其中为数列的前项和.设表示不超过的最大正整数，求使的最大正整数的值.
【答案】(1)
(2)64
【解析】（1）设等差数列的公差为d，
由题意可得，解得，
所以数列的通项公式.
（2）由（1）可得，则，
所以，
因为，则，
所以，则，
即数列是以首项为0，公差为1的等差数列，
则，即，
又因为在上单调递增，且，
所以使的最大正整数的值为64.
27．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）设为数列的前项和，已知，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前项和，当时，．若对于任意，有，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1），
∴，，
∴,
∴当时，；
当时，也符合上式，
∴．
（2），
∵
，
∴，
当时，满足，
当时，存在，（其中，表示不超过的最大整数），
使得，则，
∴，不满足条件，
∴．
28．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知数列的前项和满足，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为，当时，
所以，即，
所以，
所以，即是常数数列，又，所以，则.
（2）因为，
当为偶数时，
；
当为奇数时，
；
综上可得.
29．（2023·山东·山东师范大学附中校考模拟预测）已知是各项均为正数的数列，为的前n项和，且，，成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由，，成等差数列，得，①
当时，，
∴，得（舍去），
当时，，②
①－②得，，
∴，
又，∴，
∴是首项为2，公差为1的等差数列，
∴，
故；
（2）由（1）知，
当是奇数时，
，
当是偶数时，
，
综上.
30．（2023·河北·统考模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若，，成等比数列.从下面三个条件中选择一个，求数列的前项和.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
①；②；③.
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
【解析】（1）因为，即，当时，解得，
当时，所以，
即，
所以，
当时上述式子恒成立，
当时两边同除可得，
即，所以为常数数列，即，
所以，即，
当时上述也成立，
所以，
所以是以为首项，为公差的等差数列.
（2）设的公差为，因为，，成等比数列，
所以，即，解得，所以；
若选①，则，
所以.
若选②，则，
所以.
若选③，则，
所以
.